高中数学2类比推理课件a选修12a高二选修12数学课件

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类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的 性质，可推知正四面体有下列性质：
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相 等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二 面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上 的任两条棱的夹角都相等．
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Байду номын сангаас
1．类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识 推广的思维过程．学习立体几何常常通过类比平面几何， 发现和得到一些立体几何的结论．
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易错警示系列
类比推理不严格致误．
【典例】 已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实
数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0，a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为
M，N，则“
a1 a2
＝bb21＝cc12
”是“M＝N”成立的________条件
(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
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3．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从 特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼 及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、 联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的．学 习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能 力和创新能力．合情推理只是一种猜测，结论不一定正 确．
2．两类事物有一定的相似之处，可以是实数与向量、 实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何，也可以是不 同的圆锥曲线．
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数学的许多分支都有相通之处，也有可类比之处，这 有助于我们研究一些陌生的问题．但利用类比推理得出的 结论不一定正确，还需要严格的推理证明．这一点与归纳 推理类似．
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[规律方法] 在类比推理中，找出两类事物之间的相似 性或一致性，特别是由平面向空间类比中，注意研究空间 和平面的根本区别．
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不等式结论的类比
【例3】 若a1，a2∈R＋，则有不等式
a21＋a22 2
≥(
a1＋a2 2
)2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两
＝a1＋a1＋2n－1d＝a1＋d2(n－1)，仍为等差数列． 而等比数列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得
dn＝n c1c2c3…cn＝n c1c1qc1q2…c1qn－1
n ＝
c1n·qnn－ 2 1＝c1qn－2 1，仍为等比数列．
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平面几何与立体几何之间的类比
【例2】 六个面都是平行四边形的四棱柱称为平
行六面体，在▱ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，
那么在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC
2 1
＋BD
2 1
＋
CA21＋DB12等于( )
A．2(AB2＋AD2＋AA21) B．3(AB2＋AD2＋AA21)
C．4(AB2＋AD2＋AA12) D．4(AB2＋AD2)
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2．类比推理是两类事物_特__征__之间的推理，根据解 决问题的需要，可对概__念__、__结__论__、_方__法_____进行类比．
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合情推理
归纳推理和类比推理是最常见的_合__情__推__理__，__合__情___ _推_理___是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测 出某些结果的推理方式．
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[结论] 在四面体V－BCD中，任取一点O，连结VO、 DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点，则
OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH＝1.
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[证明] 在四面体O－BCD与V－BCD中， 1
OVEE＝hh1＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD， 同理ODFF＝VVOD－ －VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.
OA′ AA′
＋
OBBB′′＋OCCC′′＝SS△△OABBCC＋SS△△OABCCA＋SS△△OABACB＝SS△ △AABBCC＝1，
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请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在 什么类似的结论？并用体积法证明．
[分析] 考虑到用“面积法”证明结论时，把O点与三 角形的三个顶点连结，把三角形分成三个三角形，利用面 积相等来证明相应结论．在证明四面体中类似结论时，可 考虑利用体积的方法相应结论．
第三章
推理 与证明 (tuīlǐ)
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§1 回归(huíguī)分析
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1．2 类 比 推 理
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
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学习目标 1.理解类比推理的概念，能利用类比推理进行简单的推 理，掌握类比推理解决问题的思维过程. 2.理解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学发 展中的作用.
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课堂篇02
合作探究
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等差数列与等比数列之间的类比 【例1】 在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成 立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9＝ 1，则有等式________成立．
个不同类型的推广．
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【思路探究】 注意观察不等式两边的结构，两个数 的平方，若三个数、四个数、n个数怎样变化呢？若次数为 三次、四次、 n次又怎样变化呢？注意思维要发散．
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【尝试解答】 第一种类型：
a21＋a22＋a23 3
≥(a1＋a32＋a3)2，a21＋a22＋4 a32＋a24≥(a1＋a2＋4 a3＋a4)2，
…
a21＋a22＋n …＋a2n≥(a1＋a2＋an3＋…＋an)2.
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第二种类型：a31＋2 a23≥(a1＋2 a2)3， a41＋2 a24≥(a1＋2 a2)4， … an1＋2 a2n≥(a1＋2 a2)n. 第三种类型：a31＋a323＋a33≥(a1＋a32＋a3)3， … an1＋a2n＋n …＋ann≥(a1＋a2＋n …＋an)n.
又不必要”的一种)．
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【错解】
由
aa12＝
bb21＝
c1 c2
知两个不等式同解，即“aa21
＝
bb12＝cc12”是“M＝N”成立的充要条件．故填：充要．
【错解分析】 类比推理是不严格的，所得结论的正
确与否有待用实践来证明．解题时直接使用类比所得结论
进行推理容易出现错误，误解将方程的同解原理类比到不
类比上述性质，相应地： 若数列{cn}(n∈N＋)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝ ________(n∈N＋)也是等比数列． 【答案】 n c1c2c3…cn
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【解析】 等差数列中由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得bn ＝a1＋a2＋an3＋…＋an＝a1＋2nann＝a1＋2 an
【答案】
T8 T4
T12 T8
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【解析】 等差数列类比于等比数列时，和类比于 积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn} 的前n 项积为Tn，则T4，TT84，TT182，TT1162成等比数列．
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内容(nèiróng)总结
第三章
No Image
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【尝试解答】 本题考查等差数列与等比数列的类 比．一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质 用加法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am＋ an＝ap＋aq)；
等比数列→用除法定义→性质用乘法表述(若m、n、 p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq)．
综上知，“
a1 a2
＝
b1 b2
＝
c1 c2
”是“M＝N”成立的既不充分
又不必要条件．故填：既不充分又不必要．
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设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－ S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列前n 项积为Tn，则T4，________，________，TT1162成等比数列．
≥4，…可类比x＋xan≥n＋1，则a的值为( )
A．2n
B．n2
C．22(n－1)
D．nn
【答案】 D
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【解析】 将所给出的三个不等式变形x＋1x≥2，x＋2x22 ≥3，x＋3x33≥4，可类比x＋nxnn≥n＋1，故a＝nn.
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提高篇 03
自我超越
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[规律方法] 像这样的类比推广问题，可采用纵、横推 广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横 向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广； 第三种类型则是纵、横综合推广．
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已知x∈R＋，不等式x＋
1 x
≥2，x＋
4 x2
≥3，x＋
27 x3
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所以AC21＋CA21＋BD12＋DB21＝2(AC2＋BD2)＋4AA21 ＝4(AB2＋AD2＋AA21)． 【答案】 C
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已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长
交对边于A′，B′，C′，则OAAA′′＋OBBB′′＋OCCC′′＝1，这
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重点难点 重点：理解类比推理的概念. 难点：掌握类比推理解决问题的思维过程.
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预习篇01
新知导学
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类比推理概念
1．两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础 上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有 类似的其他特征，我们把这种推理过程称为_类__比__推_理__．__
等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．
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【正解】
当
a1 a2
＝
b1 b2
＝
c1 c2
时，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝
b2＝c2＝－1，则M＝∅，N＝R，即aa12＝bb21＝cc12⇒/ M＝N；
当M＝N＝∅时，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝1，b2＝2，c2
＝3，则aa12≠bb21≠cc12，即M＝N⇒/ aa21＝bb12＝cc12.
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[规律方法] 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要 考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比思想方 法由等差数列{an}而得到等比数列{bn}的新的一般性的结 论．
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若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝ a1＋a2＋an3＋…＋an(n∈N＋)也是等差数列．
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由此，猜想本题的答案为： b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)． 事实上，对等差数列{an}，如果ak＝0，则an＋1＋a2k－1－n ＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有：a1＋a2＋…＋an＝ a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n<2k－ 1，n∈N＋)．从而对等比数列{bn}，如果bk＝1，则有等式： b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n<2k－1，n∈N＋)成立． 【答案】 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)
【思路探究】 由平面几何发展到空间立体几何，往 往有许多相似之处，有许多结论可以进行类比得到，只不 过是由二维变成三维而已．
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【尝试解答】 如图所示，四边形AA1C1C和BB1D1D也 都是平行四边形，从而有
AC21＋CA21＝2(AC2＋AA21)，BD21＋DB21＝2(BD2＋BB21)，
12/8/2021
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