福建省漳州市东山县第二中学高二数学下学期期中试题 文

福建省东山县第二中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 文
一、选择题：（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分） 1、设复数z 满足(1)2z i -=，则z ＝（ ）
A. 1
D.2
2、某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(时)，不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是( )
A ．11时
B ．13时
C ．15时
D ．17时 3、下列命题中，正确的是（ ） A. 0003,sin cos 2
x R x x ∃∈+=
B. 0x ∀≥且x R ∈，22x x >
C. 已知,a b 为实数，则2,2a b >>是4ab >的充分条件
D. 已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是
1a
b
=- 4、 执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第
二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别 为( )
A. 0，0
B. 1，1
C. 0，1
D. 1，0
5、在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为（ ）CC A. 1∶4 B . 1∶6 C. 1∶ 8 D. 1∶9
6、下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过(x ，y )；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量间有关系． 其中正确的个数是（ ）． A. 1 B . 2 C. 3 D. 4
7、下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )
A ．由a n ＝2n －1，求出S 1＝12
，S 2＝22
，S 3＝32
，…，推断：数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数
C ．由半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，推断单位圆的面积S ＝π
D ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 8、若p ＝ab ＋cd ， q ＝ma ＋nc ·b m ＋d
n (m ，n ，a ，b ，c ，d 均为正数)，
则p ，q 的大小为( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p >q
D ．不确定
9、如图，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点恰好是椭圆(a ＞b ＞0)的右焦 点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为（ ）
A.
1 B.
2
1-
10、设12,F F 是双曲线2
2
124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上
的一点，且1234PF PF =，则
12PF F 的面积等于( ) A ．4 2
B ．8 3
C ．48
D ．24
11、已知函数()2
1sin cos 2
f x x x x x =
+，则其导函数()
f x '的图象大致是（ ）
12、函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '> ， 则()f x ＞2x+4的解集为（ ）
A ．（﹣1，1）
B ．（﹣1，+∞）
C ．（﹣∞，﹣l ） D
．（﹣∞，+∞）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、在复平面内，复数
()2
1, 11i i i
-++(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为 .
14、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量(,)a m n =与向量(1,2)b =-的夹角为θ,则θ为锐角．．
的概率是 . 15、如图，)(x f y =是可导函数，直线2+=kx y 是曲线)(x f y = 在3=x 处的切线，令)()(x xf x g =，)(x g '是)(x g 的导函数， 则=')3(g _______.
16、定圆(2
2:16M x y ++=,动圆N 过点)
F
且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹
为E .则轨迹 E 的方程 ；
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分10分）
已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根．(i 为虚数单位) (1)求实数a ，b 的值．
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 18、（本小题满分12分）
某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作的积极性和对待企业改革的态度的关系，随机抽取了100名员工进行调查，其中支持企业改革的调查者中，工作积极的有46人，工作一般的有35人，而不太赞成企业改革的调查者中，工作积极的有4人，工作一般的有15人． （1）根据以上数据建立一个2×2列联表；
（2）对于人力资源部的研究项目，根据以上数据是否可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关系？
参考公式：
(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )
19、（本小题满分12分）
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a ，其中b=﹣20，a=﹣b ；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是 4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本） 20、（本小题满分12分）
某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x +y +z 评价该产品的等级.若S ≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的非一等品率. (2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.
21、（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶
点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2
PT PA PB λ=⋅，并求λ的值．
22、(本小题满分12分)
已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 为奇函数，且在x=﹣1处取得极大值2． （Ⅰ）求f （x ）解析式；
（Ⅱ）过点A （1，t ）（t ≠﹣2）可作函数f （x ）象的三条切线，求实数t 的取值范围； （Ⅲ）若f （x ）+（m+2）x ≤x 2
（e x
﹣1）对于任意的x ∈[0，+∞）恒成立，求实数m 取值范围．
参考答案 BACD CCAB ADCB
13、2i 14、16 15、0 16、2
214
x y +=；
17、解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0得
(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，∴a ＝2，b ＝2. (2)猜测：－1－i 是方程的另一个根． 证明：设另一个根为x 2，由根与系数的关系， 得i －1＋x 2＝－2，∴x 2＝－1－i.
把x 2＝－1－i 代入方程左边得(－1－i)2
＋2(－1－i)＋2＝2i －2－2i ＋2＝0＝右边， ∴x 2＝－1－i 是方程的另一个根．
18.解 (1)根据题设条件，得2×2列联表如下：
...................................................（6分） (2)提出假设：企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关． 根据(1)中的数据，可以求得 χ2＝
－2
50×50×19×81
≈7.862>6.635，所以有99%的把握认为抽样员工对待企业改革
的态度与工作积极性有关，从而认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．...................................（12分）
19、解：（I ）， =
∵b=﹣20，a=﹣b ， ∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程=﹣20x+250； （II ）设工厂获得的利润为L 元，
则L=x （﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20
∴该产品的单价应定为
元，工厂获得的利润最大．
20. 解：(1)计算10件产品的综合指标S,如下表
其中S ≤4的有A 1,A 2,A 4,A 5,A 7,A 9,共6件,故该样本的一等品率为10
=0.6, 从而可估计该批产品的非一等品率为0.4.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为 (A 1,A 2),(A 1,A 4),(A 1,A 5),(A 1,A 7),(A 1,A 9), (A 2,A 4),(A 2,A 5),(A 2,A 7),(A 2,A 9), (A 4,A 5),(A 4,A 7),(A 4,A 9), (A 5,A 7),(A 5,A 9), (A 7,A 9),共15种. ②62().155
P B =
= 21、(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2
b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
2b 2＋y 2
b
2＝1，y ＝－x ＋3，
得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b 2
－3)，由Δ＝0，得b 2
＝3，
此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 2
3＝1.点T 的坐标为(2,1)． (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝1
2x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝12
x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－2m
3，y ＝1＋2m
3.
所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝
89m 2.
设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
3＝1，
y ＝1
2x ＋m ，
可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <32
2. 由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－12
3. 所以|PA |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2－2m 3－x 2. 所以|PA |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3x 1＋x 2＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2
－123＝10
9m 2.
故存在常数λ＝4
5，使得|PT |2
＝λ|PA |·|PB |.
22、【分析】（Ⅰ）由已知得f′（x ）=3ax 2
+c ，，由此能求出f （x ）解析
式．
（Ⅱ）设切点为（x 1，y 1），则，消去y 1得t=﹣2x 13+3x 12﹣3，设h （x ）=
﹣2x 3+3x 2﹣3，由此利用导数性质能求出实数t 的取值范围）．
（Ⅲ）由已知得x 3
﹣3x+（m+2）x ≤x 2
（e x
﹣1），（m+2）x ≤x 2
（e x
﹣1）﹣x 3
+3x ，由此利用构造法和导数性质能求出实数m 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 为奇函数， ∴b=d=0，∴f′（x ）=3ax 2+c ， ∵f （x ）在x=﹣1处取得极大值2，
∴
，解得a=1，c=﹣3，
∴f （x ）解析式为f （x ）=x 3﹣3x ．
（Ⅱ）设切点为（x1，y1），则，
消去y1得t=﹣2x13+3x12﹣3，
设h（x）=﹣2x3+3x2﹣3，则h′（x）=﹣6x2+6x=﹣6x（x﹣1），由h′（x）＞0，得0＜x＜1，由h′（x）＜0，得x＜0或x＞1，∴h（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）递减，（0，1）递增，
∴h（x）极小值=h（0）=﹣3，h（x）极大值=h（1）=﹣2，
要使过点A（1，t）可作函数y=f（x）图象的三条切线，
则实数t的取值范围为（﹣3，﹣2）．
（Ⅲ）∵f（x）+（m+2）x≤x2（e2﹣1），
∴x3﹣3x+（m+2）x≤x2（e x﹣1），
从而（m+2）x≤x2（e x﹣1）﹣x3+3x，
当x=0时，m∈R，
当x＞0时，∴m+2≤xe x﹣x﹣x2+3，∴m≤x（e x﹣x﹣1）+1，
设t（x）=e x﹣x﹣1，则t′（x）=e x﹣1＞0，
∴t（x）在（0，+∞）递增，t（x）＞t（0）=0，
∴g（x）=x（e x﹣x﹣1）+1＞1，
从而m≤1，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，1]．。