江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年高一下学期期中学情调研数学试题

2020-2021学年江苏省盐城市阜宁县高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1或2D．﹣1
2．cos555°的值是（）
A．+B．﹣（+）C．﹣D．﹣
3．已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量＝，则||＝（）A．1B．C．D．2
4．已知，则＝（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝（）
A．B．C．D．
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（）A．﹣B．C．0D．
7．若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）
A．B．C．1D．
8．已知复数z满足z＝4且z++|z|＝0，则z2019的值为（）
A．﹣1B．﹣2 2019C．1D．2 2019
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（）
A．B．
C．D．
10．锐角三角形ABC中三个内角分别是A，B，C且A＞B，则下列说法正确的是（）
A．sin A＞sin B B．cos A＞cos B C．sin A＞cos B D．sin B＞cos A 11．下列说法正确的是（）
A．若，，则
B．若2＝，则＝
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与反向
D．若，则存在唯一实数λ使＝
12．欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为i
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．若复数z满足|z﹣2|≤1，则|z+1﹣i|的最大值减最小值为．
14．如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是．
15．已知向量＝（﹣2，3），，向量的起点为A（1，2），终点B在y轴上，则点B的坐标为．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在①＜0，②复平面内表示z1，z2的点在函数y＝﹣x﹣2上，③z2+＝﹣2．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数z1＝1+i，z2＝a+2i（a∈R），____．若＝，求复数z．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+a＝c．（1）求B的大小；
（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．
19．（1）求的值；
（2）已知α，β均为锐角，且cosα＝2，cosβ＝，求α﹣β的值．
20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若c cos B+b cos C＝2a cos A，＝，且AM＝1．
（1）求角A的值．
（2）求b+2c的最大值．
21．我县某农业园有一块用地，准备栽种玫瑰花，其平面图如图所示，其中OEBD是半径为1百米的扇形，圆心角为，E为OA中点，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∠AOB＝θ．
（1）当θ＝时，求O，C两点间的距离；
（2）现在△OAB与△ABC的区域内分别种植紫玫瑰和红玫瑰，其中紫玫瑰每平方百米的费用是红玫瑰的2倍，问当θ为何值时，种植这两种玫瑰花的总费用最大？
22．在△ABC中，满足：⊥，M是BC的中点．
（Ⅰ）若||＝||，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．2C．1或2D．﹣1
【分析】由复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，知a2﹣3a+2＝0，且a﹣1≠0，由此能求出结果．
解：∵若复数（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，
∴a2﹣3a+2＝0，且a﹣1≠0，
∴a＝2，
故选：B．
2．cos555°的值是（）
A．+B．﹣（+）C．﹣D．﹣
【分析】由于555°＝360°+195°，195°＝180°+15°，利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求得cos555°的值．
解：∵cos555°
＝cos（360°+195°）
＝cos195°
＝﹣cos15°
＝﹣cos（45°﹣30°）
＝﹣•﹣•
＝﹣．
故选：B．
3．已知，是非零向量，且向量，的夹角为，若向量＝，则||＝（）A．1B．C．D．2
【分析】运用向量的平行四边形法则可得结果．
解：根据题意得，表示方向上的单位向量，由平行四边形法则得，2＝1+1﹣2×1×1×cos＝3，
故选：C．
4．已知，则＝（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】设＝（x，y），由向量相等可建立关于x，y的方程组，解之可得向量，由数量积的定义可得答案．
解：设＝（x，y），则＝（2﹣x，4﹣y）＝（3，1），
故可得，解得，即＝（﹣1，3），
故＝1×（﹣1）+2×3＝5
故选：D．
5．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝（）
A．B．C．D．
【分析】运用平行四边形法则和平面向量基本定理可得结果．
解：根据题意得，＝（+）
而＝+＝+
∴＝（+）＝+＝﹣+；
故选：B．
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC＝（）A．﹣B．C．0D．
【分析】由题意利用勾股定理可求AC的值，又D为AC的中点，可求得BD＝CD＝5，在△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC的值．
解：因为Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
所以AC＝＝＝10，
又D为AC的中点，
可得BD＝CD＝5，
所以在△BDC中，由余弦定理可得cos∠BDC＝＝＝．故选：B．
7．若tanα＝，则cos2α+2sin2α＝（）
A．B．C．1D．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
解：∵tanα＝，
∴cos2α+2sin2α＝＝＝＝．
故选：A．
8．已知复数z满足z＝4且z++|z|＝0，则z2019的值为（）
A．﹣1B．﹣2 2019C．1D．2 2019
【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），由已知列关于a，b的方程组求得a，b，得到z，结合z3＝1求解．
解：设z＝a+bi（a，b∈R），
由z＝4且z++|z|＝0，得
，解得a＝﹣1，b＝．
∴z＝＝，
而+
＝1，
×．
∴＝．
故选：D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）
9．对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为（）
A．B．
C．D．
【分析】由菱形图象可知这两个向量不相等，判断A错误；但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到B正确；
把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，判断C正确，根据菱形的定义判断D错误即可．
解：如图示：
由菱形图象可知A错误；
这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知它们的模长相等，得到B正确；
把第三个结果中的向量减法变为加法，等式两边都是二倍边长的模，得到C正确；
由菱形的定义知：+＝+＝﹣，故D正确，
故选：BCD．
10．锐角三角形ABC中三个内角分别是A，B，C且A＞B，则下列说法正确的是（）A．sin A＞sin B B．cos A＞cos B C．sin A＞cos B D．sin B＞cos A 【分析】由正弦定理可判断选项A；由余弦函数的单调性可判断B；由锐角三角形可得A+B＞，再由正弦函数和余弦函数的单调性可判断C，D．
解：锐角三角形ABC中三个内角分别是A，B，C且A＞B，
可得a＞b，
由正弦定理可得sin A＞sin B；
由余弦函数的单调性可得cos A＜cos B；
又A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，
所以sin A＞sin（﹣B）＝cos B；
cos A＜cos（﹣B）＝sin B．
故ACD正确，B错误．
故选：ACD．
11．下列说法正确的是（）
A．若，，则
B．若2＝，则＝
C．两个非零向量，，若||＝||+||，则与反向
D．若，则存在唯一实数λ使＝
【分析】根据题意，对选项中的命题分析、判断真假性即可．
解：对于A，当＝时，若，，则不一定成立，选项A错误；
对于B，因为2＝，所以3+3＝﹣＝，
即3（+）＝，如图所示：
设边AC的中点为M，则6＝，
设△ABC边AC上的高为h，△AOC边AC上的高为h′，
则＝＝＝＝，选项B正确；
对于C，两个非零向量，，满足||＝||+||，则与反向共线，选项C正确；
对于D，当，且≠时，存在唯一实数λ使＝，所以选项D错误．
故选：BC．
12．欧拉公式e xi＝cos x+i sin x（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．为纯虚数
C．复数的模长等于
D．的共轭复数为i
【分析】对于A，e2i＝cos2+i sin2，根据2∈（，π），即可判断出；对于BCD，根据欧拉公式e xi＝cos x+i sin x逐项计算，然后判断正误即可．
解：对于A，由于e2i＝cos2+i sin2，
∵2∈（，π），
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；
对于B，＝cos+i sin＝i，可得为纯虚数，故B正确；
对于C，＝＝＝+i，
可得其模的长为＝，故C正确；
对于D，＝cos+i sin＝+i，可得的共轭复数为﹣i，故D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．若复数z满足|z﹣2|≤1，则|z+1﹣i|的最大值减最小值为2．
【分析】根据已知条件，结合复数的几何含义，即可求解．
解：∵|z﹣2|＝1，
∴z在复平面内对应点轨迹是圆心为（2，0），半径为1的圆，
∵|z+1﹣i|表示复数点到（﹣1，1）距离，
又∵圆心（2，0）到（﹣1，0）的距离为，
∴，，
∴d max﹣d min＝．
故答案为：2．
14．如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从
建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是．
【分析】首先分析题目求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角，考虑到用三角形中的余弦定理分别解出每个边，再根据三角形中由各边求夹角的公式求解即可．
解：由图知直角三角形ABD中AB＝20m，BD＝60m，
由余弦定理则AD＝20 m，
同理易得AC＝30 m，
在△ACD中，由余弦定理知：
cos∠CAD＝，
得A＝．
故答案为．
15．已知向量＝（﹣2，3），，向量的起点为A（1，2），终点B在y轴上，则点B的坐标为．
【分析】根据题意，设B的坐标为（0，t），可得＝（﹣1，t﹣2），由向量平行的坐标表示方法可得关于t的方程，解可得答案．
解：根据题意，设B的坐标为（0，t），则＝（﹣1，t﹣2），
若向量＝（﹣2，3），，则有（﹣1）×3＝（﹣2）（t﹣2），
解可得：t＝；
故答案为：．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9．
【分析】先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．
解：如图，
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD 的边长为2，∠A＝60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．
设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．
因为，＝（x，y），则＝2x+y，
令z＝2x+，则，
由图象可得当目标函数z＝2x+y过点C（3，）时，z＝2x+y取得最大值，此时＝9．
故答案为9．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在①＜0，②复平面内表示z1，z2的点在函数y＝﹣x﹣2上，③z2+＝﹣2．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数z1＝1+i，z2＝a+2i（a∈R），____．若＝，求复数z．
【分析】选择①，根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
选择②，根据已知条件，结合复数的运算法则和复数的几何意义，即可求解．
选择③，根据已知条件，结合复数的运算法则和共轭复数的概念，即可求解．
解：选择①，∵z1＝1+i，
∵，
又∵＜0，
∴，解得a＝﹣1，
∴z2＝﹣1+2i，
∴＝＝．
选择②，∵复数z1＝1+i，z2＝a+2i，
∴z1z2＝a﹣2+（a+2）i，在复平面上表示的点为（a﹣2，a+2），
∵复平面内表示z2的点在函数y＝﹣x﹣2上，
∴a﹣2+（a+2）+2＝0，解得a＝﹣1，
∴z2＝﹣1+2i，
∴＝＝．
选择③，∵z2＝a+2i，
∴，
∵z2+＝﹣2，
∴a+2i+a﹣2i＝﹣2，解得a＝﹣1，
∴z2＝﹣1+2i，
∴＝＝．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos A+a＝c．（1）求B的大小；
（2）若c＝，a+b＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A＝sin A cos B，结合sin A≠0，可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理可得a2﹣b2+3＝3a，结合a+b＝2，解得a＝b＝1，利用三角形的面积公式即可计算得解．
解：（1）∵b cos A+a＝c，
∴由正弦定理可得sin B cos A+sin A＝sin C，
又sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，
∴sin A＝sin A cos B，
∵sin A≠0，
∴cos B＝，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
（2）∵B＝，c＝，
∴由余弦定理可得cos B＝＝，整理可得a2﹣b2+3＝3a，
又a+b＝2，解得a＝b＝1，
∴S△ABC＝ac sin B＝＝．
19．（1）求的值；
（2）已知α，β均为锐角，且cosα＝2，cosβ＝，求α﹣β的值．
【分析】（1）直接利用角的变换的应用求出三角函数的值，
（2）直接利用角的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．
解：（1）＝＝
；
（2）已知α，β均为锐角，且cosα＝2，cosβ＝，
所，，
所以β＞α，
故cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，
由于，，
所以，且β＞α，
故，
所以．
20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若c cos B+b cos C＝2a cos A，＝，且AM＝1．
（1）求角A的值．
（2）求b+2c的最大值．
【分析】（1）由正弦定理和诱导公式，计算可得所求角；
（2）由向量共线定理可得M是BC上靠近B的三等分点，BM＝a，CM＝a，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求最大值．
解：（1）因为c cos B+b cos C＝2a cos A，
由正弦定理可得sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos A，
即有sin（C+B）＝sin A＝2sin A cos A，
因为sin A≠0，所以cos A＝，
而0＜A＜π，可得A＝；
（2）由＝，且AM＝1，可得M是BC上靠近B的三等分点，
因此BM＝a，CM＝a，
因为∠AMC与∠AMB互补，可得cos∠AMB+cos∠AMC＝0，
在△AMB和△AMC中，
由余弦定理可得+＝0，
化简可得2a2＝3b2+6c2﹣9，①
而在△ABC中，有a2＝b2+c2﹣bc，②
由①②消去a，可得b2+4c2+2bc＝9，即（b+2c）2﹣2bc＝9，
又2bc＝b（2c）≤（）2＝（b+2c）2，
则（b+2c）2≤9，即有b+2c≤2，
当且仅当b＝2c＝，a＝，取得最大值2．
21．我县某农业园有一块用地，准备栽种玫瑰花，其平面图如图所示，其中OEBD是半径为1百米的扇形，圆心角为，E为OA中点，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∠AOB＝θ．
（1）当θ＝时，求O，C两点间的距离；
（2）现在△OAB与△ABC的区域内分别种植紫玫瑰和红玫瑰，其中紫玫瑰每平方百米的费用是红玫瑰的2倍，问当θ为何值时，种植这两种玫瑰花的总费用最大？
【分析】（1）在△ABO中，由余弦定理求出AB，AC，在△ABO中，由正弦定理求出∠OAB，在△OAC中，由余弦定理求解OC即可；
（2）设种植这两种玫瑰花的经济总价值为y，种植红玫瑰每平方百米的经济价值是k，则种植紫玫瑰每平方百米的经济价值是2k，表示出△ABC的面积，求出y的表达式，利用三角函数的性质求解最值即可．
解：（1）在△ABO中，由余弦定理可得AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cosθ，
因为OA＝2，OB＝1，θ＝，
所以AB＝，AC＝，
在△ABO中，由正弦定理可得，∠OAB＝，则∠OAB＝，
在△OAC中，由余弦定理可得，OC2＝OA2+AC2﹣2OA•AC•cosθ＝；
（2）设种植这两种玫瑰花的经济总价值为y，种植红玫瑰每平方百米的经济价值是k，则种植紫玫瑰每平方百米的经济价值是2k，
，
在△ABO中，由余弦定理可得，AB2＝OA2+OB2﹣2OA•OB•cosθ＝5﹣4cosθ，
所以AC2＝5﹣4cosθ，
则，
故y＝（2sinθ+）＝，
由题意可得，，
则当且仅当时，y取得最大值，
所以当时，种植这两种玫瑰花的总费用最大．
22．在△ABC中，满足：⊥，M是BC的中点．
（Ⅰ）若||＝||，求向量+2与向量2+的夹角的余弦值；
（Ⅱ）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值．【分析】（I）利用向量的数量积公式变形，设向量+2与向量2+的夹角为θ，得到cosθ的值；
（II）通过解三角形求出AM的长，设OA的长度为x，得到OM＝1﹣x，利用向量的平行四边形法则得到，利用向量的数量积公式将表示为x的函数求最值．
解：（I）设向量+2与向量2+的夹角为θ，
∴cosθ＝，
设||＝||＝a，∵⊥，
∴cosθ＝；
（II）∵，
∴||＝1
设||＝x，则||＝1﹣x，而，
∴＝＝2||||cosπ＝﹣2x（1﹣x）＝2x2﹣2x ＝2（x﹣）2﹣，
当且仅当x＝时，的最小值是．。