线性代数 同济版 5-1 向量的内积 长度及正交性

向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）．
当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || > 0．
,
e2


1 0

,
e3


0 1

,
e4


0

0

0


0


0


1

是 R4 的一个规范正交基．
1 2 1 2 0 0

e1

1
0
2

,
e2



1 0
2


[a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
Ax


1 1
1 2
1 1




x1
x2

x3

0

0

1
Ax


1
1 2
1 1




x1 x2 x3



0

0

1 1 1 r 1 1 1 r 1 1 1 r 1 0 1
求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2

a2

c2

a2

[b1 [b1
, ,
a2 b1
] ]
b1
b3 a3 c3
a3 c31 c32
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
第五章 相似矩阵及二次型
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积
x1
y1
定义：设有
n
维向量
x


x2

,
y


y2

,
M M

xn
yn
令
[ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn
y1

x1, x2 ,L
特别地，b1, …, bk 与a1, …, ak 等价（1 ≤ k ≤ r）．
第二步：单位化 设 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基，那么令
因为
1
1
1
e1 || b1 || b1 , e2 || b2 || b2 ,L , er || br || br
[e1 , e1 ]
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 L xn2 0 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0；
1
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1


1

,
a2


2

1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
[ x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn y1 x1 y2 x2 L yn xn [ y, x]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：

[x, || ei
ei ] ||2
,
i 1, 2,L , r
特别地，若 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基，则
li [ x, ei ], i 1, 2,L , r
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个规范正交基 e1, e2, …, er
1

||
b1
1 || b1 , || b1

||
b1


1 || b1 ||2
b1 , b1
|| b1 || b1
||2 ||2
1
|| e1 || [e1, e1] 1 从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1
1
4
例：设
,
e4


1
1

0


0


0

1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
于是
li

[x, ei ] [ei , ei ]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1 || x || || y ||
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]
|| x || || y || 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交．
y
x
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理1：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]

4 6

2

1

5
3

1 1

4 1 1 1
b3

a3

[b1 [b1
, ,
a3 b1
] ]
b1

[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2


1


0
1 3

2 1


5
3

1 1
回顾：线段的长度 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
P(x1, x2)
x2
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [ x, x]
O
x1
P x1
x3
x2 O
若令 x = (x1, x2, x3)T，则 | OP | x12 x22 x32 [ x, x]
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1
当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
齐次性： || l x || = | l | ·|| x || ． [l x,l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x, l x] l 2[ x, x] | l | [ x, x] | l | || x ||
,
e3

1
0
2


,
e4



0 12

0
0
1 2
1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1


0 0

,
e2


1 0

,
e3


பைடு நூலகம்1 1

当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0．
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
a1


2

,
a2


3

,
a3


1

，试用施密特正交化
1
1
0
过程把这组向量规范正交化．
解：第一步正交化，取
b1 a1
1 1 1
b2

a2

[b1 [b1
, ,
a2 b1
] ]
b1


3 1



,
xn


y2

M

xT
y

yn
则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积．
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；


2

0

1
1
1
4
例：设
a1


2

,
a2


3

,
a3


1

，试用施密特正交化
1
1
0
过程把这组向量规范正交化．
解：第二步单位化，令
1
1 e1 || b1 || b1
b1
LL
br
ar

[b1 , ar [b1 , b1
] ]
b1

[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2

L

[br 1 [br1 ,
,ar ] br1 ]
br
1
可验证 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即 b1, b2, …, br 是向量空间 V 中的一个正交基．

1
2
1
~
0
3
0

~

0
1
0

~

0
1
0

得

x1 x2

0
x3
1
1
从而有基础解系

0

，令
a3


0

．
1
1
定义3： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V Rn中的向量， 满足

a3

[b1 , a3 ] [b1 , b1 ]
b1

[b2 [b2
, ,
a3 ] b2 ]
b2
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基，那么令
b1 a1
b2

a2
c2

a2

[b1 , a2 [b1 , b1
] ]
✓ e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； ✓ e1, e2, …, er 两两正交； ✓ e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范（标准）正交基．
1 0 0 0
例： e1


0 0

对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z]
[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[ x, y]
[ x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
齐次性： || l x || = | l | ·|| x ||．
三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||．
x+y y
y x
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x ||2 ·|| y ||2