第一章 第二节(二)

第二节动量动量守恒定律(二)[学习目标]1.理解系统、内力、外力的概念.2.知道动量守恒定律的内容及表达式，理解守恒的条件.3.了解动量守恒定律的普遍意义，会初步利用动量守恒定律解决实际问题.一、动量守恒定律[导学探究]1.如图1所示，公路上三辆汽车发生了追尾事故.如果将甲、乙两辆汽车看做一个系统，丙车对乙车的作用力是内力，还是外力？如果将三车看成一个系统，丙对乙的力是内力还是外力？图1答案内力是系统内物体之间的作用力，外力是系统以外的物体对系统以内的物体的作用力.一个力是内力还是外力关键是看选择的系统.如果将甲和乙看成一个系统，丙车对乙车的力是外力，如果将三车看成一个系统，丙对乙的力是内力.2.如图2所示，水平桌面上的两个小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时两球发生碰撞，碰撞后两球的速度分别为v1′和v2′.试用动量定理和牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v1′＋m2v2′的关系.图2答案设碰撞过程中两球间的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t根据动量定理：F1t＝m1(v1′－v1)，F2t＝m2(v2′－v2).因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律知，F1＝－F2，则有：m1v1′－m1v1＝m2v2－m2v2′即m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量，这就是动量守恒定律的表达式. [知识梳理]1.系统、内力与外力(1)系统：相互作用的两个或多个物体组成一个力学系统.(2)内力：系统内部物体间的相互作用力.(3)外力：系统外部物体对系统内物体的作用力.2.动量守恒定律(1)内容：物体在碰撞时，如果系统所受到的合外力为零，则系统的总动量保持不变.(2)表达式：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后动量相等).(3)适用条件：系统所受到的合外力为零.[即学即用]判断下列说法的正误.(1)一个系统初、末态动量大小相等，即动量守恒.(×)(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞，两个物体组成的系统动量守恒.(√)(3)只要系统所受到的合力为零，动量就守恒.(√)(4)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零.(√)二、对动量守恒定律的认识[导学探究]如图3所示，进行太空行走的宇航员A和B的质量分别为80 kg和100 kg，他们携手远离空间站，相对空间站的速度为0.1 m/s.A将B向空间站方向轻推后，A的速度变为0.2 m/s.(1)A、B二人相互作用时动量守恒吗？(2)如果守恒，应以什么为参考系？(3)轻推后B的速度大小是多少？方向如何？图3答案(1)守恒(2)以空间站为参考系(3)0.02 m/s远离空间站方向解析规定远离空间站的方向为正方向，则v0＝0.1 m/s，v A＝0.2 m/s根据动量守恒定律(m A＋m B)v0＝m A v A＋m B v B代入数据可解得v B＝0.02 m/s，方向为远离空间站方向.[知识梳理]对动量守恒定律的理解1.对系统“总动量保持不变”的理解(1)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等.(2)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化.2.动量守恒定律的“四性”(1)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式.(2)相对性：动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常均为相对于地面的速度.(3)同时性：动量守恒定律中，p1、p2……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量，p1′、p2′……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量.(4)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统.[即学即用]如图4所示，甲木块的质量为m1，以速度v沿光滑水平地面向前运动，正前方有一静止的、质量为m2的乙木块，乙木块上连有一轻质弹簧.甲木块与弹簧接触后()图4A.甲木块的动量守恒B.乙木块的动量守恒C.甲、乙两木块所组成系统的动量守恒D.甲、乙两木块所组成系统的机械能守恒答案C一、动量守恒条件的理解1.系统不受外力作用：这是一种理想化的情形.2.系统受外力作用，但所受合外力为零.3.系统受外力作用，但当系统所受的外力远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒.例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力可以完全忽略不计，系统的动量近似守恒.4.系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒.例1(多选)如图5所示，A、B两物体质量之比m A∶m B＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法正确的是()图5A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒C.若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒D.若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒答案BCD解析如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力f A向右，f B向左.由于m A∶m B＝3∶2，所以f A∶f B ＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A选项错误；对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D选项正确；若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统的外力之和为零，故其动量守恒，C选项正确.1.动量守恒定律的研究对象是相互作用的物体组成的系统.判断系统的动量是否守恒，与选择哪几个物体作为系统和分析哪一段运动过程有直接关系.2.判断系统的动量是否守恒，要注意守恒的条件是不受外力或所受合外力为零，因此要分清哪些力是内力，哪些力是外力.3.一般来说，系统的动量守恒时，系统内各物体的动量是变化的，但系统内各物体的动量的矢量和是不变的.针对训练如图6所示，小车与木箱紧挨着静放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱，关于上述过程，下列说法正确的是()图6A.男孩和木箱组成的系统动量守恒B.小车与木箱组成的系统动量守恒C.男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒D.木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量相同答案C解析由动量守恒定律成立的条件可知男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒，选项A、B错误，C正确；木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，选项D 错误.二、动量守恒定律的简单应用1.动量守恒定律不同表现形式的表达式的含义：(1)p＝p′：系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和.(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反.(4)Δp＝0：系统总动量增量为零.2.应用动量守恒定律的解题步骤：例2将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑.开始时甲车速度大小为3 m/s，乙车速度大小为2 m/s，方向相反并在同一直线上，如图7所示.图7(1)当乙车速度为零时，甲车的速度多大？方向如何？(2)由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最小时，乙车的速度是多大？方向如何？ 答案 (1)1 m/s 方向向右 (2)0.5 m/s 方向向右解析 两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两车之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向.(1)v 甲＝3 m/s ，v 乙＝－2 m/s.根据动量守恒定律得：m v 甲＋m v 乙＝m v 甲′，代入数据解得v 甲′＝v 甲＋v 乙＝(3－2) m/s ＝1 m/s ，方向向右.(2)两车相距最小时，两车速度相同，设为v ′，由动量守恒定律得：m v 甲＋m v 乙＝m v ′＋m v ′.解得v ′＝m v 甲＋m v 乙2m ＝v甲＋v 乙2＝3－22 m/s ＝0.5 m/s ，方向向右.例3质量m1＝10 g的小球在光滑的水平桌面上以30 cm/s的速率向右运动，恰遇上质量为m2＝50 g的小球以10 cm/s的速率向左运动，碰撞后，小球m2恰好停止，则碰后小球m1的速度大小和方向如何？答案20 cm/s方向向左解析碰撞过程中，两小球组成的系统所受合外力为零，动量守恒.设向右为正方向，则v1＝30 cm/s，v2＝－10 cm/s；v2′＝0.由动量守恒定律列方程m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，代入数据解得v1′＝－20 cm/s.故碰后小球m1的速度大小为20 cm/s，方向向左.应用动量守恒定律解题，在规定正方向的前提下，要注意各已知速度的正负号，求解出未知速度的正负号，一定要指明速度方向.1.(动量守恒条件的理解)(多选)如图8所示，在光滑水平地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接.A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态.若突然撤去力F，则下列说法中正确的是()图8A.木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒B.木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒C.木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒D.木块A 离开墙壁后，A 、B 和弹簧组成的系统动量不守恒，但机械能守恒答案 BC解析 若突然撤去力F ，木块A 离开墙壁前，墙壁对木块A 有作用力，所以A 、B 和弹簧组成的系统动量不守恒，但由于A 没有离开墙壁，墙壁对木块A 不做功，所以A 、B 和弹簧组成的系统机械能守恒，选项A 错误，选项B 正确；木块A 离开墙壁后，A 、B 和弹簧组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒且机械能守恒，选项C 正确，选项D 错误.2.(动量守恒定律的简单应用)解放军鱼雷快艇在南海海域附近执行任务，假设鱼雷快艇的总质量为M ，以速度v 前进，现沿快艇前进方向发射一颗质量为m 的鱼雷后，快艇速度减为原来的35，不计水的阻力，则鱼雷的发射速度为( ) A.2M ＋3m 5m v B.2M 5m v C.4M －m 5m v D.4M 5mv 答案 A解析 设快艇的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有：M v ＝(M －m )35v ＋m v ′，解得v ′＝2M ＋3m 5mv . 3.(动量守恒定律的简单应用)如图9所示，质量为M 的小车置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m 的木块以初速度v 0水平地滑至车的上表面，若车足够长，则( )图9A.木块的最终速度为m M ＋m v 0B.由于车上表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒C.车上表面越粗糙，木块减少的动量越多D.车上表面越粗糙，小车获得的动量越多答案 A解析 由m 和M 组成的系统水平方向动量守恒易得A 正确；m 和M 动量的变化与小车上表面的粗糙程度无关，因为车足够长，最终各自的动量与摩擦力大小无关.4.(动量守恒定律的简单应用)一辆质量m 1＝3.0×103 kg 的小货车因故障停在车道上，后面一辆质量m 2＝1.5×103 kg 的轿车来不及刹车，直接撞入货车尾部失去动力，相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s ＝6.75 m 停下.已知车轮与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，求碰撞前轿车的速度大小.(重力加速度取g ＝10 m/s 2)答案 27 m/s解析 由牛顿第二定律得a ＝f m 1＋m 2＝μg ＝6 m/s 2 v ＝2as ＝9 m/s ，选轿车运动方向为正方向，由动量守恒定律得m 2v 0＝(m 1＋m 2)vv 0＝m 1＋m 2m 2v ＝27 m/s. 一、选择题(1～6题为单选题，7～11题为多选题)1.如图1所示的装置中，木块B 与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A 沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短.现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中( )图1A.动量守恒、机械能守恒B.动量不守恒、机械能不守恒C.动量守恒、机械能不守恒D.动量不守恒、机械能守恒答案 B2.某公路上发生一起交通事故，一辆质量为1 500 kg 向南行驶的长途客车迎面撞上了一辆质量为3 000 kg 向北行驶的卡车，碰撞后两辆车接在一起，并向南滑行了一段距离后停止.根据测速仪的测定，长途客车在撞前以20 m/s 的速率行驶，由此可判断卡车碰撞前的行驶速率(碰撞时内力远大于外力)( )A.小于10 m/sB.大于10 m/s ，小于20 m/sC.大于20 m/s ，小于30 m/sD.大于30 m/s ，小于40 m/s答案 A解析 设长途客车和卡车的质量分别为m 1、m 2，撞前的速度大小分别为v 1、v 2，撞后共同速度为v ，规定向南为正方向，根据动量守恒定律有m 1v 1－m 2v 2＝(m 1＋m 2)v ，又v >0，则m 1v 1－m 2v 2>0，代入数据得v 2<10 m/s ，故选项A 正确.3.如图2所示，质量为M 的小船在静止水面上以速率v 0向右匀速行驶，一质量为m 的救生员站在船尾，相对小船静止.若救生员以相对水面速率v 水平向左跃入水中，则救生员跃出后小船的速率为( )图2A.v 0＋m Mv B.v 0－m M v C.v 0＋m M(v 0＋v ) D.v 0＋m M(v 0－v ) 答案 C解析 小船和救生员组成的系统满足动量守恒条件，规定向右为正方向，由动量守恒定律得： (M ＋m )v 0＝m ·(－v )＋M v ′解得v ′＝v 0＋m M(v 0＋v ) 故C 项正确，A 、B 、D 项均错.4.设a 、b 两球相撞，碰撞前后都在同一直线上运动，若它们碰撞前的速度分别为v a 、v b ，碰后的速度分别为v a ′、v b ′，则两个小球的质量比m a ∶m b 为( )A.v b ′－v b v a －v a ′B.v a ′－v a v b ′－v bC.v a ′－v b ′v a －v bD.v a －v a ′v b ′－v b 答案 A解析 根据动量守恒定律得m a v a ＋m b v b ＝m a v a ′＋m b v b ′，整理得m a m b ＝v b ′－v b v a －v a ′，故A 项正确，B 、C 、D 项错误.5.质量为M 的木块在光滑水平面上以速度v 1水平向右运动，质量为m 的子弹以速度v 2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)( ) A.(M ＋m )v 1m v 2B.M v 1(M ＋m )v 2C.M v 1m v 2D.m v 1M v 2 答案 C解析 设发射子弹的数目为n ，选择n 颗子弹和木块M 组成的系统为研究对象.系统在水平方向所受的合外力为零，满足动量守恒的条件.选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：nm v 2－M v 1＝0，得n ＝M v 1m v 2，所以选项C 正确. 6.质量为2 kg 的小车以2 m/s 的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为0.5 kg 的砂袋以3 m/s 的水平速度迎面扔上小车，则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是( )A.1.0 m/s ，向右B.1.0 m/s ，向左C.2.2 m/s ，向右D.2.2 m/s ，向左答案 A解析 取向右为正方向，设小车质量为m 1，小车速度为v 1，砂袋质量为m 2，砂袋速度为v 2，共同速度为v 共，由动量守恒定律得m 1v 1－m 2v 2＝(m 1＋m 2)v 共，得v 共＝1 m/s ，方向向右，A 项正确.7.下列情况中系统动量守恒的是( )A.小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统B.子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统C.子弹射入紧靠墙角的木块中，对子弹与木块组成的系统D.气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统答案 AB解析 小车停在光滑水平面上，人在车上走动时，对人与车组成的系统，系统受到的合外力为零，系统动量守恒，故A 正确；子弹水平射入放在光滑水平面上的木块中，对子弹与木块组成的系统，系统所受到的合外力为零，系统动量守恒，故B 正确；子弹射入紧靠墙角的木块中，子弹与木块组成的系统受墙角的作用力，系统所受到的合外力不为零，系统动量不守恒，故C 错误；气球下用轻绳吊一重物一起加速上升时，绳子突然断开后的一小段时间内，对气球与重物组成的系统，所受到的合外力不为零，系统动量不守恒，故D 错误.8.如图3所示，水平面上有两个木块，两木块的质量分别为m 1、m 2，且m 2＝2m 1.开始两木块之间有一根用轻绳缚住的已压缩轻弹簧，烧断绳后，两木块分别向左、右运动.若两木块m 1和m 2与水平面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，且μ1＝2μ2，则在弹簧伸长的过程中，两木块( )图3A.动量大小之比为1∶1B.速度大小之比为2∶1C.动量大小之比为2∶1D.速度大小之比为1∶1答案 AB解析 以两木块及弹簧组成的系统为研究对象，绳断开后，弹簧对两木块的推力可以看成是内力；水平面对两木块有方向相反的滑动摩擦力，且f 1＝μ1m 1g ，f 2＝μ2m 2g .因此系统所受合外力F 合＝μ1m 1g －μ2m 2g ＝0，满足动量守恒定律的条件.设弹簧伸长过程中某一时刻，两木块速度大小分别为v 1、v 2.由动量守恒定律有(以向右为正方向)：－m 1v 1＋m 2v 2＝0，即m 1v 1＝m 2v 2.即两木块的动量大小之比为1∶1，故A 项正确，C 项错误.两木块的速度大小之比为v 1v 2＝m 2m 1＝21，故B 项正确，D 项错误. 9.两个小木块A 和B 中间夹着一轻质弹簧，用细线捆在一起，放在光滑的水平桌面上，松开细线后，木块A 、B 分别向左、右方向运动，离开桌面后做平抛运动(离开桌面前两木块已和弹簧分离)，落地点与桌面边缘的水平距离分别为l A ＝1 m ，l B ＝2 m ，如图4所示，则下列说法正确的是( )图4A.木块A 、B 离开弹簧时的速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2B.木块A 、B 的质量之比m A ∶m B ＝2∶1C.木块A 、B 离开弹簧时的动能之比E k A ∶E k B ＝1∶2D.弹簧对木块A 、B 的作用力大小之比F A ∶F B ＝1∶2答案 ABC解析 A 、B 两木块脱离弹簧后做平抛运动，由平抛运动规律得：木块A 、B 离开弹簧时的速度大小之比为v A v B ＝l A l B ＝12，A 正确；以向左为正方向，根据动量守恒定律得：m A v A －m B v B ＝0，因此m A m B ＝v B v A ＝21，由此可知B 正确；木块A 、B 离开弹簧时的动能之比为：E k A E k B ＝m A v A 2m B v B2＝21×14＝12，C 正确；弹簧对木块A 、B 的作用力大小之比：F A F B ＝11，D 错误. 10.如图5所示，光滑的水平面上，质量为m 1的小球以速度v 与质量为m 2的静止小球正碰，碰后两小球的速度大小都为12v ，方向相反，则两小球质量之比m 1∶m 2和碰撞前后动量变化量大小之比Δp 1∶Δp 2为( )图5A.m 1∶m 2＝1∶3B.m 1∶m 2＝1∶1C.Δp 1∶Δp 2＝1∶3D.Δp 1∶Δp 2＝1∶1答案 AD11.如图6所示，光滑水平面上，质量为m 1的足够长的木板向左匀速运动.t ＝0时刻，质量为m 2的木块从木板的左端向右以与木板相同大小的速度滑上木板.t 1时刻，木块和木板相对静止，共同向左匀速运动，以v 1和a 1表示木板的速度和加速度，以v 2和a 2表示木块的速度和加速度，以向左为正方向.则下列图中正确的是( )图6答案 BD解析 木块和木板组成的系统动量守恒，因为最终共同的速度方向向左，根据m 1v －m 2v ＝(m 1＋m 2)v ′，知m 1>m 2；木块的加速度大小a 2＝f m 2，方向向左，木板的加速度大小a 1＝f m 1，方向向右，因为m 1>m 2，则a 1<a 2，故A 错误，B 正确；木块滑上木板后，木块先做匀减速运动，减到零后，做匀加速直线运动，与木板速度相同后一起做匀速直线运动.木板先做匀减速直线运动，最终匀速直线运动的速度方向向左，为正值，故D 正确，C 错误.二、非选择题12.a 、b 两个小球在一直线上发生碰撞，它们在碰撞前后的s －t 图象如图7所示.若a 球的质量m a ＝1 kg ，则b 球的质量m b 等于多少？图7答案 2.5 kg解析 由题图知v a ＝4 m /s ，v a ′＝－1 m/s ，v b ＝0，v b ′＝2 m/s ，根据动量守恒定律有m a v a ＝m a v a ′＋m b v b ′，代入数据解得m b ＝2.5 kg.13.如图8所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A 和B (均可视为质点)分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点.现将A 无初速度释放，A 与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动.已知圆弧轨道光滑，半径R ＝0.2 m ，A 和B 的质量相等，A 和B 整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.取重力加速度g ＝10 m/s 2.求：图8(1)碰撞后瞬间A 和B 整体的速率v ′；(2)A 和B 整体在桌面上滑动的距离L .答案 (1)1 m/s (2)0.25 m解析 (1)滑块A 从圆弧轨道最高点到最低点机械能守恒，由12m A v A 2＝m A gR ，可得v A ＝2 m/s.在底部和B 相撞，满足动量守恒，由m A v A ＝(m A ＋m B )v ′，可得v ′＝1 m/s.(2)根据动能定理，对A 、B 一起滑动过程由－μ(m A ＋m B )gL ＝0－12(m A ＋m B )v ′2，可得L ＝0.25 m. 14.如图9所示，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为R ，MN 为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A 以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M 时与静止于该处的质量与A 相同的小球B 发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N 的距离为2R .重力加速度为g ，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：图9(1)粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t ；(2)小球A 冲进轨道时速度v 的大小.答案 (1)2R g (2)22gR 解析 (1)粘合后的两球从飞出轨道到落地做平抛运动，由平抛运动知识得，2R ＝12gt 2① 所以t ＝2R g② (2)设球A 的质量为m ，碰撞前瞬间速度大小为v 1，把球A 冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律知12m v 2＝12m v 12＋2mgR ③ 设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v 2，由动量守恒定律知m v 1＝2m v 2④飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有2R ＝v 2t ⑤综合②③④⑤式得v ＝22gR .⑥。