《特征值与特征向量》教学实录及反思

向
量
是
什
么
？
ë0 - 1û
怎样从几何直观的角度加以解释？
T
A
:
éxù ëêyûú
→
éx′ù ëêy′ûú
=
é
ê
ë
x -
yùûú，A
é1ù
êú
ë0û
=
é1
ê
ùú，∴
ë0û
λ1
=
1，
α1
=
éê1ùú，A
é0ù
êú
ë0û ë1û
=
é
ê
0
ùú，∴λ
ë-1û
2
=
- 1，α 2
=
é
ê
ë
0ù ú
- 1û
.
中学教学参考
的
一
个特
征
值
，它的
一个特征向量为 α
=
éëêxyùûú，则
A
éxù ëêyûú
=
λ éëêxyùûú，
{ { 即
ax + by cx + dy
= =
λx , λy ,
所以
( λ - a) x - by = 0 , - cx + ( λ - d ) y = 0.
D
=
|||
λ- a -c
λ-
b d
|||，
27
Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
2021·6
数学·教学研究
师：初等变换矩阵可以从几何直观角度求出特征 值与特征向量 . 非初等变换矩阵，如情境中的矩阵 M
如何求出其特征值与特征向量呢？
设
λ
是二阶矩阵
A
=
éa
ê
ë
c
bù dûú
［教材分析］《特征值与特征向量》是苏教版高中 数学选修 4-2《矩阵与变换》的内容 . 利用二阶矩阵 M 的特征值、特征向量给出 Mn α 简单的表示，了解它的
几何意义，知道它的简单应用，并为下一节中种群问
题的研究做好铺垫 .
［学情分析］学生已掌握伸压、反射、旋转、切变等
初等变换及其对应的初等变换矩阵；知道矩阵乘法的
é15ù
êú
=
éê33ùú，
ë2 1û ë7û ë 9 û
ë2 1û ë 9 û ë39û
M3
β
=
é1
ê
2ù ú
é33ù
êú
=
éê111ùú.
ë2 1û ë39û ë105û
师：你能计算出 M50 β 吗？
设计意图：连续对向量实施 n (n > 1, n ∈ N∗ ) 次变
换，当次数较少时上述方法可以求出变换后的变量，
得 Mα = λα. 即变换后的向量与原向量共线 .
设计意图：通过初等变换矩阵对一些特殊向量作
用后得到的向量与原向量共线，从而引出特征值与特
征向量，让特征值与特征向量概念的建构显得自然而
不生硬 .
师：你能再举几个具有这种特征的向量并加以验
证吗？
生：M
é2ù
êú
ë0û
=
éê2ùú，M ë0û
é3ù
êú
Dx
=
|||
0 0
λ-
b d
|||
=
0，
Dy
=
|||
λ
-
a c
0 0
|||
=
0.
{ 上述方程即
D ⋅ x = Dx D ⋅ y = Dy
= =
00，由 于 特 征 向 量
α
为
非零向量，所以 x,y 不全为零，若要上述方程组有不全
为零的解，则必须 D
=
| ||
λ-
a c
-b λ- d
| ||
=
0.
2. 特征多项式的定义
几何意义即是平面变换的复合 . 当连续对向量实施 n (n > 1, n ∈ N∗ ) 次变换时，能通过矩阵对向量的多次
乘法得到变换后的向量或通过几何直观得到初等变
换矩阵对向量多次变换所得向量 .
［教学目标］
（1）掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几
何变换的角度说明特征向量的意义；
（2）会求二阶矩阵的特征值与特征向量； （3）利 用 二 阶 矩 阵 M 的 特 征 值 、特 征 向 量 给 出 Mnα 简单的表示 .
［教学重点］特征值、特征向量的概念及其应用 .
［教学难点］特征值、特征向量的概念 .
［教学过程］
一、概念教学
é1
情
境
：已
知
M
=
ê ëê0
M 2 β，M 3 β.
0ù 1 úú，β
=
éê1ùú，试 ë7û
计
算
Mβ，
2û
学生很快得到以下答案：
Mβ
=
é1
ê
2ù ú
é1ù
êú
=
éê15ùú，M
2
β
=
é1
ê
2ù ú
设
A
=
éa
ê
ë
c
bù dûú
是一个二阶矩阵，λ
∈
R，
我们
把
行列式
f
( λ)
=
|||
λ-
a c
λ-
b d
|||
=
λ2
-
(a
+
d ) λ + ad - bc 称为矩阵 A 的特征多项式 .
其中方程 f ( λ) = 0 的根为矩阵 A 的特征值（最多
两个），将 λ 的值代入二元一次方程组可得特征向量 .
1 2
⋅
β. 我们将
1 2
,1
称为矩阵 M
的特征值，对应的向量
称为特征向量 .
1. 特征值与特征向量的定义 设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一
个非零向量 α，使得 Aα = λ ⋅ α，那么 λ 称为 A 的一个 特征值，而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量 .
师：你们觉得特征值与特征向量的概念有哪些注
意点呢？
在学生充分讨论的基础上，师生共同总结出特征
值与特征向量这一概念的几个注意点：
（1）特征向量为非零向量； （2）属于特征值 λ 的特征向量不唯一，若向量 α
是 A 的属于特征值 λ 的特征向量，则 tα ( t ≠ 0 ) 也是属
于特征值 λ 的特征向量 .
练习
1：矩 阵
A
=
é1
ê
0
ù
ú
的
特
征
数学·教学研究
《特征值与特征向量》教学实录及反思
江苏苏州市吴县中学（215151） 郭建峰
［摘 要］通过《特征值与特征向量》教学的研究及反思，得到几点启示：创设合理的问题情境是课堂教学的基础，重视数学概 念的建构是课堂教学的核心，恰当地使用教学媒体是课堂教学的保障 .
［关键词］特征值；特征向量；教学实录；反思 ［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2021）17-0027-02
当次数较多时上述方法就不易操作 . 从而说明本节内
容学习的必要性 .
é1
已知
M
=
ê ëê0
0ù 1 úú，α
=
éê2ùú，β ë4û
=
é1
ê
ùú，γ
ë0û
=
éê0 ùú，试 计 ë3û
2û
算 Mα，Mβ，Mγ，并观察这三个向量与向量 α，β，γ 的关系 .
生：其中 Mβ
=
β，Mγ
=
1 2
γ，存在部分向量 α，使
ë0û
=
éê3ùú，M ë0û
éêê
1 2
ù ú ú
ë0û
=
éêê
1 2
ù úú…
ë0û
M
é0ù
êú
=
1
é0
ê
ùú，M
é0ù
êú
=
1
éê0ùú，M
é
ê
0
ù
ú
=
1
é
ê
0
ùú…
ë3û 2 ë3û ë4û 2 ë4û ë-2û 2 ë-2û
师 ：存 在 α，使 得 Mα = 1 ⋅ α；存 在 β，使 得 Mβ =
二、应用概念
［例
1］求 出 矩 阵
A
=
é1
ê
0
ù
ú
的
特
征值Leabharlann 与特征ë0 - 1û
向量 .
设 计 意 图 ：呼 应 练 习 ，通 过 初 等 变 换 矩 阵 总 结