2024届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定数学高一第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届上海市长宁、青浦、宝山、嘉定数学高一第二学期期末统
考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示，PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面，C 为圆上异于A B ，的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）
A ．PA BC ⊥
B ．B
C ⊥平面PAC C ．AC PB ⊥
D ．PC BC ⊥
2．等比数列{}n a 中，122a a =，2416a a =，则公比q 等于（ ） A ．2
B ．3
C 48
D ．3243．若直线1:2l y x a =-+与直线2
2:(2)2l y a x =--平行,则a =
A ．1
B ．1-
C ．3±
D ．±1
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，若对任意*N n ∈，都有
()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．[]2,3
C ．92,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．92,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
5．函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则
A ．2sin(2)6
y x π
=-
B ．2sin(2)3
y x π
=-
C ．2sin(+)6y x π
=
D ．2sin(+)3
y x π
=
6．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2--
B ．()1,2-
C ．()1,2-
D ．()1,2
7．如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．34
B ．42
C ．54
D ．72
8．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．12
B ．
56 C ．76
D ．712
9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）
A ．满足2λμ+=的点P 必为C
B 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个
C ．λμ+的最小值不存在
D ．λμ+的最大值为3
10．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，那么a 4的值为( )． A ．4
B ．8
C ．15
D ．31
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．过点(0,2)A ，且与直线10x y ++=垂直的直线方程为 ．
12．函数1
()arccos (
1)2
f x x x =<<的值域是__________. 13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a c b
b c a c
-=-+，则角A =________. 14．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个表面积为S 的球，若
1,6,8,3AB BC AB BC AA ⊥===，则S 的最大值是_______.
15．体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于________.
16．一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知圆2
2
:20C x y Dx Ey +++-=关于直线0x y -=对称，半径为2，且圆心C 在第一象限．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线:340(0)l x y m m -+=>与圆C 相交于不同两点M 、N ，且
MN CM CN =+，求实数m 的值．
18．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1
2
AB AD BC ==
．
（Ⅰ）求证：//AD 平面BCEF ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面CDE ；
（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点M ，使得//CE 平面AMF ？若存在，求出BM
DM
的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，
2AB =，1BC EF ==，6AE =，3DE =，60BAD ∠=︒，G 为BC 的中点．
（1）求证：//FG 平面BED ； （2）求证：平面BED ⊥平面AED .
20．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且
公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
21．已知等差数列{}n a 中，1a 与5a 的等差中项为11，28a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）令()13n n n b a a =
-，求证：数列{}n b 的前n 项和1
6
n T <.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、C 【解题分析】
由PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，再由BC AC ⊥，得到BC ⊥平面PAC ，进而得到PC BC ⊥，即可判断出结果. 【题目详解】
因为PA 垂直于以AB 为直径的圆O 所在的平面， 即PA ⊥平面ABC ，得PA BC ⊥，A 正确； 又C 为圆上异于A B ，的任一点，所以BC AC ⊥，
BC ∴⊥平面PAC ，BC PC ∴⊥，B ，D 均正确.
故选C. 【题目点拨】
本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型. 2、A 【解题分析】
由题意利用等比数列的通项公式，求出公比q 的值． 【题目详解】
解：等比数列{}n a 中，122a a =，2416a a =，∴3241216
2
a a q a a ==，则公比2q ，
故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题． 3、A 【解题分析】
由题意，直线12l l //，则221
22
a a ⎧-=-⎨≠-⎩，解得1a =，故选A.
4、B 【解题分析】
011
111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11221244133212n
n
n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫
⎝⎭-- ⎪⎝⎭
()143n p S n ≤-≤
即22113332n p ⎛⎫
⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤ 当3n =时，
4
43
p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤ 故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果 5、A 【解题分析】
试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T π
ππ=--=，所以22πωπ
==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(
,2)3
π
，所以22sin(2)3
π
ϕ=⨯
+，所以
2sin(
)13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6
π
ϕ=-，所以2sin(2)6
y x π
=-，故选A.
【考点】 三角函数的图像与性质
【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值． 6、B 【解题分析】
根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m 的值． 【题目详解】
()()21250m x m y -+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y ++-++=恒过定
点，由20,250,x y x y +=⎧⎨-++=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=-⎩
即直线()()21250m x m y -+++=恒过定点
()1,2-.
【题目点拨】
本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键． 7、C 【解题分析】
还原几何体得四棱锥E ﹣ABCD ，由图中数据利用椎体的体积公式求解即可. 【题目详解】
依三视图知该几何体为四棱锥E ﹣ABCD ，如图，ABCD 是直角梯形，是棱长为6的正方体的一部分，梯形的面积为：，
几何体的体积为：．
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和补形是解题的关键，考查空间想象能力． 8、B 【解题分析】
分析：初始化数值1,1k s ==，执行循环结构，判断条件是否成立， 详解：初始化数值1,1k s ==
循环结果执行如下：
第一次：1
11
1(1),2,2322
s k k =+-⋅
===≥不成立； 第二次：2115(1),3,33236
s k k =+-⋅===≥成立， 循环结束，输出5
6
s =，
故选B.
点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数. 9、D 【解题分析】
试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为
(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得
(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμ
μ
=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时
0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，
，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以
13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，
此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当
2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两
个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．
考点：向量的坐标运算．
【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这
一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 10、C 【解题分析】 试题分析：
，
，
，故选C.
考点：数列的递推公式
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、20x y -+= 【解题分析】
直线垂直表示斜率乘积为-1，所以可得新直线斜率1k =，代入点(0,2)A 即可． 【题目详解】
直线10x y ++=的斜率等于-1，所以与之垂直直线斜率1k =，再通过点斜式直线方程：
21(0)y x -=⨯-，即20x y -+=．
【题目点拨】
此题考查直线垂直，直线垂直表示两直线斜率之积为-1，属于简单题目．
12、(0 )3
π
，
【解题分析】
根据反余弦函数的性质，可得函数()arccos f x x =在1
(,1)2
单调递减函数，代入即可求解． 【题目详解】
由题意，函数()arccos f x x =的性质，可得函数()arccos f x x =在1(,1)2
单调递减函数，
又由1arccos10,arccos
23π==，所以函数()arccos f x x =在1(,1)2
的值域为(0,)3π
．
故答案为：(0,)3
π
.
【题目点拨】
本题主要考查了反余弦函数的单调性的应用，其中解答中熟记反余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 13、
3
π
【解题分析】
根据a c b b c a c
-=-+得222b c a bc +-=，利用余弦定理即可得解. 【题目详解】 由题：
a c
b b
c a c -=-+，222a c b bc -=-，222b c a bc +-=， 由余弦定理可得：2221cos 22
b c a A bc +-==， ()0,,3A A ππ∈=
. 故答案为：3
π 【题目点拨】
此题考查根据余弦定理求解三角形的内角，关键在于熟练掌握余弦定理公式，准确计算求解.
14、9π
【解题分析】
根据已知可得直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为
32，代入球的表面积公式，即可求解.
【题目详解】
由题意，因为,6,8AB BC AB BC ⊥==，所以10AC =,
可得ABC ∆的内切圆的半径为6826810
⨯==++r ， 又由13AA =，故直三棱柱111ABC A B C -的内切球半径为32R =
， 所以此时S 的最大值为22
344()92S R πππ==⋅=.
故答案为：9π.
【题目点拨】 本题主要考查了直三棱柱的几何结构特征，以及组合体的性质和球的表面积的计算，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
15
【解题分析】
由体积为8的一个正方体，棱长为2a =，全面积为2624S a ==，
则2244R π=，R =
球的体积为343V R π==，故答案为π
. 考点：正方体与球的表面积及体积的算法.
16、8π3
【解题分析】
该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为
318π2π1π2(m )33
⨯⨯⨯+⨯=. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）22
(1)(1)4x y -+-=；（Ⅱ）1.
【解题分析】 （Ⅰ）由题得D E =和22+844
D E +=，解方程即得圆的方程；（Ⅱ）取MN 的中点P ，
则||2||CM CN CP +=，化简得
|1|5m -m 的值. 【题目详解】
（Ⅰ）由22:20C x y Dx Ey +++-=，得圆C 的圆心为(,)22
D E C -
-， 圆C 关于直线0x y -=对称，D=E ∴①．
圆C 的半径为2，∴22+844D E +=② 又圆心C 在第一象限，0D ∴<，0E <，由①②解得，2D E ==-，
故圆C 的方程为22222220(1)(1)4x y x y x y +--=∴-+--=，
． （Ⅱ）取MN 的中点P ，则||2||CM CN CP +=，
2222||=2||2||||||||=2==4||||MN CP MP CP MP CP CP CP ∴⇒⇒⇒-，
2
=2||||2=CP CP ⇒∴，即
|1|5
m -0m >，解得1m ． 【题目点拨】
本题主要考查圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系和向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析
【解题分析】
（Ⅰ）转化为证明//AD EF ；（Ⅱ）转化为证明BD CD ⊥，BD DE ⊥；（Ⅲ）根据线面平行的性质定理.
【题目详解】
（Ⅰ）因为四边形ADEF 为正方形，所以//AD EF ，由于EF ⊂平面BCEF ， AD ⊄平面BCEF ，所以//AD 平面BCEF .
（Ⅱ）因为四边形ADEF 为正方形，
所以DE AD ⊥.平面ADEF ⊥平面ABCD ，
平面ADEF 平面ABCD AD =，
所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥.
取BC 中点N ，连接DN .由//BN AD ，BN AD =，90BAD ∠=︒，
可得四边形ABND 为正方形.
所以DN AB =.所以12DN BC =
.所以BD CD ⊥. 因为CD DE D =，所以BD ⊥平面CDE . （Ⅲ）存在，当M 为BD 的中点时，//CE 平面AMF ，此时
1BM DM =. 证明如下：
连接AN 交BD 于点M ，由于四边形ABND 为正方形，
所以M 是BD 的中点，同时也是AN 的中点.
因为,//NC AD NC AD =，又四边形ADEF 为正方形，
所以,//NC FE NC FE =，
连接NF ，所以四边形NCEF 为平行四边形.
所以//CE NF .又因为NF ⊂平面AMF ，CE ⊄平面AMF ，
所以//CE 平面AMF .
【题目点拨】
本题考查空间线面的关系.线面关系的证明要紧扣判定定理，转化为线线关系的证明.
19、（1）见解析（2）见解析
【解题分析】
（1）取BD 中点O ，连接OE ，OG ，利用三角形中位线定理，结合已知，可以证明出四边形OGFE 为平行四边形，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理可以证明出//FG 平面BED ；
（2）在ABD ∆中，利用余弦定理可以求出BD 的值，利用勾股定理的逆定理可以得BD AD ⊥，由平面AED ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理，可以得到BD ⊥平面AED ，最后利用面面垂直的判断定理可以证明出平面BED ⊥平面AED .
【题目详解】
（1）取BD 中点O ，连接OE ，OG ，在BCD ∆中，因为G 是BC 中点
所以//OG DC 且112OG DC =
= 又因为//EF AB ，AB DC ，所以//EF OG
且EF OG =，即四边形OGFE 为平行四边形，
所以//FG OE ，又FG ⊂/平面BED ，OE ⊂平面BED
//FG 平面BED .
（2）在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=︒
由余弦定理得，3BD =
进而由勾股定理的逆定理得BD AD ⊥
又因为AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，又因为AED
平面ABCD AD = 所以BD ⊥平面AED
又BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED
【题目点拨】
本题考查了线面平行、面面垂直的证明，考查了线面平行的判断定理、面面垂直的性质定理和判定定理，考查了推理论证能力. 20、（1）32n a n =-，2n n b =，*
n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.
【解题分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【题目详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q ，
∴2n
n b =， {}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=， ∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，②
①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯+
+⨯--⨯ 1218(14)86(62)214
n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--， ∴14(32)83
n n n T +-+=． 【题目点拨】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
21、（1）32n a n =+（2）见解析
【解题分析】
（1）利用1a 和d 表示出15a a +和2a ，解方程求得1a 和d ；根据等差数列通项公式求
得结果；（2）整理出{}n b 的通项公式，利用裂项相消法可求得n T ，根据n *∈N 可证得结论.
【题目详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d
则1512
124112228a a a d a a d +=+=⨯=⎧⎨=+=⎩，解得：153a d =⎧⎨=⎩ ()()1153132n a a n d n n ∴=+-=+-=+
（2）由（1）知：()()()111113323133132n n n b a a n n n n ⎛⎫===- ⎪-+--+⎝⎭ 111111111111325358381133132n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111111111111132558811313232326332n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭
n N *∈ ()10332n ∴>+ ()11163326n ∴-<+，即16n T < 【题目点拨】
本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和；关键是能够将需求和的数列的通项裂为可前后抵消的形式，加和可求得结果，属于常考题型.。