关于“数学问题与解答”栏不等式问题的探究性学习

即
≥
厕
，
所 以，不 等 式
成立．
≥ ａ ２ ＋ｂ ２ ＋ ｃ ２
进一步思考， 我们便获得式 ③ 一优美 的类
似不等式： 命 题 ２ 设ａ 、ｂ 、Ｃ ∈ Ｒ＋ ， 则 有
３ ａ ｂ ｃ ＋
【 ３ 】 康宇． 数学问题与解答 ［ Ｊ ］ ． 数学教学， ２ ０ １ ２ （ １ ０ ） ： ４ ７ ． ［ ４ ］ 秦庆雄，范花妹．不等式的证 明一 构造“ 数字” 法［ Ｊ ］ ． 数学通讯 （ 教师刊） ， ２ ０ １ １ （ １ ） ：
（ 叠 ） ＜ （ ） ・ １ ） ）
＝
（ Ａ ａ ＋ｂ ＋ｃ ） ． （ ０ ＋Ａ ｂ ＋ｃ ） ． 入 ｎ ＋（ ｂ ＋ｃ ） ２ 。 Ａ ｂ ＋（ ｃ ＋０ ） ２ 。
＞ ２
（
）
简证 ：由ａ 、ｂ 、Ｃ ∈Ｒ＋ ， 知
４ － ２ ６
将 上 述 三 式 两边 分 别 相 加 ， 司得
数． 学教． 学
． （ ０＋入 ６ ＋ｃ ）
ａ＋ ６ ４ － Ｃ
２ ０ １ ３ 年第４ 期
记 ＝ ａ ３ ￣ｂ ３￣Ｃ ３
＋ ，
（ ０ ＋ｂ ＋ｃ ）
．
而
ｆ ｎ＋ ｂ＋ ｃ １
ｂ ｃ＋ ｃ ａ’
— — — — — — — 一
３ ｃ
一
、
３ ｎ
丽
十 丽
．
３ ６
十 ．
３ （ ０＋ｂ ＋Ｃ ）
丽
一＿ 亏 ’
． …
…
… ． ③ 一
原作者通 过构造 函数， 借助 函数 的单调性 给 出一种 证 明， 下 面我 们仅 借助 均值 不 等式 ， 便获得如下证法：
＜ 礼
＝
ｎ
一 ） 南 一 南
０ ＋（ ６ ＋ｃ ） ＜【 Ａ ａ ＋（ ６ ＋ ｃ ） ］ ［ ０ ＋（ ６ ＋ｃ ） ］ ＝ （ Ａ ａ＋ｂ ＋ｃ ） （ ０ ＋ｂ ＋ｃ ） ，
所 以
（ ０ ＋ｂ ＋ｃ ） 、 （ Ａ ａ＋ｂ ＋ｃ ） 入 ｎ ＋（ ｂ ＋ｃ ） ２ （ Ａ ａ＋ｂ ＋ｃ ） （ ０ ＋ｂ ＋Ｃ ）
即 兰 ≥
， 整 理 得
简证：由均值 不等式， 可得
ａ ３ ＋ｂ ３＝ （ ａ＋ ６ ） （ ｎ 一ａ ｂ ＋ｂ ）≥ （ ａ＋ ｂ ） （ ２ ａ ｂ —ａ ｂ ） ＝ａ ２ ｂ ＋ａ ｂ ，
即ｎ ３＋ ｂ ３≥ ａ ２ ｂ ＋ａ ｂ ０ ．
同理 ， 可 得
ｂ ３＋ ｃ 。≥ ｂ ２ ｃ＋ ｂ ｃ 。 ，ａ ３＋ ５ ３≥ ａ ２ ｃ＋ ａ ｃ ，
２ ０ １ ３ 年第 ４ 期
数 学教 学
４ － ２ ５
关 － Ｔ Ｊ － － “ 数学 问题 与解答 ＂栏不等式 问 题 的探 究性 学 习
６ ７ ２ ５ ０ ０ 云 南省 大理州漾 濞县 第一 中学 秦庆雄 范花妹
多年来， 笔者 最爱研究 《 数 学教学 》问题
栏 的 一些 问题 ， 特 别是 与 不等 式 有关 的 问题 ，
Ａａ＋ ｂ＋ ｃ
一 —
ｎ
ｂ
（ １ 一 蕊１）
‘
同理， 可得
（ ± ± ！ 、 ± ± ！
Ａ ｂ ２ ＋ｆ ａ ＋ｃ ） ２ ａ ＋ｂ ＋Ｃ’
（ 。 ＋ ｎ ＋ ６ ） ’
所以， 不等式
竞 （ ａ ＋ ｂ ＋ 奇 ｃ ） ＞ ａ ＋ ｂ ＋ Ａ ｃ ，
十
ｎ＋ ｂ＋ ｃ
十 Ⅳ ＝６ （ ３ ａ ｂ ｃ ） ．
Ｖ ¨ｕ
， 则
０ ３ 洒
Ｎ
一
竞
所 以，
存 ＞
：
＋
＋
＋
＋
２＋ ，
一・ 一。 。 。 … ＋
一
３
Ｍ
：
一
一３ ａ ｂ ｃ． － － ｅ － ａ 巫 ＋ｂ ＋ｃ ＋ ． －
：
，
Ｎ
．
。
Ｍ
‘
Ｍ
．
’
＞ ２＋ 成 立 ．
，
当 ｎ ６ ｃ － － ， ｏ ￣ ， 等等＋
６ ０ ＋（ ａ ） ２ ＋ ａ ｂ ） ２一 － ＋ ｃ ＋ ‘ ｃ ＋ ｆ ＋ 一 ， 故不 。
．
。
．
６ ｃ ） ‘
等式中的常数 ＋２ 是最佳 的． 第８ ６ ９ 题【 ３ 】 ： 设０ 、６ 、ｃ ∈ Ｒ＋， 求 证 ： ３ ａ ｂ ｃ ≥ ｂ＋ 一 ａ 。
耋 １ ＜
使用上述方法， 不难有如下推广：
成 立
或是寻 找它的简单证 法， 或 是思考它 的一些加
强 、推广与类似． 下面给 出几个 思考 的例子．
第８ ４ ３ 题【 １ 】 ： 设 实数 ａ 、ｂ ＞０ ， ｎ∈Ｎ ， 求
证：
ｌ
＋
他
推 广１ 设． ［ ｎ ） 是 等 差 数 列， 首 项 为ａ ｌ （ ａ ｌ＞ ０ ） ， 公差 为 ｄ （ ｄ＞ ０ ） ， 且满足 ａ ｌ＞
，
１ — ａ＋ — ２ ｂ ＋
１
…
＋
— ａ＋— ｎ ｂ
பைடு நூலகம்
＜
礼 ∈ Ｎ ， 则 有 击 ＋ １ ＋ … ＋ １ ＜
第８ ６ ０ 题［ ２ 】 ． 设ａ 、ｂ 、ｃ ∈ Ｒ＋ ， 求
＋ ＋
ｘ ／ 。 ａ 。 。 （ 。 。 ａ 。 。 ‘ 。 ＋ 。 ‘ 。 ｎ ‘ 。 ｂ 。 — — ） ‘ 笔者思考发现， 式 ① 可加强如下 ：
命题 １ 设实数ａ 、ｂ＞０ ， ｎ∈Ｎ ， 则有
１ ＋
ｎ
证：
１ — ａ＋ — ２ ｂ ＋
１
…
＋
— ａ＋— ｎｂ
＜
＞４ ． … …
…
…
…
②
简证：由柯西不等 式， 经放缩 和裂项求 和，
可 得
如果 将② 式 左 端 的常 数２ 改 为 任 一 常 数 ， 我们 便获得 ② 式的如下推广： 推广 ２ 设 ａ 、ｂ 、Ｃ ∈Ｒ＋ ， 且 ＞０ ， 则有
将上述三式两边分别相加， 可得
２ （ ａ ３ ＋ｂ 。 ＋Ｃ 。 ） ≥ａ ２ （ ６ ＋Ｃ ） ＋ｂ ２ ａ＋Ｃ ） ＋
Ｃ ２ ａ ＋６ ） ，
即３ （ ０ 。 ＋６ ３ ＋ｃ 。 ） ≥（ ａ ＋６ ＋ｃ ） （ ０ ＋６ ＋ｃ ） ．
又由均值不等式， 可得
（ ａ ｂ ＋ｂ ｃ ＋ｃ ａ ） （ ａ＋ｂ ＋Ｃ ） ≥９ ａ ｂ ｃ ，