2020-2021学年湖南省长沙市停钟中学高二数学文联考试卷含解析

2020-2021学年湖南省长沙市停钟中学高二数学文联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设常数a ≥ 0，则“| x | + | y | ≥ a”是“x 2 + y 2 ≥ a 2”的（）
（A）必要不充分条件（C）充分不必要条件（B）充要条件（D）不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ( )．
A．2 B．2 C．4 D．4
参考答案：
C
3. 若k∈R，则“﹣1＜k＜1”是“方程+=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】方程+=1表示椭圆，则，解得k范围即可判断出结论．【解答】解：方程+=1表示椭圆，则，解得﹣1＜k＜1，k≠0，
因此“﹣1＜k＜1”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、椭圆的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4. 某个家庭有2个孩子，其中有一个孩子为女孩，则另一个孩子也为女孩的概率为（)
A B C
D
参考答案：
A
5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. 1
B. C．
D．2
参考答案：
C
6. 按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）
A．6 B．21 C．156 D．231
参考答案：
D
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把
作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．
【解答】解：∵x=3，
∴=6，
∵6＜100，
∴当x=6时， =21＜100，
∴当x=21时， =231＞100，停止循环
则最后输出的结果是 231，
故选D．
7. 在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a， b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z 使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2
D．3
参考答案：
A
略
8. 如图，F1、F2是椭圆与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第
二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则C2的离心率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋
|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.
考点：椭圆的几何性质．
9. 已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）
参考答案：
D
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．
【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，
∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；
①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；
②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；
③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；
故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；
而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；
故f（）=﹣3?+1＞0；
故a＜﹣2；
综上所述，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
故选：D．
10. 如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为
A．6＋3π＋2 B．2＋2π＋4
C．8＋5π＋2 D．2＋3π＋4
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递减区间为.
参考答案：
12. 经过点（4，）平行于极轴的直线的极坐标方程为。

参考答案：
13. 已知向量＝（1，2），＝（－2，x），若（3＋）∥（3－）则实数x的值为．
参考答案：
－4
14. 抛物线上两个不同的点，，满足，则直线一定过定点，此定点坐标为__________．
参考答案：
(4,0)
解：设直线的方程为代入抛物线，消去得,
设，，则，，
∴
，
∴（舍去）或,
故直线过定点(4,0)．
15. 下列命题：①α内有无数条直线平行于β，则α∥β；②平行于同一直线的两个平面互相平行；③经过平面α外两点一定可以作一个平面与α平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中不正确的命题为___________．
参考答案：
①②③
16. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，C=60°，A=75°，则b 的值=____________．
参考答案：
略
17. 已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
参考答案：
19. 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留１ｍ宽的通道，没前侧内墙保留3ｍ的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是多少？
参考答案：
解：设矩形的长为米，由题意知矩形的宽为米，蔬菜种植部分的长为：（）米，宽为：
20. 已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且．（1）求的周长；(2）求点的坐标．
参考答案：
∴
∵∴，则
∴点坐标为或或或
21. （本题满分13分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5。

为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的
函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数)．记F(x)为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共消耗的电费之和．
(1)试解释C(0)的实际意义，并建立F(x)关于x的函数关系式；
(2)当x为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？
参考答案：
(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费，即未安装太阳能供电
设
最小值，最小值为57.5万元．
22. （本小题满分12分）设.
（Ⅰ）求的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论与的大小关系；
（Ⅲ）求的取值范围，使得对任意＞0恒成立.
参考答案：
解：（Ⅰ）由题设
所以，令得
当时，，即在单调递减，
当时，，即在单调递增，
所以是唯一极值点且为极小值，即的极小值为. （Ⅱ），设，则
当时，，，当时，
因此，在内单调递减，所以当时，，即，当时，即.
（Ⅲ）有（1）知，的极小值为，所以，，对任意的成立，即，，所以.。