【数学】2015学年浙江省金华市义乌市八年级下学期数学期末试卷带解析答案PDF

2014-2015学年浙江省金华市义乌市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的值是（）
A．2 B．±2 C．D．16
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A．x﹣y=1 B．x=3 C．x2﹣1=0 D．3y﹣1=0
4．（3分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
5．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）
A．有两个角是直角
B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角
6．（3分）如图，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点，连接DE，EF，DF，则图中共有平行四边形的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们命中环数的平均数相同，但标准差不同，甲、乙的标准差分别为4，5，则射击成绩比较稳定的是（）A．甲B．乙
C．甲和乙一样稳定 D．以上都不对
8．（3分）函数y=﹣k（x﹣1）及y=在同一坐标系中的图象大致是（）
A．B．C． D．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
10．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是边形．12．（3分）一组数据3，5，x，4，6的平均数是4，则x=．
13．（3分）联华超市三月份的营业额为200万元，五月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同．若营业额的平均每月的增长率为x，可列出方程为：．
14．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．
16．（3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则P2点的坐标为，P3的坐标为．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）化简或计算：
（1）﹣+2
（2）已知a=﹣2，b=+2，求代数式a2﹣ab+b2的值．
18．（6分）请用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣4）2=18
（2）4x2﹣4x﹣3=0．
19．（6分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师以八年级（1）班50位学生为样本进行了一分钟跳绳次数测试．根据测试结果，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第组；
（4）已知该校八年级共有学生800，请你估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名？
20．（8分）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
21．（8分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
22．（8分）已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°且BC=8，梯形ABCD绕点A顺时针旋转α度后得到梯形AEFG，α为锐角．
（1）如图1，旋转过程中，若α=30°，则线段AB与线段EF是否有交点？（填“是”或“否”），尝试并猜想，若线段AB与线段EF始终有交点时，α的取值范围是．
（2）如图2，若B点落在线段EF上，F，G和D三点在同一直线上，则得到的四边形ABFG是平行四边形，你能证明吗？请写出理由．
（3）如图2中的平行四边形ABFG是菱形时，请求出此时梯形ABCD的面积．23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，函数y=（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），B（a，b）过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AD，CB，CD．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数表达式．
2014-2015学年浙江省金华市义乌市八年级（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）的值是（）
A．2 B．±2 C．D．16
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：=2．
故选：A．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（）
A．x﹣y=1 B．x=3 C．x2﹣1=0 D．3y﹣1=0
【分析】根据一元二次方程的定义进行选择即可．
【解答】解：A、该方程中含有2个未知数，属于二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程中的未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程中的未知数的最高次数是1，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：C．
4．（3分）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
【解答】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
5．（3分）用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）
A．有两个角是直角
B．有两个角是钝角
C．有两个角是锐角
D．一个角是钝角，一个角是直角
【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断．
【解答】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A．
6．（3分）如图，点D、E、F分别是△ABC的三边的中点，连接DE，EF，DF，则图中共有平行四边形的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由题意知，DE，EF，DF是三角形的中位线，有EF∥AB，DF∥BC，DE ∥AC，根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形DEAF，DFCE，DFEB是平行四边形，共有3个．
【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC的三边的中点
∴EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC
∴四边形DEAF，DFCE，DFEB是平行四边形，即有3个平行四边形．
故选：B．
7．（3分）甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，他们命中环数的平均数相同，但标准差不同，甲、乙的标准差分别为4，5，则射击成绩比较稳定的是（）A．甲B．乙
C．甲和乙一样稳定 D．以上都不对
【分析】根据标准差越小越稳定可以解答本题．
【解答】解：∵甲、乙的标准差分别为4，5，4＜5，
∴甲射击成绩比较稳定，
故选：A．
8．（3分）函数y=﹣k（x﹣1）及y=在同一坐标系中的图象大致是（）
A．B．C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【解答】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=﹣k（x﹣1）=﹣kx+k与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象
限，y=的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=﹣k（x﹣1）=﹣kx+k与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象
限，y=的图象在第二、四象限．
故选：D．
9．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE不可能为正方形，
③DE长度的最小值为4；
④四边形CDFE的面积保持不变；
⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是（）
A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤
【分析】解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．【解答】解：连接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形（故①正确）．
当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形（故②错误）．
∵△ADF≌△CEF，
=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，（故④正确）．
∴S
△CEF
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=BC=4．
∴DE=DF=4（故③错误）．
当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．
=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8（故⑤正确）．
此时S
△CDE
故选：B．
10．（3分）如图，过点C（1，2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+6于A、B两点，若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）
A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8
【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数系数的几何意义可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y=﹣x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．
【解答】解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=﹣1+6=5，
当y=2时，﹣x+6=2，解得x=4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，
则k=x（﹣x+6）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9．
故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是8边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则1080°=（n﹣2）•180°，解得n=8．
故答案为：8．
12．（3分）一组数据3，5，x，4，6的平均数是4，则x=2．
【分析】根据算术平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
（3+5+x+4+6）÷5=4，
解得：x=2；
故答案为：2．
13．（3分）联华超市三月份的营业额为200万元，五月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同．若营业额的平均每月的增长率为x，可列出方程为：200（1+x）2=288．
【分析】若营业额的平均每月的增长率为x，三月份的营业额为200万元，则四月份的营业额为200（1+x），五月份营业额为200（1+x）（1+x），即200（1+x）
2=288．
【解答】解：若营业额的平均每月的增长率为x，
则由题意得，200（1+x）2=288．
14．（3分）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．
【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0
得：x=3或4
∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；
∴菱形的边长为4．
∴菱形ABCD的周长为4×4=16．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
【分析】当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）；
16．（3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则P2
点的坐标为（2，1），P3的坐标为（+1，﹣1）．．
【分析】作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1
（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则
OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标．【解答】解：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，如图，
设P1（a，），则CP1=a，OC=，
∵四边形A1B1P1P2为正方形，
∴Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，
∴OB1=P1C=A1D=a，
∴OA1=B1C=P2D=﹣a，
∴OD=a+﹣a=，
∴P2的坐标为（，﹣a），
把P2的坐标代入y=（x＞0），得到（﹣a）•=2，解得a=﹣1（舍）或a=1，∴P2（2，1），
设P3的坐标为（b，），
又∵四边形P2P3A2B2为正方形，
∴P2P3=P3A2，∠P3EA2=∠P2FP3，
∴Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，
∴P3E=P3F=DE=，
∴OE=OD+DE=2+，
∴2+=b，解得b=1﹣（舍），b=1+，
∴==﹣1，
∴点P3的坐标为（+1，﹣1）．
故答案为：（2，1），（+1，﹣1）．
三、解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）化简或计算：
（1）﹣+2
（2）已知a=﹣2，b=+2，求代数式a2﹣ab+b2的值．
【分析】（1）首先化简，然后求出算式的值是多少即可．
（2）a2﹣ab+b2=（a﹣b）2+ab，据此求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）﹣+2
=4﹣2+
=3
（2）a=﹣2，b=+2时，
a2﹣ab+b2
=（a﹣b）2+ab
=[（﹣2）﹣（+2）]2+（﹣2）（+2）
=16+1
=17
18．（6分）请用适当的方法解下列方程：
（1）2（x﹣4）2=18
（2）4x2﹣4x﹣3=0．
【分析】（1）先系数化为1，再用直接开平方法求解即可；
（2）先因式分解，化为两个一元一次方程，求解即可．
【解答】解：（1）系数化为1得（x﹣4）2=9，
开方得，x﹣4=±3，
即x1=7，x2=1；
（2）因式分解得，（2x+1）（2x﹣3）=0，
2x+1=0或2x﹣3=0，
即x1=﹣，x2=．
19．（6分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师以八年级（1）班50位学生为样本进行了一分钟跳绳次数测试．根据测试结果，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a=12；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）这个样本数据的中位数落在第3组；
（4）已知该校八年级共有学生800，请你估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名？
【分析】（1）由于八年级（1）班有50位学生，根据频数分布表的数据即可求出a的值；
（2）根据频数分布表的数据即可把频数分布直方图补充完整；
（3）由于八年级（1）班有50位学生，根据中位数的定义和频数分布表即可确定这个样本数据的中位数落在哪个小组；
（4）首先根据频数分布表可以求出一分钟跳绳次数不低于120次的八年级（1）班学生人数，然后除以50即可得到一分钟跳绳次数不低于120次的百分比，最后利用一般估计总体的思想即可求出一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约多少名．
【解答】解：（1）a=50﹣6﹣8﹣18﹣6=12；
（2）如图所示：
（3）∵八年级（1）班有50位学生，
∴中位数应该是第25、26两个数的和的平均数，
∴这个样本数据的中位数落在第3组；
（4）∵八年级（1）班学生人数为50人，而一分钟跳绳次数不低于120次的有36人，
∴800×=576人．
∴估计一分钟跳绳次数不低于120次的八年级学生大约576名．
20．（8分）某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．
【分析】（1）总利润=每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，再求当w=1200时x的值；
（2）根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
【解答】解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，
根据题意得w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250
（1）当w=1200时，﹣2x2+60x+800=1200，
解之得x1=10，x2=20．
根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）解：商场每天盈利（40﹣x）（20+2x）
=﹣2（x﹣15）2+1250．
所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．
21．（8分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点
A的横坐标为4，
（1）求k的值；
（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
【分析】（1）因为点A在直线y=x上，故将其横坐标代入直线的解析式，求出对应的y的值，即可求得点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集；
（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，），根据正比例函数与反比例函数的对称性即可得出四边形APBQ为平行四边形，根据平行
=6，分点P在直线AB上四边形的性质结合平行四边形的面积为24可得出S
△OAP
方及点P在直线AB下方两种情况考虑，找出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A 的横坐标为4，
∴×4=2，即：A点的坐标为（4，2），
∴k=4×2=8，
即：k的值为8．
（2）∵点A与点B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），
又∵不等式x＞的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的x的取值，
∴由图象可知：不等式x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．
（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，）．
∵P、Q关于O点对称，A、B关于O点对称，
∴四边形APBQ为平行四边形，
=24，
∴4S
△OAP
∴S
=6．
△OAP
①当点P在直线AB的下方时，如图1所示，
S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a•=6，
∴a2﹣6a﹣16=0，
解得：a1=﹣2，a2=8，
∴此时点P的坐标为（8，1）；
②当点P在直线AB的上方时，如图2所示，
S△OAP=a•+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6，
∴a2+6a﹣16=0，
解得：a1=2，a2=﹣8，
∴此时点P的坐标为（2，4）．
综上所述：点P的坐标为（8，1）或（2，4）．
22．（8分）已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°且BC=8，梯形ABCD绕点
A顺时针旋转α度后得到梯形AEFG，α为锐角．
（1）如图1，旋转过程中，若α=30°，则线段AB与线段EF是否有交点？是（填“是”或“否”），尝试并猜想，若线段AB与线段EF始终有交点时，α的取值范围是0°≤α≤60°．
（2）如图2，若B点落在线段EF上，F，G和D三点在同一直线上，则得到的四边形ABFG是平行四边形，你能证明吗？请写出理由．
（3）如图2中的平行四边形ABFG是菱形时，请求出此时梯形ABCD的面积．【分析】（1）如图1，画图可知，线段AB与线段EF有交点为H，当α=60°时，线段AB与线段EF的交点与点B重合，可得α的取值范围；
（2）如图3，连接GD，若B点落在线段EF上，则α=60°，由已知得AG∥BF，再证明AB∥GF即可；利用旋转的性质和已知梯形的性质得出∠ABE=∠F=60°，则AB∥FG，所以四边形ABFG是平行四边形；
（3）如图4，作梯形的高AN，根据等边三边形的性质求出上底，再利用三角函数值求高AN，代入面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1，线段AB与线段EF有交点为H，
如图2，当α=60°时，线段AB与线段EF的交点与点B重合，所以若线段AB与线段EF始终有交点时，α的取值范围是0°≤α≤60°；
故答案为：是，0°≤α≤60°；
（2）如图3，连接GD，由已知得：F，G和D三点在同一直线上，
若B点落在线段EF上，则α=60°，
由旋转得：∠EAB=∠GAQ=60°，∠ABC=∠E=60°，AD=AG，
∴△AGD、△ABE都是等边三角形，
∴∠ADF=∠ABE=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠BAG=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴E、A、D共线，
∵AD∥BC，
∴ED∥BC，
∴∠FBM=∠E=60°，∠BMF=∠ADF=60°，
∴∠F=60°，
∴∠ABE=∠F=60°，
∴AB∥FG，
∵AG∥EF，
∴四边形ABFG是平行四边形；
（3）当平行四边形ABFG是菱形时，如图4，点G在BC上，过A作AN⊥BC，垂足为N，
由（2）得：△AEB、△ADG、△ABG、△FBG是等边三角形，∴EB=BF=BG=AD=AB=4，
在Rt△ABN中，sin∠ABC=，
∴AN=sin60°×4=4×=2，
∴S
=（AD+BC）•AN=×2（4+8）=12．梯形ABCD
23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，函数y=（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），B（a，b）过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AD，CB，CD．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数表达式．
【分析】（1）根据题意AC垂直于x轴，由A的坐标得到C（1，0），设出点D坐标和反比例函数解析式，结合点A（1，4）在函数图象上，得到反比例函数解析式，从而得到ab=4，再根据△ABD的面积为4，根据底为BD，高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形ABD的面积，由此三角形面积为4列出关系式，将ab=4代入可得出a的值，进而确定出b的值，即可得到点B的坐标；
（2）设BD，AC交于点E，利用锐角三角函数的定义得出tan∠EAB=tan∠ECD，进而可得出结论；
（3）根据DC∥AB，当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得出a的值，故可得出点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可；
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，求出a的值，故可得出点B的坐标，
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，利用待定系数法求出直线AB的函数表达式即可．
【解答】解：（1）根据题意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），
故设点D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函数y=的图象上，
∴将x=1，y=4代入反比例函数解析式得：4=，即m=4，
∵根据点B（a，b）在反比例函数图象上，
∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：ab=4，
=BD•AM=×a×（4﹣b）=4，即4a﹣ab=4a﹣4=8，
∴S
△ABD
∴a=3，b=，
则点B的坐标为（3，）；
（2）解法1，设BD，AC交于点E，
∵在Rt△AEB中，tan∠EAB===；
在Rt△CED中，tan∠ECD===；
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
解法2，设BD，AC交于点E，根据题意，可得B点的坐标为（a，），D点的坐标为（0，），E点的坐标为（1，）．
∵a＞0，AE=4﹣，CE=，EB=a﹣1，ED=1；
∴==a﹣1，
∴==a﹣1．
又∵∠AEB=∠CED；
∴△AEB∽△CED
∴∠EAB=∠ECD；
∴DC∥AB．
（3）解法1，∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，由中心对称的性质得：BE=DE，则a﹣1=1，得a=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得，解得．
∴直线AB的函数表达式是y=﹣2x+6．
②当AD与BC所在直线不平行时，由轴对称的性质得：BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，
得，
解得．
∴直线AB的函数表达式是y=﹣x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=﹣2x+6或y=﹣x+5．
解法2，当AD=BC时，AD2=BC2．
在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2；在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2
∴（4﹣）2+12=（a﹣1）2+（）2，
整理得：a3﹣2a2﹣16a﹣32=0，
∴（a﹣2）（a+4）（a﹣4）=0；
∴a=2或a=﹣4或a=4，
∵a＞1，
∴a=2或a=4．
①当a=2时，点B的坐标是（2，2）．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得，
解得．
∴直线AB的函数解析式是y=﹣2x+6．
②当a=4时，点B的坐标是（4，1）．
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，分别把点A，B的坐标代入，得，
解得．
∴直线AB的函数表达式是y=﹣x+5．
综上所述，所求直线AB的函数表达式是y=﹣2x+6或y=﹣x+5．。