★试卷3套汇总★合肥市2020年高二数学下学期期末质量检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种
B ．52种
C ．36种
D ．24种
2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m∥n，m⊥β，则n⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列说法正确是（ ）
A ．2a b ⋅=-
B ．()()a b a b +⊥-
C ．a →
与b →
的夹角为
3
π D ．||7a b -=
4．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ） A ．
184
B ．
142
C ．
128
D ．
114
5．已知变量x ,y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x ,y 之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )
A ．变量x ,y 之间呈现负相关关系
B ．可以预测,当x =20时,y =﹣3.7
C ．m =4
D ．该回归直线必过点(9,4)
6．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：
不秃发 5 450
根据表中数据得()2
277520450530015.96825750320455
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由2
10.828K ≥断定秃发与患有心脏病有
关，那么这种判断出错的可能性为（ ） 附表：
()20P k k > 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A ．0.1
B ．0.05
C ．0.01
D ．0.001
7．如图所示,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )
A ．6,8
B ．6,6
C ．5,2
D ．6,2
8． “3,a =23b =”是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为7
2
（ ）
A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．即不充分也不必要条件
D ．充分不必要条件
9．若不等式()()121311133
x x
a g x g ++-≥-对任意的(],1x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A ．(],0-∞
B ．(],1-∞
C ．[)0,+∞
D ．[
)1,+∞
10．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）
A ．
12
B ．
3122
C ．
116
D ．
113
6
11．从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
12．8(2)x -展开式中不含4x 项的系数的和为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
二、填空题：本题共4小题
13．双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为
14．执行如图所示的程序框图，若输出的y 为1，则输入的x 的值等于_________．
15．设函数()()e
1x
f x x =-，函数()
g x mx =，若对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]21,2x ∈，使得
()()12f x g x >，则实数m 的取值范围是_____．
16．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为____. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知复数3
1(1)z i i =-，i 为虚数单位． （1）求1z ； （2）若复数z 满足
2z =，求1
z z -的最大值．
18．将4个不同的红球和6个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出4个球. （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；
（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；
（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率.
19．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y α
α
=⎧⎨
=⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，点32,
4
P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
在直线l ：cos sin 0m ρθρθ-+=上． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 的相交于点A 、B ，求||||PA PB ⋅的值． 20．（6分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率2
3
， （Ⅰ）记甲击中目标的次数为X ，求X 的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
21．（6分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.
（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
临界值表
（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
22．（8分）（12分）某同学参加3门课程的考试。

假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。

记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ0 1 2 3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ。

参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C
【解析】
【分析】
【详解】
当丙在第一或第五位置时，有13
23
224
A A=种排法；当丙在第二或第四位置时，有22
22
28
A A=种排法；当
丙在第三或位置时，有22
22
4
A A=种排法；则不同的排法种数为36种.
2．A
【解析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.
3．D
【解析】
【分析】
根据向量运算和向量夹角公式，向量模依次判断每个选项得到答案. 【详解】
()
2
22
2
||23a b a b
a a
b b +=+=+⋅+=，故1a b ⋅=-，故A 错误；
2
2
()()30a b a b a b +⋅-=-=-≠，故B 错误；
cos 1a b a b θ⋅=⋅=-，故1cos 2θ=-，故23
π
θ=，C 错误；
22
2
||27a b a a b b -=-⋅+=，故||7a b -=，D 正确.
故选：D . 【点睛】
本题考查了向量数量积，向量夹角，向量模，意在考查学生的计算能力. 4．D 【解析】 【分析】
先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案. 【详解】
通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有3
9=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有
3
36A =种可能，于是所求概率为
61
=8414
.选D. 【点睛】
本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大. 5．C 【解析】 【分析】
根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择. 【详解】
对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系.
线性回归方程为0.710.3y x =-+，b =﹣0.7<0，故负相关. 对于B ：当x =20时，代入可得y =﹣3.7 对于C ：根据表中数据：()1
6810124
x =
+++=9. 可得0.7910.3y =-⨯+=4. 即
()1
63244
m +++=，
解得：m =5.
对于D ：由线性回归方程一定过(x y ，)，即(9，4). 故选：C. 【点睛】
本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题. 6．D 【解析】 【分析】
根据观测值K 2，对照临界值得出结论． 【详解】
由题意，210.828K ≥，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为0.001. 故选D ． 【点睛】
本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题． 7．A 【解析】 【分析】
根据题意，应用乘原理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数. 【详解】
由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有23=6⨯种； 再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有628+=种走法，故选：A. 【点睛】
本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 8．D 【解析】 【分析】
将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化为22221(0,0)y x a b b a -=>>,2234a b =,
在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论. 【详解】
将双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=->>标准化22221(0,0)y x a b b a -=>>则根据离心率的定义可知本题中应
有222
a b c e b c +===,则可解得2234a b =,因为3,a =b =可以推出2234a b =;反之2234a b =成立不
能得出3,a =b =故选:D . 【点睛】
本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般. 9．B 【解析】 【分析】
不等式可整理为1212()()333
x x x
x
a +≤=+，然后转化为求函数y 12()()33x x =+在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值． 【详解】 不等式()()121311133
x x
a g
x g ++-≥-，
即不等式lg
()12133x x
a ++-≥lg3x ﹣
1，
∴
()1
12133
3
x x
x a -++-⋅≥，整理可得1212()()333
x x x
x a +≤=+，
∵y 1
2()()3
3
x
x
=+在（﹣∞，1）上单调递减， ∴x ∈（﹣∞，1），y 1212
()()3
3
33
x
x
=++
=＞1， ∴要使原不等式恒成立，只需a ≤1，即a 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：B. 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力． 10．C 【解析】 【分析】
由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中ACB △为等腰直角三角形，
90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒∠=====，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体是直三棱柱剪去一个角，
其中ACB △为等腰直角三角形，90,2,2,1ACB AB BE AG EF ︒
∠=====， ∴该几何体的体积111112*********
V =-⨯⨯⨯⨯=， 故选：C. 【点睛】
本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 11．D 【解析】 【分析】
从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果. 【详解】
由排列数的定义可知，从a 、b 、c 中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为2
36A =.
故选：D. 【点睛】
本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题. 12．B 【解析】
试题分析：由二项式定理知，8(2)x 展开式中最后一项含4x ，其系数为1，令x =1得，此二项展开式
的各项系数和为8(21)=1，故不含4x 项的系数和为1-1=0，故选B. 考点：二项展开式各项系数和；二项展开式的通项 二、填空题：本题共4小题 13．2y x =±
【解析】
试题分析：由双曲线方程可知22
1,41,2a b a b ==∴==∴渐近线方程为2y x =± 考点：双曲线方程及性质 14．2或1- 【解析】 【分析】
根据程序框图，讨论0x ≥和0x <两种情况，计算得到答案. 【详解】
当0x ≥时，11y x =-=，故2x =；
当0x <时，210x +>，故2
111y x =+-=，解得1x =-或1x =（舍去）. 故答案为：2或1-. 【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
15．1
(,)2
-∞-
【解析】 【分析】
由题意可知，()f x 在[]22-,
上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m 的取值范围. 【详解】
由题意可知，()f x 在[]22-,
上的最小值大于()g x 在[]1,2上的最小值. ()e x f x x '=，当[]2,0x ∈-时，()0f x '≤，此时函数()f x 单调递减；
当(]
0,2x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.
()()00e 011f =-=-，即函数()f x 在[]22-,
上的最小值为-1. 函数()g x mx =为直线，
当0m =时，()0g x =，显然10-<不符合题意；
当0m >时，()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 的最小值为()1g m =，则1m <-，与0m >矛盾； 当0m <时，()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 的最小值为()22g m =，则12m ->，即1
2
m <-，符合题意.
故实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.
16．
【解析】
分析：取AC 的中点N ，连接,MN PN ，由三角形中位线定理可得PMN ∠即为PM 与BC 所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.
详解：取PB 的中点N ，连接,,MN CN CM ， 由三角形中位线定理可得，//MN PA ， 故CMN ∠即为CM 与PA 所成的角或其补角， 因为P ABC -是正四面体，不妨设令其棱长为2，
则由正四面体的性质可求得1,MN CM CN ===
故cos
CMN ∠=
=.
点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 122.z i =-
(2) 2. 【解析】
分析：（1）化简复数即可；
（2）设z x yi =+，则2
2
4x y +=，则复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆，复数1z 对
应点()2,2A -，所以即可先求点到圆心的距离再减去半径即可. 详解：（1）()()()()2
111212 2.z i i i i i i i =--=--=-
（2）设z x yi =+，因为2z =，所以22
4x y +=，
在复平面中，复数1z 对应点()2,2A -，
复数z 对应点的轨迹是以为()0,0O 圆心，2为半径的圆；
因为AO=22,所以1z z -的最大值为222+． 点睛：与复数几何意义、模有关的解题技巧 (1)只要把复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与向量
对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、
减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题． (2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质． 18．（1）115；（2）195；（3）19
. 【解析】 【分析】
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；
（2）若取出的4球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况，然后利用分类计数原理可得出答案；
（3）由题意得出箱子里红球和白球都是2个，并求出操作三次的情况总数，以及恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的情况数，然后利用古典概型的概率公式可得出答案. 【详解】
（1）若取出的红球个数不少于白球个数，则有4红、3红1白、2红2白三种情况，
其中4红有441C =种取法，3红1白有31
4624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法.
因此，共有12490115++=种不同的取法；
（2）若取出的4个球的总分不少于5分，则有4红、3红1白、2红2白和1红3白四种情况.
其中4红有441C =种取法，3红1白有31
4624C C =种取法，2红2白有224690C C =种取法，1红3白有
134680C C =种不同的取法.
因此，共有1249080195+++=种不同的取法；
（3）由题意知，箱子中4个球中红球有2个，白球也为2个，从这4个球中取出2个球，取出2个红球只
有一种情况，取出2个白球也只有一种情况，取出1红1白有11
224C C =种情况，总共有6种情况.
若取出的4个球放入一箱子里，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中去”为一次操作，如果操作三次，共有36216=种不同情况.
恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有1
1
32424C C ⨯=种情况， 因此，恰有一次取到2个红球并且恰有一次取到2个白球的概率为241
2169
=. 【点睛】
本题考查分类计数原理以及概率的计算，在解题时要熟练利用分类讨论思想，遵循不重不漏的原则，考查
运算求解能力，属于中等题.
19． (1) C ：22
149
x y +=；l ：220x y -+=；(2) 20||||13PA PB ⋅=
【解析】 【分析】
（1）直接把曲线C 的参数方程中的参数消去，即可得到曲线C 的普通方程，把P 的极坐标代入直线方程求得m ，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；
（2）写出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用此时t 的几何意义及根与系数的关系求解． 【详解】
（1）由2(3x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩
为参数），消去参数α，可得曲线C 的普通方程为22
149x y +=；
由324P π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在直线l ：ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝1上，得220m --+=，得m 22=． 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，
∴直线l ：ρcosθ﹣ρsinθ+m ＝1的直角坐标方程为x ﹣y 22+=1； （2）由（1）知直线l 的倾斜角为
4
π
，()
2,2P -， 直线l 的参数方程为222
222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），
代入22
149
x y +=，
得：13t 2﹣21t ﹣21＝1． ∴|PA|•|PB|20
13
A B t t =⋅=． 【点睛】
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题．
20．（1）分布列（见解析），Eξ=1.5；（2）.
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）因甲每次是否击中目标相互独立，所以ξ服从二项分布，即，由期望
1
()()i i i n
E P ξξξ==∑⋅或
(二项分布)；（2）甲恰好比乙多击中目标2次：分为2类，甲3次乙1次，
甲2次乙0次.甲乙相互独立概率相乘. 试题解析：
甲射击三次其集中次数ξ服从二项分布：
(1)P(ξ＝0)＝0
3
311()2
8C =
,P(ξ＝1)＝13
313()28C = P(ξ＝2)＝23313()28C =,P(ξ＝3)＝33
311()28
C =
ξ 0 1 2 3 P
ξ的概率分布如下表： Eξ＝1331
0123 1.58888
⋅+⋅+⋅+⋅
=， （2）甲恰好比乙多击中目标2次：分为2类，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互独立概率相乘.
.
考点：（1）二项分布及其概率计算；（2）独立事件概率计算.
21．（1）填表见解析；能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）先由统计数据可得22⨯列联表，再由22⨯列联表求出2K 的观测值，然后结合临界值表即可得解； （2）先确定X 的可能取值，再求对应的概率，列出分布列，然后求出其期望即可得解. 【详解】
解：（1）由统计数据可得22⨯列联表为：
甲班 乙班 总计 成绩优良 9 16 25 成绩不优良 11 4 15 总计
20
20
40
根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为()2
40941611 5.227 5.024********
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ∴在犯错概率不超过0.025
的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”. （2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为
15
8340
⨯=，则X 的可能取值为0，1，2，3. ()31131533091C P X C ===；()2111431544
191C C P X C ===；
()12114315662455C C P X C ===；()343154
3455
C P X C ===
. ∴X 的分布列为
X
0 1 2 3 P
33
91
4491
66
455
4455
所以()01239191455455455
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了独立性检验及列联表，重点考查了离散型随机变量的分布列及期望，属中档题. 22．（I ），（II ）
，
.（III ）
【解析】
(1)可根据其对立事件来求：其对立事件为：没有一门课程取得优秀成绩. (2)
建立关于p 、q 的方程，解方程组即可求解. (3)先算出a,b 的值，然后利用期望公式求解即可. 事件
表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知
，，
（I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取
得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知
整理得，由，可得，. （III）由题意知
=
=
=
同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒
⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆22
8x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ） A ．27
B ．30
C ．72
D ．
302
2．若函数32()2f x x ax ax =+++没有极值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0, 3]
B ．(0, 3)
C ．(, 0)(3, )-∞+∞
D ．(, 0][3, )-∞+∞
3．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：
（单位：
）
17 14 10 -1
（单位：千瓦时）
24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（ ）
A ．56千瓦时
B ．36千瓦时
C ．34千瓦时
D ．38千瓦时
4．双曲线2
212
x y -=的渐近线方程是
A ．12
y x =±
B ．22
y x =±
C ．2y x =±
D ．2y x =±
5．若实数满足
，则( ) A ．都小于0 B ．
都大于0
C ．
中至少有一个大于0 D ．中至少有一个小于0
6．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记3
12a f ⎛⎫
⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，312b f ⎛⎫
⎫=-⎪ ⎪⎭⎝
⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．a b c >>
7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是
2
3
，没有平局.若采用三局两
胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ） A ．
49
B ．
2027
C ．
827
D ．
1627
8．已知定义在R 上的函数()f x 1-的图象关于x 1=对称，且当x 0>时，()f x 单调递减，若
()0.5a f log 3=，()1.3b f 0.5-=，()6c f 0.7=，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c a b >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c b a >>
9．在复平面内与复数21i
z i
=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --
B ．1i -
C ．1i +
D ．1i -+
10．设x ∈R ，则“28x <”是
1<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数
1
()1
x
x h x e +=
-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3-+∞， B ．()3-∞-， C ．(]3-∞，
D ．R
12．已知函数23()x f x e -=，1()ln 42
x
g x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A ．
1
ln 22
+ B ．ln 2
C ．1
2ln 22
+ D ．2ln 2
二、填空题：本题共4小题
13．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则
BD =________.
14．
在2n
x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.
15．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，点P ，Q 在抛物线上，且56
PFQ π
∠=，过弦PQ 的中点M 作准线l 的垂线，垂足为1M ，则
1
PQ MM 的最小值为__________．
16
．若4
2x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为96，则实数a 等于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2f x x =-． （1）解不等式()()242f x f x -+<；
（2）若()()2
32f x f x m m ++≥+对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．
18
．已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；
（Ⅱ）设a
R ∈，且2019
121z a z +⎛⎫
+= ⎪
+⎝⎭
，求实数a 的值.
19．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.
（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.
20．（6分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，曲线C 由以原点为圆心，半径为2的半圆和中心在原点，焦点在x 轴上的半椭圆构成，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线7(0)6
π
θ=
ρ≥与曲线C 交于点M ，点N 为曲线C 上的动点，求MON ∆面积的最大值. 21．（6分）已知在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为是22(212
x t
y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
为参数）, 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 判断直线l 与曲线C 的位置关系；
(2) 在曲线C 上求一点P ,使得它到直线l 的距离最大,并求出最大距离.
22．（8分）已知m R ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存
在[]1,1x ∈-，使得1
()12
x
m ≤-成立.
(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论．
【详解】
曲线2sin 301sin 30
x t y t ︒
︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=，
∴BC ==，故选B ． 【点睛】
本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题． 2．A
【解析】
【分析】
由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对a 讨论，可得答案．
【详解】
∵32()2f x x ax ax =+++，∴()2
32f x x ax a '++= ， ①当0a =时，则()230f x x '≥=，()f x 在R 上为增函数，满足条件；
②当0a ≠时，则()2
412430a a a a ∆-≤-==， 即当03a <≤ 时，()0f x '≥ 恒成立，()f x 在R 上为增函数，满足条件
综上，函数32
()2f x x ax ax =+++不存在极值点的充要条件是：03a ≤≤．
【点睛】
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题．
3．B 【解析】 【分析】
计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为
所求结果。

【详解】 由题意可得，， 由于回归直线过样本的中心点
，则，得， 回归直线方程为
，当时，（千瓦时），故选：B.
【点睛】 本题考查回归直线方程的应用，解题的关键在于利用回归直线过样本中心点
这一结论，考查计算能力，属于中等题。

4．B
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得,a b ，由渐近线方程为b y x a =±
求得结果. 【详解】 由双曲线方程得：2a =1b =
∴渐近线方程为：22
b y x x a =±=± 本题正确选项：B
【点睛】
本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.
5．D
【解析】假设a,b 都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b 中至少有一个小于0.
6．A
分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x ）为奇函数即可得出
()
32b f log =，然后比较331()232log ，，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，c 的大小关系．
详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ；
∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；
331122b f log f log ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()
32f log ； 3122log ＜＜，310()12
＜＜； ∴3310()232
log ＜＜＜； ∴()
()331
()232f f log f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ；
即c ＞b ＞a ．
故选A ．
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
7．B
【解析】
试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:
,故选B.
考点：独立事件概率计算.
8．A
【解析】
【分析】
先根据对称性将自变量转化到0x >上，再根据0x >时()f x 单调递减，判断大小.
【详解】
∵定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，∴函数()f x 为偶函数，
600.71<<．∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选A ．
【点睛】
比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小
9．D
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.
【详解】 由题()()()2122211112
i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.
故选：D
【点睛】
此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义. 10．B
【解析】
【分析】
分别将两个不等式解出来即可
【详解】
由28x <得3x <
1<得23x ≤<
所以“28x <”是1”的必要不充分条件
故选：B
【点睛】
设命题p 对应的集合为A ，命题q 对应的集合为B ，若A B ,则p 是q 的充分不必要条件，若A B ，则p 是q 的必要不充分条件，若A=B ，则p 是q 的充要条件.
11．B
【解析】
【分析】
通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案.
命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B.
【点睛】
本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.
12．A
【解析】
【分析】
根据()()f m g n k ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【详解】 设231ln (0)42m n e k k -=+=>，则3ln 22
k m =+，142k n e -=， 令1
4ln 3()222k k h k n m e
-=-=--，所以141()22k h k e k -'=-， 又1
41()22k h k e k
-'=-在()0,∞+增函数，且104h '⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当10,4k ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h k '<，当1,4k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h k '>， 所以1
4ln 3()222k k h k e -=--在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增． 所以min 11()ln 242
h k h ⎛⎫==+
⎪⎝⎭，即n m -的最小值为1ln 22+． 故选A.
【点睛】 本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．
二、填空题：本题共4小题
13．5
【解析】
【分析】
根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD 的长度.。