九年级数学上册 1.1 一元二次方程 知识拓展 方程之先祖素材 (新版)苏科版

方程之先祖
方程是一个庞大的家族，具有悠久的历史，它的发展由来已久．人类最古老的方程是在古埃及的《兰特纸草书》里面用古体象形文字写成的，用现代代数语言来叙述是：“有一个未知数，它的211327，，和它的本身一共是37，问该未知数是多少？”这个方程现在看起来很简单，而实际上这是一道三千多年前的一元一次方程，可以说是目前已知的人类最原始、最古老的方程了．当然这道题很容易解：设该未知数为x ，则根据题目条件可得到211327
x x x ++＝37 ，即：9742x ＝37 ； ∴155497
x =． 1893年俄国收藏家哥连尼雪夫从埃及又得到一本古埃及的纸草书，起名叫做《莫斯科纸草书》，书中有两道一元二次方程题．
【例1】某长方形的面积为12，其宽是长的34
，求其长和宽． 解：设长方形的长是x ，则宽是34x ．根据长方形的面积公式，可得：3124⋅=x x ，即34
x 2＝12，∴x ＝4(x ＞0)． 故其长和宽分别为4和3.
【例2】 某直角三角形的一条直角边是另一条直角边的
52倍，其面积为20，求其两个直角边之长．
解：设一条直角边长为x ，则另一条直角边长为52
x ，根据直角三角形面积公式，可得12×52x ·x ＝20，∴54
x 2＝20，∴x ＝4(x ＞0)，以下略． 这两道题实际上都是非常简单的一元二次方程，但它们是最原始、最古老的一元二次方程，是一元二次方程的先祖．
如何从反面提出问题推导一元二次方程根与系数的关系？
答：可以这样进行．
已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，变形为20++=b c x x a a
；
依求根公式得它的两根为x 1，x 2.
- 2 - 可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．
反过来，如果已知一元二次方程的两个根x 1、x 2，能否确定它的系数呢？回答是肯定的． ∵x 1、x 2是方程的两个根；
∴(x －x 1)(x －x 2)＝0；
∴x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0；
∴ 20b c x x a a
++=. 比较两式可得：x 1＋x 2＝－
b a ，x 1x 2＝
c a ． 解答提示：这是用逆向思维的方式从反面提问题，是符合人们的思维规律的．当一个定理得到证明后，人们立即会想到它的逆命题是否是真命题？一元二次方程根的判别式，根与系数的关系都是可逆的．
二次项系数是1的一元二次方程的一般式为x 2＋px ＋q ＝0；
它的两根为x 1、x 2；
那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q 这是经常被用到的．。