定积分的几类特殊解题技巧
定积分的求解技巧总结
定积分的求解技巧总结定积分是微积分中的重要概念之一，它在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
在求解定积分的过程中，我们需要掌握一些技巧和方法，以便快速有效地求解定积分问题。
下面是关于定积分求解技巧的总结。
1. 凑微分法：凑微分是一种常见的定积分求解技巧，它通过巧妙地选择变量代换，将被积函数转化为易于求解的形式。
凑微分法的关键是选择合适的代换变量，使得被积函数中有微分的部分能够与代换变量的微分形式完全匹配。
例如，当被积函数为形如$f(x)g'(x)$的形式时，我们可以选择合适的代换变量，使得$g'(x)$变为某个函数$u$的微分形式$du$，然后利用凑微分法将被积函数变为$udu$的形式，进而方便地求解。
2. 分部积分法：分部积分法是定积分求解中最常用的一种技巧之一。
它通过对被积函数中的某一项进行分部积分，并利用积分的性质将被积函数转化为易于求解的形式。
分部积分法的基本公式为$\\int{u dv} = uv - \\int{v du}$，其中$u$和$v$是可以求导或可积的函数。
通过不断应用该公式，我们可以将被积函数中的一项转化为另一项的积分形式，从而简化求解过程。
3. 换元法：换元法是求解定积分的另一种常用技巧，它通过选择合适的代换变量，将被积函数转化为易于求解的形式。
换元法的关键是选择合适的代换变量和对应的微分形式。
通常情况下，我们选择代换变量$y = f(x)$，然后计算其导数$dy$，将原定积分转化为新的定积分。
选择合适的代换变量是换元法的关键，需要根据被积函数的特点进行选择，以便简化求解过程。
4. 奇偶性：奇偶性是定积分求解中常用的一种简化技巧。
通过判断被积函数的奇偶性，可以将定积分的求解范围缩小一半，从而简化求解过程。
如果被积函数$f(x)$具有奇函数的性质，即$f(-x) = - f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为单侧的定积分。
类似地，如果被积函数$f(x)$具有偶函数的性质，即$f(-x) = f(x)$，那么在对称区间上的定积分可以简化为两侧定积分的加和。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。
本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。
一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。
不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。
在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。
常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。
另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。
换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。
分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。
二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。
一种常用的变换是变量替换法。
通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。
这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。
另外，还有区间转化的方法。
在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。
这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。
常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。
三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。
一种常见的技巧是分割区间法。
当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。
这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。
另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。
和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。
凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。
求定积分的几种特殊技巧
求定积分的几种特殊技巧作为数学中最基础也是最重要的分支之一，积分在科学、工程等领域中有着广泛的应用。
其中，定积分是计算曲线下的面积、求平均值、做物理学中的力学功等问题时必不可少的工具之一。
但是对于某些比较复杂的函数，直接计算其定积分是非常困难的，因此本文将介绍一些求解定积分的技巧。
一、换元法换元法是求解定积分中最常用的方法之一。
它的原理在于将原式的变量替换为一个新的变量，以消除被积函数中的一些难以处理的形式。
常见的换元方式包括正逆三角函数的换元、指数函数的换元、以及复合函数的换元等。
例如，若要求$ \int_0^1\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}}dx$，则可以进行正弦函数换元$x=\sin t$，得到$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin t dt$$ 将以上式子简化即可得到答案。
二、分部积分法分部积分法是求解定积分中比较常见的技巧之一。
它的基本思路在于将被积函数分解成两个因子的乘积形式，并运用导数和乘积的关系来求解。
常见的函数形式包括：多项式与三角函数、多项式与指数函数的积等。
例如，若要求$ \int x\cos xdx$，则可以将其分解为$\cos x$与$x$的乘积形式，然后使用分部积分法，依次求导即可得到积分答案。
三、待定系数法待定系数法是求解包含有多个函数的定积分时较为有效的一种技巧。
它的思路在于将被积函数拆解为若干简单因式之积的形式，并使用待定系数法解出其中的系数。
例如，若要求$ \int\dfrac{1}{x^3+1}dx$，则可以将被积函数看做是两个多项式之间的除法形式，然后使用待定系数法找到使得其成立的系数即可。
当然，在实际应用中，待定系数法的求解过程会相对比较冗长，需要考虑较多常数项的组合形式，因此建议尝试在纸上进行多次演练，以达到更好的掌握效果。
四、对称性法对称性法是一种比较基础的技巧，在解决一些具有对称形式的函数积分时比较有效。
其的核心思想在于利用函数在不同积分区间的对称性，将积分化简为一些更易于计算的部分。
定积分的几类特殊解题技巧
∫ ln 1 − x dx
0
1
1
∫
ln(1 + x ) dx x
∫x
0
1
p −1
ln(1 − xq )dx
例 ５ ∫0 解
+∞
xdx e x +1
∫
+∞
0
xdx 等 e2 π x − 1
我们无法用求不定积分的方法来求得他们的原 莱布尼兹公式计算定积分的值 首先我们来证
∫
+∞
0
+∞ xe − x +∞ xdx = dx = ∫ xe− x (1− e−x + e− 2x − ⋅ ⋅ ⋅)dx 0 e x +1 ∫0 1 + e− x +∞ +∞
T 0
它必须要求被积函数存在原函数 它要 莱布尼兹公式并不能
求被积函数是连续函数
求出所有可积函数的定积分 下面介绍一些特殊的方法 计算 很方便的计算出来 分的解题能力
设 f(x) 在 (-∞,+ ∞ ) 可积 这些解题技巧不仅可以简化 会大大提高对定积
a+ T
而且还可以将一些无法求出被积函数原函数的定积分 熟练掌握这些方法
sin 2 x + cos 2 x = 1 等等
如 sin x = sin(π − x)
1 1 + +⋅⋅⋅] ( n + 1)( n + 2) (n + 2)( n + 3) 1 1 1 1 = − [( − )+ ( − ) +⋅⋅⋅] n +1 n + 2 n+2 n+3 1 =− n +1
求解定积分的技巧与方法
求解定积分的技巧与方法求解定积分是高中数学和大学数学中不可避免的一个内容。
对于许多学生和学者来说，求解定积分是一个比较棘手的问题，需要灵活的思维和丰富的数学知识。
本文将为大家介绍一些求解定积分的技巧和方法，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
1. 分段函数法分段函数法是解决经典定积分求解的常用技巧之一。
当我们面对一个比较复杂的积分时，可以尝试将其分解成多个简单的分段函数，进而分别求解。
例如，对于一个形如$y=|x|$ 的函数图像，我们可以将其分区间来讨论，即：当$x\leq0$ 时，$y=-x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{0}-x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x$当$x>0$ 时，$y=x$，则：$\int_{-1}^{1}|x|\,\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x\,\mathrm{d}x-\int_{-1}^{0}x\,\mathrm{d}x$这样的分段讨论可以使我们更加清晰地理解函数的特性，并且更加方便地求解原函数。
2. 换元法换元法是求解复杂定积分的常用方法之一。
通常我们会利用简单的变量替换，将原积分转化为易于处理的形式。
例如，对于$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1+\sin x}\,\mathrm{d}x$这样的积分，我们可以利用以下替换：设$t=\tan\frac{x}{2}$，则有：$\sin x=\frac{2t}{1+t^{2}},\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}$将上述变量替换代入原式中，则有：$\int_{-1}^{1}\frac{2}{1+(2t/(1+t^{2}))}\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\in t_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^{2}}=4\pi$所以原式的解为$4\pi$。
定积分计算的一项技巧
定积分计算的一项技巧定积分计算是数学中的一个重要分支，它的应用广泛，尤其是在物理、经济、计算机科学等领域中，计算定积分非常重要，但是一般情况下，它并不容易计算。
因此，利用一些技巧可以使定积分计算更加容易，以下为常用技巧介绍：1.积分变换法计算定积分。
积分变换法就是利用变换将求解的初始定积分变换为某种更容易计算的形式，从而使定积分计算更加容易。
2.用三角函数或指数函数变为可积函数。
利用三角函数或指数函数将定积分变为可积函数，从而使定积分计算更加容易。
3.用级数展开式求解定积分。
如果定积分中有级数，则可以利用此类级数展开式求解定积分，使其变得更容易计算。
4.反方法求解定积分。
用反方法求解定积分时，会在原来的定积分中添加一个积分的参数，这样就可以用积分的参数求出原来的定积分的值，使其变得更容易求解。
5.用代数技巧求解定积分。
利用代数技巧如合并一些分母，可以使定积分计算更容易。
6.用Gauss积分公式求解定积分。
Gauss积分公式是把某种函数的定积分变为一些定积分的函数的值的积分，这使得定积分的计算更加容易。
7.用复合积分求解定积分。
复合积分是把原本的定积分拆分成多个更简单的定积分组合而成，这样也可以使定积分计算更加容易。
以上就是一般常用的定积分计算技巧，利用这些技巧，可以在大大减少计算时间的同时，取得精确的结果。
此外，还有一些更高级的计算技巧，如Laplace变换、Mellin变换等，利用这些技巧，还可以在大大提高计算速度的同时，取得更精确的结果。
定积分计算的技巧还会不断更新，但是要记住，使用定积分计算技巧时，一定要有一定的数学基础，这样才能够取得正确的结果。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分是指具有特定形式或特殊性质的定积分。
下面将介绍一些解特殊定积分题目的技巧。
1. 分部积分法分部积分法适用于具有乘积形式的积分。
设要求的积分为∫u dv，根据分部积分公式，可以得到：∫u dv = u v - ∫v du通过选择合适的u和dv，使得∫v du容易求解，可以简化积分的过程。
2. 换元法换元法可以将复杂的定积分转化为简单的形式。
设t = g(x)为变换函数，dx = g'(x) dt，要求的积分变为∫f(g(x)) dx = ∫f(t) g'(x) dt。
通过适当选择变换函数g(x)，可以使原积分简化为常见的积分形式。
3. 对称性如果被积函数具有某种对称性质，可以利用对称性简化积分过程。
如果被积函数具有奇偶对称性，可以利用奇偶性质进行化简。
4. 利用几何意义有些特殊定积分的积分区间可以看作是几何形状的面积、体积或弧长等。
通过找到几何意义，可以将问题转化为求解几何参数的问题，从而简化积分过程。
5. 利用对数和指数函数的性质对数和指数函数具有一些特殊的性质，可以利用这些性质简化积分。
利用指数函数的性质可以将积分转化为指数函数的积分形式，再利用指数函数的积分性质求解。
7. 利用积分的加法性质定积分具有加法性质，可以将整个积分区间分成多个部分进行求解。
通过将积分区间划分为简单的子区间，可以将整个积分化简为单个子区间的积分，再将结果相加。
8. 利用积分的换序性质如果被积函数具有一定的连续性和可导性质，可以通过交换积分顺序简化积分的过程。
即，将二重积分或三重积分转化为先对一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分的积分形式。
一道常问定积分计算题的四种解法
一道常问定积分计算题的四种解法对于定积分的计算问题，常见的解法有四种：几何解法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
下面将分别对这四种解法进行详细讲解。
第一种解法是几何解法。
这种解法主要通过几何图形的面积来计算定积分。
具体步骤如下：1.确定被积函数的图像和积分区间。
2.将积分区间划分成若干个小区间，计算每个小区间内被积函数与x轴之间的面积。
3.对所有小区间内的面积进行求和，得到最终的定积分结果。
比如，计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分。
根据几何解法，可以将函数的图像画出，然后计算函数图像与x轴之间的面积。
在这个例子中，可以直接求出图形为一个以0点为顶点的直角三角形，面积为1/2、因此，定积分的解为1/2第二种解法是换元法。
这种解法利用变量替换的方法，将原来的积分转化为一个更容易计算的积分。
具体步骤如下：1.对被积函数进行合适的变量替换，将原来的积分表达式转化为新的积分表达式。
2.计算新的积分表达式，并将结果转化为原来的变量。
比如，计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
采用换元法时，可以令u = x^2，那么x = u^(1/2)。
根据变量替换的规则，可以将原来的积分表达式转化为∫(0 to 1) (u^(1/2))*(1/(2u^(1/2))) du，这样就得到了一个更容易计算的积分表达式。
计算后得到的结果为1/3，然后再将结果转化为原来的变量，最终得到定积分的解为1/3第三种解法是分部积分法。
这种解法利用积分运算的性质，将原来的积分转化为由两个函数的积分组成的表达式。
具体步骤如下：1.对被积函数进行拆分，将其分解成两个函数的乘积。
2. 利用分部积分公式∫u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)] -∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)分别为函数的因子，来计算新的积分表达式。
比如，计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
定积分的几种特殊计算方法
定积分的几种特殊计算方法定积分是数学中一项重要的运算，它可以用于解决很多实际问题。
在定积分的计算中，有一些特殊的方法，可以帮助我们更快更准确地得出答案。
本文将介绍几种常见的特殊计算方法。
方法一：分部积分法分部积分法是指，将被积函数分解成两个函数的乘积后，利用积分换元公式，逐步求解出定积分的值。
具体步骤如下：1. 将被积函数分解成 $u(x) v'(x)$ 的形式，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 是两个函数。
2. 计算 $u'(x)$ 和 $v(x)$ 的值。
3. 将 $u(x)$ 和 $v'(x)$ 分别代入积分公式，得到 $\int u(x)v'(x)dx=u(x) v(x)-\int v(x) u'(x)dx$。
4. 逐步求解出定积分的值。
例如，对于定积分 $\int x\sin x dx$，我们可以令 $u(x)=x$，$v'(x)=\sin x$，则 $u'(x)=1$，$v(x)=-\cos x$。
代入公式得：$\begin{aligned} \int x\sin x dx & =x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx \\ &=x(-\cos x)+\sin x+C \end{aligned}$方法二：换元积分法换元积分法是指，将被积函数中的变量用一个新的变量替换掉，从而让积分变得更容易计算。
具体步骤如下：1. 选取一个新变量 $t$，并找到一个式子 $x=f(t)$，使得被积函数中的 $x$ 可以表示成 $t$ 的函数。
2. 计算出 $\frac{dx}{dt}$ 的值。
3. 将被积函数中的 $x$ 替换为 $t$，并将 $\frac{dx}{dt}$ 代入积分公式，得到 $\int f(t) g(f(t))\frac{dx}{dt}dt=\int g(u)du$。
4. 逐步求解出定积分的值。
求定积分的几种特殊技巧
容易求面积的常见图形， 转化成求面积比求定积分更容易。
ｂ
! 例 ５、求定积分 "（ｘ－ ａ）（ｂ－ ｘ） ｄｘ （ｂ＞ａ）． ａ
２
２
" ( ) ( ) 解 ： 因 为 被 积 函 数 ｆ（ｘ）＝ "（ｘ－ ａ）（ｂ－ ｘ） ＝
ｂ－ ａ ２
－
ｘ－ ａ＋ｂ ２
是
以（ ａ＋ｂ ， ０）， 为圆心， 以 ｂ－ ａ 为半径的上半圆， 则上半圆的面 积 ｓ＝ １
１ ２
原点， 半径为 １ 的上半圆， 则上半圆的面积 ｓ＝ １ πｒ２＝ １ π（ １ ）２＝ π．
２
２ ２２ ８
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１６７
科技信息
○高校讲台○
ＳＣ ＩＥ Ｎ Ｃ Ｅ ＩＮ Ｆ Ｏ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ ＩＯ Ｎ
２００７ 年 第 １０ 期
见男人们选择是明智的。再如， 蒙古族人善骑马， 各式马靴体现了他们
ａ
ａ
! ! ! 奇函数时， ｆ（ｘ）ｄｘ＝０； 当 ｆ（ｘ）偶函数时， ｆ（ｘ）ｄｘ＝２ ｆ（ｘ）ｄｘ．
－ａ
－ａ
０
１
! 例 １、求定积分
ｌｎ（ｘ＋ "１＋ｘ２ ｘ２＋３
）＋ｘ２－ １
ｄｘ．
－１
分析： 此题若采用常规求法， 过程复杂， 但采用上面的性质就比较
容易。
很明显，
在对称区间［ － １， １］ 上，
一个奇函数和一个偶函数之和。
事
实上
，
φ（ｘ）＝
１ ２
［ｆ（ｘ）－ｆ（－ｘ）］是奇
函
数
，
ψ（ｘ）＝
１ ２
［ ｆ（ｘ）＋ｆ（－ ｘ）］ 是偶函
数， 而 ｆ（ｘ）＝φ（ｘ）＋ψ（ｘ）．
定积分计算中的若干技巧
定积分计算中的若干技巧一、引言定积分是微积分学中的重要概念，它涉及到函数的积分、面积、体积、长度等众多物理量的计算。
在实际应用中，我们需要掌握一些有效的计算技巧，以便更高效地解决问题。
本文将介绍一些在定积分计算中常用的技巧，并通过实例进行详细解释。
二、基本积分公式首先，熟练掌握基本积分公式是解决定积分问题的关键。
常见的基本积分公式包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
通过熟练掌握这些公式，我们可以快速求解一些简单的定积分问题。
三、变量替换法变量替换法是解决定积分问题的一种有效方法。
通过合适的变量替换，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的形式。
在选择替换变量时，需要注意替换后的积分区间和原积分区间的一致性，以及替换后积分的可解性。
四、分部积分法分部积分法是解决定积分问题的另一种常用方法。
它适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。
通过将被积函数拆分为两个函数的乘积，并应用分部积分公式，我们可以将复杂的定积分问题转化为简单的形式。
需要注意的是，在选择u和dv时，需要遵循“反对幂指三”的原则，以便更有效地解决问题。
五、利用对称性简化计算在解决定积分问题时，我们可以利用函数的对称性来简化计算。
如果被积函数在某个区间上关于原点对称，那么我们可以只计算该区间上的一半，并将结果乘以2。
同样地，如果被积函数在某个区间上关于某点对称，那么我们可以利用该点的对称性来简化计算。
六、数值积分法对于一些无法用解析方法求解的定积分问题，我们可以采用数值积分法进行近似计算。
常见的数值积分法包括梯形法、辛普森法等。
这些方法的基本思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上应用相应的公式进行近似计算。
需要注意的是，数值积分法的精度取决于小区间的划分方式和数量。
七、结论本文介绍了一些在定积分计算中常用的技巧，包括基本积分公式、变量替换法、分部积分法、利用对称性简化计算和数值积分法等。
这些技巧可以帮助我们更有效地解决定积分问题，提高计算效率。
求解定积分技巧
求解定积分技巧定积分是微积分中的重要概念，通过求解定积分，我们可以计算函数在给定区间上的面积、质量、平均值等物理量。
在实际应用中，求解定积分的技巧对于简化问题和加快计算速度非常重要。
本文将介绍一些常见的求解定积分的技巧。
1. 基本积分表：掌握常用函数的基本积分表可以帮助我们更快地求解定积分。
例如，幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数的积分可以在积分表中找到。
2. 替换变量：有时候通过替换变量可以简化定积分的形式。
例如，当定积分的被积函数中含有根号表达式时，我们可以尝试将根号内的式子替换成一个新的变量，使得原定积分变得更易求解。
3. 分部积分法：用于求解乘积形式的积分。
设有两个函数 u(x) 和 v(x)，根据分部积分公式，可得到以下等式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ v(x) u'(x) dx通过适当地选择u(x) 和v'(x)，可以将原定积分转化为更容易求解的形式。
4. 偏微分法：对于一些特殊的函数构造，可以通过偏微分法将定积分转化为更简单的形式。
例如，对于含有指数函数的定积分，我们可以通过偏微分得到一阶线性微分方程，进而解得定积分的表达式。
5. 对称性和周期性：对于具有对称性或周期性的函数，我们可以利用函数的性质简化定积分的计算。
例如，当被积函数具有偶对称性时，可以将定积分从负无穷到正无穷的范围缩小为从0到正无穷的范围，从而简化计算。
6. 改变积分次序：当一个定积分是多个变量的函数时，可以通过改变积分次序来简化定积分的计算。
积分次序的改变可以通过Fubini 定理实现，使得原先复杂的多重积分变为一次性积分。
7. 利用对数、指数、三角函数之间的等式：对于包含对数、指数、三角函数的积分，我们可以利用它们之间的等式进行简化。
例如，对数函数和指数函数之间的等式可以通过换底公式互相转化，从而简化积分的形式。
8. 利用积分的性质：定积分具有一些性质，如线性性、区间可加性等。
定积分计算中的几种解题技巧
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２３定积分计算中的几种解题技巧定积分计算中的几种解题技巧Һ卢㊀兰㊀(长春光华学院基础教研部ꎬ吉林㊀长春㊀１３００１７)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要通过具体实例ꎬ对定积分计算的几种解题技巧进行探讨.ʌ关键词ɔ定积分计算ꎻ解题技巧定积分是高等数学中的一个非常重要的内容ꎬ如何求定积分方法和技巧有很多ꎬ以下结合本人多年的教学经验探讨一下定积分计算中的一些技巧.一㊁利用定积分的几何意义求定积分例１㊀求ʏａ－ａａ２－ｘ２ｄｘ(ａ>０).解㊀ʏａ－ａａ２－ｘ２ｄｘ的几何意义是以区间[－ａꎬａ]为底ꎬｙ＝ａ２－ｘ２为曲边的曲边梯形的面积ꎬ刚好是半径为ａ的上半圆的面积.于是ʏａ－ａａ２－ｘ２ｄｘ＝１２πａ２.注:利用定积分的几何意义求定积分ꎬ需要ʏｂａｆ(ｘ)ｄｘ表示的平面图形的面积容易求得.二㊁利用奇偶函数在对称区间积分的性质求定积分若ｆ(ｘ)在[－ａꎬａ]上连续且为偶函数ꎬ则ʏａ－ａｆ(ｘ)ｄｘ＝２ʏａ０ｆ(ｘ)ｄｘꎻ若ｆ(ｘ)在[－ａꎬａ]上连续且为奇函数ꎬ则ʏａ－ａｆ(ｘ)ｄｘ＝０.例２㊀求ʏ１－１１－ｘ２ｌｎｘ＋１＋ｘ２３ｄｘ.解㊀原式＝ʏ１－１１－ｘ２ｌｎ(ｘ＋１＋ｘ２)ｄｘ－ｌｎ３ʏ１－１１－ｘ２ｄｘꎬ由于ｌｎ(ｘ＋１＋ｘ２)为奇函数ꎬ１－ｘ２为偶函数ꎬ则ʏ１－１１－ｘ２ｌｎ(ｘ＋１＋ｘ２)ｄｘ＝０ꎬ故ʏ１－１１－ｘ２ｄｘ＝２ʏ１０１－ｘ２ｄｘ.故原式＝０－２ｌｎ３ʏ１０１－ｘ２ｄｘ＝－π２ｌｎ３.注:利用奇偶函数在对称区间积分的性质求定积分时ꎬ不但要注意被积函数的奇偶性ꎬ而且要注意区间是否关于原点对称.本例题中求ʏ１０１－ｘ２ｄｘ利用了定积分的几何意义ꎬ像这样一道题中多种解题技巧相结合是很常见的.三㊁利用周期函数的积分性质求定积分若ｆ(ｘ)是以Ｔ为周期的连续函数ꎬ则ʏａ＋Ｔａｆ(ｘ)ｄｘ＝ʏＴ０ｆ(ｘ)ｄｘꎬʏｎＴ０ｆ(ｘ)ｄｘ＝ｎʏＴ０ｆ(ｘ)ｄｘ(ｎɪＮ＋).例３㊀设Ｆ(ｘ)＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔꎬ则Ｆ(ｘ)(㊀㊀).Ａ.为正常数㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.为负常数Ｃ.恒为零Ｄ.不为常数解㊀由于ｅｓｉｎｔｓｉｎｔ是以２π为周期的周期函数ꎬ所以Ｆ(ｘ)＝ʏｘ＋２πｘｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ＝ʏ２π０ｅｓｉｎｔｓｉｎｔｄｔ＝Ｆ(０)＝－ʏ２π０ｅｓｉｎｔｄｃｏｓｔ＝－[ｅｓｉｎｔｃｏｓｔ]２π０＋ʏ２π０ｅｓｉｎｔｃｏｓ２ｔｄｔ>０ꎬ故选Ａ.注:求定积分时发现被积函数是周期函数ꎬ利用周期函数的积分性质可以大大简化运算量.四㊁利用直接函数定积分与反函数定积分间的关系求定积分设ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上为单调函数ꎬ则有ʏｂａｆ(ｘ)ｄｘ＝ｂｆ(ｂ)－ａｆ(ａ)－ʏｆ(ｂ)ｆ(ａ)ｆ－１(ｙ)ｄｙ(如图１所示).图１㊀㊀㊀图２例４㊀求ʏ１０ａｒｃｓｉｎｘｄｘ.解㊀如图２所示ꎬʏ１０ａｒｃｓｉｎｘｄｘ＝１ π２－ʏπ２０ｓｉｎｙｄｙ＝π２＋[ｃｏｓｙ]π２０＝π２－１.注:对直接函数的定积分容易求出时ꎬ用这种方法非常轻松就可求出反函数的定积分.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９ ２３五㊁利用定积分的一些重要公式求定积分定积分中有很多重要的公式ꎬ这里列举几个使用率比较高的公式.(１)ʏπ０ｆ(ｓｉｎｘ)ｄｘ＝２ʏπ２０ｆ(ｓｉｎｘ)ｄｘꎻ(２)ʏ２π０ｆ(ｃｏｓｘ)ｄｘ＝２ʏπ０ｆ(ｃｏｓｘ)ｄｘꎻ(３)ʏπ０ｘｆ(ｓｉｎｘ)ｄｘ＝π２ʏπ０ｆ(ｓｉｎｘ)ｄｘꎻ(４)ʏπ２０ｆ(ｓｉｎｘ)ｄｘ＝ʏπ２０ｆ(ｃｏｓｘ)ｄｘ.例５㊀求ʏπ０１－ｓｉｎｘｄｘ.解㊀原式＝２ʏπ２０１－ｓｉｎｘｄｘ＝２ʏπ２０ｃｏｓｘ２－ｓｉｎｘ２()ｄｘ＝４(２－１).例６㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ.解㊀原式＝π２ʏπ０ｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ＝π２ʏπ０－１１＋ｃｏｓ２ｘｄ(ｃｏｓｘ)＝－π２[ａｒｃｔａｎ(ｃｏｓｘ)]π０＝π２４.例７㊀求ʏπ２０ｓｉｎ３ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘｄｘ.解㊀原式＝１２ʏπ２０ｓｉｎ３ｘ＋ｃｏｓ３ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘｄｘ＝１２ʏπ２０(ｓｉｎ２ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ)ｄｘ＝１２ʏπ２０(１－ｓｉｎｘｃｏｓｘ)ｄｘ＝１２ｘ－１２ｃｏｓ２ｘ[]π２０＝π－１４.注:例５利用了公式(１)ꎬ巧妙地避免了开根号取绝对值问题ꎬ使求解问题得到大大简化ꎻ例６利用了公式(３)ꎬ把复杂的两类不同函数(幂函数和三角函数)乘积的积分问题ꎬ转化为单一的三角函数的积分问题ꎻ例７利用了公式(４)成功地去掉了分母ꎬ很容易就可以计算出来结果.六㊁通过变量代换的特殊技巧来求定积分例８㊀ʏπ２０ｌｎｓｉｎｘｄｘ.解㊀令ｘ＝２ｔꎬ则原式＝２ʏπ４０ｌｎｓｉｎ２ｔｄｔ＝２ʏπ４０ｌｎ(２ｓｉｎｔｃｏｓｔ)ｄｔ＝２ʏπ４０(ｌｎ２＋ｌｎｓｉｎｔ＋ｌｎｃｏｓｔ)ｄｔꎬ再令ｙ＝π２－ｔꎬ则ʏπ４０ｌｎｃｏｓｔｄｔ＝ʏπ４π２－ｌｎｓｉｎｙｄｙꎬ所以原式＝２ʏπ４０(ｌｎ２＋ｌｎｓｉｎｔ＋ｌｎｃｏｓｔ)ｄｔ＝π２ｌｎ２＋２ʏπ４０ｌｎｓｉｎｔｄｔ－２ʏπ４π２ｌｎｓｉｎｙｄｙ＝π２ｌｎ２＋２ʏπ２０ｌｎｓｉｎｔｄｔ＝－π２ｌｎ２.例９㊀ʏ１０ｌｎ(１＋ｘ)１＋ｘ２ｄｘ.解㊀令ｘ＝ｔａｎｕꎬ则ꎬ原式＝ʏ１０ｌｎ(１＋ｔａｎｕ)１＋ｔａｎ２ｕｓｅｃ２ｕｄｕ＝ʏπ４０ｌｎ(１＋ｔａｎｕ)ｄｕꎬ再令ｔ＝π４－ｕꎬ所以ꎬ原式＝ʏπ４０ｌｎ(１＋ｔａｎｕ)ｄｕ＝ʏπ４０ｌｎ(１＋ｔａｎｕ)ｄｕ＝ʏπ４０ｌｎ１＋１－ｔａｎｔ１＋ｔａｎｔ()ｄｔ＝ʏπ４０[ｌｎ２－ｌｎ(１＋ｔａｎｔ)]ｄｔ＝ʏπ４０ｌｎ２ｄｔ－ʏ１０ｌｎ(１＋ｘ)１＋ｘ２ｄｘꎬ原式＝１２ʏπ４０ｌｎ２ｄｔ＝π８ｌｎ２.注:这两道例题中的原函数都很难求出来ꎬ这种积分一般都可以通过做变量代换的特殊技巧并不求出原函数而求出定积分的值.通过上面的例子可以看到ꎬ对定积分的计算问题ꎬ我们通过认真分析㊁思考ꎬ针对不同题目采用巧妙的计算技巧ꎬ可以回避一些烦琐的运算过程ꎬ使所求问题迎刃而解.当然有些定积分比较复杂ꎬ使用单一的方法和技巧法往往是不够的ꎬ可能需要几种方法和技巧的结合方可解决问题.ʌ参考文献ɔ[１]关汝华ꎬ孟凡洪ꎬ刘家春.微积分[Ｍ].长春:东北师范大学出版社ꎬ２０１２.[２]刘玉莲ꎬ傅沛仁.数学分析讲义[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９６.[３]同济大学数学教研室.高等数学[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００４.[４]张卓奎ꎬ王金金.高等数学[Ｍ].北京:北京邮电大学出版社ꎬ２０１７.。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧在解特殊定积分时，有些技巧可以帮助我们简化计算和加快求解的速度。
下面列举了一些常用的技巧：1. 利用对称性：若被积函数具有某种对称性，可以利用它来简化计算。
比如，若被积函数是奇函数，则$(\mathrm{a},-\mathrm{a})$两点的积分值相等且为0。
2. 化形式：将被积函数化为更简单的形式，比如将三角函数变为幂函数、有理函数化为部分分式。
这样可以使积分变得更容易计算。
3. 换元法：当被积函数包含某些函数的复合形式时，可以尝试使用换元法进行化简。
特别地，当被积函数为 $f\left(g(x)\right)g'(x)$ 的形式时，可以采用以$u=g(x)$为新变量的换元法。
4. 分部积分法：当被积函数为两个函数相乘的形式时，可以尝试使用分部积分法进行化简。
分部积分法的公式为：$\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\intv(x)u'(x)\mathrm{d}x$。
5. 定积分的性质：利用定积分的线性性质、积分中值定理（第一类、第二类）和平均值定理等性质，可以简化计算过程。
6. 瑕积分的奇性：瑕积分中奇函数的积分值为0，偶函数的积分值为两倍其在$[0,+\infty)$ 上的积分值。
7. 对极限与积分的排序：当被积函数中含有参数时，可以通过对极限与积分的排序来求解。
通常先确定一个参数，然后将剩余参数视为常数进行积分，最后再对参数进行求解。
8. 利用经典积分公式：有些特殊的被积函数可以直接使用经典积分公式求解，比如常用的三角函数积分公式、指数函数积分公式、对数函数积分公式等。
9. 借助复数：有时借助复数可以将简化计算，比如将三角函数用欧拉公式表示为指数形式，以及使用余弦函数在复平面上的性质来求解瑕积分。
总的来说，解特殊定积分需要结合具体情形进行分析，选择合适的方法进行求解。
掌握以上技巧可以在求解过程中提高效率，缩短计算时间。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分在数学中具有重要的意义，涉及到一些特殊函数或特殊区间的积分计算。
解决特殊定积分需要灵活运用数学知识和技巧，下面我们就来介绍一些解题技巧。
1. 利用对称性：在计算一些特殊定积分时，可以利用函数的对称性简化计算过程。
对于偶函数，可以利用函数的对称性将积分区间缩小一半，然后再乘以2。
对于奇函数，可以利用函数的对称性简化积分计算。
这样可以减少计算量，提高计算效率。
2. 利用换元法：在解决一些特殊定积分时，可以通过合适的变量代换来简化积分计算。
对于含有平方根的积分，可以通过变量代换的方法将积分化为更简单的形式。
选择合适的变量代换可以使积分计算更加简便。
3. 利用分部积分法：分部积分法是求解定积分的常用方法之一，可以将积分化为更简单的形式。
在一些特殊定积分的求解中，通过适当选择u和dv，运用分部积分法可以将原积分化为更容易求解的形式。
4. 利用特殊函数的性质：一些特殊函数具有一些特殊的性质，在求解定积分时可以利用这些性质来简化计算。
对数函数的导数是倒数函数，指数函数的积分是自身函数等。
熟练掌握特殊函数的性质可以帮助我们更好地解决特殊定积分。
5. 利用对数与指数的关系：三角函数是数学中常见的特殊函数之一，通过利用三角函数的性质可以简化一些特殊定积分的计算。
利用三角函数的周期性和对称性可以简化积分计算。
通过灵活运用上述技巧，我们可以更好地解决一些特殊定积分，提高解题效率。
在解决特殊定积分时，需要根据具体的问题和函数特点选择合适的方法，有时还需要结合多种方法来求解。
通过不断练习和思考，我们可以更加熟练地掌握特殊定积分的解题技巧。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分是指在计算定积分时需要特殊的技巧和方法才能解决的问题。
这些特殊的定积分在数学中具有重要意义，因此掌握相关的解题技巧对于提升数学水平非常重要。
下面我们将介绍一些特殊定积分的解题技巧，希望能够帮助大家更好地理解和应用于实际问题中。
一、奇偶函数的性质在计算定积分时，奇偶函数的性质经常会被应用到解题过程中。
奇函数是指对任意的x，f(-x)=-f(x)成立的函数，而偶函数是指对任意的x，f(-x)=f(x)成立的函数。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
利用奇偶函数的性质可以简化定积分的计算过程，提高解题效率。
当被积函数是奇函数时，对称性可以帮助简化计算，只需要计算一个区间上的定积分值，再乘以2即可得到整个区间上的定积分值。
计算定积分∫(-a,a)f(x)dx时，若f(x)是一个奇函数，则可以简化为2∫(0,a)f(x)dx的形式进行计算。
二、换元法换元法也是计算特殊定积分时常用的技巧之一。
通过适当地引入新的变量，可以将原定积分转化为简单形式的积分，从而便于计算。
换元法的关键是选择适当的代换变量，并使用导数的链式法则进行变量替换。
通常情况下，选择合适的代换变量需要一定的经验和技巧，可以通过不断的练习和积累来提高解题的能力。
举个例子，对于形如∫f(ax+b)dx的定积分，可以通过适当的代换将其转化为∫f(u)du的形式。
选择u=ax+b进行代换，利用导数的链式法则进行变量替换，即可将原定积分转化为简单的形式进行计算。
三、分部积分法分部积分法是求解特殊定积分时常用的一种技巧。
它是对定积分的乘积形式进行积分，通过选择合适的被积函数和积分函数，可以将原定积分转化为更简单的积分形式，从而便于计算。
分部积分法的基本公式为：∫udv=uv-∫vdu，通过选择合适的u和dv，可以将原定积分转化为∫vdu的形式。
选择合适的u和dv需要一定的技巧和经验，通常可以通过观察被积函数和积分函数的性质来选择合适的分部积分形式。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧
特殊定积分是指具有一定特殊性质的定积分，常常通过一些特殊技巧可以求得解析解。
以下是一些常见的特殊定积分的解题技巧。
1. 分部积分法：
当被积函数可以表达为两个函数的乘积时，可以考虑使用分部积分法。
分部积分法的
公式为：
∫f(x)g(x)dx = f(x)∫g(x)dx - ∫f'(x)∫g(x)dx dx
f(x)和g(x)均为可导函数。
通过适当选择f(x)和g(x)使得f'(x)和∫g(x)dx容易求解，可以简化被积函数的形式。
2. 代换法：
当被积函数中包含某个函数的复合形式时，可以考虑使用代换法。
代换法将原有的自
变量进行代换，将问题转化为新的积分问题。
代换法的关键是选择适当的代换变量，使得
被积函数的形式变得简单。
3. 割圆法：
当被积函数中包含根式，并且可以化简为关于一个或多个割圆的函数时，可以考虑使
用割圆法。
割圆法的关键是选择一个适当的幂函数代替根式，通过割圆将根式化简为有理
函数的形式。
4. 韦达定理：
当被积函数可以表示为多项式的形式时，可以考虑使用韦达定理。
韦达定理是关于多
项式的性质，可以简化多项式的幂函数的积分。
5. 对称性：
当被积函数具有一定的对称性时，可以利用对称性进行简化。
对称性可以包括函数的
奇偶性、周期性等，通过利用对称性可以缩小积分区间或抵消一部分被积函数的值。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧
特殊定积分指的是在解题中使用一些特殊的技巧和方法来求解定积分。
这些技巧可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
下面列举了一些常见的特殊定积分的解题技巧。
1. 有理函数的积分：有理函数的积分可以通过分解成部分分式的形式来求解。
具体的方法是将有理函数表示为多项式的除法，然后将多项式分解成部分分式，再对每一个部分分式进行求积分。
2. 三角函数的积分：三角函数的积分可以通过一些特殊换元和恒等变形来求解。
对于一些三角函数的积分，可以将其转化为指数函数的积分，然后再应用指数函数的积分公式进行求解。
4. 分部积分法：分部积分法是求解一些乘积形式的积分时常用的方法。
其核心思想是将一个积分转化为两个函数的乘积的积分，然后再进行求解。
6. 特殊函数的积分：特殊函数的积分常常使用特殊的方法来求解。
对于一些常见的特殊函数，如高斯函数、伽玛函数和贝塞尔函数等，可以利用其特定的性质和公式来进行求解。
7. 对称性的应用：在一些具有对称性的积分中，可以利用对称性来简化计算过程。
对于奇函数和偶函数的积分，可以利用对称性将积分化简为较简单的形式。
8. 积分限的变换：在一些积分中，可以通过改变积分限的顺序来简化计算过程。
通过改变积分限的顺序可以将一个积分化简成一个已知的积分形式。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧特殊定积分一直是高数中难点之一，需要掌握一些解题技巧。
本文将介绍一些特殊定积分的解题技巧，希望对大家有所帮助。
1. 分部积分法分部积分法是解决不定积分的一种基本方法。
它的表示式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中u(x)和v(x)是两个可导函数。
对于特殊定积分，我们可以使用分部积分法进行求解。
例如：∫e^xsinxdx设u(x) = sinx，v(x) = e^x，则有：∫e^xsinxdx = -e^xcosx + ∫e^xcosxdx类似的，当积分项中含有指数函数和三角函数等组合时，也可以使用分部积分法进行求解。
2. 特殊换元法特殊换元法是特殊定积分中常用的一种方法，它的原理是通过某种巧妙的方法将原积分式子变形，使得它更容易被求解。
例如：我们可以将该积分表达式变形为：然后，我们设u = cosx，得到：∫(1-cos^2x)sinxdx = -∫(1-u^2)du = u^3/3 - u + C = cos^3x/3 - cosx + C3. 把定积分变为连续分数求和有些特殊定积分无法通过上述两种方法求解。
此时，可以将定积分化为连续分数求和的形式，然后再逐一求积分。
例如：∫(1+x)/(1+x^2)^2dx我们可以通过部分分式分解得到：(1+x)/(1+x^2)^2 = 1/(1+x^2) - x^2/(1+x^2)^2然后，令t = x^2，积分式变为：继续将积分式不断化简，得到：4. 利用对称性有些定积分具有对称性，可以通过利用对称性进行求解。
例如：∫0^πsinx/(sinx + cosx)dx由于sinx和cosx具有对称性，在积分区间[0,π/2]上，我们有：因此，积分式可以化为：将两式相加，得到：通过以上四种技巧，相信大家对特殊定积分的解题有了更深刻的理解。
希望大家能够掌握这些技巧，更好地应对高数中的难点与挑战。
一些特殊定积分的解题技巧
一些特殊定积分的解题技巧【摘要】特殊定积分在数学中具有重要的地位，解题技巧的掌握对于简化复杂计算至关重要。
本文从对称性、换元法、分部积分法、几何意义和定积分性质等方面介绍了一些特殊定积分的解题技巧。
通过这些技巧，可以更快更准确地解决复杂的定积分问题。
掌握这些技巧不仅可以提高解题效率，还可以帮助理解定积分的本质和应用。
定积分解题技巧的应用可以极大地提升解题的准确性和效率，对数学学习和应用都具有重要意义。
学习和掌握特殊定积分的解题技巧对于数学学习者来说是非常重要的。
【关键词】特殊定积分、解题技巧、对称性、换元法、分部积分法、几何意义、定积分的性质、复杂问题、解题效率、准确性、重要性。
1. 引言1.1 什么是特殊定积分特殊定积分是指具有特殊性质或特殊形式的定积分，在解题过程中需要运用一些特殊的技巧和方法来化简计算。
这些定积分可能涉及对称性、换元法、分部积分法、几何意义等不同的技巧来解决。
特殊定积分的出现往往需要我们观察问题的特殊性质，从而灵活运用各种技巧来简化计算。
掌握解题技巧可以帮助我们更快更准确地解决复杂的定积分问题。
对于特殊定积分，我们需要灵活运用各种技巧和方法来解题。
利用对称性可以简化计算，因为对称函数在对称轴两侧的积分值相等，可以利用这一性质减少计算步骤。
换元法是解决复杂定积分常用的方法，通过引入新的自变量转化函数形式，从而简化计算过程。
分部积分法可用于处理乘积函数的积分，通过不断求导和积分可以将原函数化简为易于计算的形式。
利用定积分的性质也是解题过程中的重要技巧，比如奇偶性、周期性等性质可以帮助我们简化计算。
定积分还可以通过几何意义来理解，将积分问题转化为面积或体积问题，从而直观地解决定积分计算。
特殊定积分的解题技巧涉及多种方法和途径，我们需要灵活运用这些技巧来提高解题效率和准确性。
掌握这些技巧对于解决复杂的定积分问题至关重要。
1.2 定积分解题技巧的重要性定积分是微积分中一个非常重要的概念，它在求解曲线下面积、体积、质量等问题中扮演着至关重要的角色。
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第四章“积分”简介一、内容和要求“积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。
“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。
（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。
不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。
由于在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。
特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。
不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。
学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不定积分即可。
本部分的教学要求：1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。
2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。
（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。
定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。
定积分的概念是微积分重要而又基础的内容，定积分中“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的。
教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来。
可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等。
定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要里程碑。
现在定积分已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。
微积分基本公式即牛顿--莱布尼茨公式。
牛顿--莱布尼茨公式的建立，揭示了定积分与不定积分的内在联系，给出了计算定积分的一般的简便而适用的方法，使定积分真正成为解决许多实际问题的有力工具，促进了积分学的迅速发展。
因此，可以说，牛顿--莱布尼茨公式的出现，是积分学建立与发展的转折点，是积分学有如此广泛应用的关键。
正是由于这个公式本身的特点和历史上的作用，所以又称它为微积分基本公式。
本部分的教学要求：1．了解定积分概念的某些实际背景（曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等），了解定积分的定义和定积分的几何意义，知道函数连续是定积分存在的充分条件。
2．理解定积分的线性性质及对区间的可加性；了解（用直线运动的速度与路程的关系引出）微积分基本公式（牛顿--莱布尼茨公式），了解公式成立的条件，会用这个公式求一些函数的定积分。
（三）定积分的应用定积分的应用主要将用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功以及对极坐标系的初步介绍和在极坐标系中求平面图形的面积。
学习这部分内容，要达到以下目的：1．有助于对定积分是“和的极限”的思想的了解，即分割→近似代替→求和→取极限的思想方法．2．使学生学会用定积分解决在几何中用初等数学方法无法解决的面积、体积问题，力学方面的计算问题，从而进一步体会学习定积分的必要性．3．形数结合，加深对定积分几何意义的理解，不但能够求出关于某些平面图形的面积以及空间图形的体积的定积分表达式的值，而且知道某些简单的定积分表达式的几何意义．4．知道在求平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力作功时，定积分是一种普遍适用的方法．5．对几何图形的基本度量--面积、体积等概念有较为完整的认识。
6．了解极坐标的概念，会求极坐标系中简单的平面图形的面积。
二、编写特点（一）突出基本概念和基本思想“定积分”既是本章的基本概念，又是基本思想。
定积分应用的有关内容都是围绕定积分的基本思想展开的，所以掌握好定积分的基本思想是本章的关键。
教材除在“定积分的概念与计算”一节中重点介绍“定积分”的概念、思想外，又利用定积分的思想推导出旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等。
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。
定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。
比如阿基米德（Archimedes，公元前287年～公元前212年）远在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。
早在公元前六世纪我国古代数学家祖geng提出“幂势既同，则积不容异。
”（祖geng原理）“幂”是截面积，“势”是几何体的高。
意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等。
定积分的概念，在很早以前也已经在许多人的工作中逐渐形成。
但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分迅速建立发展起来。
定积分的思想即“分割→近似代替→求和→取极限”，它为我们研究某些问题提供了一种思维模式．旋转体的体积公式、变力作功的公式、极坐标系中平面图形的面积公式的推导，尽管在形式上不尽相同，但都是“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法．虽然在教学中主要是让学生会用上述的公式直接计算定积分，但学生掌握这一思想方法，高屋建瓴，对上述公式会有深刻的理解。
（二）加强知识之间的前后联系，归纳总结已学知识不定积分的内容与“导数与微分”的内容联系紧密，学好“导数与微分”一章，是学好不定积分的前提．在学习不定积分之前，对“导数与微分”一章进行适当地复习是非常必要的，特别是常见函数的导数，一定要熟记掌握。
教材在阅读材料“长度、面积、体积”中，对长度、面积、体积等几何度量进行了归纳总结．长度、面积、体积等贯穿了初等几何学习的始终，学完定积分后对它们进行适当地总结，目的是使学生对于长度、面积与体积的概念有较为完整的认识，而且还能体会定积分的价值，知道定积分在求图形的长度、面积、体积时，是一种普遍适用的方法。
（三）注重与物理学科的联系在物理研究中，用数学工具解决物理问题已不鲜见。
事实上，物理学和数学的联系非常紧密，综观整个数学史和物理学史，不难发现，在物理科学的研究中，不断产生新的数学知识，微积分的产生是最明显的一例；反过来，数学知识的充实和完善又促进了物理学的发展，两者相辅相成。
“定积分在力学上的简单应用”一节充分说明了这一点。
本章的变速直线运动的路程、自由落体运动、变力作功等问题都是力学中常见的问题，但用以前的方法无法解决，现在引入定积分，可使这些问题顺利解决。
本章特别注意与全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）的联系，在全日制普通高级中学教科书（试验本）物理第一册（必修）中，对“位移公式的另一种推导”中曾提到速度--时间曲线下的“面积”，并指出速度--时间曲线下的“面积”即为匀变速直线运动的位移。
尽管此时并未提出“定积分”的概念，但已用定积分的思想在解决问题了。
学生在学习了定积分后时，重新审视物理中的相应章节，既可巩固物理知识，又能充分体会学习定积分的价值。
（四）理论联系实际，培养学生应用数学的意识从内容安排来看，本章的“4．5”“4．6”讲的是定积分在几何和力学方面的应用。
在数学中，应用可以分为不同的层次：1．数学知识的直接应用，如由基本积分公式表，利用直接积分法和第一换元积分法求不定积分，这是最低层次的一种应用；2．运用数学知识解决由具体问题抽象出来的数学模型，如利用定积分解决变速直线运动的路程、变力作功等问题，这是高一级层次的应用；3．运用数学知识直接解决现实问题，这时，需要对具体的问题进行抽象概括，抽象出具体的数学模型，尔后进行解决，这是最高层次的一种应用。
本章涉及的应用问题主要是第2种应用，即运用数学知识解决数学模型。
为了使学生对定积分的应用有充分的认识，本章在复习参考题B组中安排了不少由实际问题抽象出来的数学模型，如桥拱、飞机的副油箱等等。
学生通过这些问题的训练，认识到所学知识在实际问题中用处非常大，这对于培养他们应用数学的意识是非常有帮助的。
三、需要注意的几个问题1．不定积分和定积分的计算不定积分和定积分的运算、化归内容非常丰富。
但本章不定积分和定积分的计算只限于利用基本积分公式表中的基本公式和定积分的线性性质，运用直接积分法和第一换元法进行。
不要在扩充基本积分公式，不要引入分部积分法、有理函数积分法、无理函数积分法等积分方法。
2．定积分的概念和定积分公式的运用了解定积分概念的实际背景，知道定积分的几何意义，在运算过程中适当加强几何直观，能由定积分表达式知道其几何意义，也能由图形知道它所表达的定积分，学习中注意数形结合。
掌握“分割→近似代替→求和→取极限”的思想方法，但不要求学生推导曲边梯形的面积公式、变速直线运动的路程公式、旋转体的体积公式、极坐标系中平面图形的面积公式等，教师在讲述这些公式时，重点是介绍为什么要“分割→近似代替→求和→取极限”，要给学生讲清思路。
对学生来讲，主要是运用上述公式，进行运算，解决具体问题。
3．极坐标系和极坐标系中平面图形的面积本节的重点是运用极坐标系中平面图形的面积公式求平面图形的面积。
对极坐标的概念只要求了解，认识到极坐标的工具作用。
对于极坐标系中平面图形的面积中的平面图形，不要作更多的扩展.若扩展，必须给出图形的形状及画法，以便把主要精力放在图形的面积的求法上。
安排此节主要目的还是从定积分应用的角度出发，极坐标系和极坐标方程仅仅是一种工具，所以本节重点应放在定积分的应用上。
四、有待研究的问题1．有关定积分的内容是不是讲的直观一些更好？2．引入定积分概念是否可用“归纳→猜想→证明”的方式？即运用这样的实例（让学生多一个发现问题的途径）：汽车在10个不同的时间区间均做匀速直线运动，但速度不等，由速度-时间曲线可知，其路程等于如下图所示的10个矩形的面积的和，由此，猜想按速度函数作变速直线运动的汽车行驶的路程等于速度-时间曲线与横轴所围的图形的面积。