高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》真题汇编附答案

【最新】数学《不等式选讲》试卷含答案
一、14
1．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…
；②a b a b -<+；③
2(0)b a
ab a b
+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1
log 10lg lg 2(1)lg x x x x x
+=
+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③
，a b =时等号成立.正确
④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】
本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.
2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}
15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）
A ．{}06a a ≤≤
B ．{}64a a a ≤≥或
C ．{}06a a a ≤≥或
D ．{}24a a ≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。

【详解】
由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是
{}06a a a ≤≥或，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

3．已知()2
3f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．()()33f x f a a -≤+
B ．()()5f x f a a -≤+
C ．()()24f x f a a -≤+
D ．()()()
2
31f x f a a -≤+
【答案】C 【解析】 【分析】
先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】
由()2
3f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以
()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得
232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.
4．若关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．(],0-∞
C ．(],1-∞
D ．(]
,5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到
22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得
到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】
关于x 的不等式2
2
2213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2
2
22221
221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥
21t =--，
所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得11
5
t ≤≤-
， 所以01t <≤，
综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】
本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.
5．不等式2
124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3
【答案】C 【解析】 【分析】
令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得
()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
令()12f x x x =+--，
当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；
当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.
∵不等式2
124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2
min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.
故选C. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．
6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1≤m≤2
B ．1≤m<2
C ．1<m≤2
D ．1<m<2
【答案】B 【解析】 【分析】
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】
若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命
题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，1
2m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，1
2m m ≥⎧⎨<⎩
，即 12m ≤<，故选B.
【点睛】
本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.
7．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤
C ．{|14}x x x ≤-≥或
D ．{|4}x x ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】
因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.
8．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )
A ．a ＋＋1)
B ．a ＋＋1
C ．a －1)2
D ．a ＋b ＞＋1)
【答案】A 【解析】 【分析】
2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以1
4
(a ＋b)2－(a ＋b )≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】
2a b +.所以ab≤1
4
(a ＋b)2. 所以
1
4
(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.
因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋ 故答案为：A 【点睛】
本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围。

【详解】
解：由绝对值不等式的性质可得，
||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„，
即|1||2|3x x +---…. 因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C 。

【点睛】
本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键。

10．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1 B ．
13
C ．
12
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
利用柯西不等式得出(
)()()2
222
2
22111
x
y z x y z ++++≥++，于此可得出222
x y z ++
的最小值。

【详解】
由柯西不等式得(
)()()2
222
2
222111
11x
y z x y z ++++≥++==，则22213
x y z ++≥
，
当且仅当13x y z ===时，等号成立，因此，222
x y z ++的最小值为13
，故选：B.
【点睛】
本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。

11．已知函数()222,2
log 1,2
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨->⎩，设12116n x x x ≤<<<≤L ，若
()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-++-≤L ，则M 的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
作出函数的图象，由已知分段函数求得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =，等价于12231max [|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-，再求出不等式右边的最
大值即可得M 的最小值． 【详解】
由222,2
()log 1,2
x x x f x x x ⎧-+=⎨->⎩„，得f （1）1=，f （2）0=，(16)3f =．
12116n x x x <<⋯<Q 剟，
12231|()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x -∴-+-+⋯+-… 12231max
[|()()||()()||()()|]n n M f x f x f x f x f x f x -∴≥-+-+⋯+-12231|()()||()()||()()||(1)(2)||(2)(16)=|10||30|4
n n f x f x f x f x f x f x f f f f --+-+⋯+-≤-+--+-=
∴4M ≥． 则M 的最小值为4． 故选：B ． 【点睛】
本题考查分段函数及其应用，考查三角绝对值不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
12．已知,,x y z ∈R ，2221x y z ++=，则22x y z ++的最大值为（ ） A ．9 B ．3 C ．1 D ．27
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知2
2
2
1x y z ++=，可利用柯西不等式
2222222()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++，构造柯西不等式，即可求解．
【详解】
由已知，可知,,x y z ∈R ，2
2
2
1x y z ++=，
利用柯西不等式2
2
2
2
2
2
2
()()()a b c e f g ae bf cg ++++≥++， 可构造得2
2
2
2
2
2
2
(122)()(22)x y x x y z ++++≥++， 即2
(22)9x y z ++≤，所以22x y z ++的最大值为3，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，其中解答中熟记柯西不等式，合理构造柯西不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
13．不等式2
1x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5a ≤
B ．5
54a -≤≤
C ．5
74
a -≤≤
D ．7a ≤
【答案】A 【解析】 【分析】
原不等式等价于2
10x x a ---<，设()2
1f x x x a =---，则由题意得
()()350
370
f a f a ⎧-=-≥⎪⎨
=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式2
1x x a <-+的
解集是区间()3,3-的子集，所以()()350
370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩
，解之得5a ≤.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.
14．“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
设:31p a -<<，1:,|||2x R x a x q ∃∈-++<，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】
设:31p a -<<，||:|1|2q x a x -++<，
当31a -<<时，|||1|1x a x a -++≥+总成立，而12a +<， 故|||1|2x a x -++<在R 上有解，故,|||1|2x R x a x ∃∈-++<， 所以“若p 则q ”为真命题.
若,|||1|2x R x a x ∃∈-++<，则()
min
21
x a x >-++，
由绝对值不等式可知11x a x a -++≥+，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立， 所以1x a x -++的最小值为1a +，
故21a >-即31a -<<，所以“若q 则p ”为真命题.
综上，“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的充要条件. 故选：C. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”
是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则
p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不
充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
15．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）
A ．集合P 是集合Q 的真子集
B ．集合Q 是集合P 的真子集
C ．P Q =
D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<Q ，
∴当0x „时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<„；
当01x <„时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；
当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．
{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<， P Q ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤ C ．12a -≤≤ D ．22a -≤≤
【答案】B 【解析】 【分析】
解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.求函数
()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）
代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】
解:解法一:（换元法）
设sin t x =,则原不等式可化为2
2||||t t a a +-≥.
令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,
从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）
当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .
当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】
本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.
17．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有
,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的
函数()=3f x mx --，且()f x 为[
)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）
A ．[]0,1
B ．[)1+∞，
C ．(],0-∞
D ．][()
,01,-∞⋃+∞ 【答案】D
【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时
633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.
考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.
18．已知(),0A a ，()0,C c ，
2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r
，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）
A 1- B
C 1 D
【答案】C 【解析】 【分析】
设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放
.
【详解】
设(),B x y ，则224a c +=，()2
21x y c +-=，
()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+=+ 取等号条件：ay cx =；
令OB d =
=，则212d d ≤+，得1d ≤.
故选：C.
【点睛】
本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.
19．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．a b a c b c -≤-+-
B ．2212a a +≥
C ．12a b a b -+
≥- D 【答案】C 【解析】
【分析】 A.用a b a b a b -≤±≤+来判断.B.用基本不等式来判断.C.用特殊值当1,2a b ==时来
判断.D.
=
=，再比较. 【详解】 A. 因为-=-+-≤-+-a b a c c b a c b c 恒成立，故正确.
B.因为 2212+≥=a a ，当且仅当221a a =即1a =±时取等号，故正确.
C.当1,2a b ==时，1110-+
=-=-a b a b ，原不等式不成立，故错误.
D.
=
=
>
≤确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了不等式的比较及其应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题.
20．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v
，若非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v ，则（ ）
A ．p v
B ．p v
的最大值为C ．p v
D ．p v
的最大值为【答案】A
【解析】
【分析】 求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v
柯西不等式即可求得其最小值，问题得解．
【详解】 因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v ，
所以23p xa yb zc =++v v v v =()3,23x z y z ++，
又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，
所以p v
=
=
≥==≥= 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立．
即：当且仅当41,,055
x y z ===时，等号成立．
所以p v
， 故选A.
【点睛】 本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．。