苏科版常州市八年级上学期期末学情检测数学试题(含答案)

苏科版常州市八年级上学期期末学情检测数学试题（含答案） 一、选择题 1．若点P 在y 轴负半轴上，则点P 的坐标有可能是（ ） A ．()1,0- B ．()0,2- C ．()3,0 D ．()0,4
2．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分△BED 的面积是 （ ）
A ．18
B ．22.5
C ．36
D ．45 3．如图，将△ABC 折叠，使点A 与BC 边中点D 重合，折痕为MN ，若AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
4．下列根式中是最简二次根式的是( )
A ．23
B ．3
C ．9
D ．12 5．若2149x kx ++
是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．1
3
± 6．以下关于多边形内角和与外角和的表述，错误的是（ ）
A ．四边形的内角和与外角和相等
B ．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补
C ．六边形的内角和是外角和是2倍
D ．如果一个多边形的每个内角是120︒，那么它是十边形.
7．下列交通标识中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列条件中，不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ）
A ．a ：b ：c ＝3：4：5
B ．∠A ：∠B ：∠
C ＝3：4：5 C ．∠A +∠B ＝∠C
D ．a ：b ：c ＝1：23
9．下到图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的交点坐标为（ ）
A ．(2,0)
B ．(-2,0)
C ．(6,0)
D ．(-6,0) 11．在下列黑体大写英文字母中，不是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ．
12．点P(－2，3)关于x 轴的对称点的坐标为（ ）
A ．(2,3)
B ．(－2，－3)
C ．(2，－3)
D ．(－3,2)
13．下列分式中，x 取任意实数总有意义的是（ ）
A ．21x x
+ B ．221(2)x x -+ C ．211x x -+ D ．2x x + 14．点P （1，﹣2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，2） C ．（﹣1，﹣2） D ．（﹣2，1）
15．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．A
B =DE B ．A
C =DF C ．∠A =∠
D D ．BF =EC
二、填空题
16．函数1y=x 2
-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ． 17．如图，直线I I ：1y x =+与直线2I ：y mx n =+相交于点(,2)P a ，则关于x 的不等式1x mx n +≥+的解集为______．
18．3-的绝对值是 ．
19．已知实数x 、y 满足|3|20x y ++-=，则代数式()2019x y +的值为______.
20．如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_____．
21．若等腰三角形的顶角为100︒，则这个等腰三角形的底角的度数__________．
22．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
23．若关于x 的分式方程
122x x a x x
--=--有增根，则a 的值_____________. 24．小明体重约为62.36千克，如果精确到0.1千克，其结果为____千克．
25．等腰三角形的一个内角是100︒，则它的底角的度数为_________________. 三、解答题
26．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC 的三个顶点的坐标分别为(3,6)A -，(1,2)B -，(5,4)C -
（1）作出三角形ABC 关于y 轴对称的三角形111A B C
（2）点1A 的坐标为 .
（3）①利用网络画出线段AB 的垂直平分线L ；②P 为直线上L 上一动点，则PA PC +的最小值为 .
27．如图，四边形ABCD 中，AB CB AD CD ==，，对角线AC ，BD 相交于点O ，,OE AB OF CB ⊥⊥，垂足分别是E 、F ，求证：OE OF =．
28．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

小明同学对以上结论作了进一步探究.如图1，在Rt ABC ∆中，190,2
ACB AC AB ∠==，则：30ABC ∠=. 探究结论：（1）如图1，CE 是AB 边上的中线，易得结论：ACE ∆为________三角形. （2）如图2，在Rt ABC ∆中，190,,2
ACB AC AB CP ∠==是AB 边上的中线，点D 是边CB 上任意一点，连接AD ，在AB 边上方作等边ADE ∆，连接BE .试探究线段BE 与DE 之间的数量关系，写出你的猜想加以证明.
拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等边ABC ∆，当点C 在第一象内，且(2,0)B 时，求点C 的坐标.
29．某年级380名师生秋游，计划租用7辆客车，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表．
甲种客车乙种客车
载客量（座/辆）6045
租金（元/辆）550450
（1）设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数表达式；
（2）当甲种客车有多少辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是多少元．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝3
4
x与一次函数y＝﹣x+7的图
象交于点A，x轴上有一点P(a，0)．
（1）求点A的坐标；
（2）若△OAP为等腰三角形，则a＝；
（3）过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧）、分别交y＝3
4
x和y＝﹣x+7的图象于
点B、C，连接OC．若BC＝7
5
OA，求△OBC的面积．
31．小明从家出发沿一条笔直的公路骑自行车前往图书馆看书，他与图书馆之间的距离y （km）与出发时间t（h）之间的函数关系如图1中线段AB所示，在小明出发的同时，小明的妈妈从图书馆借书结束，沿同一条公路骑电动车匀速回家，两人之间的距离s（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE﹣EF所示．
（1）小明骑自行车的速度为km/h、妈妈骑电动车的速度为km/h；
（2）解释图中点E的实际意义，并求出点E的坐标；
（3）求当t为多少时，两车之间的距离为18km．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据y轴上的点的坐标特点，横坐标为0，然后根据题意求解.
【详解】
解：∵y轴上的点的横坐标为0，
又因为点P在y轴负半轴上，
∴（0，-2）符合题意
故选：B
【点睛】
本题考查坐标轴上的点的坐标特点，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
易得BE=DE，利用勾股定理求得DE的长，利用三角形的面积公式可得阴影部分的面积．【详解】
根据翻折的性质可知：∠EBD=∠DBC．
又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠EBD，∴BE=DE．设BE=DE=x，∴AE=12﹣x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，即（12﹣x）2+62=x2，x=7.5，
∴S△EDB=1
2
×7.5×6=22.5．
故选B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．同时
也考查了勾股定理，利用勾股定理得到DE的长是解决本题的关键．
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得BD=3，由折叠的性质可知DN=AN，即DN+BN=AB=9，可得△DNB的周长.
【详解】
解：∵D是BC的中点，BC=6，
∴BD=3，
由折叠的性质可知DN=AN，
∴△DNB的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD=AB+BD=9+3=12.
故选A.
【点睛】
本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
A
B
C，故此选项错误；
D=
故选B．
考点：最简二次根式．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k的值．
【详解】
由完全平方式的形式（a±b）2=a2±2ab+b2可得：
kx=±2•2x•1
3
，
解得k=±
43
． 故选：C 【点睛】
本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和和外角和定理，逐一判断排除即可得解.
【详解】
A.四边形的内角和为360°，外角和也为360°，A 选项正确；
B.根据四边形的内角和为360°可知，一组对角互补，则另一组对角也互补，B 选项正确；
C.六边形的内角和为62180720()-⨯︒=︒，外角和为360°，C 选项正确；
D.假设是n 边形，
(2)180120n n -⨯︒=︒解得610n =≠，D 选项错误. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和、外角和定理，熟练掌握计算公式是解决本题的关键. 7．B
解析：B
【解析】
某个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，以上图形中，B 是轴对称图形，故选B
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
A 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；
B 、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；
C 、根据三角形的内角和为180度，即可计算出∠C 的值；
D 、根据比值结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状.
【详解】
A 、因为a ：b ：c=3：4：5，所以设a=3x ，b=4x ，c=5x ，则（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，故为直角三角形，故A 选项不符合题意；
B 、因为∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，所以设∠A=3x ，则∠B=4x ，∠C=5x ，故
3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形，故B 选项符合题意；
C 、因为∠A+∠B=∠C ，∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，故为直角三角形，故C 选项不符合题意；
D 、因为a ：b ：c=1：2，所以设a=x ，b=2x ，x ，则x 2+x ）2=（2x ）2，故为直角三角形，故D 选项不符合题意，
故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义，依次对各选项进行判断即可. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
【详解】
解：A 、是轴对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，故此选项错误；
C 、不是轴对称图形，故此选项正确；
D 、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形，熟记轴对称图形的定义，并能依据定义判断一个图形是不是轴对称图形是解决此题的关键.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
先求出平移后的解析式，继而令y=0，可得关于x 的方程，解方程即可求得答案.
【详解】
根据函数图象平移规律，可知3y x =向上平移6个单位后得函数解析式应为36y x =+， 此时与x 轴相交，则0y =，
∴360x +=，即2x =-，
∴点坐标为(-2，0)，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点坐标，先出平移后的解析式是解题的关键.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念对各个大写字母判断即可得解．
【详解】
A．“E”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．“M”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．“N”不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．“H”是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
【详解】
解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标为（-2，-3）．
故选：B．
【点睛】
主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零即可判断．
【详解】
A．x=0时，x2=0，A选项不符合题意；
B．x=﹣2时，分母为0，B选项不符合题意；
C．x取任意实数总有意义，C选项符号题意；
D．x=﹣2时，分母为0．D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握，即可解题.
14．C
解析：C
【解析】
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选C．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键.
关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数.
15．C
解析：C
【解析】
试题分析：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
二、填空题
16．．
【解析】
试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2；
考点：自变量的取值范围．
．
解析：x2
【解析】
试题分析：由已知：x-2≠0，解得x≠2；
考点：自变量的取值范围．
17．x≥1．
【解析】
【分析】
把点P坐标代入y=x+1中，求得两直线交点坐标，然后根据图像求解．
【详解】
解：∵与直线：相交于点，
∴把y=2代入y=x+1中，解得x=1，
∴点P 的坐标为（1，2
解析：x≥1．
【解析】
【分析】
把点P 坐标代入y=x+1中，求得两直线交点坐标，然后根据图像求解．
【详解】
解：∵1y x =+与直线2I ：y mx n =+相交于点(,2)P a ，
∴把y=2代入y=x+1中，解得x=1，
∴点P 的坐标为（1，2）；
由图可知，x≥1时，1x mx n +≥+．
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应的函数值的大小．
18．．
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的距离是，所以的绝对值是．
．
【解析】
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点到原点的
，所以
19．－1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出的值即可．
【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0,
解得x=-3,y=2.
∴=（-3+2）2019=（-1）2019=
解析：－1
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求出()
2019x y +的值即可．
【详解】
解：由题意可得，3+x=0,y-2=0,
解得x=-3,y=2.
∴()
2019x y +=（-3+2）2019=（-1）2019=-1. 故答案为：-1.
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键． 20．70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB ＝AD ，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠EAC＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ADB，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC
解析：70°．
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，求出∠BAD ＝∠EAC ＝40°，根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠ADB ，即可求出答案．
【详解】
解：∵△ABC ≌△ADE ，
∴AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，
∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，
∴∠BAD ＝∠EAC ，
∵∠EAC ＝40°，
∴∠BAD ＝40°，
∵AB ＝AD ，
∴∠B ＝∠ADB ＝12
（180°﹣∠BAD ）＝70°， 故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出AB ＝AD 和求出∠BAD ＝∠EAC 是解此题的关键．
21．40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为
∴这个等腰三角形的底角为（180°－100°）=40°
故答案为：40°．
【点睛
解析：40°
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵等腰三角形的顶角为100︒ ∴这个等腰三角形的底角为
12
（180°－100°）=40° 故答案为：40°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 22．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
23．4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】
方程变形得：，
去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-
解析：4
【解析】
【分析】
方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．
【详解】 方程变形得：
+122
x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，
解得：x=a-2， ∵方程
122x x a x x
--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 24．4．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】
62.36千克精确到0.1千克为62.4千克．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的
解析：4．
【解析】
【分析】
把百分位上的数字6进行四舍五入即可．
【详解】
62.36千克精确到0.1千克为62.4千克．
故答案为：62.4．
【点睛】
本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
25．【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是
解析：40
【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
三、解答题
26．（1）见解析（2）点1A的坐标为(3,6)；（3）①见解析.
【解析】
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置A1、B1、C1，再连接即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）根据平面直角坐标系写出点1A的坐标；
（3）①根据垂直平分线的定义画图即可；
②根据轴对称的性质以及两点之间线段最短得PA PC
+的最小值为BC的长，再由勾股定理求解即可.
【详解】
（1）如图所示：
（2）点1A的坐标为(3,6)；
（3）①如图所示：
②PA PC
+的最小值为BC的长，即22
24
+=20
【点睛】
此题主要考查了作图--轴对称变换，以及三角形的面积，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，画一个图形的轴对称图形时，就是确定一些特殊的对称点．
27．证明见解析．
【解析】
【分析】
欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．
【详解】
在△ABD和△CBD中，
AB CB
AD CD
BD BD
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，
∴OE=OF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
28．（1）等边；（2）ED EB =，证明详见解析；（3）123(,)C +
.
【解析】
【分析】
（1）易证,60AC AE A ︒=∠=，因此ACE ∆是等边三角形； （2）连接PE ，结合,ACP ADE ∆∆等边三角形的性质，利用SAS 可证CAD PAE ∆≅∆， 由全等的性质知90ACD APE ∠=∠=，结合等腰三角形三线合一的性质可得
EA EB =，
等量代换即得ED EB =；
拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ，易知AO 、AH 长，由题中结论可得30AOH ∠=，结合（2）中结论，利用HL 定理可证ABH OCF ∆≅∆，可知CF 长，易得点C 坐标.
【详解】
解：（1）190,2
ACB AC AB ∠== 30ABC ∴∠=
60A ∴∠=
CE 是AB 边上的中线
12
AE AB ∴= AE AC ∴=
ACE ∴∆是等边三角形．
（2）结论：ED EB =．
理由：连接PE ．
∵,ACP ADE ∆∆都是等边三角形 ，
,,60AC AD DE AD AE CAP DAE ∴===∠=∠=，
CAD PAE ∴∠=∠，
()CAD PAE SAS ∴∆≅∆，
90ACD APE ∴∠=∠=，
EP AB ∴⊥，
∵PA PB =，
EA EB ∴=，
∵DE AE =，
ED EB ∴=
拓展应用：作AH x ⊥轴于,H CF OB ⊥于F ，连接OA ．
∵(3,1),22,30A AO AH AOH -∴==∴∠=，
由（2）可知，,CO CB OC AC =∴=
∵,1CF OB OF FB ⊥∴==，
,()AH OF ABH OCF HL ∴=∴∆≅∆
23CF BH ∴==+
(1,23)C ∴.
【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的特殊判定，等腰三角形的性质，属于三角形的综合探究题，灵活利用等边三角形及直角三角形的性质是解题的关键.
29．(1)y=100x+3150；(2)5，3650．
【解析】
【分析】
（1）y=租甲种车的费用+租乙种车的费用，由题意代入相关数据即可得；
（2）根据题意确定出x 的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得．
【详解】
解：（1）由题意，得
y=550x+450（7﹣x ），化简，得y=100x+3150，即y （元）与x （辆）之间的函数表达式是y=100x+3150；
（2）由题意，得60x+45（7﹣x ）≥380，解得，x≥133
． ∵y=100x+3150，∴k=100＞0，∴x=5时，租车费用最少，最少为：y=100×5+3150=3650（元），
即当甲种客车有5辆时，能保障所有的师生能参加秋游且租车费用最少，最少费用是3650
元．
30．（1）A(4，3)；（2）±5或8或
27
8
；（3）28
【解析】
【分析】
（1）点A是两直线的交点,其坐标即方程组
3
4
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
的解；
（2）分OA＝PO、OA＝AP、AP＝OP适中情况，分别求解即可；
（3）P（a，0），则分别用含a的式子表示出B、C的坐标，从而表示出BC的长度，用勾股定理求得OA，然后根据BC＝
7
5
OA求出a的值，从而利用三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）由题意：
3
4
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
解得：
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故点A（4，3）；
（2）点A（4，3），则OA＝22
435，
①当OA＝PO=P1O时，
此时OA＝5＝PO=P1O，即a＝±5
②当OA＝AP时，如图，过点A做AM⊥x轴于点M
此时OM=MP=4
∴OP=8
则点P（8，0），即a＝8；
③当AP＝OP时，如图所示，连接AP，过点A作AH⊥x轴于点H，
AP＝PO＝a，则PH＝4﹣a，则（4﹣a）2+9＝a2，
解得：a＝27
8
；
综上，a＝±5或8或27
8
；
故答案为：±5或8或27
8
；
（3）∵P（a，0），则点B、C的坐标分别为：（a，3
4
a）、（a，﹣a+7），
∴BC=3
4
a-（-a+7）=
3
4
a+a﹣7=
7
7
4
a-
又∵BC＝7
5
OA且OA22
435
∴7
7
4
a-＝7
5
×5＝7，
解得：a＝8，
故点P（8，0），即OP＝8；
△OBC的面积＝1
2
×BC×OP＝
1
2
×7×8＝28．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
31．（1）16，20；（2）点E表示妈妈到了甲地，此时小明没到，E(9
5
，
144
5
)；（3）
1
2
或3 2
【解析】
【分析】
（1）由点A，点B，点D表示的实际意义，可求解；
（2）理解点E表示的实际意义，则点E的横坐标为小明从家到图书馆的时间，点E纵坐标为小明这个时间段走的路程，即可求解；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意可得：小明速度＝
36
2.25
＝16（km/h）
设妈妈速度为xkm/h
由题意得：1×（16+x）＝36，
∴x＝20，
答：小明的速度为16km/h，妈妈的速度为20km/h，
故答案为：16，20；
（2）由图象可得：点E表示妈妈到了家，此时小明没到，
∴点E的横坐标为：369 205
，
点E的纵坐标为：9
5
×16＝
144
5
∴点E（9
5
，
144
5
）；
（3）根据题意得，（16+20）t＝（36﹣18）或（16+20）t＝36+18，
解得：t＝1
2
或t＝
3
2
，
答：当t为1
2
或
3
2
时，两车之间的距离为18km．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，掌握路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．。