高考专题高三数学理科模拟试题.docx

高三数学理科模拟试题
一．选择题（5×12=60分）
1.已知集合{}
2log 0A x x =≥,集合{}
01B x x =<<,则A
B =（ ）
A.}{
0x x > B. }{1x x > C. }{
011x x x <<>或 D. ∅
2．已知复数i
z -=
11
，则z-|z|对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列命题错误的是( )
A. 命题“若02
2
=+y x ，则0==y x ”的逆否命题为“若y x ,中至少有一个不为0则
022≠+y x ”
B. 若命题01,:02
00≤+-∈∃x x R x p ，则01,:2
>+-∈∀⌝x x R x p
C. ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的充要条件
D. 若向量,a b 满足0<⋅b a
，则a 与b 的夹角为钝角
4．已知数列{a n } 满足a 1=1, 且111()(233
n
n n a a n -=+≥, 且n∈N*）, 则数列{ a n } 的通项公式为 （ ）
A ．32
n
n a n =+
B ．2
3n n
n a +=
C ．a n =n+2
D ．a n =（ n+2）·3 n
5. 已知函数)0()sin(2>+=ωθωx y 为偶函数，πθ<<0，其图象与直线2=y 的某两个交点的横坐标为21,x x ，若|12x x -|的最小值为π，则（ ） A . 2
,2πθω=
= B . 4
,21πθω==
C . 2
,21π
θω==
D . 4
,2π
θω=
=
6．若实数x 、 y 满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≥⎩
则z=| x |+2 y 的最大值是 （ ）
A ．1 0
B ．1 1
C ．1 3
D ．1 4
7．下面框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）
A ．k=7
B ．k ≤6
C ．k<6
D ．k>6 8. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 （ ）
A.1
B. 2
C.3
D. 4
9．某宾馆安排A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人入住3个房间, 每个房间至少住1 人, 且A 、 B 不能住同一房间, 则不同的安排方法有（ ）种 A.24 B .48 C.96 D.114
10.已知抛物线y 2
=8x 的焦点为F ，直线y=k(x+2)与抛物线交于A ，B 两点，则直线FA 与直线FB 的斜率之和为
A ．0
B ．2
C ．－4
D ．4
11．已知函数2222012()ln ,(),20132013
2013
ex e e
e
f x a b a b e x =++-若f()+f()++f(
)=503则 的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．9
D ．12
12．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin()0142
1()114
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x
的方程2
[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈，有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．59(,)24--
B ．9(,1)4--
C ．599(,)(,1)244----
D ．5
(,1)2
--
二、填空题：(5×4=20分) 13.如果n x x )1
3(3
2
-
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
3
1
x 的系数是 。

14．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ．
15．已知底面边长为 2, 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积为 。

16．若关于实数x 的方程3ax 2
+2bx+1－a －b=0（a ，b ∈R）的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a+b
的取值范围是 。

17．（本小题满分12分）对于给定数列{a n }，如果存在实常数p,q ，使得a n+1=pa n +q 对于任意n ∈N *
都成立，我
们称数列{a n }是“M 类数列”．
（1）已知数列{b n }是“M 类数列”且b n = 3n 求它对应的实常数p,q 的值；
（2）若数列{c n }满足c 1=-l ，c n - c n+l =2n （n∈N *
），求数列{c n }的通项公式．判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由。

18．（本小题满分1 2分）
第19 2014年我国公布了新的高考改革方案，在招生录取制度改革方面，普通高校逐步推行基于统一高考和高中
学业水平考试成绩的综合评价、多元录取机制，普通高校招生录取将参考考生的高中学业水平考试成绩和职业倾向性测试成绩。

为了解公众对“改革方案”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
(1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若年龄在[15，25），[55，65）的被调查者中赞成人数分别为4人和3人，现从这两组的被调查者中各随机
选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成．．．“．
改革方案”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
在如图所示的空间几何体中，平面⊥ACD 平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2=BE ，BE 和平面ABC 所成的角为︒60，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （1）求证：//DE 平面ABC ；
（2）求二面角A BC E --的余弦值
20．（本小题满分1 2分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的右焦点为F ，离心率为22
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截
得的线段长为2，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程
（Ⅱ）如图所示，设直线l 与圆)21(2
22<
<=+r r y x 、椭圆C 同时
相
切，切点分别为A ，B ，求|AB|的最大值．
21.(本小题满分12分) 设函数().2
1ln 2
bx ax x x f --= （1）当2
1
=
=b a 时，求函数()x f 的单调区间；
第22题
（2）令()()(0212x a bx ax x f x F +++
=＜x ≤)3，其图像上任意一点P ()00,y x 处切线的斜率k ≤2
1
恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）当1,0-==b a 时，方程()mx x f =在区间[]
2
,1e 内有唯一实数解，求实数m 的取值范围。

选做题（在22、23、24三题中任选一题做答） 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲：
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2
． （Ⅰ）求证：EP EF EB CE ⋅=⋅；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程：
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参
数方程为⎩⎨
⎧=+=α
αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2
=．
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：
已知函数|32||12|)(-++=x x x f ． （Ⅰ）求不等式6)(≤x f 的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式2)3(log )(2
2>--a a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
B
D
B
A
D
D
B
D
A
B
C
二、填空题
13、21 14、13
15、π3
16、（- ∞，-1）∪（1，+∞）
17．（本题满分12分）
解：（1）13,3,1,3m n n b n b b p q +=∴=+∴==………………6分 （2）
12()m m n n c c n N +-=∈
12()m
m m m c c n
N +∴-=-∈ 1213212,4,,2(2)
m m n c c c c c c c n ---=--=--=-≥ 1
1(1
242)
12(2),1n n
m c n c -=-++++=-≥=-也满足上式
12(
)n
n m c n N ∴=-∈ 可推得{}1
112
2(12)121,M 12m m n m m c c c ++=-=--=-是为“类数列”，
分
18．解：（1）各组的频率分别是0,1，0,2，0,3，0，2,0，1,0，1，所以图中各组的 标分别是0，01，0，02，0，03，0，02，0，01，0，01
（2）x 的所有可能数值为0，1，2,3
2
23
422556318(0)1010100c c p x c c ====
2211
13
43242222555548(1)100
c c c c c p x c c
c c ==+=
11124324225530(2)100c c c c p x c c +=== 14
22
554(3)100
c p x c c === 所以x 的分布为 x 0
1
2
3
p
18
100 48100 30100
4100
4860126
1005
EX ++∴=
=
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接DO BO ,，则
AC BO ⊥，AC DO ⊥，……………………2分
又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么DO EF //，根据题意，点F 落在BO 上，
∴︒=∠60EBF ，易求得3==DO EF ，…………4分
∴四边形DEFO 是平行四边形，∴OF DE //，∴//DE 平面ABC (6)
分
（Ⅱ）解法一：作BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ， ∵EF ⊥平面ABC ，∴BC EF ⊥，又F FG EF = ，
∴⊥BC 平面EFG ，∴BC EG ⊥，∴EGF ∠就是二面角A BC E --的平面角．…………9分
EFG Rt ∆中，2
1
30sin =
︒⋅=FB FG ，3=EF ，213=EG ．
∴1313cos ==
∠EG FG EGF ．即二面角A BC E --的余弦值为13
13
.………12分 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，可知平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(1=n 设平面BCE 的一个法向量为),,(2z y x n =
则，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
22BE n BC n 可求得)1,3,3(2-=n ．………………9分
所以13
13
||||,cos 212121=⋅⋅>=
<n n n n n n ，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角A BC E --的余弦值为
13
13
．… 20．解（1）设F （C ，0），则
2
2
c a =，知a=2c ，过点F 且与x 轴垂直的直线方程为x=c ，代入椭圆方程有22222
1,222
c y y b b a b +==±
=解得，于是，解得b ＝1， 又2
2
2
,2,1a b c c -==从而a=，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=……4分 （2）依题意直线l 的斜线存在，设直线l ：y ＝kx ＋m
将222
2
2
(12)422022
y kx m k x kmx m x y =+⎧+++-=⎨+=⎩联立得，令△＝0，
22222222164(22)(12)0,2(1)(12)0k m m k k m m k --+=--+=
22222222120k m m k m k --++= 2212m k ∴=+
222
22222
2
2(14)14B 1212(12)12km m k m k OB k k k k -++∴∴==++++切点（,）, 2222222
(1)1m l x y r r m r k k +=∴
==++直线与圆相切，即
由222
2
2
2
2
2
222122(1)11
1212(1)2111
k k m k k r k r k k k ++-=+∴+=+∴===-+++
又22
(1,2),0r k ∈∴>
22222222
2
2
2
222222421412(14)(1)(12)121(12)(1)(12)(1)231
k k k k k k k AB OB r k k k k k k k k ++++-+∴=-=-===
++++++++＝
2211
3221
223
23k k
=-++
+≤
当且仅当4
2
2
21,2
k k ==
即时取等号 21AB ∴-的最大值为
22. （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2
,DEF DEF ∠=∠
∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………2分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠
∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴ED
EP
EF EA =
， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅…………4分 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅．……………………5分
（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2
,2,3==EF DE ∴ 29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE
由（1）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得4
27
=EP .……………………7分
∴4
15=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2
∴)2
9
427(4152
+⨯=
PA ，解得4315=PA ．……………………10分 23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2
= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42
=.……………………5分
（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入x y 42=，得04cos 4sin 2
2=--ααt t .
设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则=
+21t t αα2sin cos 4，=21t t α
2
sin 4
-， ∴=-+=-=212
21214)(t t t t t t AB α
ααα2
242sin 4
sin 16sin cos 16=+， 当2
π
α=时，AB 的最小值为4. ……………………10分
24．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）原不等式等价于
⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-⎪⎩⎪⎨
⎧≤-++>6)32()12(23216)32()12(23x x x x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--
<6)32()12(21x x x 解得：2
112321223-<≤-≤≤-≤<x x x 或或.
即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ． ……………………5分
（Ⅱ）不等式2)3(log )(22>--a a x f 等价于<+-2)3(log 2
2a a |32||12|-++x x ， 因为4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x ，所以)(x f 的最小值为4，
于是42)3(log 2
2
<+-a a 即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-0
430322a a a a 所以01<<-a 或43<<a ．…10分。