福建省福州八中高三数学第四次质检考试试题 理 新人教A版

2013.12.16
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若复数ai
i a i a z ++--=13)2(2007为纯虚数，则的值为
A ．i
B ．1
C ．-1
D ．-i
2. 若0.3
2
12
1,0.3,log 2,,,2a b c a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭则的大小关系为
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
3. 若实数a ，b ，c ，满足对任意实数x ，y 有 x ＋2y －3≤ax ＋by ＋c ≤x ＋2y ＋3，则a ＋2b －3c 的最小值为 A.－6 B.－4 C. －2 D. 0
4. 由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是 A ．72 B ．60 C ．48 D ．12
5.若圆04222=+-+y x y x 与直线02=+-a y x 相离，则实数a 的取值范围是 A.a >8或a <－2 B.－2<a <8
C.a >0或a <－10
D.－10<a <0
6.已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是 A ．若*
n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*
n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*
n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列
B ．若*
n N ∀∈总有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列
7.已知椭圆22
:14
x y E m +=，对于任意实数k ，下列直线被椭圆E 截得的弦长与:1l y kx =+被椭圆E 截得的弦长不可能．．．相等的是 A ．20kx y +-= B ．0kx y k +-=
C ．10kx y --=
D ． 0kx y k ++=
8.若O 是平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足
()
OP OC CB CA λ=++(R λ∈)，则P 点的轨迹一定过△ABC 的
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
9.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22
221(0,0)x y m n m n -=>>有相同的焦点
(,0)c -和(,0)c .若c 是,a m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是
A ．12
B ．14
C ．2
D ．3
10.锐角三角形ABC 中，若2A B =，则下列叙述正确的是
①sin3sin 2B C =; ②3tan
tan 122B C =; ③64B ππ<<; ④(2,3]a
b
∈. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．④①
二、填空题：5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上.
11.设3(31)n
x +的展开式中各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，如
A+B=272，则展开式中含x 项的系数为 .
12.已知函数0011
()sin ,[0,],cos ([0,])33
f x x x x x x ππ=-
∈=∈，给出下面四个命题：①()f x 的最大值为0()f x ；②()f x 的最小值为0()f x ；③()f x 在0[0,]x 上是减函数；④()f x 在0[,]x π]上是减函数.其中真命题的序号是 ．
13. 如果有穷数列,)(,,,21为正整数n a a a n 满足条件1121,,,a a a a a a n n n ===- ，即
),,2,1(1n k a a k n k ==+-，我们称其为“对称数列”. 设{}n b 是项数为7的“对称数列”，
其中4321,,,b b b b 是等差数列，且21=b ，1642=+b b ，依次写出{}n b 的每一项______.
14. 若函数)()(R x x f y ∈=满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，
)(,)(x g y x x f ==是偶函数，且0>x ，x x g 3log )(=，则函数)(x f y =图像与函数
)(x g y =图像的交点个数为 .
15. 如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A 、B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,3,
,,
n .利用这两组同心圆可以画出以A 、B 为焦点的双曲线，若其
中经过点M 、N 、P 的双曲线的离心率分别记为,,M N P e e e ，则它们的大小关系是 ________
（用“<”连接）.
三、解答题：本大题六个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
已知a =（cosα，sinα），b =（cosβ，sinβ），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，(k ≥2). （1）用k 表示a ·b ;
（2）求a ·b 的最小值，并求此时a ·b 的夹角的余弦值. 17. （本小题满分13分）
已知实数a 满足1＜a ≤2，设函数f (x )＝13
x 3－12a +x 2
＋ax ．
(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值；
(Ⅱ) 若函数g (x )＝4x 3
＋3bx 2
－6(b ＋2)x (b ∈R ) 的极小值点与f (x )的极小值点相同，求证：g (x )的极大值小于等于10．
18.（本小题满分13分） 设函数()cos(2)cos 2,.3
f x x x x R π
=--∈
(Ⅰ)求()f x 在(0,
)2
π
上的值域；
(Ⅱ)记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3,f A a b c ===求的
值.
19.（本小题满分13分）
已知函数()2
f x x mx n =++的图像过点()13，，
且()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称.
(Ⅰ)求()f x 与()g x 的解析式；
(Ⅱ)若2
()()()x F x e g x f x x λ⎡⎤=-+⎣⎦在[-2，0]上是增函数，求实数λ的取值范围.
20.（本小题满分14分）
设首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 7＝－2，S 5＝30． (Ⅰ) 求a 1及d ； (Ⅱ) 若数列{b n }满足a n ＝1232
23n
b b b nb n
+++
+ (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式，
并b n 的最大值．
21. （本小题满分14分）
已知直线l 1：x ＝my 与抛物线C ：y 2
＝4x 交于O (坐标原点)，A 两点，直
x
y O B
A
D
B 1 A 1
D 1
福州八中2013—2014高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
三、解答题：
16. （本小题满分13分）解：（1）要求用k 表示a ·b ，而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得
|k a +b |2
=(3|a －k b |)2
k 2a 2+b 2+2k a ·b =3(a 2+k 2b 2
－2k a ·b )
∴8k·a ·b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2
a ·
b =
2
2
2
2
(3)(31)8k a k b
k
-+-…………………………3分
∵a =(cosα，sinα)，b =(cosβ，sinβ)，
∴a 2=1， b 2
=1，…………………………………………4分
∴a ·b =k
k k 813322-+-=k k 41
2+………………………………6分
（2）∵当k ≥2时，函数21
()4k f k k +=为增函数
∴a ·b 的最小值为8
5
2412)2(2=⋅+=
f ，…………………………………………9分 又∵a ·b =| a |·|b |·cos <a ，b >，|a|=|b|=1
∴
5
8
=1×1×cos <a ，b > ………………………11分 ∴cos<a ，b >=58，此时a 与b 的夹角余弦值为5
8
. ……………………13分
所以，f (x )的极小值为f (2)＝
2
3
．………………………………………………6分
(Ⅱ) 解：f ′(x )＝x 2
－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a )．…………………………7分
由于a ＞1，
所以f (x )的极小值点x ＝a ，则g (x )的极小值点也为x ＝a ．
而g ′ (x )＝12x 2
＋6bx －6(b ＋2)＝6(x －1)(2x ＋b ＋2)， ……………………8分
所以2
2
b a +=-
，
即b ＝－2(a ＋1)． …………………………………………10分 又因为1＜a ≤2，
所以，g (x )极大值＝g (1)＝4＋3b －6(b ＋2) ＝－3b －8＝6a －2≤10．
故g (x )的极大值小于等于10． …………………………13分
18. （本小题满分13分）解：(Ⅰ)x x x f 2cos )3
2cos()(--
=π
x x x 2cos 3
sin
2sin 3
cos 2cos -+=π
π
x x 2cos 2
1
2sin 23-=
)62sin(π
-=x . ………………………………4分
)2,0(π∈x ，)6
5,6(62π
ππ-∈-∴x ，
]1,21()62sin(-∈-∴πx ，即)(x f 在(0,2
π）
的值域为]1,21
(- . ………6分 (Ⅱ)由（I ）可知，)6
2sin()(π
-
=A A f ，
1)6
2sin(=-∴π
A ， …………………….7分 π<<A 0 ， 6
11626π
ππ<
-<-∴A ， 3
,262π
π
π
=
=
-
∴A A . ……………………9分
A bc c b a cos 2222-+= ， ……………………11分
把3a b ==代入，得到2
320c c -+=，
1=∴c 或2=c . ……………………13分
19.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：m=2，n=0， ∴2
()2f x x x =+ ………………………………2分
设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P(x ，y), 则
00x x y y =-=-，，……………………………………4分
因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上， ∴2
2
2,2y x x y x x -=-=-+
∴2()2g x x x =-+……………………………………………………6分 (Ⅱ) x x x e x F x 2)2()(2
⋅-+-=λ
∵()F x 在[]2,0-是增函数，即2
()(2)20x
F x e x λ'=-+-≥在[]2,0-恒成立.
亦即2
2(2)x
e x λ≤-+在[]2,0-上恒成立. 即2
min 2(2)x e x λ⎡⎤≤-+⎣⎦在[]2,0-恒成
立. ………………8分
令2
()(2)x
h x e x =-+，而2
()(22)x
h x e x x '=--+……………………10分
当[]2,0-时，2
220x x --+>，从而2
()(22)0x
h x e x x '=--+>
∴h(x)在[]2,0-为增函数，所以[]2min 2
()(2)h x h e
=-=-…………………12分 故2
1e λ≤-
，实数λ的取值范围是21,e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
. ………………13分 20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：由题意可知
1
154530,262,a d a d ⨯+=+=-⎧
⎪⎨
⎪⎩得 ……………………3分 110,
2.a d ==-⎧⎨⎩
………………………………………………5分
b n ＝－6n+30－
14
n 14306n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由n ∈N *知，当n ≥2时，14306n b n n ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭为
递减数列，又b 1＝10，2143012112b ⎛
⎫=-+= ⎪⎝⎭
，所以，b n 的最大值是11.…14分
21. （本小题满分14分）(Ⅰ) 解: 设B (x 1，y 1)， D (x 2，y 2)， 由2,4,x my m y x =+=⎧⎨⎩ 得2440y my m --=， 由Δ0>，得1m <-或0m >，
且y 1＋y 2＝4m ， y 1y 2＝－4m ．………………………………2分
又由2,4,
x my y x ==⎧⎨⎩ 得y 2
－4my ＝0，
所以y ＝0或4m ．故A (4m 2
，4m )．………………………………4分 由 | BD |＝2 | OA |，得
(1＋m 2)(y 1－y 2)2＝4 (16m 4＋16m 2
)，
而 (y 1－y 2)2＝16m 2
＋16m ，
故m ＝1
3
． …………………………………………………… 6分
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2m ＝4m 2＋2m ．
所以
2
1
2
2
S
S
＝
2224
22
1212
44
()()
m m
x x y y
⋅
+-
＝
224
222
8
(42)(44)
m m
m m m m
++
＝
3
2
4
(1)(21)
m
m m
++
＝
2
4
11
(1)(2)
m m
++
．…………9分
令1
m
＝t，。