线性代数-二次型

=x Ax A是对称矩阵.
称为二次型的矩阵表示, 建立了对称矩 阵与二次型之间的一一对应关系. 当aij为 实数时, f 称为的实二次型，当 aij为复数 时， f 称为复二次型.
例如
f ( x, y, z) x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz
x
y
z
1 1
1 2
1 x 3 y
0 0
6 D1
1 1/2 3
1 1/ 2 1 C1
0 0
1
2 0 0 0 1 0
0 0 6
1 1/2 3
1 0
1/ 2 0
11
2 0 0 2
0 0 D
与例2一致.
0 0 6
1 1 3
于是
1 0
1 0
11 C
f 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3 经过变换x=Cy, 即
1 3 5 z
二次型讨论的主要问题: 在新旧变量之间, 寻 找适当的线性变换
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
使二次型只含新变量的平方项, 即将上式 代入后 f d1 y12 d2 y22 dn yn2
d1
C
'
AC
d2
D.
dn
由于C是满秩矩阵, 则它可分解成一系列初等 矩阵的乘积, 令
C=P1P2…Ps,
其中Pi(i=1, 2, …, s)为初等矩阵.
于是
C AC=(P1P2…Ps) A(P1P2…Ps)
=Ps …P2 P1 AP1P2…Ps =Ps …(P2 (P1 AP1)P2)…Ps
第六章 二次型
平面解析几何中的以原点为中心的二次 有心曲线方程
ax2 2bxy cy2 f 可通过坐标旋转变换
x x'cos y'sin
y
x'sin
y'cos
消去2bxy，化为 d1 x'2 d2 y'2 f
从此标准型可以识别曲线的类型, 从而 研究曲线的性质.
空间解析几何中将二次曲面方程化为标准
a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
记为
a22 x22
2a23 x2 x3 ann xn2
2a2n x2 xn
f ( x1 , x2 ,, xn )
x1
x2
a11
xn
a12
a12
a22
a1n x1 a2n x2
a1n a2n ann xn
化为标准形, 并求出所用的初等变换.
解 0 1 1 A 1 0 3 1 3 0 0 1 1 1 0 3
1 1 2 1 0 3
A
1
3
0
E 1 0 0
1 3 0
1 0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
2 1 2 1 0 3
2 3 0
1 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 3 C' AC 1 1 0 1 0 3 1 1 1
3 1 1 1 3 0 0 0 1
2
2 .
6
配方法化二次型为标准形的一般过程
(1) 观察所给的二次型是否含有平方项, 若不含 平方项, 先作一次满秩变换, 使其出现平方项.
(2) 对含有平方项的二次型依次配方(例1).
本章讨论的是满秩线性变换. 从x=Cy可以得 到, 只有|C| 0时, 新旧变量之间的关系是唯一 确定的.
二次型经过满秩变换后还是二次型. f ( x1 , x2 ,, xn ) =x Ax=(Cy) A(Cy)
= y (C AC)y= y By 即 B= C AC.
定义 设A,B为n阶方阵, 若有n阶可逆矩阵C,使得
x=C1y, y=C2z
其中
1
C1 1
0
1 1 0
0 0 1
1 C2 0 0
0 1 0
1 2 1
于是 x=C1y=(C1C2)z
1 1 0 1 0 1 1 1 3 C C1C2 1 1 0 0 1 2 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0 0 1 容易验证
定理1.1 任意一个n元二次型x Ax总可以通过
满秩线性变换x=Cy化为只含有平方项之和的标
准形:
f d1 y12 d2 y22 dn yn2 .
定理1.2 任意一个n阶对称矩阵A总存在满秩矩 阵C, 使C AC为对角形. 即任意一个对称矩阵都 与一个对角形矩阵合同.
例3 化下列二次型为标准形, 并求所用的满秩
x1 y1 y2 3 y3
x2
y1
பைடு நூலகம்
y2
y3
变换为 f 2 y12 2 y22 6 y32 .
x3 y3
解 不含平方项, 因此先作变换
x1 y1 y2
x2
y1
y2
x3 y3
代入后按例1方法配方.
f 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 2( y1 y2 ) y3 6( y1 y2 ) y3
2 y12 2 y22 4 y1 y3 8 y2 y3 2( y12 y22 2 y1 y3 4 y2 y3 )
形也是一个重要的问题. 从代数学的观点看, 化标准形就是通过变
量的线性变化化简一个二次多项式, 使它只含 平方项. 定义 含有n个变量x1, x2, …, xn的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a1n x1 xn
这种只含平方项的二次型, 称为二次型的 标准形.
线性变换的矩阵表示
x1 c11
x2
c21
c12
c22
c1n y1 c2n y2
xn cn1 cn2 cnn yn
或 x=Cy.
当矩阵C=(cij)m n满秩时, 称为满秩线性变换. 当C为实矩阵时, 称为实线性变换, 当C为复矩 阵时, 称为复线性变换.
0 0 1
这时
1 0 01 1 1 1 1 1 C' AC 1 1 01 2 3 0 1 2
1 2 11 3 5 0 0 1
1
1 .
0
例2 用配方法化二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
为标准形, 并写出所用的满秩线性变换.
P(i, j) AP(i, j)
相当于把A的第i, j行互换, 接着 把所得矩阵的第i, j列互换.
P(i(k)) AP(i(k))相当于把A的第i行乘以k, 接着
把所得矩阵的第i列乘以k.
P(i(k), j) AP(i(k), j) 相当于把A的第j行的k倍加 到第i行, 然后将所得矩阵的 第i列的k倍加到第j列.
二 用配方法化二次型为标准形
对于任意n元二次型f =x Ax是否可以用满 秩变换x=Cy化为
f d1 y12 d2 y22 dn yn2 而这二次型对应于对角矩阵. 上述问题就变 为任意一个对称矩阵是否合同于一个对角形 矩阵？ 如果可以, 变换x=Cy中的矩阵C如何找出. 抛物线 y ax2 bx c 的图形与y=ax2相同.
取新变量
配方完毕.
x' x y z
y'
y
2z
z' z
x x' y' z'
即
y
y'2z'
z z'
或
x 1 1 1 x'
y 0 1 2 y'
z 0 0 1 z'
化为标准形 f x'2 y'2 .
所用变换x=Cy中
1 1 1 C 0 1 2.
D C
其中 d1
D
d2
,
dn
且D= C AC,
只要作变换x=Cy,
f ( x1, x2 ,, xn ) x' Ax (Cy)' A(Cy) y' Dy
d1 y12 d2 y22 dn yn2 .
例4 将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
配方可以得到.
以下通过例子说明n元二次型配方的一般方法.
例1 用配方法将二次型 f ( x, y, z) x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz
化为标准形. 解 (1) 三个平方项都存在, 可任意选定一个
变量配方(将含有x的项配成完全平方) f ( x, y, z) x2 2 y2 5z2 2xy 6 yz 2xz
yn2
y2 n1
y2 n2
y22n .
所用满秩变换为
x1
1
1 y1
x2
11 1 1
y2
x2n 1
1 y2n
x=Cy, 显然
1 C
1 n (1)n 2n 0.
1 1
三 用矩阵的初等变换化二次型为标准形
对任意对称矩阵A, 存在满秩矩阵P, 使得
1 0
1 0
0 1
1/ 2 1 2
21
0 1/2 2 0 2 2
1 0 0
1 0
1 0
0 1
2 0 0 0 1/2 2
0 2 2
1 1/2 1
1 1/2 1
0 0
1
2 0 0
4
0 0
1/ 2 0
2 6
1 1/2 1
1 1/2 1
0 0
1
2 0 0 0 1/2 0 2
a22 x22 2a23 x2 x3 2a2n x2 xn ann xn2
称为一个n元二次型, 简称二次型.
第一节 化二次型为标准形 第二节 二次型的规范形 第三节 正定二次型 第四节 实二次型通过正交变换化为标准形
第五节 典型例题
第一节 化二次型为标准形
一 二次型的矩阵表示
f ( x1 , x2 ,, xn )
2[( y1 y3 )2 y22 4 y2 y3 y32 ]
2[( y1 y3 )2 ( y2 2 y3 )2 3 y32 ]
2z12
2
z
2 2
6z32
其中
z1 y1 y3
z2
y2
2 y3
z3 y3
y1 z1 z2
或
y2
z2
2z3
y3 z3
经过两次满秩变换化为标准形, 变换依次为
线性变换.
f ( x1 , x2 ,, xn ) x1 x2n x2 x2n1 xn xn1 .
解 令 x1 y1 y2n
x2n y1 y2n ,
x2 y2 y2n1 x2n y2 y2n1 ,
…………
xn yn yn1 xn1 yn yn1 .
原二次型化为
f
y12
y22
x2 2( y z)x ( y z)2 ( y z)2
2 y2 5z2 6 yz
( x y z)2 y2 4z2 4 yz
(2) 在剩余项中再选定一个含有平方项的变 量进行配方
f ( x, y, z) ( x y z)2 y2 4z2 4 yz
(x y z)2 ( y 2z)2
B= C AC
则称A与B合同, 记为 A∽B.
对矩阵A用满秩矩阵C做运算C AC, 称为对 A进行合同变换.
合同关系的性质
(1) 自反性 (2) 对称性 (3) 传递性
说明矩阵之间的合同关系 是等价关系.
(4) 合同变换是保秩变换.
(5) 合同变换保持对称性.
对称矩阵A的秩称为A所对应的二次型f =x Ax的秩.
以上说明对初等矩阵Pi, Pi APi表示对A进 行成对的对称初等变换, 经过若干次变换, A 化为对角形矩阵.
而 C= P1P2…Ps=EP1P2…Ps
说明对单位矩阵E进行若干次与A相同的列
变换便可得到变换矩阵C.
将A的对角化过程与求变换矩阵C的过程
同时进行, 可表示为
A E
对A作对称的初等行列变换 对E只作列变换