湖北省荆州市2018届高三数学第八次周考试题 理

湖北省荆州市2018届高三数学第八次周考试题 理
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}
|1B y y ==，那么()U A C B =（ ）
A. ∅
B.(]0,1
C.(0,1)
D.(1,)+∞ 2．若复数3
i 2
1z =
+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A. 1- B. i -
C. 1
D. i
3．已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4．设某中学的高中女生体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y (1,2,3i =，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ˆ0.8585.71y
x =-， 则下列结论中不正确．．．的是（ ） A. y 与x 具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本的中心点(,)x y
C. 若该中学某高中女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm ，则可断定其体重必为50.29kg 5．若圆锥曲线22:1C x my +=的离心率为2，则m =（ ）
A. B. C. 13- D. 1
3
6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）
A. 2log 101-
B. 22log 31-
C. 9
2 D.6
7．已知函数()sin()(0,0,0)2
f x A x A πωϕωϕ=+>><<的周期为π，若()1f α=，
则3()2
f π
α+=（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 2 8．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线21y x =+与圆224x y +=相交于
,A B 两点，则cos AOB ∠=（ ）
B. C. 910 D. 910
- 9．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱， 甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个
手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）;乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十;丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱．
A. 28
B. 32
C. 56
D. 70
10．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），
则这个几何体的体积是（ ） A.
323 B. 64
3
C. 16
D. 32 11．抛物线28y x =的焦点为F ，设1122(,),(,)A x y B x y 是抛物线上的
两个动点，若124x x ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A.
3π B. 34
π C. 56π D. 23π
12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，()ln 1f x x x =-+，
若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1ln 21ln 2ln 21ln 21(,)(,)8668----⋃ B. ln 21ln 21(,)68
--
C. 1ln 21ln 2
(,)86
-- D. 1ln 2ln 21(,)86--
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=
, 则BD CD ⋅= ．
14．已知函数()()
2
21log 1
x f x x +=-，若()2=f a ，则()f a -= ． 15．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，
若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．
16．已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个
等差数列后三项和的最大值为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，
b c C 2cos 2=+.
（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若1
2
b =, 求sin C .
18．(本小题满分12分)设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足n n a T -=1 （Ⅰ）求证数列}11
{
n
a -是等差数列，并求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
)1(2-+=n n a n b ，
记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令][lg n n b c =，求数列}{n c 的前2000项和.
19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰
梯形，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，PAD ∆为正三角形.
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）设AD 的中点为E ，求平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角的余弦值．
20．(本小题满分12分) 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，左、
右焦点分别为12,F F ，离心率为1
2
，点(4,0)
B ，2F 为线段1A B 的中点.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）已知函数2()(24)(2)x f x x e a x =-++(0,x a R e >∈，是自然对数的底)． （Ⅰ）若()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）当1
(0,)2
a ∈时，证明：函数()f x 有最小值，并求函数()f x 最小值的取值范围．
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 过点(),1P a ，其参数方程为
1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，
a R ∈）
．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程 为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．
（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x a x =-+-，R a ∈．
（Ⅰ）若不等式()21f x x ≤--有解,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3,求实数a 的值．
理科数学参考答案及评分标准
17. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得222
1222b c c b b +-⨯
+=,即221b c bc +-=. ……2分 所以22211
cos 222
b c bc A bc bc +-=
==. …………………………………………4分 由于0A π<<, 所以3
A π
=. (6)
分
（Ⅱ） 由12b =及22
1b c bc +-=, 得2
211122c c ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
, ……………………7分
解得c =或c =(舍去). …………………………………………9分
由正弦定理得
sin sin c a
C A
=
, …………………………………………10分
得sin sin 60C ︒=
=分 18.【解析】 （Ⅰ）12-=n a n .
……………………………………………………5分
（Ⅱ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，
…………………………………………6分
当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;
(7)
分
当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ;
(8)
分
当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ;
(9)
分
当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n . ………………………………………10分
所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯. ……12分
19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，过点D 作DE AB ⊥于点E ，
如图所示：有1,AE DE BD ===∴在ABD ∆中，有222AB AD BD =+，即AD BD ⊥
又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，∴BD ⊥平面PAD .---5分 （Ⅱ） 由平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD ∆为正三角形,E 为AD 的中点， ∴PE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ．
如图所示，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过点D 平行于PE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.
由条件2AD DC BC ===，则1AE DE ==
，PE =
BD = 则(0,0,0)D ，(1,0,0)E
，(0,B
，P ．------- 6分
在等腰梯形ABCD 中，过点C 作BD 的平行线交AD 延长线于点F 如图所示： 则在Rt CDF ∆
中，有CF =，1DF =
，∴(C -．------- 7分 （另解:可不做辅助线，利用2AB DC =求点C 坐标）
∴(1,CD =
，(1,0,PD =-，设平面PDC 的法向量1111(,,)n x y z =
则11111100
n CD x n PD x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩
，取1x =11y =，11z =-， ∴面PDC 的法向量1(3,1,1)n =-．------- 9
分
同理有(0,0,PE =
，(PB =-，设平面PBE 的法向量2222(,,)n x y z =
则222222300
n PE n PB x ⎧
⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪
⎩ ， 取21y =，则2x =20z =，∴面PBE 的法向量2n =．--10分 设平面PEB 与平面PDC 所成二面角的平面角为θ，
∴12cos cos ,n n θ=<>=
=
． 即平面PEB
与平面PDC ．------- 12分 20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：4
2
a c -+=
，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率1
2
c e a =
=，即2a c = ② 联立方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-= 所以椭圆C 的方程为2
2
14
3
y x +
=．------- 5分 （Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G 是与y 轴平行的直线0x x =上．
假设当点M
为椭圆的上顶点时，直线l
40y +-=，
此时点N 8(5
，
则联立直线1
20A M l y
-+
和直线2
:20A N l y +-
=可得点G 据此猜想点G 在直线1x =上，下面对猜想给予证明： ------- 7分
设1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程22(414
3)x y k x y +-==⎧⎪
⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>
由韦达定理可得21223234k x x k +=+，2122
6412
34k x x k -=+ （*）------- 9分
因为直线1
11:(2)2A M y l y x x =
++，222:(2)2
A N y l y x x =--， 联立两直线方程得12
12(2)(2)22
y y x x x x +=-+-（其中x 为G 点的横坐标）即证：12
12322
y y x x -=+-， 即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+，即证1212410()160x x x x -++= ------- 11分
将（*）代入上式可得22
22222
4(6412)1032160163203403434k k k k k k k
⋅-⨯-+=⇔--++=++ 此式明显成立，原命题得证．所以点G 在定直线上1x =上．------- 12分 21.【解析】（Ⅰ）'()2(24)2(2)(22)2(2)x x x f x e x e a x x e a x =+-++=-++，
依题意：当0x >时，函数'()0f x ≥恒成立，即(1)2
x
x e a x -≥-+恒成立，
记(1)()2
x
x e g x x -=-+，则2(2)(1)'()(2)x x xe x x e g x x +--=-=+22(1)0(2)x x x e x ++-
<+， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以1
()(0)2g x g <=
，所以12
a ≥；--- 5分 （Ⅱ）因为['()]'220x f x xe a =+>，所以'()y f x =是(0,)+∞上的增函数，
又'(0)420f a =-<，'(1)60f a => ，所以存在(0,1)t ∈使得'()0f t =
且当0a →时1t →，当1
2
a →时0t →，所以t 的取值范围是(0,1)．------- 7分
又当(0,)x t ∈，'()0f x <，当(,)x t ∈+∞时，'()0f x >， 所以当x t =时，2
min
()()(24)(2)t
f x f t t e a t ==-++．且有(1)'()02
t
t e f t a t -=⇒=-
+ (由（Ⅰ）知(1)()2t
t e a g t t -=-=+,在(0,)+∞上单调递减，又1(0)2
g =, (1)0g =
且1
(0,)2
a ∈,故(0,1)t ∈)
∴2min ()()(24)(1)(2)(2)t t t f x f t t e t t e e t t ==---+=-+-,(0,1)t ∈------- 10分
记2()(2)t h t e t t =-+-，则22'()(2)(21)1)t t t
h t e t t e t e t t =-+-+-+=--（-0<，
所以(1)()(0)h h t h <<，即最小值的取值范围是(2,2)e --．------- 12分 22.【解析】（Ⅰ）曲线1C
参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨
=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，------- 2
分
由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.------- 5分
（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t
，联解241y x
x a y ===⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
得22140t a -+-=
要有两个不同的交点，则2
42(14)0a ∆=-⨯->,即0a >
，由韦达定理有1212142
t t a t t +=-⋅=⎧⎪
⎨⎪⎩
根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==，
又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =- ------- 7分
∴当122t t =
时，有2122212311036422
t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意．------- 8分 当122t t =-
时，有21222121442
902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意．------- 9分 综上所述，实数a 的值为136a =或94
．------- 10分 23.【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112a
x x -+-≤． 而由绝对值的几何意义知||1|1|22
a a x x -+-≥-，------- 2分 由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a
-≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．------- 5分
（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12
a < ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩
------- 7分 如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2
a +∞单调递增， ∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．------- 10分。