人教新课标版数学高二必修五教案基本不等式的应用(一)

3.4.2基本不等式的应用（一）
3.4.2基本不等式
2b
a a
b +
≤的应用（1课时）
一、知识与技能
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式
2b
a a
b +
≤；
2.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路；
3.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
三、情感态度与价值观
1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验不等式的证明过程需要从理性的角度去思考，通过设置思考项，让学生探究，层层铺设，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；
3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.
教学重点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式
2
b a ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达； 3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
教学难点
1.利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式
2
b a ab +≤； 2.对不等式证明过程的严谨而又规范的表达；
3.从不等式的证明过程去体会分析法与综合法的证明思路.
投影仪、胶片、三角板、刻度尺
导入新课
师 前一节课，我们通过问题背景，抽象出了不等式a 2+b 2≥2ab (a 、b ∈R)，
然后以数形结合思想为指导，从代数、几何两个背景推导出基本不等式
2b a ab +≤.本节课，我们将利用基本不等式2
b a ab +≤ 来尝试证明一些简单的不等式.
(此时，老师用投影仪给出下列问题)
推进新课 问题1.已知x 、y 都是正数，求证： (1)2≥+y
x x y ； (2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同
学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此
不等式呢？
（思考两分钟）
生 不可以证明.
师 是否可以用基本不等式证明呢？
生 可以.
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）
解：∵x 、y 都是正数，∴0＞y x ，0＞x y .∴22=•≥+x
y y x x y y x ，即2≥+x
y y x . 师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？
（齐声：完成）
［合作探究］
师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式
就能证明呢？
（引导同学们积极思考）
生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质.
师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到
位.
生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，
x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）
≥2xy ·222y x ·2
22y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.
师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到.
（在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视）
师 在运用定理：ab b a ≥+2
时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条
件)进行变形，进而可以得证.
(此时，老师用投影仪给出下列问题)
问题3.求证：2
)2(2
22b a b a +≤+.
（此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思
维空间切实留给学生）
师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证
明本题的关键.
（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）
解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）
≥（a ＋b ）2.
不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2
(b a +，即2)2(2
22b a b a +≤+. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？
生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.
师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完
成.
［课堂练习］
1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.
分析：对于此类题目，选择定理：
ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.
∵a 、b 、c 都是正数，
∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞0.
∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab c,
即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.
［合作探究］
2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：
2≥--+--y x b a b a y x . （老师先分析，再让学生完成）
师 本题结论中，注意y
x b a b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故此题应从已知条件出发，
经过变形，说明y
x b a b a y x ----与为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程)
生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）,
∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx .
∴ax －ay ＋by －bx ＞0.
∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0.
∴（a －b ）（x －y ）＞0,
即a －b 与x －y 同号.
∴y
x b a b a y x ----与均为正数. ∴
22=--•--≥----y x b a b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当y x b a b a y x --=--时取“＝”).
∴2≥--+--y
x b a b a y x . 师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就
可以了.而运用定理：“2
b a +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分解)，从讨论因式乘积的符号来判断
y
x b a b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.
课堂小结 师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么
收获呢？
生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并
且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对
重要、常用不等式的掌握要求）
师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数
（2
b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab b a ≥+证明了一些
不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求
a 、
b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要
工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形
来解决问题：222b a ab +≤，2)2
(b a ab +≤. 师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为
下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.
布置作业
课本第116页，Ｂ组第1题.
基本不等式2
b a ab +≤的应用（一） 复习引入 例1 方法归纳
基本不等式 例2 2
b a ab +≤ 方法引导 小结 实例剖析（知识方法应用）
示范解题
利用基本不等式证明一些简单不等式，巩固强化基本不等式2b a ab +≤
.以数学知识为载体，对学生的逻辑思维能力，各种思想方法的掌握，进而提高学生的数学素质与数学素养，这是高中数学教学的一项主要任务.在本节课的教学过程中，对一些不等式的证明不是直接
给出，而是以设问方式的变化，引导学生思考，通过由特殊到一般的探索规律去解决问题.。