高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的独立性习题新人教A版选修2-3(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2 事件的独立性习题新人教A版选修2-3
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第二章 2.2 2.2.2 事件的独立性
A级基础巩固
一、选择题
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率为错误!，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（ D ）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 由P(A∩B）＝P（B∩错误!)得P（A)P(错误!）＝P(B）·P(错误!)，即P（A)［1－P(B)］＝P（B）[1－P(A）］,
∴P(A)＝P(B)．又P（错误!∩错误!）＝错误!，
∴P（错误!）＝P(错误!）＝错误!。

∴P（A）＝错误!．
2．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为错误!，错误!，错误!，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )
A．15
32
B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2,A3,则P(A1）＝错误!，P （A2)＝错误!，P(A3）＝错误!．
不发生故障的事件为(A2∪A3）∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A
2
∪A3）∩A1]
＝［1－P(错误!）·P(错误!）］·P（A1）
＝（1－错误!×错误!）×错误!＝错误!。

故选A．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( C )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
[解析］由题意P(A)＝错误!，P（B)＝错误!，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－错误!×错误!＝错误!．
4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2,那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D ）
A．P1＋P2B．P1P2
C．1－P1P2D．1－(1－P1）(1－P2)
［解析］甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2,
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是（1－P1)（1－P2），则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1）（1－P2),故选D．
5．从甲袋内摸出1个白球的概率为错误!，从乙袋内摸出1个白球的概率是错误!,从两个袋内各摸1个球，那么概率为错误!的事件是( C )
A．2个球都是白球B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球D．2个球中恰好有1个白球
[解析］从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝错误!×错误!＝错误!，
∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝错误!．
6．两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为错误!和错误!，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ B ）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析］所求概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!或P＝1－错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!．
二、填空题
7．已知P（A)＝0.3，P（B）＝0。

5，当事件A、B相互独立时,P（A∪B)＝__0。

65__，P （A｜B）＝__0.3__．
[解析] ∵A、B相互独立，∴P（A∪B)＝P（A)＋P(B）－P(A）·P（B）＝0。

3＋0.5－0.3×0.5＝0.65．
P（A｜B)＝P（A)＝0。

3．
8．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为错误!，乙生解出它的概率为错误!，丙生解出它的概率为错误!. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为__错误!__．[解析］甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1）＝错误!×错误!×错误!＝错误!，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝错误!×错误!×错误!＝错误!，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3）＝1
4
×错误!×错误!＝错误!．
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!．
9．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算），有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为错误!，错误!，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为错误!,错误!；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率
为__
5
16
__ ．
［解析］由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为错误!，错误!．设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝
1
4
×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为错误!．
三、解答题
10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而
乙机床加工的零件不是一等品的概率为错误!，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件
不是一等品的概率为
1
12。

甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为错误!．
（1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
［解析] （1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有错误!
即错误!
由①、③得P（B)＝1－错误!P(C)，代入②得
27[P(C)］2－51P(C)＋22＝0．
解得P(C)＝错误!或错误!（舍去)．
将P（C）＝错误!分别代入③、②可得P（A)＝错误!、
P(B)＝错误!，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是错误!、错误!、错误!．
（2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P（D)＝1－P(错误!)＝1－[1－P(A）][1－P（B)］[1－P(C)］＝1－错误!×错误!×错误!＝错误!.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为错误!．
B级素养提升
一、选择题
1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上,则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（ A )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 由已知逆时针跳一次的概率为错误!，顺时针跳一次的概率为错误!.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝错误!×错误!×错误!＝错误!，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝错误!×错误!×错误!＝错误!。

所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝错误!＋错误!＝错误!．2．袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（ C )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
［解析] 解法一：5个球中含3个白球，第一次取到白球后不放回，则第二次是在含2个白球的4个球中任取一球，故取到白球的概率为错误!．
解法二:设A＝“第一次取到白球”，B＝“第二次取到白球”，则
P（A）＝错误!,P(AB）＝错误!＝错误!，
∴P（B｜A）＝错误!＝错误!．
二、填空题
3．(2016·双鸭山高二检测)某班有4位同学住在同一个小区，上学路上要经过1个路口．假设每位同学在路口是否遇到红绿灯是相互独立的,且遇到红灯的概率都是错误!，则最多1名同学遇到红灯的概率是__错误!__．
[解析] P＝(错误!)4＋C错误!·(错误!）·（错误!)3＝错误!．
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是__错误!__．
[解析］由条件知,
错误!，
∴P(ξ＝x2）＝错误!，
∵P（ξ＝x i)≥0，∴公差d取值满足－错误!≤d≤错误!．
三、解答题
5．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0。

6、0。

4、0.5、0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．
（1)求该选手被淘汰的概率；
(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．
［解析］记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件A i（i＝1,2,3，4)，
则P(A1)＝0.6,
P（A
)＝0.4,P(A3)＝0。

5,
2
P（A
）＝0。

2．
4
（1）解法一：该选手被淘汰的概率:
P＝P(错误!∪A
错误!∪A1A2错误!∪A1A2A3错误!）＝P（错误!1）＋P（A1)P(错误!2）＋P(A1)P
1
（A2)P(错误!3）＋P(A1)P（A2）P（A3）P（错误!4）＝0。

4＋0。

6×0。

6＋0.6×0。

4×0。

5＋0。

6×0。

4×0.5×0.8＝0.976．
解法二:P＝1－P（A1A2A3A4）＝1－P（A1）P(A2）P(A3)P(A4)＝1－0。

6×0。

4×0。

5×0。

2＝1－0.024＝0.976．
(2）解法一：P＝P（A1错误!2∪A1A2错误!3∪A1A2A3错误!4)＝P（A1）P（错误!2)＋P(A1）P（A2）P(错误!
)＋P(A1)P(A2)P（A3)P（错误!4)＝0。

6×0.6＋0。

6×0.4×0.5＋0.6×0。

4×0.5×0。

8 3
＝0.576．
解法二：P＝1－P(A1）－P(A1A2A3A4）＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0。

5×0.2＝0。

576．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；
(2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．
［解析］（1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A）＝错误!＝错误!＝错误!，
P（B)＝错误!＝错误!＝错误!．
（2)解法一:因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝P（A B）＋P（A B)＋P(AB)＝P(A)·P（错误!)＋P（错误!）·P（B)＋P(A)·P（B）＝
2
3
×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44 45
．
解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P（错误!错误!)＝P（错误!）·P(错误!)＝错误!×错误!＝错误!．
所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P(错误!错误!)＝1－错误!＝错误!．
答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为错误!．
C级能力拔高
(2017·德州高二检测)计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分,每部分考试成绩只记“合格"与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为错误!，错误!，错误!;在上机操作考试中合格的概率分别为错误!,错误!，错误!，所有考试是否合格相互之间没有影响．
（1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大?
（2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
［解析] 记“甲理论考试合格”为事件A1,“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3；记“甲上机考试合格"为事件B1,“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3．
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B,“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝P(A
1
）P(B1)＝错误!×错误!＝错误!，P(B)
＝P(A2）·P（B2)＝3
4
×错误!＝错误!，
P（C）＝P（A
3）P（B3)＝
2
3
×错误!＝错误!，
因为P(B)〉P(C)>P（A)，故乙获得合格证书的可能性最大．（2)记“三人计算机考试都获得合格证书"为事件D．
P(D）＝P(A)P(B)P（C)＝27
50
×错误!×错误!＝错误!．
所以，三人计算机考试都获得合格证书的概率是错误!．。