高中数学同步教学课件 正弦型函数的性质与图像(一)

知识梳理 知识点一 正弦型函数
一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函 数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0.
正弦型函数的性质
函数
y＝sin(x y＝sin y＝Asin(ωx
y＝Asin x
性质
＋φ) ωx
＋φ)
定义域 __R_
_R__ __R_
__R_
值域 [－__|A_|_，__|A_|] _[_－__1_,1_]_ _[－__1_,_1_]_ [_－__|A__|，__|A__|]_
7.3.2 正弦型函数的 性质与图像（一）
学习目标 1.理解y＝Asin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图像的影响. 掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图像间的变换关系. 2.理解用五点法作图作y＝Asin(ωx＋φ)的ห้องสมุดไป่ตู้像. 3.了解y＝Asin(ωx＋φ)图像的物理意义，能指出振幅、周 期、频率、初相. 4.会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、 值域.
B．y＝sin x－3π
C．y＝sinx－π3
D．y＝sinx＋π3
【解析】y＝sin x―向―右―平―移→π3 y＝sinx－π3.【答案】C
2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，此函 数的解析式为( )
A．y＝2sin2x＋23π C．y＝2sin2x－π3
B．y＝2sin2x＋π3 D．y＝2sin2x－π3
二、伸缩变换 例 2.说明 y＝－2sin2x－π6＋1 的图像是由 y＝sin x 的图 像经过怎样变换得到的．
解：[法一 先伸缩后平移] y＝sin x 的图像―各―点―的且―纵关―坐于―标x―轴伸―作长―对到―称原―变来―换―的―2倍→y＝ －2sin x 的图像―各―点―的―原横―来坐―的标―12缩―短―到→y＝－2sin 2x 的
知识点三 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A，ω，φ的物 理意义 1.振幅： |A| . 2.初相： φ . 3.周期： T＝|2ωπ| .
1 |ω|
4.频率：f＝ T ＝ 2π .
基础自测 1．将函数 y＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度，所得图像
的函数解析式是( )
A．y＝sin x＋3π
D．向右平移π3个单位
【解析】由 y＝sin4x－π3＝sin 4x－1π2得，只需将 y＝ sin 4x 的图像向右平移1π2个单位即可，故选 B. 【答案】B
反思感悟 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不 同则先化为同名函数.再观察x前系数，当x前系数不 为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵 循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为ωφ 个单位.
【解析】由简谐运动的相关概念可知，
A＝41，T＝2ππ＝6，f＝T1＝16，初相 φ＝－1π2.
3
【答案】14
6
1 6
－1π2
题型探究
一、平移变换
例 1.要得到函数 y＝sin 4x－π3的图像，只需将函数 y＝
sin 4x 的图像
()
A．向左平移1π2个单位
B．向右平移1π2个单位
C．向左平移π3个单位
【解析】由图可知，A＝2，T＝251π2＋1π2＝π，所以 ω＝2Tπ＝2， 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点－1π2，2代入 f(x)＝2sin(2x＋φ)， 得 2＝2sin－π6＋φ，∴φ－π6＝2kπ＋π2，k∈Z. 即 φ＝2kπ＋23π，由 k＝0，得 φ＝23π，所以 y＝2sin2x＋23π.
【答案】A
3．简谐振动 y＝12sin4x＋π6的频率和相位分别是 ____________． 【解析】简谐振动 y＝12sin4x＋π6的周期是 T＝24π＝π2， 相位是 4x＋π6，频率 f＝T1＝2π. 【答案】2π，4x＋π6
4.简谐运动 y＝14sinπ3x－1π2的振幅为________，周期为 ________，频率为________，初相为________．
图像上所有点的横坐标 缩短 (当ω＞1时)或伸长(当0＜ω
＜1时)到原来的
1 ω
倍(纵坐标 不变
)而得到的.
3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)
图像上所有点的纵坐标 伸长 (当A＞1时)或
缩短 (当0＜A＜1时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.
跟踪训练 1．将函数 y＝sin2x－π6向左平移π6个单位， 可得到函数图像是( )
A．y＝sin 2x
B．y＝sin2x－π6
C．y＝sin2x＋π6
D．y＝sin2x－π3
【解析】y＝sin 2x－π6的图像 y＝sin2x＋π6－π6＝sin2x＋π6的图像． 【答案】C
2．将函数 y＝sin x 的图像向左平移 φ(0≤φ＜2π)个单位 长度后，得到函数 y＝sinx－π6的图像，则 φ＝________. 【解析】因为 φ∈[0,2π)，所以把 y＝sin x 的图像向左平移 φ 个单位长度得到 y＝sin (x＋φ)的图像，而 sinx＋116π＝ sinx＋116π－2π＝sin x－6π，即 φ＝116π. 【答案】116π
2π
周期
_2_π_
2π
|ω|
2π |ω|
知识点二 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响 1.φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响 函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y ＝sin x图像上所有的点向 左 (当φ＞0时)或向 右 (当φ ＜0时)平行移动 |φ| 个单位而得到的. 2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响 函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)
图像
y＝－2sin2x－π6的图像
―向―上―平―移―1―个―单―位―长―度→y＝－2sin2x－π6＋1 的图像．
[法二 先平移后伸缩] y＝sin x 的图像各―点―的且―纵关―坐于―标x―轴伸―作长―对到―称原―变来―换―的→2倍y＝
－2sin x 的图像
y＝－2sinx－6π的图像
―各―点―的―原横―来―坐的―标12―缩―短―到→y＝－2sin2x－π6的图像