湖南省长沙市2016年中考数学模拟试卷(二)(含解析)新人教版
2016年湖南省长沙市数学中考模拟试卷【答案】(二)
2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（）A．3或﹣3 B．6 C．﹣6 D．6或﹣62．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a4=a7 B．a3•a4=a7 C．（a3）4=a7D．a6÷a3=a23．（3分）2015年10月18日，TCL2015长沙国际马拉松赛正式开赛，来自国内外的1.5万余名选手在长沙这座美丽的城市中奔跑．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米，将数据42千米用科学记数法表示为（）A．42×103米B．0.42×105米 C．4.2×104米D．4.2×105米4．（3分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A．40°B．35°C．50°D．45°5．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系中抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+2 B．y=3（x+2）2﹣2 C．y=3（x﹣2）2+2 D．y=3（x+2）2+2 6．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠17．（3分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150° D．180°8．（3分）下列说法正确的是（）A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上B．数据3，3，5，5，8的众数是8C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明毎买50张奖券中一定有一张中奖D．想要了解长沙市民对“全面二孩”政策的看法，宜采用抽样调查9．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5） B．（2.5，5）C．（3，5） D．（3，6）10．（3分）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．x l=1，x2=2 B．x l=﹣2，x2=﹣1 C．x l=1，x2=﹣2 D．x l=2，x2=﹣111．（3分）为了迎接元旦小长假的购物高峰，黄兴南路步行街某运动品牌专卖店购进甲、乙两种服装，现此商店同时卖出甲、乙两种服装各一件，每件售价都为240元，其中一件赚了20%，另一件亏了20%，那么这个商店卖出这两件服装总体的盈亏情况是（）A．赚了12元B．亏了12元C．赚了20元D．亏了20元12．（3分）若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为（）A．﹣64 B．0 C．18 D．64二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．（3分）有一组数据如下：2，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的方差为．15．（3分）已知x，y满足方程组，则x﹣y的值是．16．（3分）若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．17．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O 上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为（度）．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题，每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：（）﹣1﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣2sin60°．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．21．（8分）为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情况，我市教育部门在红旗中学2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）参加调查的人数共有人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m的值；（3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择8名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是多少？22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．23．（9分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2013年的绿色建筑面积约为950万平方米，2015年达到了1862万平方米．若2014年、2015年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2016年是“十三五”规划的开局之年，我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我市能否完成计划目标？24．（9分）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．25．（10分）已知抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），直线1的解析式为y 2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求b、c的值；（2）若函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．（1）写出点C的两个好友坐标；（2）直线l的解析式是y=x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；（3）抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（）A．3或﹣3 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6【解答】解：设这个数是x，则|x|=3，解得x=+3或﹣3．故选：A．2．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a4=a7 B．a3•a4=a7 C．（a3）4=a7D．a6÷a3=a2【解答】解：A、a3与a4是相加，不是相乘，不能利用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；B、a3•a4=a7，正确；C、应为（a3）4=a3×4=a12，故本选项错误；D、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误．故选B．3．（3分）2015年10月18日，TCL2015长沙国际马拉松赛正式开赛，来自国内外的1.5万余名选手在长沙这座美丽的城市中奔跑．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米，将数据42千米用科学记数法表示为（）A．42×103米B．0.42×105米 C．4.2×104米D．4.2×105米【解答】解：将42千米用科学记数法表示为4.2×104，故选C．4．（3分）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A．40°B．35°C．50°D．45°【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，∴∠BAC=2∠BAD=140°，∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，故选：A．5．（3分）在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系中抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+2 B．y=3（x+2）2﹣2 C．y=3（x﹣2）2+2 D．y=3（x+2）2+2【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下、向左平移2个单位（﹣2，﹣2），所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3（x+2）2﹣2．故选：B．6．（3分）要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．7．（3分）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150° D．180°【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，解得：n=180°．故选D．8．（3分）下列说法正确的是（）A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上B．数据3，3，5，5，8的众数是8C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明毎买50张奖券中一定有一张中奖D．想要了解长沙市民对“全面二孩”政策的看法，宜采用抽样调查【解答】解：A：抛硬币是一个随机事件，不能保证反面朝上，所以A错误；B：本组数据应该有两个众数，3、5都出现了两次，所以B错误；C：获奖概率为是一个随机事件，所以C错误；D：对长沙市民的调查涉及的人数众多，适合用抽样调查，所以D正确．故选：D．9．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5） B．（2.5，5）C．（3，5） D．（3，6）【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．10．（3分）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．x l=1，x2=2 B．x l=﹣2，x2=﹣1 C．x l=1，x2=﹣2 D．x l=2，x2=﹣1【解答】解：由图可知，两函数图象的交点坐标为（1，2），（﹣2，﹣1），故关于x的方程kx+b=的解为x l=1，x2=﹣2．故选C．11．（3分）为了迎接元旦小长假的购物高峰，黄兴南路步行街某运动品牌专卖店购进甲、乙两种服装，现此商店同时卖出甲、乙两种服装各一件，每件售价都为240元，其中一件赚了20%，另一件亏了20%，那么这个商店卖出这两件服装总体的盈亏情况是（）A．赚了12元B．亏了12元C．赚了20元D．亏了20元【解答】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，则x+20%x=240，解得x=200，y﹣20%y=240，解得y=300，∴240×2﹣（200+300）=﹣20（元）．即：这个服装店卖出这两件服装亏本了，亏本20元．故选：D．12．（3分）若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为（）A．﹣64 B．0 C．18 D．64【解答】解：由题意得：a n+1=a n+a n+2，a n+2=a n+1+a n+3，a n+3=a n+2+a n+4，三式相加，得：a n+a n+2+a n+4=0，同理可得：a n+1+a n+3+a n+5=0，以上两式相加，可知：该数列连续六个数相加等于零，2016是6的倍数，所以结果为零．故选：B．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件AF=CE，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．【解答】解：添加的条件是AF=CE．理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥CE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：AF=CE．14．（3分）有一组数据如下：2，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的方差为4．【解答】解：a=5×5﹣2﹣4﹣6﹣8=5，s2=[（2﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．15．（3分）已知x，y满足方程组，则x﹣y的值是﹣1．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y=﹣1．故答案为：﹣1．16．（3分）若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或﹣1．【解答】解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；②当k≠0时，△=4+4k=0，解得，k=﹣1．综上所述，k=0或﹣1．故答案为：0或﹣1．17．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O 上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为35（度）．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=90°﹣∠CAB=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故答案为：35°．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是6．【解答】解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得x=3，∴S=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6，△A′DE故答案为：6．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题，每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：（）﹣1﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣2sin60°．【解答】解：原式=2﹣1+3﹣2×=4﹣．20．（6分）先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．【解答】解：原式=+===，当a=﹣1时，原式==1﹣．21．（8分）为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情况，我市教育部门在红旗中学2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）参加调查的人数共有300人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为108度；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m的值；（3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择8名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是多少？【解答】解：（1）参加调查的人数为69÷23%=300（人），∵“C”的人数为：300﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人），∴表示“C”的扇形的圆心角为×360°=108°，故答案为：300，108．（2）补全条形图如下：∵m%=×100%=20%，∴m=20；（3）=，答：喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是．22．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．23．（9分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2013年的绿色建筑面积约为950万平方米，2015年达到了1862万平方米．若2014年、2015年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2016年是“十三五”规划的开局之年，我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我市能否完成计划目标？【解答】解：（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率x，根据题意得：950（1+x）2=1862，解得：x1=0.4=40%，x2=﹣2.4（不合题意，舍去），答：这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率是40%；（2）根据题意得：∵2016年绿色建筑面积是：1862×（1+0.4）=2606.8万平方米＞2400万平方米，∴2016年我市能完成计划目标．24．（9分）如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）判断∠PED=45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC=∠PDC，∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∴∠PDC=∠PEB，∵∠PEB+∠PEC=180°，∴∠PDC+∠PEC=180°，在四边形PECD中，∠EPD=360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD=360°﹣180°﹣90°=90°，又∵PE=PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED=45°．25．（10分）已知抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），直线1的解析式为y2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求b、c的值；（2）若函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），∴，解得：，∴b的值为2，c的值为2．（2）y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+（2+2m）x+3m2+4nm+4n2+2，∵函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，∴△=（2+2m）2﹣4×1×（3m2+4nm+4n2+2）≥0，即﹣4（m﹣1）2﹣4（m+2n）2≥0．∵（m﹣1）2≥0，（m+2n）2≥0，∴m=1，n=﹣，∴直线l的解析式为y=2x+2．（3）如图，A（﹣1，0），B（0，2）．AB==，对称轴x=﹣1，①当BA=BP时，可得P1（﹣1，4），②当AB=AP时，可得P2（﹣1，），P3（﹣1，﹣），③当PA=PB时，可得P4（﹣1，2）．综上所述，当△PAB是等腰三角形时，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．26．（10分）在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．（1）写出点C的两个好友坐标；（2）直线l的解析式是y=x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；（3）抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？【解答】解：（1）1.5﹣1.5=0，1.5+1.5=3，∴点（0，0）、（0，3）到点C的距离为1.5，∴点（0，0）、（0，3）为点C的好友．（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5﹣0.5t），直线l：y=x﹣4可变形为4x﹣3y﹣12=0，点C到直线l的距离d==|0.3t﹣3.3|，当直线受圆C影响时，有d≤1.5，即|0.3t﹣3.3|≤1.5，解得：6≤t≤16．∴在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间为6≤t≤16．（3）令y=x﹣4中y=0，则x﹣4=0，解得：x=3，即点A的坐标为（3，0）．依照题意画出图形，如图1所示．∵抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，点O（0，0），点A（3，0），∴抛物线的对称轴为x==1.5，∵点D恰好为点C的好友，∴点D的坐标为（1.5，1.5）．连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，此最大，如图2所示．时S△DOE∵OD是圆C的弦，CM⊥OD，∴点M为线段OD的中点，∴点M的坐标为（，）、OM==，在Rt△CMO中，OM=，CO=1.5=，∴CM==．∵CE=1.5=，EM=EC+CM，∴EM=，=OD•EM=OM•EM=×=．此时S△DOE设直线CM的解析式为y=mx+n，∵点C的坐标为（0，1.5）、点M的坐标为（，）即（0.75，0.75），∴，解得：，∴直线CM的解析式为y=﹣x+1.5．设点E的坐标为（x，﹣x+1.5）（x＜0），∵EC==1.5，∴x=﹣，或x=（舍去），∴点E的坐标为（﹣，）．故当△DOE面积最大时，点E的坐标为（﹣，），此时△DOE的面积是．。
新人教版中考数学真题试题A卷含解析 (5)
最新人教版中考数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）下列说法，你认为正确的是（）A．0的倒数是0 B．3﹣1=﹣3 C．π是有理数D．是有理数2．（4分）有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．（4分）下列计算正确的是（）A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p4．（4分）下列命题中，真命题的个数有（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．④内错角相等，两直线平行．A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和66．（4分）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=27．（4分）已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =8．（4分）设x＜0，x﹣=，则代数式的值（）A．1 B．C．D．9．（4分）在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB 最大，则x=（）A．3 B．0 C．4 D．10．（4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（）个“•”．A．90 B．91 C．110 D．11111．（4分）如图，已知点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（﹣5，）C．（﹣6，）D．（﹣3，2）12．（4分）已知关于x的方程﹣=1的解为负数，且关于x、y的二元一次方程组的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a的值的是（）A．，2，5 B．0，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．（4分）请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）14．（4分）计算：2﹣1﹣=15．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为米．16．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为．17．（4分）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有千米．18．（4分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC=72°，点F在AB 上，满足DE=DF，则∠CEF的度数为．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）19．（8分）如图，已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是CB延长线上一点，且∠DEC=∠DCE，F是AC上一点且DF∥BC，若∠A=60°．求证：EB=AD．20．（8分）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（1）解不等式组：（2）化简：（﹣2）•．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函双y=（m≠0）的阳象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM=，OA=2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．23．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．（1）康福特公司2016年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2018年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2018年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？24．（10分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．25．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）下列说法，你认为正确的是（）A．0的倒数是0 B．3﹣1=﹣3 C．π是有理数D．是有理数【解答】解：A、0没有倒数，错误；B、，错误；C、π是无理数，错误；D、=3是有理数，正确；故选：D．2．（4分）【分析】根据中心对称图形和轴对称图形判断即可．解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；B、等腰三角形是轴对称图形，是真命题；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；D、直角三角形不是轴对称图形，原命题是假命题；故选：B．3．（4分）下列计算正确的是（）A．﹣5x﹣2x=﹣3x B．（a+3）2=a2+9 C．（﹣a3）2=a5D．a2p÷a﹣p=a3p 【解答】解：A、﹣5x﹣2x=﹣7x，故此选项错误；B、（a+3）2=a2+6a+9，故此选项错误；C、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；D、a2p÷a﹣p=a3p，正确．故选：D．4．（4分）下列命题中，真命题的个数有（）①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．④内错角相等，两直线平行．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行是真命题．②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题．③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补是假命题．④内错角相等，两直线平行是真命题．故选：B．5．（4分）估计2﹣2的值介于下列哪两个整数之间（）A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6【解答】解：∵3＜＜3.5，∴2＜﹣1＜2.5，∴4＜2﹣2＜5，即2﹣2在4和5之间，故选：C．6．（4分）同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x=﹣4，或x=2 C．x=﹣4 D．x=2【解答】解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9=0，（x+2）（x+4）≠0，x+1=3或﹣3，x≠﹣2且x≠﹣4，x=2或x=﹣4，∴x=2，故选D．7．（4分）已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADG∽△ABF，△AEG∽△ACF，∴，∴，故选：C．8．（4分）设x＜0，x﹣=，则代数式的值（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵x﹣=，∴（x）2=5，∴x2+=7，∴（x+）2=x2+2+=9，∵x＜0，∴x+=﹣3，∴x2+1=﹣3x，∴x4+1=7x2，∵（x2+）2=x4+2+，∴x4+=47，∴x8+1=47x4，∵x3+=（x+）（x2﹣1+），∴x3+=﹣18，∴x6+1=﹣18x3，∴原式=====故选：B．9．（4分）在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB 最大，则x=（）A．3 B．0 C．4 D．【解答】解：如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．故此时∠APB最大．连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．∵CP=CA=CB，∴y2=x2+（y﹣4）2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，由y2=x2+（y﹣4）2，得8y=x2+16 ①，由y2=（x﹣3）2+（y﹣8）2，得x2﹣6x+73﹣16y=0 ②，①代入②，整理得x2+6x﹣41=0，解得x1=5﹣3，x2=﹣5﹣3（不合题意舍去）．故选：D．10．（4分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（）个“•”．A．90 B．91 C．110 D．111【解答】解：由图形可知：n=1时，“•”的个数为：1×2+1=3，n=2时，“•”的个数为：2×3+1=7，n=3时，“•”的个数为：3×4+1=13，n=4时，“•”的个数为：4×5+1=21，所以n=n时，“•”的个数为：n（n+1）+1，n=10时，“•”的个数为：10×11+1=111．故选：D．11．（4分）如图，已知点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC使点C落在第二象限，且边BC交x轴于点D，若△ACD与△ABD的面积之比为1：2，则点C的坐标为（）A．（﹣3，2） B．（﹣5，）C．（﹣6，）D．（﹣3，2）【解答】解：如图，作CM⊥OD于M，AE⊥OD于E，作DF⊥AB于F，连接CO，根据题意得：AO=BO∵S△ACD：S△ADB=1：2∴CD：DB=1：2即DB=2CD∵△ABC为等边三角形且AO=BO∴∠CBA=60°，CO⊥AB且DF⊥AB∴DF∥CO∴∴DF=CO，BF=BO，即FO=BO∵∠CBA=60°，CO⊥AB∴CO=BO∴DF=BO∵∠DOF=∠AOE，∠DFO=∠AEO=90°∴△DFO∽△AOE∴∴AE=2OE∵点A是反比例函数y=的图象在第一象限上的动点∴AE×OE=2∴AE=2，OE=1∵∠COM+∠AOE=90°，∠AOE+∠EAO=90°∴∠COM=∠EAO，且∠CMO=∠AEO=90°∴△COM∽△AOE∴CM=，MO=6且M在第二象限∴M（﹣6，）故选：C．12．（4分）已知关于x的方程﹣=1的解为负数，且关于x、y的二元一次方程组的解之和为正数，则下列各数都满足上述条件a的值的是（）A．，2，5 B．0，3，5 C．3，4，5 D．4，5，6【解答】解：﹣=1，去分母得：a﹣3=x+3，（a≠3），x=a﹣6，由题意得a﹣6＜0，a＜6且a≠3，，①+②得：5x=5a+15，x=a+3③，把③代入①得：2（a+3）﹣y=7，y=2a﹣1，∴x+y=a+3+2a﹣1=3a+2＞0，∴a＞﹣，则a的取值为：﹣＜a＜6，故选：A．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）13．（4分）请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约 2.5×104千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）【解答】解：1 300 000 000÷52÷1 000（千克）=25 000（千克）=2.5×104（千克）．故填2.5×104．14．（4分）计算：2﹣1﹣= ﹣2【解答】解：原式=﹣3=﹣2，故答案为：﹣215．（4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆低端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度为6+29 米．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）m．故答案为：6+29．16．（4分）春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为23.4 ．【解答】解：将这5天的人数从小到大排列为21.9、22.4、23.4、24.9、25.4，所以这五天游客数量的中位数为23.4，故答案为：23.4．17．（4分）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶．甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有90 千米．【解答】解：由题意可得，甲车的速度为：30÷=45千米/时，甲车从A地到B地用的时间为：240÷45=5（小时），乙车刚开始的速度为：[45×2﹣10]÷（2﹣）=60千米/时，∴乙车发生故障之后的速度为：60﹣10=50千米/时，设乙车发生故障时，乙车已经行驶了a小时，60a+50×（）=240，解得，a=，∴乙车修好时，甲车行驶的时间为： =小时，∴乙车修好时，甲车距B地还有：45×（5）=90千米，故答案为：90．18．（4分）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，点E在AC上，且∠EDC=72°，点F在AB 上，满足DE=DF，则∠CEF的度数为54°或144°．【解答】解：如图，当点F在BD上时，∵Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴DC=AB=DB，∴∠CDB=180°﹣2∠B，∵DE=DF，∴△DEF中，∠DFE=（180°﹣∠EDF）=（180°﹣∠EDC﹣∠CDB）=（108°﹣∠CDB）=54°﹣∠CDB=54°﹣（180°﹣2∠B）=∠B﹣36°，∵∠CEF是△AEF的外角，∴∠CEF=∠A+∠AFE=90°﹣∠B+∠B﹣36°=54°，当点F'在AD上时，由DF=DE=DF'，可得∠FEF'=90°，∴∠CEF'=∠CEF+∠FEF'=54°+90°=144°，故答案为：54°或144°．三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）19．（8分）如图，已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是CB延长线上一点，且∠DEC=∠DCE，F是AC上一点且DF∥BC，若∠A=60°．求证：EB=AD．【解答】证明：∵DF∥BC，∵∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠DBE=120°，∠ADF=∠AFD=60°=∠A，∴△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，∴AD=DF，∵∠DEC=∠DCE，∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，在△DBE和△CFD中，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD．20．（8分）某学校为了提高学生学科能力，决定开设以下校本课程：A．文学院，B．小小数学家，C．小小外交家，D．未来科学家，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200 人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的小小外交家的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛，求恰好同时选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．【解答】解：（1）∵A是36°，∴A占36°÷360=10%，∵A的人数为20人，∴这次被调查的学生共有：20÷10%=200（人），故答案为：200；（2）如图，C有：200﹣20﹣80﹣40=60（人），（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、乙两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中甲、乙两位同学的概率为： =．四．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（1）解不等式组：（2）化简：（﹣2）•．【解答】解：（1）解不等式＜1，得：x＜5，解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x＜5；（2）原式=（﹣）•=•=．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函双y=（m≠0）的阳象交于点c（n，3），与x轴、y轴分别交于点A、B，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，若tan∠CAM=，OA=2．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点D是反比例函数图象在第三象限部分上的一点，且到x轴的距离是3，连接AD、BD，求△ABD的面积．【解答】解：（1）∵在直角△ACM中，tan∠CAM==，CM=3，∴AM=4，∴OM=AM﹣OA=4﹣2=2．∴n=2，则C的坐标是（2，3）．把（2，3）代入y=得m=6．则反比例函数的解析式是y=；根据题意得，解得，则一次函数的解析式是y=x+；（2）在y=中令y=﹣3，则x=﹣2．则D的坐标是（﹣2，﹣3）．AD=3，则S△ABD=×3×2=3．23．（10分）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，康福特公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．（1）康福特公司2016年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2018年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2018年市政府经过招标，决定年内采购并安装康福特公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元，A型健身器材最多可购买多少套？【解答】解：（1）依题意得：2.5（1﹣n）2=1.6，则（1﹣n）2=0.64，所以1﹣n=±0.8，所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合题意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n为20%；（2）设A型健身器材可购买m套，则B型健身器材可购买（80﹣m）套，依题意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，整理，得1.6m+96﹣1.2m≤1.2，解得m≤40，即A型健身器材最多可购买40套．24．（10分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以a cm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以b cm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t（秒）（1）如图1，若a=b=1，点E从C出发沿C→B方向运动，连AE、CD，AE、CD交于F，连BF．当0＜t＜6时：①求∠AFC的度数；②求的值；（2）如图2，若a=1，b=2，点E从B点出发沿B→C方向运动，E点到达C点后再沿C→B 方向运动．当t≥3时，连DE，以DE为边作等边△DEM，使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长．【解答】解：（1）如图1，由题可得BD=CE=t．∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠B=∠ECA=60°．在△BDC和△CEA中，，∴△BDC≌△CEA，∴∠BCD=∠CAE，∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，∴∠AFC=120°；②延长FD到G，使得FG=FA，连接GA、GB，过点B作BH⊥FG于H，如图2，∵∠AFG=180°﹣120°=60°，FG=FA，∴△FAG是等边三角形，∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠GAF=∠BAC，∴∠GAB=∠FAC．在△AGB和△AFC中，，∴△AGB≌△AFC，∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120°，∴∠BGF=60°．设AF=x，FC=y，则有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中，BH=BG•sin∠BGH=BG•sin60°=y，GH=BG•cos∠BGH=BG•cos60°=y，∴FH=FG﹣GH=x﹣y．在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2=（y）2+（x﹣y）2=x2﹣xy+y2．∴==1；（2）过点E作EN⊥AB于N，连接MC，如图3，由题可得：∠BEN=30°，BD=1×t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6．∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE•cosB=BE=6﹣t，∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6，∴DN=EC．∵△DEM是等边三角形，∴DE=EM，∠DEM=60°．∵∠NDE+∠NED=90°，∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°，∴∠NDE=∠MEC．在△DNE和△ECM中，，∴△DNE≌△ECM，∴∠DNE=∠ECM=90°，∴M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段．当t=3时，E在点B，D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC•sinB=6×=3；当t=6时，E在点C，D在点A，此时点M在点C．∴当3≤t≤6时，M点所经历的路径长为3．25．（10分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，任意一个“极数”都是99的倍数，理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，∴100﹣10y﹣x是整数，∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，即：任意一个“极数”都是99的倍数；（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）∴m=99（100﹣10y﹣x），∵m是四位数，∴m=99（100﹣10y﹣x）是四位数，即1000≤99（100﹣10y﹣x）＜10000，∵D（m）==3（100﹣10y﹣x），∴30≤3（100﹣10y﹣x）≤303∵D（m）完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）既是3的倍数也是完全平方数，∴3（100﹣10y﹣x）只有36，81，144，225这四种可能，∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425．五．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．。
2016年长沙中考数学试卷模拟(二)
2016年长沙市中考数学模拟试卷（2）姓名： 班级：一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的（ ）． 1．在－4，2，－1，3这四个数中，比－2小的数是A ．－4B ．2C ．－1D ．3 2．下列运算中，结果正确的是（ ）A ． x 3•x 3=x 6B ． 3x 2+2x 2=5x 4C ． （x 2）3=x 5D ． （x+y ）2=x 2+y 23．截止2015年3月，全国4G 用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（ ） A ．1.62×104 B ．1.62×106 C ．1.62×108 D ．0.162×109 4．下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）5．与1＋5最接近的整数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12且且12，7，这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ． 10，12B ． 12，11C ． 11，12D ． 12，12 8．点P （-a-1，-）在第一象限，则a 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A ． ，， B ． 1，， C ． 6，7，8 D ． 2，3，410．关于反比例函数y=﹣，下列说法正确的是（ ）A ． 图象过（1，2）点B ． 图象在第一、三象限C ． 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D ． 当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 11．如图，AB 是直径，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，点C 在⊙O 上，∠ABD=52°，则∠BCD=（ ） A ． 32° B ． 38° C ． 52° D ． 66°12．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP=x ，BE=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A.B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．一个角的度数为20°，则它的补角的度数为 ．14．若﹣2x m y 4与3xy 2m+n是同类项，则m= ，n= 。
湖南长沙2016中考试题数学卷(解析版)
2016年湖南省长沙市中考数学试卷一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）（2016•长沙）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．C．0 D．6【答案】D.【解析】试题分析：根据正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，可得6＞13＞0＞﹣2，所以这四个数中，最大的数是6．故答案选D．考点：有理数的大小比较.2．（3分）（2016•长沙）大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（）A．0.995×105B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104【答案】C.【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．n的值等于原数的整数位数减1，所以99500=9.95×104．故答案选C.考点：科学记数法.3．（3分）（2016•长沙）下列计算正确的是（）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6【答案】A．考点：二次根式乘法运算；合同底数幂的乘除运算；积的乘方运算.4．（3分）（2016•长沙）六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．360°【答案】B．【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式可得六边形的内角和是（6﹣2）×180°=720°，故答案选B．考点：多边形的内角和公式.6•长沙）不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C．考点：解一元一次不等式组.6．（3分）（2016•长沙）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）【答案】B.【解析】试题分析：观察可得，从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，所以该几何体的主视图为，故答案选B.考点：几何体的三视图.7．（3分）（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【答案】A.【解析】试题分析：根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边可得4＜第三边长＜10，所以符合条件的整数为6，故答案选A．考点：三角形三边关系.8．（3分）（2016•长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣2，0）【答案】C.考点：坐标与图形变化﹣平移.9．（3分）（2016•长沙）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题分析：两个角的和等于90°（直角），则这两个角互为余角．由此可得只有选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，故答案选B．考点：余角的定义.10．（3分）（2016•长沙）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80【答案】D.【解析】试题分析：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是80,所以中位数是80；在这组数据中出现次数最多的是80，所以众数是80；故答案选D．考点：中位数；众数.11．（3分）（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【答案】A.考点：解直角三角形的应用.12．（3分）（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D．考点：二次函数的图象与系数的关系.二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y= ．【答案】y（x+2）（x﹣2）．【解析】试题分析：提取公因式y，后再利用平方差公式分解，即x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x+2）（x ﹣2）．考点：分解因式.14．（3分）（2016•长沙）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【答案】m＞﹣4．【解析】试题分析：已知方程有两个不相等的实数根，可知△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m ＞0，解得m＞﹣4．考点：一元二次方程根的判别式.15．（3分）（2016•长沙）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）【答案】2π． 【解析】试题分析：已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为1203180π⨯=2π．考点：弧长公式.16．（3分）（2016•长沙）如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为 ．考点：垂径定理；勾股定理.17．（3分）（2016•长沙）如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】13． 【解析】试题分析：已知DE 是AB 的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB ，所以△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13， 考点：线段的垂直平分线的性质.18．（3分）（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．【答案】56．【解析】试题分析：由题意作出树状图如下：一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，所以，P=305 366．考点：列表法与树状图法.三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
山西省百校联考中考数学模拟试卷(二)(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
2016年某某省百校联考中考数学模拟试卷（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．1．某某省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为12℃，则最高温度为（）A．5℃B．7℃C．﹣12℃D．﹣5℃2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（）A．敬B．业C．诚D．信3．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．x3﹣x3=x0C．x3÷x2=x D．（x3）2=x54．某某剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线l1和l2上，且l1∥l2，∠1=30°，当∠2=10°时，∠3的度数是（）A．45° B．40° C．35° D．30°6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺7．现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（）A．B．C．D．8．不等式组的整数解的个数是（）A．无数个B．6 C．5 D．49．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在2014年10月24日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为3%．2015年10月24日．该客户没有前往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为1.5%．若该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元，则该客户在2014年10月24日存入的本金为（）A．16000元B．18000元C．20000元D．22000元10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣B．4 C．2D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算（）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是．12．计算： +=．13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．14．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为度．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若S△ADE=1，则四边形DBCE的面积S=．△DBCE三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：；（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：（1）小明随机抽取了名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示E类别部分的扇形的圆心角度数为度；（2）将条形统计图补充完整；（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说明你的理由．19．发现与探究：如图，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点B、C、E三点共线，且BC：CE=2：1，连接AE、BD．（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证明；（2）求tan∠BDC的值．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，2）和点B（1，m），连接BO并延长与反比例函数y=的图象交于点C．（1）求一次函数y=k1x+b和反比例函数y=的表达式；（2）是否在双曲线y=上存在一点D，使得以点A、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．21．农业现代化是我国“十三五”的重要规划之一，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年，合作社600亩玉米喜获丰收．合作社打算雇佣玉米收割机收割玉米，现有A、B两种型号收割机可供选择，且每台B种型号收割机每天的收个亩数是A 种型号的1.5倍，如果单独使用一台收割机将600亩玉米全部收割完，A种型号收割机比B种型号收割机多用10天．（1）求A、B两种型号收割机每台每天收个玉米的亩数；（2）已知A种型号收割机收费是45元/亩，B种型号收割机收费是50元/亩，经过研究，合作社计划同时雇佣A、B两种型号收割机各一台合作完成600亩玉米的收割任务，则合作社需要支付的玉米收割总费用为多少元？数学活动：拼图中的数学22．问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图1，有边长为a的正方形纸片一X，三边长分别为a、b、c的全等直角三角形纸片两X，且b．请你用这三X纸片拼出一个图案，并将这个图案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出a、b的值等等）．解决问题：下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．（1）“爱心”小组提出的问题是：如图2，将△DFC绕点F逆时针旋转，使点D恰好落在AD边上的点D′处，猜想此时四边形AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；（2）“希望”小组提出的问题是：如图3，点M为BE中点，将△DCF向左平移至DF恰好过点M时停止，且补充条件a=6，b=2，求△DCF平移的距离．自主创新：（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图4的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）你提出的问题：．23．综合探究：如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE、EC．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）连接AC交直线l于点D，则在点P运动过程中，当点D为EP中点时，S△ADP：S△CDE=；（3）如图2，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使得以点A、E、G 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点G的坐标，若不存在，说明理由．2016年某某省百校联考中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．1．某某省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为12℃，则最高温度为（）A．5℃B．7℃C．﹣12℃D．﹣5℃【考点】有理数的减法．【分析】根据有理数的减法，即可解答．【解答】解：∵最高温度﹣最低温度=温差，∴最高温度为：温差+最低气温=12+（﹣7）=5（℃），故选：A．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法．2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（）A．敬B．业C．诚D．信【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“敬”与“信”是相对面，“业”与“友”是相对面，“诚”与“善”是相对面．故选C．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．x3﹣x3=x0C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】依据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则进行判断即可．【解答】解；A、x3与x2不是同类项不能合并，故A错误；B、x3﹣x3=0，故B错误；C、x3÷x2=x，正确．D、（x3）2=x6，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方法则的应用，熟练掌握相关法则是解题的关键．4．某某剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是掌握中心对称图形要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线l1和l2上，且l1∥l2，∠1=30°，当∠2=10°时，∠3的度数是（）A．45° B．40° C．35° D．30°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线的性质得出∠3=∠4，即可得出答案．【解答】解：∵∠1=30°，∠2=10°，∴∠4=∠1+∠2=40°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=40°，故选B．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能根据平行线的性质得出∠3=∠4是解此题的关键．6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】有理数的乘方．【专题】计算题；实数．【分析】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可．【解答】解：第1次截取其长度的一半，剩下长度为×1=尺，第2次截取其第1次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，第3次截取其第2次剩下长度的一半，剩下的长度为×1=尺，如此反复，第99次截取后，木杆剩下的长度为×1=（尺），则此木杆剩下的长度为尺．故选B【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．7．现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】由现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵现有五X完全相同的卡片，某同学在其中四X的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五X的正面写上了国庆节，∴从中随机抽取一X卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是：．故选A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．不等式组的整数解的个数是（）A．无数个B．6 C．5 D．4【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先对一元一次不等式组进行求解，再根据x取整数解将x的取值列举出来，从而可得整数解的个数．【解答】解：解不等式组得：﹣3＜x＜2，又由于x是整数，则x可取﹣2，﹣1，0，1．所以不等式组整数解的个数是4．故选D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在2014年10月24日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为3%．2015年10月24日．该客户没有前往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为1.5%．若该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元，则该客户在2014年10月24日存入的本金为（）A．16000元B．18000元C．20000元D．22000元【考点】一元一次方程的应用．【分析】该客户在2014年10月24日存入的本金为x元，根据利息=本金×利率×时间求出2015年10月24日获得的利息为3%x元，那么本息和为（x+3%x）元，再根据该客户在2016年10月24日到银行取出该笔存款，可得到利息909元列出方程，求解即可．【解答】解：该客户在2014年10月24日存入的本金为x元，则2015年10月24日获得的利息为3%x元，本息和为（x+3%x）元，根据题意得，3%x+（x+3%x）×1.5%=909，+×0.015=909，0.04545x=909，解得x=20000．答：该客户在2014年10月24日存入的本金为20000元．故选C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息=本金×利率×时间的公式以及理解计算2015到2016年的利息时本金为2015年10月24日的本息和是解题的关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（）A．4﹣B．4 C．2D．2【考点】反比例函数系数k的几何意义；扇形面积的计算．【分析】连接AB，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB=2，根据点C为OA中点，得出AB=OA，即可求得∠OAB=60°，根据面积求得AB的长，然后求得扇形的面积，即可求得阴影的面积．【解答】解：连接AB，BC，∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴S△AOB=×4=2，∴OB•AB=2，∵点C为OA中点，∴BC=OA=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴=tan60°=，∴OB=AB，∴•AB•AB=2，∴AB=2，∴S扇形===，∴S阴影=S△AOB﹣S扇形=2﹣，故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质以及扇形的面积等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．计算（）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是10 ．【考点】负整数指数幂．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×3+4=6+4=10，故答案为：10【点评】此题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．计算： += x+1 ．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣==x+1．故答案为：x+1【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A、B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有 5 个．【考点】等腰三角形的判定．【分析】由已知条件，分别AB为腰找等腰三角形和AB为底找等腰三角形．【解答】解：画出图形得：故答案为：5【点评】本题考查等腰三角形的判定；分类讨论的应用是正确解答本题的关键，要注意仔细找不要遗漏．14．如图，正方形ABCD内有一点O使得△OBC是等边三角形，连接OA并延长，交以O为圆心OB长为半径的⊙O于点E，连接BD并延长交⊙O于点F，连接EF，则∠EFB的度数为37.5 度．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，由△OBC是等边三角形，得到∠OBC=60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOB=（180°﹣30°）=75°，由圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵AB=BO，∴∠AOB=（180°﹣30°）=75°，∴AOB=37.5°，故答案为：37.5．【点评】本题考查了圆周角定理，正方形的性质等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若S△ADE=1，则四边形DBCE的面积S= 3 ．△DBCE【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，且BE=BC；从而判定△ADE∽△ABC，因为相似三角形的面积比是相似比的平方，则可得出S△ADE：S△ABC的比，则△ADE的面积：四边形DBCE的面积可求，已知△ADE的面积，即可得解．【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，且BE=BC，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∵相似三角形的面积比是相似比的平方，∴S△ADE：S△ABC的比=1：4，则△ADE的面积：四边形DBCE的面积=1：3，∵S△ADE=1，∴四边形DBCE的面积=3．故填3．【点评】本题主要考查中位线定理及相似三角形判定及及性质，要牢记并熟练掌握．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：；（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．【考点】实数的运算；因式分解-运用公式法；特殊角的三角函数值．【专题】因式分解；实数．【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=﹣×﹣2=﹣﹣2=﹣2；（2）原式=a2﹣4+4a+4+4=a2+4a+4=（a+2）2．【点评】此题考查了实数的运算，以及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，请完成下列任务：（1）在图1中作一个菱形，使得点A、B为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；在图2中作一个菱形，使点B、D为所作菱形的2个顶点，另外2个顶点在▱ABCD的边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请在图形下方横线处直接写出你按（1）中要求作出的菱形的面积．【考点】菱形的性质；平行四边形的性质；作图—复杂作图．【分析】（1）如图1，在AD、BC上分别截取AF=BE=4，连结EF，则四边形ABEF是菱形；如图2，连结BD，作BD的垂直平分线，交AD于E，BC于F，则四边形BEDF是菱形；（2）如图1，作▱ABCD的高AH，根据菱形的面积=底×高列式计算即可；如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2．分别求出BD与EF，根据菱形的面积=两对角线乘积的一半列式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图1，作▱ABCD的高AH．在直角△ABH中，∵AB=4，∠ABC=60°，∴AH=AB•sin60°=4×=2，BH=AB•cos60°=4×=2，∴S菱形ABEF=BE•AH=4×2=8；如图2，设BD与EF交于点O，作DM⊥BC于M，则CM=BH=2，DM=AH=2．在直角△BDM中，∵∠M=90°，∴BD===2．设BF=x，CF=y，则DF=x，由题意得，解得，∴OF===，∴S菱形ABEF=BD•EF=×2×=．【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，作图﹣复杂作图，熟练掌握定理是解题的关键．18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：（1）小明随机抽取了50 名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示E类别部分的扇形的圆心角度数为14.4 度；（2）将条形统计图补充完整；（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说明你的理由．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比求出总人数，再用360乘以E类别部分所占的百分比即可求出E类别部分的扇形的圆心角的度数；（2）用总人数乘以C类别部分所占的百分比求出C类的人数，从而补全统计图；（3）根据50名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，对于八年级来说，具有代表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数，从而得出小明与小华说的是否正确．【解答】解：（1）小明随机抽取的学生数是： =50（名），表示E类别部分的扇形的圆心角度数为360×=14.4°；故答案为：50，14.4；（2）C类的人数是：50×40%=20（人），补图如下：（3）小华的看法正确，小明的看法不正确，理由如下：因为50名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，所以对于八年级来说，具有代表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数．【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．发现与探究：如图，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点B、C、E三点共线，且BC：CE=2：1，连接AE、BD．（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证明；（2）求tan∠BDC的值．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据SAS证明△BCD与△ACE全等即可；（2）作AF⊥BE，利用三角函数进行解答即可．【解答】解：（1）△BCD≌△ACE，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，∴△BCD≌△ACE（SAS）；（2）作AF⊥BE，如图：∵BC：CE=2：1，∴设BC=2k，CE=k，在Rt△AFC中，AC=BC=2k，∠ACF=45°，∴FC=AC•cos45°=2k×，EF=FC+CE=k+k=（+1）k，∵∠FAC=45°，∴AF=k，由（1）得△BCD≌△ACE，∴∠BDC=∠AEC，∴在Rt△AFE中，tan∠BDC=tan∠AEC=．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角函数等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，关键是根据SAS证明△BCD与△ACE全等．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于点A（﹣3，2）和点B（1，m），连接BO并延长与反比例函数y=的图象交于点C．（1）求一次函数y=k1x+b和反比例函数y=的表达式；（2）是否在双曲线y=上存在一点D，使得以点A、B、D、C为顶点的四边形成为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式求出k2的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式求m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k1与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据中心对称求得C的坐标，然后根据平移的性质和A、C、B的坐标即可求得D的坐标，作AM⊥y轴于M，BN⊥y轴于N，设直线AB交y轴于E，则E（0，﹣4），根据S△AOB=S△AOE+S△BOE求得△AOB的面积，进而即可求得平行四边形的面积．【解答】解：（1）将A（﹣3，2）代入反比例解析式得：k2=﹣6，则反比例解析式为y=﹣；将B（1，m）代入反比例解析式得：m=﹣6，即B（1，﹣6），将A与B坐标代入y=k1x+b中，得：，。
2012年湖南省长沙市中考数学模拟试题(含答案2)
2011年长沙市初中数学考试模拟试卷（一）一、选择题（每小题3分，共30分） 1．16的平方根是 A ．2B ．2C ．±2D ．22． -21的绝对值是 A ．-21 B ．21C ．-2D ．23．图3-1是由5个大小相同的正方体摆成的立方体图形，它的主视图是图3-2中的4．有30位同学参加数学竞赛，已知他们的分数互不相同，按分数从高到低选l5位同学进入下一轮比赛．小明同学知道自己的分数后，还需知道哪个统计量，才能判断自己能否进入下一轮比赛?A ．中位数B ．方差C ．众数D ．平均数 5．已知△ABC 如图2-1所示。
则与△ABC 相似的是图2-2中的6．已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为7cm ，若⊙O 1和⊙O 2的公共点不超过1个，则两圆的圆心距不可能为A ．0 cmB ．8 cmC ．4 cmD ．12 cm 7．下列计算正确的是A ．2x+3y=5xyB ．x·x 4=x 4C ．x·x=2xD ．(x 2y)3=x 6y 38. 如图，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，BC /交AD 于E ，AD =8，AB =4，则DE 的长为A.3B.4C.5D.69.已知梯形的两条对角线长分别为6cm 、8cm ，且对角线相互垂直，梯形的上底长为3cm,则梯形的下底长为A ．7cm B. 10cm C. 13cm D. 16cm 10．如图2—5，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是弧AC 上的一点(点P 不与A ，C 重合)，连结PC ，PD ，PA ，AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ．给出下列四个结论：①CH 2=AH·BH；②弧AD=弧AC ；③AD 2=DF·DP；④∠EPC=∠APD ．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．函数y=ax 21，当x=2时没有意义，则a=__________．12．纳米(nm)是一种长度度量单位，lnm=0.000000001 m ，用科学记数法表示0.3011nm=___________m(保留两个有效数字)．13．已知一组数据：－2，－2，3，－2，x ，－1，若这组数据的平均数是0.5．则这组数据的中位数是 ．14．如图l —6，数轴上A ，B 两点所表示的有理数的和是__________． 15．已知直线y=2x+k 和双曲线y=xk的一个交点的纵坐标为-4，则k 的值为________．16．右图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如右图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_________．17．如图3—7，在等腰直角三角形ABC 中，点D 为斜边AB 的中点，已知扇形GAD ，HBD 的圆心角∠DAG ，∠DBH 都等于90°，且AB=2，则图中阴影部分的面积为__________．18．如果从小华等6名学生中任选1名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是_____．三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分） 19．计算：20)21()23(363298-+-++--20．先化简，再求值：2122444222--+-⨯+-+x x x x x x x ，其中x=23四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21．有A ，B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字l 和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和-3．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为(x ，y)．(1)用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标； (2)求点Q 落在直线y=x-3上的概率．22．如图4—10，在网格中、建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD 绕坐标原点O 按顺时针方向旋转180°后得到四边形A 1B 1C 1D 1． (1)写出点D 1的坐标_________，点D 旋转到点D 1所经过的路线长__________；(2)请你在△ACD 的三个内角中任选二个锐角，若你所选的锐角．．是________，则它所对应的正弦函数值是_________；(3)将四边形A 1B 1C 1D 1平移，得到四边形A 2B 2C 2D 2，若点D 2 (4，5)，画出平移后的图形．(友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦!)23．如图1-13，某堤坝的横截面是梯形AB—CD，背水坡AD的坡度i(即tana)为1:1.2，坝高为5m，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽lm，形成新的背水坡EF，其坡度为1:1.4，已知堤坝总长度为4000m．(1)完成该工程需要多少土方?(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30％，乙队工作效率提高40％，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方?24．如图2—10，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E。
教科所：2016年长沙中考模拟试卷数学答案6-8
22．（1）证明：∵∠ADE=∠BAD，∴AB//ED． ∵ BD 垂直平分 AC，垂足为 F，∴BD⊥AC，AF=FC． 又∵AE⊥AC，∴∠EAC=∠DFC=90°． ∴AE//BD．∴四边形 ABDE 是平行四边形．
根据题意得：2000x+2500(120−x)=275000．（2 分）
解得 x=50，则 120−x=70．
即招聘 A 种工人 50 人，招聘 B 种工人 70 人．（4 分）
（2）设每月所支付的工资为 y 元，招聘 A 种工人 a 人，则招聘 B 种工人(120−a)人，
根据题意得：y=2000a+2500(120−a)=−500a+300000．（6 分）
10a 10b 65000 a b 1500
，解得：
a b
4000， 2500
∵租甲乙两车需要的租金为：65000（元）；
∴单独租甲车需要的租金为：15×4000=60000（元）；
∴单独租乙车需要的租金为：30×2500=75000（元）．（9 分）
综上可得，单独租甲车租金最少．
24．（1）证明：∵AB 是直径，∴∠D=90°．∴∠A +∠DBA=90°． 又∵∠DBC=∠A，∴∠CBA=90°．
可得：10( 1 1 ) 1，解得：x=15．经检验，x=15 是原方程的根．15+15= x x 15
30（天）． 即甲车单独完成任务需要 15 天，乙车单独完成任务需要 30 天．（4 分）
（2）设甲车每天的租金为 a 元，乙车每天的租金为 b 元，则根据题意可得：
2023年湖南省长沙市长郡重点中学中考数学二模试卷(含解析)
2023年湖南省长沙市长郡重点中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 4的算术平方根是( )A. 2B. ±2C. 8D. 162. 某种粒子的质量为0.00000081g，将0.00000081用科学记数法表示为( )A. 0.81×10−6B. 0.81×10−7C. 8.1×10−6D. 8.1×10−73. 下列运算中，计算结果正确的是( )A. (2a3)2=4a6B. (a+2b)2=a2+2ab+4b2C. a6÷a3=a2D. 3a2−a2=34. 我们根据一些简单的函数方程式，就可以在坐标系中绘制出形状优美、寓意美妙的曲线.下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是( )A. 三叶玫瑰线B. 四叶玫瑰线C. 心形线D. 笛卡尔叶形线5.如图，直线m//n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于( )A. 30°B. 35°C. 40°D. 50°6. 我市某一周的最高气温统计如表：则这组数据的中位数与众数分别是( )最高气温(℃)25262728天数1123A. 28，27B. 27.5，28C. 27，28D. 26.5，277.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为( )A. 70°B. 90°C. 100°D. 110°8.如图，是一个几何体的三视图，那么这个几何体的侧面积是( )A. 12πB. 15πC. 20πD. 25π9.如图，直线y=kx+3经过点(2,0)，则关于x的不等式kx+3<0的解集是( )A. x>2B. x<2C. x≤2D. x≥210. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、ACDE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC 于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积是( )A. 1B. 32C. 2 D. 52二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 因式分解2x2−4x+2=．12. 若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则实数m的取值范围是______ ．13. 反比例函数y=kx的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN直于x轴，垂足是点N，若S△M O N=2，则k的值为______ ．14.如图，AB为⊙O直径，C、D是圆上两点，AD=CD，∠BAC=40°，则∠DAC=______ ．15.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的面积比为______．16. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点MN分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM.①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时，S△C M N=14S菱形A B C D；④当OM⊥BC时，OA2=DN⋅AB.其中正确的结论有______ .(填写所有正确结论的序号)三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 先简化，再求值：(1x +1y)⋅xy(x+y)2−1−yx+y，其中x=−2，y=4．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
中考数学自主招生考试试卷(2)(含解析)
2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生考试数学试卷（2）一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．54．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣17．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = ．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．19．如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．2015年湖南省长沙市南雅中学高中自主招生考试数学试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题4分，共32分）1．计算（a2）3÷（a2）2的结果是（）A．a B．a2C．a3D．a4【考点】整式的除法．【分析】根据幂的乘方首先进行化简，再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3÷（a2）2=a6÷a4=a2．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．2．向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】求出阴影部分的面积与三角形的面积的比值即可解答．【解答】解：因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=，所以扔沙包1次击中阴影区域的概率等于．故选C．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【考点】根与系数的关系；二次根式的化简求值．【专题】整体思想．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．4．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．则情境a，b所对应的函数图象分别是（）A．③、②B．②、③C．①、③D．③、①【考点】函数的图象．【分析】根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案；【解答】解：∵情境a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是0，此时②③又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回，∴只有③符合情境a；∵情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有停留，∴只有①符合，故选D【点评】此题考查函数图象问题，主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目．5．如果，，那么等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分式的化简求值．【分析】所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．【解答】解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，展开，得1﹣﹣a+=1去分母，得ac+2=2a两边同除以a，得c+=2．故选B．【点评】本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．6．若关于x的方程无解，则a的值为（）A．或﹣2 B．或﹣1 C．或﹣2或﹣1 D．﹣2或﹣1【考点】分式方程的解．【分析】先去分母得到关于x的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于a的方程，从而求得a【解答】解：去分母得：x﹣2+a（x﹣1）=2a+2．整理得：（a+1）x=3a+4．当a+1=0时，解得：a=﹣1，此时分式方程无解；当a+1≠0时，x=．当x=1时， =1．解得：a=﹣，此时分式方程无解；当x=2时， =2，解得：a=﹣2，此时分式方程无解．故选：C．【点评】本题主要考查的是分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】实数大小比较．【分析】利用作差法比较a和b、b和c、a和c的大小，再比较a、b、c三者的大小．【解答】解：∵a﹣b=﹣1﹣（2﹣）=﹣（1+）≈2.449﹣2.414＞0，∴a＞b；∵a﹣c=﹣1﹣（﹣2）=+1﹣≈2.414﹣2.449＜0，∴a＜c；于是b＜a＜c，故选B．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等．实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．8．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF 面积的最大值是（）A．B．C．D．【考点】面积及等积变换．【分析】设PD=x，S△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF ≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．【解答】解：设PD=x，S△PEF=y，S△AQD=z，梯形ABCD的高为h，∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，∴，解得：，∵PE∥DQ，∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，又∵PF∥AQ，∴∠PFD=∠EQF，∴∠EPF=∠EQF，∵EF=FE，∴△PEF≌△QFE（AAS），∵PE∥DQ，∴△AEP∽△AQD，同理，△DPF∽△DAQ，∴=（）2， =（）2，∵S△AQD=3，∴S△DPF=x2，S△APE=（3﹣x）2，∴S△PEF=（S△AQD﹣S△DPF﹣S△APE）÷2，∴y=[3﹣x2﹣（3﹣x）2]×=﹣x2+x，∵y最大值==，即y最大值=．∴△PEF面积最大值是，故选：D．【点评】本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）9．计算： = 2﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先利用二次根式的除法法则和分母有理化计算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=2﹣2（+1）=4﹣2﹣2=2﹣2．故答案为．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定的值为 3 ．【考点】估算无理数的大小．【分析】先据算出的大小，然后求得7﹣的范围，从而可求得的值．【解答】解：∵9＜13＜16，∴3．∴﹣3＞﹣4．∴4＞7﹣＞3．故的值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无算无理数的大小，估算出的范围是解题的关键．11．定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=，根据上述角的余切概念，则ctan30°=．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】新定义．【分析】根据在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，可得答案．【解答】解：ctan30°=，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切．12．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于A（1，4）、B（4，1）两点，若使y1＞y2，则x的取值范围是x＜0或1＜x＜4 ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据图形，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．【解答】解：根据图形，当x＜0或1＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，y1＞y2．故答案为：x＜0或1＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数一次函数的交点问题，要注意y轴左边的部分，一次函数图象在第二象限，反比例函数图象在第三象限，这也是本题容易忽视而导致出错的地方．13．已知关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，若m，n为整数，则代数式的值是．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【专题】计算题；分式．【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组的整数解确定出m与n的值，原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m与n的值代入计算即可求出值．【解答】解：不等式整理得：，即n≤x＜m，由不等式组的整数解仅有1，2，3，得到m=4，n=1，则原式=1﹣•=1﹣==，当m=4，n=1时，原式=．故答案为：．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．若一次函数y=kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为y=2x+7或y=﹣2x+3 ．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y=2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y=﹣2x+3，综上，所求的函数解析式为：y=2x+7或y=﹣2x+3．【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．15．如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【考点】利用轴对称设计图案．【专题】压轴题．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A进行移动可得到点的坐标，注意考虑全面．【解答】解：如图所示：A1（﹣1，1），A2（﹣2，﹣2），A3（0，2），A4（﹣2，﹣3），（﹣3，2）（此时不是四边形，舍去），故答案为：（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的定义，根据3个定点所在位置，找出A的位置．16．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM= ．【考点】解直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．【解答】解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，∵∠ABM+∠MBT=90°，∠OTB+∠MBT=90°，∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，∴=，即=，即MB2=2AM•BT ①令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2﹣K，BM=，BT=2+K，代入①中得：4+（2﹣K）2=2（2﹣K）（2+K），解方程得：K1=0（舍去），K2=．∴AM=2﹣=．tan∠ABM===．故答案是：．【点评】本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．三、解答题（本大题共4道题，共48分）17．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元分别得出等式方程，组成方程组求出即可；（2）根据购买两种学习桌共98张，设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，根据以至少满足248名学生的需求，以及学校欲投入资金不超过6000元得出不等式，进而求出即可．【解答】解：（1）设每张两人学习桌单价为a元和每张三人学习桌单价为b元，根据题意得出：，解得：，答：两人学习桌和三人学习桌的单价分别为50元，70元；（2）设购买两人学习桌x张，则购买3人学习桌（98﹣x）张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W 元，则W与x的函数关系式为：W=50x+70（98﹣x）=﹣20x+6860；根据题意得出：，由50x+70（98﹣x）≤6000，解得：x≥43，由2x+3（98﹣x）≥248，解得：x≤46，故不等式组的解集为：43≤x≤46，故所有购买方案为：当购买两人桌43张时，购买三人桌55张，当购买两人桌44张时，购买三人桌54张，当购买两人桌45张时，购买三人桌53张，当购买两人桌46张时，购买三人桌52张．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．18．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数在区间上的最小值．（3）求函数y=x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．【考点】二次函数的最值．【专题】新定义．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴、顶点坐标，然后画出抛物线的大致图象，根据函数图象可知当x=﹣5时，函数值最小；（2）先画出函数的大致图象，然后根据函数图象可知当x=0时，函数值最小；（3）先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称轴在区间[t﹣2，t﹣1]的左侧、区间内、区间右侧分类讨论即可．【解答】解：（1）y=﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．函数图大致象如图1所示：当x=5时，函数有最小值，最小值为﹣7．故答案为：﹣7．（2），其对称轴为直线，顶点坐标，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间内，如图2所示．当x=0时，函数y有最小值．（3）将二次函数配方得：y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x=t﹣2时，函数取得最小值：若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x=2时，函数取得最小值：y min=﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x=t﹣1时，函数取得最小值：综上讨论，得．【点评】本题主要考查的是二次函数的最值，根据函数解析式画出函数的图象，然后根据对称轴是否在区间内进行分类讨论是解题的关键．19．（10分）（2015•长沙校级自主招生）如图，P为等边△ABC内一点，PA、PB、PC的长为正整数，且PA2+PB2=PC2，设PA=m，n为大于5的实数，满m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，求△ABC的面积．【考点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣提公因式法；解一元二次方程﹣公式法；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】由已知求出PA、PB、PC的长度，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，∠PAC=60°﹣Q，根据锐角三角函数（余弦定理）求出cosQ和cos（60°﹣Q）的值，即可求出a的长度，过A作AD⊥BC于D，求出AD的长度，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：m2n+30m+9n≤5m2+6mn+45，∴分解因式得：（n﹣5）（m﹣3）2≤0，∵n为大于5的实数，∴m﹣3=0，∵即：PA=m=3，∵PA2+PB2=PC2，PA、PB、PC的长为正整数，∴PB=4，PC=5，设∠PAB=Q，等边三角形的边长是a，则∠PAC=60°﹣Q，由余弦定理得：cosQ==，（1）cos（60°﹣Q）==，（2）而cos（60°﹣Q）=cos60°cosQ﹣sin60°sinQ，=﹣=，（3）将（1）代入（3）得：﹣=，解得：sinQ=，∵（sinQ）2+（cosQ）2=1，∴+=1，令a2=t，∴+=1，解得：t1=25+12，t2=25﹣12，由（1）知a＞0，cosQ＞0，即＞0，a2＞7，∴t2=25﹣12＜7，不合题意舍去，∴t=25+12，即a2=25﹣12，过A作AD⊥BC于D，∵等边△ABC，∴BD=CD=a，由勾股定理得：AD=，∴S△ABC=•a•==9+．答：△ABC的面积是9+．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，用公式法解一元二次方程，用提取公因式法分解因式，余弦定理等知识点，运用余弦定理求等边三角形的边长是解此题的关键．题型较好但难度较大．20．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E 与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即： t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t ≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t ≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ），EM=EC=（4﹣t ），S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t+．综上所述：当0≤t ≤时，S=t 2，当＜t ≤2时，S=﹣t 2+t ﹣；当2＜t ≤时，S=﹣t 2+2t ﹣，当＜t ≤4时，S=﹣t+．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．。
2016年长沙市中考数学模拟卷答案1-5
（2）当△ABC 为等腰直角三角形时，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 AB=2CD． ∵a＞0， AB ∴ b 2 4ac
18a 26(6 a ) 130 1 ，解得 2≤a≤ 3 ．∵a 是正整数，∴a=2 或 a=3． 4 18a 26(6 a ) 140
当购买 A 型车 2 辆、 B 型车 4 辆时， 购车费用为 140 万元； 当购买 A 型车 3 辆、 B 型车 3 辆时，购车费用为 132 万元．两种方案中，显然购买 A 型车 3 辆、B 型车 3 辆时购车费用最低． ∴共有两种方案：方案一：购买 2 辆 A 型车和 4 辆 B 型车；方案二：购买 3 辆 A 型车和 3 辆 B 型车，且方案二购车费用最低． （8 分） 24． （1）证明：∵△ABC 是等边三角形，DG//BC， ∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°． ∴△AGD 是等边三角形，AG=GD=AD． ∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB． ∵∠AGD=∠BAD=60°，AG=DA，∴△AGE≌△DAB（SAS） ． （4 分） （2）解：由（1）知 AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF//DB，DG//BC， ∴四边形 BFED 是平行四边形．∴EF=BD．∴EF=AE． ∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°． ∴△AFE 是等边三角形，∠AFE=60°． （9 分） b c 25．解： （1）∵ x1 x2 ， x1 x2 ，且 a>0，b2−4ac>0， a a
2016年湖南省长沙市中考数学试卷含答案
2016年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列四个数，最大的数是（ ）A ．-2B ．31C ．0D ．62．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需 24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99 500米，则数据99 500用科学记数法表示为（ ）A ．0.995×105B ．9.95×105C ．9.95×104D ．9.5×1043．下列计算正确的是（ ） A.2×5=10 B ．x 8÷x 2=x 4 C ．（2a ）3=6a 3 D ．3a 5 • 2a 3=6a 64．六边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．360°5．不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x ，的解集在数轴上表示为（ ）A B C D6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）（第6题图）A B C D7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．118．若将点A （1，3）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A．（-2，-1）B．（-1，0）C．（-1，-1）D．（-2，0）9．下列各图，∠1与∠2互为余角的是（）A B C D10．若一组数据为75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为（）（第10题图）A．1603m B．1203m C．300 m D．1602m12．已知抛物线y=ax2+bx+c（b>a>0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a-b+c≥0；④ab cb a-++的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）13．分解因式：x2y-4y=．14．若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）（第15题图）16．如图，在⊙O 中，弦AB =6，圆心O 到AB 的距离OC =2，则⊙O 的半径为 ．（第16题图）17．如图，在△ABC 中，AC =8，BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．（第17题图） 18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．三、解答题（本题共8小题，共66分）19．（6分）计算：4sin 60°-|-2|-12+（-1）2 016．20．（6分）先化简，再求值：b a a -（b 1-a 1）+b a 1-，其中a =2，b =31． 21．（8分）为了积极响应市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：（第21题图）请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的居民人数为 .（2）请将条形统计图补充完整.（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数.（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人．22．（8分）如图，AC是ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．（1）求证：AB=BC．（2）若AB=2，AC=23，求ABCD的面积．（第22题图）23．（9分）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次分别运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？24．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数．（2）求证：DF是⊙O的切线．（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．（第24题图）25．（10分）若抛物线L ：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，abc ≠0）与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时，直线l 叫作抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫作直线l 的“路线”．（1）若直线y =mx +1与抛物线y =x 2-2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数y =x6的图像上，它的“带线”l 的表达式为y =2x -4，求此“路线”L 的表达式；（3）当常数k 满足21≤k ≤2时，求抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．26．（10分）如图，直线l ：y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ =135°．（1）求△AOB 的周长．（2）设AQ =t >0，试用含t 的代数式表示点P 的坐标．（3）当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ =m ，若过点A 的二次函数y =ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：①6a +3b +2c =0；②当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于m2，求二次项系数a 的值．（第26题图）参考答案 一、1．D 【分析】根据有理数比较大小的方法知，6>31>0>-2，故在四个数中，最大的数是6．故选D ．2．C 【分析】将99 500用科学记数法表示为9.95×104．故选C ．3．A 【分析】A.2×5=10，正确；B.x 8÷x 2=x 6，错误；C.（2a ）3=8a 3，错误；D.3a 5 • 2a 3=6a 8，错误.故选A ．4．B 【分析】根据题意，得（6-2）×180°=720°．故选B ．5．C 【分析】解不等式2x -1≥5，得x ≥3．解不等式8-4x <0，得x >2．故不等式组的解集为x ≥3．故选C ．6．B 【分析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形．故选B ．7．A 【分析】设第三边长为x ，则7-3<x <7+3，即4<x <10，所以符合条件的整数为6．故选A ．8．C 【分析】∵将点A （1，3）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B ，∴点B 的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1，∴点B 的坐标为（-1，-1）．故选C ．9．B 【分析】∵三角形的内角和为180°，∴选项B 中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角．故选B ．10．D 【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列为75，80，80，85，90，最中间的数是80，则中位数是80；在这组数据中出现次数最多的是80，则众数是80．故选D ．11．A 【分析】如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD =30°，∠CAD =60°，AD = 120 m ．在Rt △ABD 中，BD =AD • tan 30°=120×33=403（m ）．在Rt △ACD 中，CD =AD • tan 60°=120×3=1203（m ）．∴BC =BD +CD =1603（m ）．故选A ．（第11题答图）12．D 【分析】∵b >a >0，∴-ab 2<0，∴该抛物线的对称轴在y 轴左侧，故①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点，∴b 2- 4ac ≤0，∴在关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0中， =b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a <0，∴关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根，故②正确；∵a >0及抛物线与x 轴最多有一个交点，∴当x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0，故③正确；当x =-2时，4a -2b +c ≥0，∴a +b +c ≥3b -3a ，∴a +b +c ≥3（b -a ），即a b c b a -++≥3，故④正确．故选D ．二、13．y （x +2）（x -2） 【分析】x 2y -4y =y （x 2-4）=y （x +2）（x -2）．14．m >-4 【分析】由题意，得∆=b 2-4ac =（-4）2-4×1×（-m ）=16+4m >0，解得m >-4．15． 2π 【分析】∵扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为1803π120⨯=2π． 16．13 【分析】∵弦AB =6，圆心O 到AB 的距离OC =2，∴AC =BC =3，∠ACO =90°． 由勾股定理，得OA =OC AC 22+=2322+=13．17．13 【分析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ．∴△BCE 的周长为BC +EC + EB =BC +EC +EA =BC +AC =8+5=13．18．65 【分析】由题意作出树状图如答图，一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”的情况有30种，所以P =3630=65．（第18题答图）三、19．解：4sin 60°-|-2|-12+（-1）2 016 =4×23-2-23+1 =23-2-23+1=-1．20．解：b a a -（b 1-a 1）+b a 1-=b a a - • ab b a -+b a 1-=b 1+b a 1-=ba ． 当a =2，b =31时，原式=312=6． 21．解：（1）1 000． 分析：这次参与调查的居民人数为%5.37375=1 000．（2）选择“樟树”的有1 000-250-375-125-100=150（人）.补全条形统计图如答图．（第21题答图）（3）360°×1000100=36°． 答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为36°．（4）8×1000250=2（万人）． 答：估计这8万人中最喜欢玉兰树的有2万人．22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC =∠BCA ．∵∠BAC =∠DAC ，∴∠BAC =∠BCA ，∴AB =BC ．（2）解：如答图，连接BD 交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =21AC =3，OB =OD =21BD ， ∴OB =OA AB 22-=)3(222-=1，∴BD =2OB =2． ∴ABCD 的面积为21AC • BD =21×23×2=23．（第22题答图） 23．解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨． 由题意，得⎩⎨⎧=+=+，，70653132y x y x 解得⎩⎨⎧==.58y x ，答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．（2）设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x 辆、y 辆．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+=+，，，21485820y y x y x 解得⎩⎨⎧==218y x ，或⎩⎨⎧==317y x ，或⎩⎨⎧==.416y x ， 故有三种派车方案，第一种方案：大型渣土运输车18辆，小型渣土运输车2辆；第二种方案：大型渣土运输车17辆，小型渣土运输车3辆；第三种方案：大型渣土运输车16辆，小型渣土运输车4辆．24．（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，∴∠EDC =90°．（2）证明：如答图，连接DO ．∵∠EDC =90°，F 是EC 的中点，∴DF =FC ，∴∠FDC =∠FCD ．∵OD =OC ，∴∠OCD =∠ODC ．∵∠OCF =90°，∴∠ODF =∠ODC +∠FDC =∠OCD +∠DCF =90°，∴DF 是⊙O 的切线．（第24题答图） （3）解：（方法一）设DE =1，则AC =25．由AC 2=AD •AE ，得20=AD （AD +1），解得AD =4（负值已舍去）．∵DC 2=AC 2-AD 2，∴DC =2（负值已舍去）．∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =DCAD =2． （方法二）如答图，则∠ABD =∠ACD ．∵∠E +∠DCE =90°，∠DCA +∠DCE =90°，∴∠DCA =∠E ．又∵∠ADC =∠CDE =90°，∴△CDE ∽△ADC ， ∴DCDE AD DC =，∴DC 2 = AD • DE ． ∵AC =25DE ，∴设DE =x （x >0），则AC =25x ，∴AC 2-AD 2=AD • DE ，即（25x ）2-AD 2=AD • x ．整理，得AD 2+AD • x -20x 2=0．解得AD =4x 或AD =-5x （舍去）．∴DC =)4()52(22x x -=2x ．∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =DC AD =x x 24=2． 25．解：（1）令直线y =mx +1中x =0，得y =1，即直线y =mx +1与y 轴的交点为（0，1）．将（0，1）代入抛物线y =x 2-2x +n ，得n =1．∵抛物线的表达式为y =x 2-2x +1=（x -1）2，∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入直线y =mx +1，得0=m +1，解得m =-1．∴m 的值为-1，n 的值为1．（2）将y =2x -4代入y =x 6，得2x -4=x6， 即2x 2-4x -6=0，解得x 1=-1，x 2=3．∴该“路线”L 的顶点坐标为（-1，-6）或（3，2）． 令“带线”l ：y =2x -4中x =0，得y =-4，∴“路线”L 的图像过点（0，-4）．设该“路线”L 的表达式为y =m （x +1）2-6或y =n （x -3）2+2． 由题意，得-4=m （0+1）2-6或-4=n （0-3）2+2，解得m =2，n =-32． ∴此“路线”L 的表达式为y =2（x +1）2-6或y =-32（x -3）2+2． （3）令抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 中x =0，得y =k ，即该抛物线与y 轴的交点为（0，k ）．抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的顶点坐标为（-a k k 21232+-，a k k ak 4)123(422+--）． 设“带线”l 的表达式为y =px +k ．∵点（-a k k 21232+-，a k k ak 4)123(422+--）在y =px +k 上， ∴a k k ak 4)123(422+--= -p 22132k k a -+∙+k ， 解得p =21232+-k k ． ∴“带线”l 的表达式为y =21232+-k k x +k ． 令“带线”l ：y =21232+-k kx +k 中y =0，得0=21232+-k k x +k ， 解得x =-12322+-k k k ． 即“带线”l 与x 轴的交点为（-12322+-k k k ，0），与y 轴的交点为（0，k ）． ∴“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积S =21|-12322+-k k k |×|k |． ∵21≤k ≤2，∴21≤k1≤2， ∴S =12322+-k k k =)1(2312k k +-=2)11(12+-k ， ∴当k 1=1时，S 有最大值，最大值为21； 当k 1=2时，S 有最小值，最小值为31． 故抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围为31≤S ≤21． 26．解：（1）在函数y =-x +1中，令x =0，得y=1，∴B （0，1），令y =0，得x =1，∴A （1，0）．∴OA =OB =1，∴AB =2．∴△AOB 的周长为1+1+2=2+2．（2）∵OA =OB ，∴∠ABO =∠BAO =45°，∴∠PBO =∠QAO =135°．设∠POB =x ，则∠OPB =∠AOQ =135°-x -90°=45°-x ，∴△PBO ∽△OAQ ，∴AQOB OA PB =， ∴PB =AQ OB OA ∙=t 1． 如答图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，则△PHB 为等腰直角三角形．∵PB =t1，∴PH =HB =t 22，∴P （-t 22，1+t 22）． （3）由（2）可知，△PBO ∽△OAQ ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB =OA ，∴t1=1，解得t =1． 同理可知，Q （1+t 22，-t 22），∴m =t t 22122+=2-1．∵抛物线经过点A ，∴a +b +c =0．又∵6a +3b +2c =0，∴b =-4a ，c =3a ．∴对称轴为直线x =2，取值范围为2-1≤x ≤2+1，①若a >0，则开口向上，由题意知，当x =2-1时，取得最大值，最大值为m 2=22+2， 即（2-1）2a +（2-1）b +c =22+2，解得a =72811+． ②若a <0，则开口向下，由题意x =2时取得最大值，最大值为22+2，即4a +2b +c =22+2，解得a =-22-2．综上所述，a 的值为72811+或-22-2．（第26题答图）。
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷(二)(解析版)
2021年湖南省长沙市中考数学学业模拟试卷（二）一、选择题（共12小题）.1．下列四个数中，最大的负数是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．22．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+23．用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（）A．3.1B．3.14C．3.142D．3.1414．下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）25．在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）6．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（）A．4B．3C．2D．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°9．长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（）A．81m B．85m C．88m D．93m10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC ＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（）A．9B．10C．13D．1411．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（）A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C 的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（）A．B．C．5D．二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）13．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为．14．函数y＝的自变量x的取值范围．15．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．18．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．19．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．20．新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．上学方式统计表上学方式人数乘私家车42坐公交54骑车a步行b（1）本次学校共调查了名学生，a＝，m＝；（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．22．口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B＝，求CF的长．24．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．①求证：DF＝EF；②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．25．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分）1．下列四个数中，最大的负数是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】有理数大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可．解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1＜2，∴其中最大的负数是﹣1．故选：B．2．的平方根是（）A．±4B．4C．±2D．+2【分析】根据算术平方根的意义，可得16的算术平方根，再根据平方根的意义，可得答案．解：＝4，±＝±2，故选：C．3．用四舍五入法将数3.14159精确到千分位的结果是（）A．3.1B．3.14C．3.142D．3.141【分析】把万分位上的数字5进行四舍五入．解：3.14159精确到千分位的结果是3.142．故选：C．4．下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误；B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误；C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误；D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．5．在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O顺时针旋转90°，得到对应线段OG′，则点G′的坐标为（）A．（2，1）B．（1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【分析】利用图象法求解即可．解：如图，观察图象可知G′（1，2）．故选：B．6．某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据方差的意义求解可得．解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，故选：A．7．若m2+2m＝1，则4m2+8m﹣3的值是（）A．4B．3C．2D．1【分析】把代数式4m2+8m﹣3变形为4（m2+2m）﹣3，再把m2+2m＝1代入计算即可求出值．解：∵m2+2m＝1，∴4m2+8m﹣3＝4（m2+2m）﹣3＝4×1﹣3＝1．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．9．长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1m，则该塔的高度CD为（）A．81m B．85m C．88m D．93m【分析】由题意易得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．解：根据题意得：∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝104m，∴CD＝BD•sin60°＝104×＝52≈88（m），故选：C．10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC ＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（）A．9B．10C．13D．14【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，故选：A．11．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（）A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC＝，∴AM＝6×＝3（mm），∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，∴AM＝MC＝AC，∴AC＝2AM＝6（mm）．解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：则∠COD＝＝60°，∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝6mm，∵OM⊥CD，∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），∴b＝2OM＝6（mm），故选：B．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C 的坐标为（5，0），点P为坐标平面内一点，CP＝2，连接AP、BP，当点P运动到某一位置时，BP+AP有最小值，则最小值是（）A．B．C．5D．【分析】由CP＝2可知P在以C为圆心、2为半径的圆上，然后取CD的中点E，构造相似三角形，使其相似比为，从而构造出，再根据两点之间，线段最短来解决问题即可．解：∵点P为坐标平面内一点，CP＝2，∴点P在以C为圆心、2为半径的圆上，如图，设⊙C交x轴上一点为C，取CD的中点E，∵，∴，且∠ECP＝∠PCA，∴△CPE∽△CAP，∴，∴，∴BP+＝BP+PE，∴当B、P、E三点共线时，BP+PE＝BE最小，∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（1，0），B（0，3），∴OB＝3，OE＝4，在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE＝．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题3分，共计12分）13．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为30．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．解：由题意可得，×100%＝20%，解得，a＝30．故答案为：30．14．函数y＝的自变量x的取值范围x≥1且x≠3．【分析】本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x﹣1≥0；根据分式有意义的条件，x﹣3≠0，则函数的自变量x取值范围就可以求出．解：根据题意得：解得x≥1且x≠3，即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．15．如图，在正方形ABCD中，DE平分∠CDB，EF⊥BD于点F．若BE＝，则此正方形的边长为+1．【分析】由正方形的性质得∠CBD＝45°，解直角三角形得EF，由角平分线的性质得CE，进而得正方形的边长．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，∵EF⊥BD于点F．BE＝，∴EF＝BE•sin45°＝1，∵DE平分∠CDB，∴CE＝EF＝1，∴BC＝+1．故答案为：+1．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是或．【分析】联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C （，），分AB＝BC、AC＝BC两种情况分别求解即可．解：联立y＝kx、y＝并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），∴AB≠AC，①当AB＝BC时，（）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝±（舍去负值）；②当AC＝BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2＝（3﹣）2，解得：k＝（舍去负值）；故答案为：或．三、解答题（共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．计算：﹣（﹣2）0+|1﹣|+2cos30°．【分析】本题涉及开平方、零次幂、绝对值、特殊角的三角函数，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后再根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式＝3﹣1+﹣1+2×，＝3﹣1+﹣1+，＝5﹣2．18．先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．解：原式＝•﹣＝﹣＝，当a＝+2时，原式＝＝＝．19．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．解：，由①得：x＜5，由②得：x≥﹣4，∴不等式组的解集为﹣4≤x＜5，20．新学期复学后，学校为了保障学生的出行安全，随机调查了部分学生的上学方式（每位学生从乘私家车、坐公交、骑车和步行4种方式中限选1项），根据调查数据制作了如图所示的不完整的统计表和扇形统计图．上学方式统计表上学方式人数乘私家车42坐公交54骑车a步行b（1）本次学校共调查了150名学生，a＝24，m＝28；（2）求扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角；（3）甲、乙两位同学住在同一小区，且都坐公交车上学，有A、B、C三路公交车途径该小区和学校，假设甲、乙两位同学坐这三路公交车是等可能的，请用列表或画树状图的方法求某日甲、乙两位同学坐同一路公交车到学校的概率．解：（1）本次学校共调查了54÷36%＝150名学生，a＝150×16%＝24（名），m＝×100＝28；故答案为：150，24，28；（2）扇形统计图中“步行”对应扇形的圆心角为360°×（1﹣36%﹣28%﹣16%）＝72°；（3）画树状图如图所示，∵共有9种等可能的结果，甲、乙两位同学坐同一路公交车的有3种情况，∴甲、乙两位同学坐同一路公交车的概率为＝．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．22．口味虾是长沙网红美食之一，步行街某口味虾店“五一黄金周”期间，来店内就餐选择微辣和不辣两种口味虾的游客共2500人，其中微辣和不辣两种口味虾的人均消费分别为80元和60元．（1）“五一”期间，若选择微辣口味虾的人数是不辣口味虾人数的1.5倍，求有多少人选择不辣口味虾？（2）随着“五一”的结束，前来店里就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，在（1）的条件下，选择微辣口味虾的人数下降了a%，选择不辣口味虾的人数不变，但选择微辣口味虾的人均消费增长了a%，选择不辣口味虾的人均消费增长了a%，最终销售总额为18万元，求a的值．解：（1）设有x人选择不辣口味虾，则有（2500﹣x）人选择微辣口味虾，依题意，得：2500﹣x＝1.5x，解得：x＝1000．答：1000人选择不辣口味虾．（2）依题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+a%）×1000＝180000，整理，得：12a2﹣120a＝0，解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为10．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B＝，求CF的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴DC为⊙O的切线；（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，sin B＝，∴AC＝6，BC＝8，∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，∴△CAD∽△BCD，∴，设AD＝3x，CD＝4x，Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，52+（4x）2＝（5+3x）2，x＝0（舍）或，∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，∴CE＝CF，设CF＝a，∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD，∴，∴，a＝，∴CF＝．24．定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．①求证：DF＝EF；②若b＝6．c＝4，试说明AB＝AG，并求出CG的长度；（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．【解答】（1）①证明：∵BD＝DC，AF＝CF，∴DF＝AB＝c，∵DE是△ABC的中分线段，∴CD+CF+EF＝BC+AC+AB，∵CD＝BC，CF＝AC，∴EF＝AB＝c，∴DF＝EF．②证明：如图设BG交DF于O．∵DF＝EF，∴∠FED＝∠FDE，∵BG⊥DE，∴∠EHG＝∠DHO＝90°，∴∠FED+∠EGH＝90°，∠FDE+∠HOD＝90°，∵∠HOD＝∠FOG，∴∠FOG＝∠FGO，∵BD＝DC，AF＝CF，∴DF∥AB，∴∠ABG＝∠FOG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AB＝AG，∵AB＝AG＝4，AC＝6，∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2．（2）解：如图2中，过点E作EN⊥BC于N，过点G作GM⊥BC于M．∵S△BDH＝S△EGH，∴S△BCG＝S△ECD，∴•BC•GM＝•CD•EN，∵BC＝2CD，∴EN＝2GM，∵EN∥GM，∴EG＝CG，MN＝CM，∵EF＝c，CF＝AF＝b，∴EC＝，∴CG＝EC＝，∵AB＝AG＝c，AG+GC＝b，∴c+＝b，∴4c+b+c＝4b，∴5c＝3b，∴＝．25．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）在直线y＝﹣2x+4中，令x＝0时，y＝4，∴点B坐标（0，4），令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A（2，0），∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3），∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣6），将E（5，3）代入，得：3＝a（5﹣2）（5﹣6），解得：a＝﹣1，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）（x﹣6）＝﹣x2+8x﹣12；（2）①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣（x﹣4）2+4，∴顶点D（4，4），∵点B坐标（0，4），∴BD∥OC，BD＝4，∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，∴点C（6，0），点A（2，0），∴AC＝4，∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0），∴AD＝CD＝2，∴∠DAC＝∠DCA，∵BD∥AC，∴∠DPH＝∠PQA，且∠DPH＝∠DAC，∴∠PQA＝∠DAC，∴PQ∥DC，且BD∥AC，∴四边形PDCQ是平行四边形，∴PD＝QC，∴4﹣2t＝3t，∴t＝；②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，∵BD∥OC，∴∠DBA＝∠OAB，∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4），∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，∴∠ABD＝∠ADB，∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，∴PN＝2BP＝4t，∴MH＝PN＝4t，∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，∴MD＝2t，∴DH＝＝2t，∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，∵BD∥OC，∴＝，∴＝，∴5t2﹣10t+4＝0，∴t1＝1+（舍去），t2＝1﹣；若点N在AD上，即1＜t≤，∵PN＝MH，∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．。
人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)
19.（1） ；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为 。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了 行，则共有（ ）行，（ ）列，
根据题意： ， ，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为 ，
2016年长沙市中考数学试卷及答案 (2)
2016年长沙中考数学测试卷一、选择题1.下列四个数中，最大的数是（ ）A.－2B.31 C.0 D.6 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为（ ）A ．0.955×105 B. 9.55×105 C. 9.55×104 D . 9.5×1043.下列计算正确的是（ ）A ．1052=⨯ B. x 8÷x 2=x 4 C. (2a )3=6a 3 D . 3a 3 · 2 a 2=6a 64.六边形的内角和是（ ）A ．︒540 B. ︒720 C. ︒900 D . ︒3605.不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x 的解集在数轴上表示为（ ）6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6 B. 3 C. 2 D . 118.若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D . （－2，0）9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）10.已知一组数据75， 80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）A ．75， 80 B. 80，85 C. 80，90 D . 80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为︒30，看这栋楼底部C 处的俯角为︒60，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为（ ）A ．1603m B. 1203mC ．300 mD . 1602m 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (b >a >0)与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx +c=0无实数根；③a －b +c ≥0；④a b c b a -++的最小值为3.其中，正确结论的个数为（ ）A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题13.分解因式：x 2y －4y =____________.14.若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.15.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）16.如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为_____________.17.如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为______.15题图 16题图 17题图18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__________.三、解答题19.计算：4sin60°－︱－ 2︳－12+(－1)201620.先化简，再求值：b a a -(a b 11-)+b a 1-.其中，a =2，b =31.21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好的了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图.请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为_______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？22.如图，AC是□ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC.(1)求证：AB=BC；2，求□ABCD的面积.(2)若AB=2，AC=323.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
2024年湖南省长沙市中考数学试卷及答案
2024年湖南省长沙市中考数学真题试卷一、选择题(在下列各题的四个选项中,只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题,每小题3分,共30分)1.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动,截至2024年6月上旬,上线慕课数量超过7.8万门,学习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为()A.81.2910⨯ B.812.910⨯ C.91.2910⨯ D.712910⨯3.“玉兔号”是我国首辆月球车,它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉免号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是-180℃,最高温度是150℃,则它能够耐受的温差是()A.180o C- B.150O CD.330O C C.30O C4.下列计算正确的是()A.642x x x ÷= B.+=C.325()x x = D.222()x y x y +=+5.为庆祝五四青年节,某学校举办班级合唱比赛,甲班演唱后七位评委给出的分数为:9.5,9.2,9.6,9.4,9.5,8.8,9.4,则这组数据的中位数是()A.9.2B.9.4C.9.5D.9.66.在平面直角坐标系中,将点(3,5)P 向上平移2个单位长度后得到点'P 的坐标为()A.(1,5)B.(5,5)C.(3,3)D.(3,7)7.对于一次函数21y x =-,下列结论正确的是()A.它的图象与y 轴交于点(0,1)-B.y 随x 的增大而减小C.当12x >时,0y < D.它的图象经过第一、二、三象限8.如图,在ABC ∆中,60,50O O BAC B ∠=∠=,//AD BC ,则1∠的度数为()A.50oB.60oC.70oD.80o9.如图,在O 中,弦AB 的长为8.圆心O 到AB 的距离4OE =.则O 的半径长为()A.4B.2C.5D.210.如图,在菱形ABCD 中,6,30O AB B =∠=,点E 是BC 边上的动点,连接,AE DE ,过点A 作AF DE ⊥于点F .设,DE x AF y ==,则y 与x 之间的函数解析式为()(不考虑自变量x 的取值范围)A.9y x=B.12y x=C.18y x=D.36y x=二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势,每种秧苗各随机抽取40株,分别量出每株高度,计算发现三组秧苗的平均高度一样,并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6,10.8,15.8,由此可知____种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).12.某乡镇组织“新农村,新气象”春节联欢晚会,进入抽奖环节.抽奖方案如下:不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有3个,蓝球有5个,每次摇匀后从中随机摸一个球,摸到红球获一等奖,摸到黄球获二等奖,摸到蓝球获三等奖,每个家庭有且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖,获得一等奖的概率为_______.13.要使分式619x -有意义,则x 需满足的条件是______.14.半径为4,圆心角为90o 的扇形的面积为______(结果保留π).15.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别是,AC BC 的中点,连接DE =.若12DE =,则AB 的长为______.16.为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生、其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是____.三、解答题(本大题共9个小题,第17,18,19题每小题6分,第20,21题每小题8分第22,23题每小题9分,第24,25题每小题10分,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:101()32cos30( 6.8)4o π-+----18.先化简,再求值:2(2)(3)(3)m m m m m --++-,其中52m =.19.如图,在Rt ABC ∆中,90,2oACB AB AC ∠===,分别以点,A B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别交于点M 和N .作直线MN 分别交,AB BC 于点,D E ,连接,CD AE .(1)求CD 的长;(2)求ACE ∆的周长.20.中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下,瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线,加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年,中国新能源汽车产销量均突破900万辆,连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上,工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动(每人限选其中一种类型),并将数据整理后,绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.类型人数百分比纯电m 54%混动n%a 氢燃料3%b 油车5%c 请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次调查活动随机抽取了_______人;表中a =____,b =______;(2)请补全条形统计图;(3)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数;(4)若此次汽车展览会的参展入员共有4000人,请你估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人?21.如图,点C 在线段AD 上,,,AB AD B D BC DE =∠=∠=.(1)求证:ABC ADE ∆≅∆;(2)若60O BAC ∠=,求ACE ∠的度数.22.刺绣是我国民间传统手工艺.湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外.在巴黎奥运会倒计时50天之际,某国际旅游公司计划购买A,B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元,购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元.(1)求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元?(2)该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件,总费用不超过50000元,那么最多能购买A 种湘绣作品多少件?23.如图,在ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点,90O O ABC ∠=.(1)求证:AC BD =;(2)点E 在BC 边上,满足CEO COE ∠=∠.若6,8AB BC ==,求CE 的长及tan CEO ∠的值。
2016年长沙市中考数学模拟试卷(一)含答案解析
2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（一）、选择题（每题 3分） 为（ ） A . 7.5 X 106 B . 0.75 X 107 C . 7.5X 107 D . 75X 1056 •下列说法中，正确的是（ ） A •任何一个数都有平方根 B •任何正数都有两个平方根 C •算术平方根一定大于 0 D • 一个数不一定有立方根 7•在以下数据75, 80, 80, 85, 90中，众数、中位数分别是（ ）A • 75, 80B • 80, 80C • 80, 85D • 80, 90 &已知一个正n 边形的每个内角为120°则这个多边形的对角线有（ ）A • 5条B • 6条C • 8条D • 9条9•如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 的中点，下列说法错误的是（）I IIiACDB1 1A • CD=AC - BDB • CD=~AB - BDC • AC + BD=BC +CD D • CD^'ABA •越来越大B •越来越小1. 给出四个数："■, 1,其中最大的是（4.据统计，2015年长沙市的常住人口约为 7500000人，将数据 7500000用科学记数法表示5.已知关于 x 的不等式 3B •近ax -3x+2> D • a v —2,则a 的取值范围为（10 •如图，已知A 是反比例函数 y 导图象上的一点，过点上|>A 向x 轴作垂线交x 轴于点B , 在点A 从左往右移动的过程中，△ABO 的面积将（）A . D . -1 0 B .A •平行四边形B •矩形C .正方形D •圆C •先变大，后变小D •不变11.如图，扇形AOB是圆锥的侧面展开图，已知圆锥的底面半径为2,母线长为6，则阴影部分的面积为（）12•如图，A点在半径为2的O O上，过线段OA上的一点P作直线m,与O O过A点的切线交于点B ,且/ APB=60 °设OP=x,则厶PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）二、填空题（每题3d分）13•分解因式：2x2- 8= _______ .14.如图所示，在？ABCD中，/ BAD的角平分线AE交BC于点E, AB=4 , AD=6，则16. 一个不透明的口袋中共放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，若从口袋中随机取出一个球，则取到黄球的概率是__________ .13117 .如图所示，在O O中，AB为O O的直径，AC=8 , sinD=g■，则BC= ________ .a?b=寺■丄Cb>a ) b a三、解答题19•计算:2cos30° - |2| - . i 1+1.20.先化简，再求值：(2a - b ) 2 - b ( b -2a )- a 2,其中 3a=2b . 21 •长沙市中考体育分值已经提高到了60分，其中的必考项目就有男子引体向上和女子分钟仰卧起坐，各校为此加强了对体育训练的重视.弓I 体向上(男)和一分钟仰卧起坐(女)共 16分单位：次数 分值 1615 14 13 12 10 8 6 3 成 男(次) 8 7 6 5 4 3 2 1 0.5绩女(次)4540363228252220V19注：0.5次是指考生从直臂悬垂开始，有正确的引体动作和下杠动作，但未完整完成一次 某中学对全校学生这两项运动的成绩进行了统计，规定分值15分及以上为优秀，12分到14分为良好，6分到10分为合格，6分以下不合格，在全校 800名初三学生中，随机抽取部分 学生进行测试，并将测试成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，求： (1 )某女生说她得了 12分，请问她一分钟做了多少次仰卧起坐； (2 )请问一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； (3)根据抽样结果估计，本校项目由多少学生能够得优秀？ 22. 如图，在 Rt △ PAD 中，/ PAD=90 ° / APD 的角平分线 PO 交AD 于O 点，以O 为圆 心，OA 为半径作O O ,交AD 于点B ，过D 作DE 丄PO 交PO 的延长线于点 E . (1) 求证：PD 是O O 的切线；3(2) 若 PA=6, tan /PDA=^，求半径 OA 及 OE 的长.18•规定一种新的运算: ，则 1?2= _____B人数23. 某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车•上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元；(2)甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，但不超过140万元•则有哪几种购车方案？并写出哪种方案所需的购车费用最低.24•已知，如图，△ ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG // BC,交AB于点G, 在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE、BD .(1)求证：△ AGE◎△ DAB ;(2)过点E作EF // DB，交BC于点F,连接AF，求/ AFE的度数.25. 若X" x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (0)的两个根，则方程的两个根x1>X2和系数a、b、c有如下关系：X1+X2= - —, X1?X2』，我们把它们称为根与系数的关系定a a理，请你参考上述定理，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c (a z 0)的图象与X轴的两个交点为A (x〔，0), B (X2, 0).抛物线的顶点为。
【初中数学】湖南省株洲市2016年中考数学模拟试卷(二)(解析版) 人教版
湖南省株洲市2016年中考数学模拟试卷（二）（解析版）一、选择题：1．﹣4的绝对值是（ ）A ．﹣4B ．4C ．±4D ．﹣2．下列所示的几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥﹣1 B ．x ≤﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≠04．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列运算正确的是（ ） A ．3a ﹣2a=1 B ．x 8﹣x 4=x 2C ．D ．﹣（2x 2y ）3=﹣8x 6y 37．若（17x ﹣11）（7x ﹣3）﹣（7x ﹣3）（9x ﹣2）=（ax +b ）（8x ﹣c ），其中a ，b ，c 是整数，则a +b +c 的值等于（ ）A．9 B．﹣7 C．13 D．178．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．99．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°10．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6 B．1：9 C．2：13 D．2：15二、填空题：11．25的算术平方根是______．12．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为12，则它的周长是______．13．在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=______．14．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与双曲线（x＞0）的图象相交于A、B，设点A的坐标为（m，n），那么以m为长，n为宽的矩形的面积和周长分别为______，______．15．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是______．16．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是______．17．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM+PN的最小值是______．18．如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，△P1OA1，△P2A1 A2，…，△P n A n﹣1A n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P n的坐标是______；（用含n的A n﹣1代数式表示）三、解答题（共8个小题，共66分）19．计算：．20．先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD 和B′C相交于点O，连接BB′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．22．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？23．（10分）（2016•株洲模拟）2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：消费者年收入统计表请你根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计表和统计图；（2）打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为______；（3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？24．已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．25．（10分）（2016•株洲模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（8，0），点B（0，8），动点在以半径为4的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D （其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为______；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．26．（10分）（2016•株洲模拟）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．2016年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题：1．﹣4的绝对值是（）A．﹣4 B．4 C．±4 D．﹣【考点】绝对值．【分析】直接根据绝对值的意义求解．【解答】解：|﹣4|=4．故选B．【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．2．下列所示的几何体的主视图是（）A．B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间是一个小正方形，故选B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图的基本定义是解题关键．3．函数中自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得到答案．【解答】解：由题意，得x+1≥0且x≠0，解得x≥﹣1且x≠0，故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．4．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每个不等式的解集，在数轴上分别表示这些解集，找出公共部分即可．【解答】解：∵不等式组可化为：∴不等式组的解集是x＞3，故选D．【点评】本题考查不等式组的解法和在数轴是表示不等式组的解集．需要注意不等式组的解集在数轴上的表示方法，当包括该数时，在数轴上表示应用实心圆点的表示方法，当不包括该数时应用空心圆圈来表示．5．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概率；平行四边形的性质．【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，，观察发现：图中阴影部分面积=S四边形∴针头扎在阴影区域内的概率为，故选：B．【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．6．下列运算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．x8﹣x4=x2C．D．﹣（2x2y）3=﹣8x6y3【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；二次根式的性质与化简．【分析】A、合并同类项得到结果，即可作出判断；B、本选项不能合并，错误；C、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、3a﹣2a=a，本选项错误；B、本选项不能合并，错误；C、=|﹣2|=2，本选项错误；D、﹣（2x2y）3=﹣8x6y3，本选项正确，故选D【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．7．若（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），其中a，b，c是整数，则a+b+c的值等于（）A．9 B．﹣7 C．13 D．17【考点】多项式乘多项式．【分析】首先将原式利用提取公因式法分解因式，进而得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（7x﹣3）[（17x﹣11）﹣（9x﹣2）]=（7x﹣3）（8x﹣8）∵（17x﹣11）（7x﹣3）﹣（7x﹣3）（9x﹣2）=（ax+b）（8x﹣c），可因式分解成（7x ﹣3）（8x﹣8），∴a=7，b=﹣3，c=8，∴a+b+c=7﹣3+8=13．故选C【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及代数式求值，根据已知正确分解因式是解题关键．8．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】扇形面积的计算．【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．【解答】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长=6，==×6×3=9．∴S扇形DAB故选D．=．【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB9．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC，然后求出∠BAB1，再根据旋转的性质对应边的夹角∠BAB1即为旋转角．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°，∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°，∴旋转角等于125°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．10．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6 B．1：9 C．2：13 D．2：15【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=S△ABE=S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．【解答】解：∵AE：ED=2：1，∴AE：AD=2：3，∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD=4：9，∴S△ACD=S△ABE，∵AE：ED=2：1，∴S△ABE：S△BED=2：1，∴S△ABE=2S△BED，∴S△ACD=S△ABE=S△BED，∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED，∴S△BDE：S△ABC=2：15，故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．二、填空题：11．25的算术平方根是5．【考点】算术平方根．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．【解答】解：∵52=25，∴25的算术平方根是5．故答案为：5．【点评】易错点：算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．12．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为12，则它的周长是30．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是12，底边长6，把三条边的长度加起来就是它的周长．【解答】解：因为6+6＜12，所以等腰三角形的腰的长度是12，底边长6，周长：12+12+6=30，答：它的周长是30，故答案为：30【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．13．在将Rt△ABC中，∠A=90°，∠C：∠B=1：2，则sinB=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意和三角形内角和定理求出∠B的度数，根据正弦的定义解答即可．【解答】解：∵∠A=90°，∴∠C+∠B=90°，又∠C：∠B=1：2，∴∠B=60°，∴sinB=，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与双曲线（x＞0）的图象相交于A、B，设点A的坐标为（m，n），那么以m为长，n为宽的矩形的面积和周长分别为4，12．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质．【分析】以m为长、n为宽的矩形的面积为：mn，符合反比例函数解析式的特点，因此根据点A在反比例函数的图象上即可得解；以m为长、n为宽的矩形的周长为：2（m+n），符合直线AB的解析式，根据A点在一次函数图象上即可得解．【解答】解：∵点A（m，n）在直线y=6﹣x与双曲线的图象上，∴n=6﹣m，n=，即m+n=6，mn=4，∴以m为长、n为宽的矩形面积为mn=4，周长为2（m+n）=12．故答案为：4，12【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．解题时注意，不应盲目的去求交点A的坐标，而应观察所求的结论和已知条件之间的联系，避免出现复杂的计算过程．15．现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字﹣1，﹣2，3，4．把卡片背面上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出数字之积为负数的情况数，求出所求的概率即可．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况数有12种，其中数字之积为负数的情况有8种，则P数字之积为负数==．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是19．【考点】勾股定理；正方形的性质．【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，∴阴影部分的面积是25﹣6=19，故答案为：19．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力．17．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM+PN的最小值是．【考点】菱形的性质；轴对称-最短路线问题．【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【解答】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP 的值最小，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=，BP=BD=2，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC==，即NQ=，∴MP+NP=QP+NP=QN=，故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．18．如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，A n都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，△P1OA1，△P2A1 A2，…，△P n A n﹣1A nA n都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P n的坐标是（+，﹣1﹣）；（用含n的代数式表示）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出x1=y1，x2=2x1+y2，x3=2x1+2x2+y3，…，再由点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，可得出x1•y1=x2•y2=x3•y3=…=x n•y n=1，从而得出y n=﹣，由x n•y n=1即可得出点P n的坐标．A n都是等腰直角三角形，【解答】解：∵△P1OA1，△P2A1 A2，…，△P n A n﹣1∴x1=y1，x2=2x1+y2，x3=2x1+2x2+y3，…，）+y n．∴x n=2（x1+x2+…+x n﹣1∵点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n）在函数（x＞0）的图象上，∴x1•y1=x2•y2=x3•y3=…=x n•y n=1．∴x1=y1=1，y2=﹣1，y3=﹣，…，y n=﹣（n是大于或等于2的正整数），∴x n==+（n是大于或等于2的正整数）．∴点P n的坐标是（+，﹣）．故答案为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是求出y n=﹣．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，找出点P n纵坐标的变化规律是关键．三、解答题（共8个小题，共66分）19．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：=2﹣+1+3×=3﹣+=3【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a ≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．20．先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化简，最后选取一个合适的数代入即可．【解答】解：=×=﹣==，由于a≠±1，所以当a=时，原式==．【点评】此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是乘法的分配律、约分，在计算时要注意把结果化到最简．21．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD 和B′C相交于点O，连接BB′．（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求证：△AB′O≌△CDO．【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】（1）根据题意，结合图形可知等腰三角形有△ABB′，△AOC和△BB′C；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC，∠ABC=∠D，又因为，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，故AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，则可证△AB’O≌△CDO．【解答】解：（1）△ABB′，△AOC和△BB′C；（2）在▱ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，由轴对称知AB′=AB，∠ABC=∠AB′C，∴AB′=CD，∠AB′O=∠D．在△AB′O和△CDO中，∴△AB′O≌△CDO（AAS）．【点评】此题是一道把等腰三角形的判定、平行四边形的性质和全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．22．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆列出方程组即可．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，列出等式．【解答】解：（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据题意得，解得．答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆．（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（14﹣a﹣b）辆，由题意得5a+8b+10（14﹣a﹣b）=120，化简得5a+2b=20，即a=4﹣b，∵a、b、14﹣a﹣b均为正整数，∴b只能等于5，从而a=2，14﹣a﹣b=7，∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，∴需运费400×2+500×5+600×7=7500（元）．答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．23．（10分）（2016•株洲模拟）2011年北京春季房地产展示交易会期间，某公司对参加本次房交会的消费者的年收入和打算购买住房面积这两项内容进行了随机调查，共发放100份问卷，并全部收回．统计相关数据后，制成了如下的统计表和统计图：消费者年收入统计表请你根据以上信息，回答下列问题：（1）补全统计表和统计图；（2）打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数占被调查人数的百分比为52%；（3）求被调查的消费者平均每人年收入为多少万元？【考点】频数（率）分布直方图；统计表；算术平均数．【分析】（1）被调查的100人减去其他收入的人数即可得到年收入在6万元的人数；（2）用小于100的人数除以总人数即可得到小于100平米的所占比例；（3）用加权平均数计算即可．【解答】解：（1）100﹣10﹣30﹣9﹣1=50人，∴年收入为6万元的有50人；如图；（2）由统计图可知打算购买住房面积小于100平方米的消费者人数为52人，∴52÷100=52%；（3）=7.5（万元）．故被调查的消费者平均每人年收入为7.5万元．【点评】本题考查了条形统计图的相关知识，解题的关键是根据条形统计图求出除去年收入在6万元以下的人数．24．已知等边△ABC内接于⊙O，AD为O的直径交线段BC于点M，DE∥BC，交AB的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为6，求BE的长．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得出O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，得出∠BAM=∠CAM=30°，因此∠AMB=90°，由平行线的性质得出∠EDA=90°，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得出BM=AB=3，连接OB，则∠OBM=30°，得出OM=OB，由勾股定理求出OB，由平行线的性质得出=，求出AE，即可得出BE的长．【解答】（1）证明：∵等边△ABC内接于⊙O，∴∠ABC=60°，O即是△ABC的外心，又是△ABC的内心，∴∠BAM=∠CAM=30°，∴∠AMB=90°，∵DE∥BC，∴∠EDA=∠AMB=90°，∵AD为⊙O的直径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴BM=AB=3，连接OB，如图所示：则∠OBM=30°，∴OM=OB，由勾股定理得：OB2﹣OM2=BM2，即OB2﹣（OB）2=32，解得：OB=2，∴OM=，AM=3，AD=4，∵DE∥BC，∴=，即=，解得：AE=8，∴BE=AE﹣AB=8﹣6=2．【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和等边三角形的性质，由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．25．（10分）（2016•株洲模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（8，0），点B（0，8），动点在以半径为4的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D （其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为45°；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由A与B的坐标可知：∠OBA=45°，当OC∥AB时，∠BOC=∠ABO=45°；（2）过点C作CE⊥AB于点E，当E为AB中点时，△ABC的面积有最大值，此时只需要求出CE的值即可求出△ABC的面积；（3）①当OC∥AD时，此时∠ODA=90°，即点D在以OA为直径的圆上，作出以AB为直径的⊙F，⊙F与⊙O相交于点D1，D2，又因为OC⊥OD，所以可求出分别求出点C的坐标；②连接BC后，求出OG，BG的长度，然后求出tan∠CBG的值，即可求得∠CBG=30°，所以∠OCB=90°．【解答】（1）∵A（8，0），B（0，8），∴OA=OB=8，当OC∥AB时，∴∠BOC=∠ABO=45°；（2）如图1，过点C作CE⊥AB于点E，当E为AB中点时，△ABC的面积有最大值，由勾股定理可求得：AB=8，∴OE=4，又∵OC=4，∴CE=OC+OE=4+4，∴△ABC的面积为：AB•CE=××（4+4）=16+32；（3）当OC∥AD时，∴∠ODA=90°，∴由圆周角定理可知：D在以OA为直径的圆上，如图2，以OA为直径作⊙F，交⊙O于点D1，D2，①连接D1F，∴D1F=OA，∴△OD1F是等边三角形，∴∠D1OA=60°，∵∠C1OD1=90°，∴∠C1OB=60°，过点C1作C1G⊥y轴，∴OG=2，由勾股定理可知：C1G=2，∴C1（﹣2，2），同理可知：∠D2OA=60°，∴∠C2OA=30°，∴∠C2OB=60°由圆的对称性可知：C1与C2关于y轴对称，∴C2（2，2），综上所述，当OC∥AD时，点C的坐标为（﹣2，2）或（2，2）；②如图3，连接BC1，由①可知：OG=2，C1G=2，∴BG=OB﹣OG=8﹣2=6，∴tan∠C1BG==，∴∠C1BG=30°，又∵∠C1OB=60°，∴∠BC1O=90°，∴BC1与⊙O相切，∴由圆的对称性可知：BC2与⊙O相切，综上所述，当OC∥AD时，BC与⊙O相切．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，圆周角定理，圆的切线判定，等边三角形的性质等知识内容，本题综合程度较高，需要学生综合运用所学知识解决．26．（10分）（2016•株洲模拟）已知：m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）通过解方程即可求出m、n的值，那么A、B两点的坐标就可求出．然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式．（2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标．由于△BCD的面积无法直接求出，可用其他图形的面积的“和，差关系”来求出．过D作DM⊥x轴于M，那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积﹣△BOC的面积．由此可求出△BCD的面积．（3）由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．如果设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，然后表示出EH，EP的长．进而可分两种情况进行讨论：①当EH=EP时；②当EH=EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标．也就求出了P点的坐标．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0，（x﹣1）（x﹣5）=0，得x1=5，x2=1由m＜n，有m=1，n=5所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=﹣x2+bx+c．得，解这个方程组，得：所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+5（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得﹣x2﹣4x+5=0，解这个方程，得x1=﹣5，x2=1，所以C点的坐标为（﹣5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（﹣2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M．则S△DMC=×9×（5﹣2）==×2×（9+5）=14，S梯形MDBOS△BOC=×5×5=，+S△DMC﹣S△BOC=14+﹣=15．所以，S△BCD=S梯形MDBO（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）．由题意，得①EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）②EH=EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）解这个方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去），P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解以及不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．。
湖南省长沙市长郡集团2024届中考数学全真模拟试题含解析
湖南省长沙市长郡集团2024届中考数学全真模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：①abc＜0；②244b aca->；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝ca-.其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点B与点D D．点B与点C4．已知二次函数y=-x2-4x-5，左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上，则平移后的抛物线解析式为（）A．y=-x2-4x-1 B．y=-x2-4x-2 C．y=-x2+2x-1 D．y=-x2+2x-25．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于( )A ．18B ．22C ．24D ．466．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③7．下列各数中比﹣1小的数是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．18．若关于x 的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．22-或D ．31-或9．已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E 的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )A ．左、右两个几何体的主视图相同B ．左、右两个几何体的左视图相同C ．左、右两个几何体的俯视图不相同D ．左、右两个几何体的三视图不相同11．互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ） A ．120元B ．100元C ．80元D ．60元12．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得△DBE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 延长线上，连接AD ．下列结论一定正确的是（ ）A ．∠ABD ＝∠EB ．∠CBE ＝∠C C ．AD ∥BC D ．AD ＝BC二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．因式分解：x 2﹣10x+24=_____．14．写出一个比2大且比5小的有理数：______．15．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____． 16．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________.17．计算221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是____.18．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）春节期间，收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，小王在年春节共收到红包元，年春节共收到红包元，求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.20．（6分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． （1）求∠EAD 的余切值； （2）求BFCF的值．21．（6分）如图,矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,8 ,6OA OC ==.(1)求直线AC 的表达式;(2)若直线y x b =+与矩形OABC 有公共点，求b 的取值范围;(3)直线: 10l y kx =+与矩形OABC 没有公共点，直接写出k 的取值范围.22．（8分）（1）解方程：11322xx x--=---． （2）解不等式组：312215(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩ 23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到两坐标轴的距离之和等于点Q 到两坐标轴的距离之和，则称P ，Q 两点为同族点．下图中的P ，Q 两点即为同族点．(1)已知点A 的坐标为(﹣3，1)，①在点R(0，4)，S(2，2)，T(2，﹣3)中，为点A 的同族点的是 ；②若点B 在x 轴上，且A ，B 两点为同族点，则点B 的坐标为 ； (2)直线l ：y=x ﹣3，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①M 为线段CD 上一点，若在直线x=n 上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，求n 的取值范围；②M 为直线l 上的一个动点，若以(m ，0)2为半径的圆上存在点N ，使得M ，N 两点为同族点，直接写出m 的取值范围．24．（10分）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ．求证：△BDE ≌△BCE ；试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．25．（10分）已知a ＋b ＝3，ab ＝2，求代数式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值． 26．（12分）计算：|2﹣1|﹣2sin45°+38﹣21()227．（12分）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A ，B 两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 7 25 0.01 Bmn0.01设每月上网学习时间为x 小时，方案A ，B 的收费金额分别为y A ，y B ．(1)如图是y B 与x 之间函数关系的图象，请根据图象填空：m ＝ ；n ＝ ； (2)写出y A 与x 之间的函数关系式； (3)选择哪种方式上网学习合算，为什么．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、D 【解题分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【题目详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选：D．【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．2、B【解题分析】试题分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．3、A【解题分析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-12，所以A与B是互为倒数．故选A．考点：1．倒数的定义；2．数轴．4、D【解题分析】把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式．【题目详解】解：∵y=﹣x1﹣4x﹣5=﹣（x+1）1﹣1，∴顶点坐标是（﹣1，﹣1）．由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数y=﹣x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数．∵左、右平移时，顶点的纵坐标不变，∴平移后的顶点坐标为（1，﹣1），∴函数解析式是：y=﹣（x－1）1－1=﹣x1+1x ﹣1，即：y=﹣x1+1x﹣1．故选D．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的纵坐标不变．同时考查了二次函数的性质，正比例函数y=﹣x的图象上点的坐标特征．5、B【解题分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE 的面积.【题目详解】解：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22.故选B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点.6、C【解题分析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜1，∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b＜1，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞1，∴a、b异号，即b＞1，∴abc＜1，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞1；否则a＜1；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞1；否则c＜1；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．7、A【解题分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案．【题目详解】解：A、﹣2＜﹣1，故A正确；B、﹣1＝﹣1，故B错误；C、0＞﹣1，故C错误；D、1＞﹣1，故D错误；故选：A．【题目点拨】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．8、A【解题分析】【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得.【题目详解】x(x+1)+ax=0，x2+(a+1)x=0，由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，解得：a1=a2=-1，故选A.【题目点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．9、D【解题分析】试题分析：列举出所有情况，看取出的两个都是黄色球的情况数占总情况数的多少即可. 试题解析：画树状图如下：共有12种情况，取出2个都是黄色的情况数有6种，所以概率为.故选D.考点：列表法与树状法.10、B【解题分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【题目详解】A、左、右两个几何体的主视图为：，故此选项错误；B、左、右两个几何体的左视图为：，故此选项正确；C、左、右两个几何体的俯视图为：，故此选项错误；D、由以上可得，此选项错误；故选B．【题目点拨】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．11、C【解题分析】解：设该商品的进价为x元/件，依题意得：（x+20）÷510=200，解得：x=1．∴该商品的进价为1元/件．故选C．12、C【解题分析】根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°, ∠E＝∠C,则△ABD为等边三角形，即AD＝AB=BD,得∠ADB=60°因为∠ABD＝∠CBE=60°，则∠CBD=60°,所以，∠ADB=∠CBD，得AD∥BC.故选C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、（x﹣4）（x﹣6）【解题分析】因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可.【题目详解】x2﹣10x+24= x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【题目点拨】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.14、2.【题目详解】2（答案不唯一），故答案为：2（答案不唯一）．【题目点拨】此题考查无理数的估算，解题的关键在于利用题中所给有理数的大小求符合题意的答案.15、2【解题分析】侧面展开后得到一个半圆，半圆的弧长就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【题目详解】设母线长为x ，根据题意得2πx÷2=2π×5，解得x=1．故答案为2．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是明白侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，难度不大．16、0<x<4【解题分析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【题目详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x =2，所以，x =4时，y =5，所以，y <5时，x 的取值范围为0<x <4.故答案为0<x <4.【题目点拨】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握． 17、1a b- 【解题分析】原式=()()()()1·b a b a b a b a b a b a b a b a b b a b +-+÷==+-++-- ，故答案为1a b.18、3 5【解题分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【题目详解】∵在：等腰三角形、圆、矩形、菱形和直角梯形中属于中心对称图形的有：圆、矩形和菱形3种，∴从这5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率为：3 5 .故答案为3 5 .三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、小王在这两年春节收到的年平均增长率是【解题分析】增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2018年收到微信红包金额400（1+x）元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年收到微信红包金额400（1+x）（1+x）元，由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．【题目详解】解：设小王在这两年春节收到的红包的年平均增长率是.依题意得：解得（舍去）.答：小王在这两年春节收到的年平均增长率是【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．20、（1）∠EAD的余切值为56；（2）BFCF=58.【解题分析】（1）在Rt△ADB中，根据AB=13，cos∠BAC=513，求出AD的长，由勾股定理求出BD的长，进而可求出DE的长，然后根据余切的定义求∠EAD的余切即可；（2）过D作DG∥AF交BC于G，由平行线分线段成比例定理可得CD：AD=CG：FG=3:5，从而可设CD=3x，AD=5x，再由EF∥DG，BE=ED，可知BF=FG=5x，然后可求BF：CF的值.（1）∵BD⊥AC，∴∠ADE=90°，Rt△ADB中，AB=13，cos∠BAC=5 13，∴AD=5，由勾股定理得：BD=12，∵E是BD的中点，∴ED=6，∴∠EAD的余切==56；（2）过D作DG∥AF交BC于G，∵AC=8，AD=5，∴CD=3，∵DG∥AF，∴=35，设CD=3x，AD=5x，∵EF∥DG，BE=ED，∴BF=FG=5x，∴==5 8 .【题目点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理.解（1）的关键是熟练掌握锐角三角函数的概念，解（2）的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.21、（1）364y x=-+；（2）86b-≤≤；（3）12k>-【解题分析】（1）由条件可求得A、C的坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；（2）结合图形，当直线平移到过C、A时与矩形有一个公共点，则可求得b的取值范围；（3）由题意可知直线l过（0，10），结合图象可知当直线过B点时与矩形有一个公共点，结合图象可求得k的取值范围．解:(1) 8 , 6OA OC ==()()8,0 , 0,6A C ∴，设直线AC 表达式为y kx b =+,806k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AC 表达式为364y x =-+; (2) 直线 y x b =+可以看到是由直线y x =平移得到,∴当直线 y x b =+过A C 、时，直线与矩形OABC 有一个公共点,如图1，当过点A 时,代入可得08b =+,解得8b =-.当过点C 时,可得6b =∴直线 y x b =+与矩形OABC 有公共点时，b 的取值范围为86b -≤≤;(3) 10y kx =+,∴直线l 过()0, 10D ，且()8, 6B ,如图2，直线l 绕点D 旋转,当直线过点B 时,与矩形OABC 有一个公共点,逆时针旋转到与y 轴重合时与矩形OABC 有公共点,当过点B 时,代入可得6810k =+,解得12k =- ∴直线l :10y kx =+与矩形OABC 没有公共点时k 的取值范围为12k >-【题目点拨】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、直线的平移、旋转及数形结合思想等知识．在（1）中利用待定系数法是解题的关键，在（2）、（3）中确定出直线与矩形OABC 有一个公共点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．22、（1）无解；（1）﹣1＜x≤1．【解题分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【题目详解】（1）去分母得：1﹣x+1=﹣3x+6，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解；（1）()3122151x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩①②，由①得：x ＞﹣1，由②得：x≤1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤1．【题目点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．23、（1）①R ，S ;②（4-，0）或（4，0）；（2）①33n -≤≤;②m ≤1-或m ≥1．【解题分析】（1）∵点A 的坐标为(−2,1)，∴2+1=4，点R (0,4),S (2,2),T (2,−2)中，0+4=4，2+2=4，2+2=5，∴点A 的同族点的是R ，S ；故答案为R ，S ；②∵点B 在x 轴上，∴点B 的纵坐标为0，设B (x ,0)，则|x |=4，∴x =±4，∴B (−4,0)或(4,0)；故答案为(−4,0)或(4,0)；（2）①由题意，直线3y x =-与x 轴交于C （2，0），与y 轴交于D （0，3-）．点M 在线段CD 上，设其坐标为（x ，y ），则有：0x ≥，0y ≤，且3y x =-．点M 到x 轴的距离为y ，点M 到y 轴的距离为x ， 则3x y x y +=-=．∴点M 的同族点N 满足横纵坐标的绝对值之和为2．即点N 在右图中所示的正方形CDEF 上．∵点E 的坐标为（3-，0），点N 在直线xn =上，②如图,设P(m,0)为圆心, 2为半径的圆与直线y=x−2相切，2,45PN PCN CPN︒=∠=∠=∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知,当m≥1时,若以(m,0)为圆心,2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤1-也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤1-或m≥124、证明见解析.【解题分析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．【题目详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．25、1【解题分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．【题目详解】解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=1．故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是1．26、﹣1【解题分析】直接利用负指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【题目详解】+2﹣4原式=﹣1）﹣2×21﹣4=﹣1．【题目点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．27、（1）10，50；（2）见解析；（3）当0＜x＜30时，选择A方式上网学习合算，当x=30时，选择哪种方式上网学习【解题分析】（1）由图象知：m=10，n=50；（2）根据已知条件即可求得y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7；当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×0.01；（3）先求出y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10；当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可．【题目详解】解：（1）由图象知：m=10，n=50；故答案为：10；50；（2）y A与x之间的函数关系式为：当x≤25时，y A=7，当x＞25时，y A=7+（x﹣25）×60×0.01，∴y A=0.6x﹣8，∴y A=7(025){0.68(25)xx x<≤->；（3）∵y B与x之间函数关系为：当x≤50时，y B=10，当x＞50时，y B=10+（x﹣50）×60×0.01=0.6x﹣20，当0＜x≤25时，y A=7，y B=50，∴y A＜y B，∴选择A方式上网学习合算，当25＜x≤50时．y A=y B，即0.6x﹣8=10，解得；x=30，∴当25＜x＜30时，y A＜y B，选择A方式上网学习合算，当x=30时，y A=y B，选择哪种方式上网学习都行，当30＜x≤50，y A＞y B，选择B方式上网学习合算，当x＞50时，∵y A=0.6x﹣8，y B=0.6x﹣20，y A＞y B，∴选择B方式上网学习合算，综上所述：当0＜x＜30时，y A＜y B，选择A方式上网学习合算，当x=30时，y A=y B，选择哪种方式上网学习都行，当x＞30时，y A＞y B，选择B方式上网学习合算．【题目点拨】本题考查一次函数的应用．。
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷(含答案解析)
2023年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学二模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列实数为无理数的是（）A ．13B ．0.8C ．6-D 2．下列单项式中，322a b -的同类项是（）A ．32a b B ．232a b C ．2a bD ．34ab 3．计算22b aa b a b---的结果是（）A ．2B ．2-C ．0D ．22b a -4．下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，ABC DEF ≌△△，5DE =，2AE =，则BE 的长是（）A ．5B ．4C ．3D ．26．某班一合作学习小组有6人，初三上学期数学期末考试成绩数据分别为114、86、95、77、110、93，则这组数据的中位数是（）A ．86B ．95C ．77D ．947．如图，OA ，OB 是O 的两条半径，点C 在O 上，若38C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（）A ．38︒B ．76︒C ．80︒D ．60︒8．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西50︒方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（）A ．200tan 50︒米B ．200tan 50︒米C ．200sin 50︒米D ．200sin 50︒米9．已知一次函数4y ax =-的函数值y 随x 的增大而减小，则该函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，折线ABCDE 描述了一辆能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（）A ．汽车共行驶了120千米B ．汽车在整个行驶过程中停留了2个小时C ．汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为40千米/时D ．汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少二、填空题11．如果2023x =，那么x =_____．12．若a ，b 是一元二次方程2530x x --=的两实根，则a ab b -+的值为_____．13．寒假前，小明家设计了四种度假方案：参观广州长隆动物园、爬武功山、近郊露营、宁乡泡温泉．妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是_____．14．如图，OAB 与OA B ''△是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1:3，若点B '的坐标为()2,6，则点B 的坐标为_____．15．如图，一扇形纸扇完全打开后，AB 和AC 的夹角为120︒，AB 长为30cm ，则该扇形纸扇的面积为_____．16．一年一度的春晚深受人民群众的喜爱，小芳想了解今年长沙市约1025万人民观看春晚的情况，随机调查了1000人，其中有600人观看了今年的春晚，那么长沙市约有_____万人观看了春晚．三、解答题17．计算：()113tan 30120232π-⎛⎫︒+---- ⎪⎝⎭．18．先化简，再求值：()()()()22a b a b a b a a b +++---，其中2a =，12b =-．19．如图，在ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交AC 于点E ，连接BE ．(1)请根据作图过程回答问题：直线MN 是线段AB 的；A ．角平分线B ．高C ．中线D ．垂直平分线(2)若ABC 中，90ACB ∠=︒，30CBE ∠=︒，8AB =，求CE 的长．20．某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程，以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展，学校面向八年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？（要求必须选修一门且只能选修一门）”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：(1)共有名学生参与了本次问卷调查；“手工”课程在扇形统计图中所对应的圆心角是度；(2)补全调查结果条形统计图；(3)小明和小红分别从“文学鉴赏”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．21．如图，AB 是O 的直径，点E 在AB 的延长线上，AC 平分DAE ∠交O 于点C ，连接EC 并延长，AD 垂直EC 于点D ．(1)求证：直线DE 是O 的切线；(2)若O 的半径为3，2BE =，求线段AD 的长．22．2022年，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要去某菜苗基地采购A ，B 两种菜苗开展种植活动．若购买30捆A 种菜苗和10捆B 种菜苗共需380元；若购买50捆A 种菜苗和30捆B 种菜苗共需740元．(1)求菜苗基地A 种菜苗和B 种菜苗每捆的单价；(2)学校决定用828元去菜苗基地购买A ，B 两种菜苗共100捆，菜苗基地为支持该校活动，对A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最多可购买多少捆A 种菜苗？23．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：四边形ADBF 是菱形；(2)若tan 2ABC ∠=，菱形ADBF 的面积为40．求菱形ADBF 的周长．24．我们不妨约定：若存在实数k ，对于函数图象上任意两点()11x y ，、()22x y ，，12y y k -≤都成立，则称这个函数是幸福函数，在所有满足条件的k 中，其最小值称为这个函数的幸福指数．例如图所表示的函数是幸福函数，其幸福指数为4．(1)下列幸福函数的幸福指数为6的，请在相应题目后的括号中打“√”，不是的打“×”；①()2112y x x =--≤≤；②3335y x x ⎛⎫=--≤≤- ⎪⎝⎭；③()()21223y x x =-+≤≤．(2)若一次函数y ax b =+和反比例函数a y x =-（a ，b 为常数，且0a ≠），当1122t x t -≤≤+且12t >时，这两个函数的幸福指数相同，求t 的值；(3)若关于x 的幸福函数24y x x t =-++（t 为常数），当1t x t -≤≤时，幸福指数为t ，求t 的值．25．如图1，抛物线23y ax ax =+（a 为常数，0a <）与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 是线段OA 上的一个动点，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P 相交于点C ，过点C 作P 的切线交x 轴于点E ．(1)①求点A 的坐标；②求证：CE DE =；(2)如图2，连接AB ，AC ，BE ，BO ，当a =，CAE OBE ∠=∠时，①求证：2AB AC BE =⋅；②求11OD OE-的值．参考答案：1．D【分析】根据有理数和无理数的定义、实数的分类解答即可．【详解】解：A ．13为有理数，故该选项不符合题意；B ．0.8是有理数，故该选项不符合题意；C ．6-是有理数，故该选项不符合题意；D故选：D ．【点睛】本题考查无理数的定义，熟练掌握实数的分类、有理数和无理数的定义是解题关键．2．B【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：根据同类项的定义可知，各选项中，322a b -的同类项是232a b ，故选：B ．【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．3．B【分析】根据同分母的分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，计算即可．【详解】解：22b aa b a b---22b aa b -=-()2a b a b-=--2=-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．4．B【分析】根据圆柱、球、圆锥和三棱柱的三视图逐项作出判断即可．【详解】解：A ．圆柱的主视图、左视图是长方形，俯视图是圆，故A 不符合题意；B ．球的主视图、左视图、俯视图都是圆，故B 符合题意；C ．圆锥的主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故C 不符合题意；D ．三棱柱的主视图、俯视图都是长方形，左视图是三角形，故D 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题型，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．5．C【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论．【分析】解：∵ABC DEF ≌△△，5DE =，∴5AB DE ==，∵2AE =，∴3=-=BE AB AE ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．6．D【分析】把这组数从小到大排列，求出中间两个数的平均数即可．【详解】解：这组数从小到大排列为：77，86，93，95，110，114，∴这组数据的中位数是是()9395294+÷=，故选：D ．【点睛】本题考查中位数，解题的关键是熟练掌握中位数的定义．7．B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵2AOB C ∠=∠，38C ∠=︒，∴76AOB ∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键．8．A【分析】在Rt PQT 中，利用PQ 的长，以及PQT ∠的度数，进而得到PTQ ∠的度数，根据三角函数即可求得PT 的长．【详解】解：在Rt PQT 中，∵90QPT ∠=︒，905040PQT ∠=︒-︒=︒，∴50PTQ ∠=︒，∴tan 50PQPT︒=，∴200tan 50tan 50PQ PT ==︒︒，即河宽200tan 50︒米，故选：A ．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．9．B【分析】根据一次函数的增减性可得a<0，进一步可知4y ax =-的图象经过的象限，即可判断．【详解】解：∵一次函数4y ax =-的函数值y 随x 的增大而减小，∴a<0，∵40b =-<，∴4y ax =-经过第二、三、四象限，故选项B 符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键．10．C【分析】根据所给的函数图象，以及速度、时间和路程的关系，逐项判定即可．【详解】解：∵汽车共行驶了：1202240⨯=（千米），∴选项A 不符合题意；∵汽车在整个行驶过程中停留了0.5个小时，∴选项B 不符合题意；∵汽车自出发后前3小时的平均行驶速度为：120340÷=（千米/时），∴选项C 符合题意；∵汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，∴选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，以及速度、时间和路程的关系和应用，要熟练掌握．11．2023±【分析】根据绝对值的定义解答即可．【详解】解：∵2023x =，∴2023x =±，故答案为：2023±．【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数．12．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出a b +与ab 的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：a ，b 是一元二次方程2530x x --=的两实根，5a b ∴+=，3ab =-，则()5(3)8a ab b a b ab -+=+-=--=．故答案为：8．【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．13．14##0.25【分析】直接由概率公式求解即可．【详解】解：由概率公式可知，妈妈将四种方案分别写在四张相同的卡片上，小明随机抽取1张，则抽到方案为近郊露营的概率是14．故答案为：14．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：OAB 与OA B ''△是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为1:3，点B '的坐标为()2,6，∴点B 的坐标为26,33⎛⎫⎪--⎝⎭，∴点B 的坐标为2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：2,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键．15．2300cm π【分析】根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵()221c 2030300360m ππ⨯=，∴该扇形纸扇的面积为2300cm π，故答案为：2300cm π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积公式．16．615【分析】利用长沙市人数⨯看了今年的春晚的人数所占百分比，计算即可得出答案．【详解】解：6001025100%6151000⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：615．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、有理数的乘除法，关键是掌握用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．17．0【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则、绝对值的意义分别化简各数，然后再按照实数的混合运算法则计算即可．【详解】解：()1013tan 30120232π-⎛⎫︒+---- ⎪⎝⎭)3211=-+211=-+0=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、实数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键．18．4ab ，4-【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项．再将a 、b 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】解：()()()()22a b a b a b a a b +++---22222222a ab b a b a ab--=++++4ab =，当2a =，12b =-时，原式144242ab ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式、平方差公式的应用．19．(1)D(2)3【分析】（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN 是线段AB 的垂直平分线；（2）根据三角形的内角和定理，得出60CEB ∠=︒，再根据线段垂直平分线的性质，得出BE AE =，再根据等边对等角，得出A EBF ∠=∠，再根据三角形的外角的性质，得出30A ∠=︒，在Rt ABC 中，根据直角三角形中30︒角所对的直角边等于斜边的一半，得出142BC AB ==，在Rt BCE 中，再根据锐角三角函数，计算即可得出答案．【详解】（1）解：（1）由尺规作图痕迹可知，直线MN 是线段AB 的垂直平分线；故答案为：D ．（2）解：如图，设MN 与AB 交于点F ，∵90ACB ∠=︒，30CBE ∠=︒，∴60CEB ∠=︒，∵MN 是线段AB 的垂直平分线，∴BE AE =，∴A EBF ∠=∠，∵260CEB A EBF A ∠=∠+∠=∠=︒，∴30A ∠=︒，在Rt ABC 中，∵30A ∠=︒，∴142BC AB ==，在Rt BCE 中，∵30CBE ∠=︒，∴tan 30433CE BC =⋅︒=⨯．【点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质、含30︒角的直角三角形、锐角三角函数，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解本题的关键．20．(1)120，75(2)见解析(3)15【分析】（1）由选修“文学鉴赏”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，求出选修“手工”的学生人数，用360︒乘以手工所占总数的百分比即可解决问题；（2）根据（1）的结果，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：3025%120÷=（名），则选修“厨艺”的人数为：12015%18⨯=（名），则选修“手工”的人数为：1203020182725----=（名），则“手工”在扇形统计图中所对应的圆心角为：2536075120︒⨯=︒；故答案为：120，75（2）解：补全条形统计图如下：（3）解：把“文学鉴赏”、“趣味数学”、“手工”、“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A 、B 、C 、D 、E ，画树状图如下：共有25种等可能的结果，其中小明和小红两人恰好选到同一门课程的结果有5种，∴小明和小红两人恰好选到同一门课程的概率为51255=．【点睛】本题考查了用树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．21．(1)见解析(2)245【分析】（1）连接OC ，由角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出DAC ACO ∠=∠，再根据平行线的判定定理，得出AD OC ∥，进而得出90OCE ∠=︒，再根据切线的判定定理，即可得出结论；（2）连接OC ，证明COE DAE ∽ ，由相似三角形的性质可求出答案．【详解】（1）证明：如图1，连接OC ，∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠，∵AC 平分DAE ∠，∴DAC OAC ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠，∴AD OC ∥，∴OCE ADC∠=∠∵AD DE ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴90OCE ∠=︒，∴OC DE ⊥，∵OC 是半径，∴DE 是O 的切线；（2）解：如图1，连接OC ，∵AD OC ∥，∴COE DAE ∽ ，∴OC OE AD AE =，∴323233AD +=++，∴245AD =．【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键是作辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．(1)菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为10元，B 种菜苗每捆的单价为8元(2)本次购买最多可购买60捆A 种菜苗【分析】（1）设菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为x 元，B 种菜苗每捆的单价为y 元，根据“购买30捆A 种菜苗和10捆B 种菜苗共需380元；购买50捆A 种菜苗和30捆B 种菜苗共需740元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设本次可购买m 捆A 种菜苗，则可购买()100m -捆B 种菜苗，利用总价=单价⨯数量，结合总价不超过828元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．【详解】（1）解：设菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为x 元，B 种菜苗每捆的单价为y 元，根据题意得：30103805030740x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：108x y =⎧⎨=⎩，答：菜苗基地A 种菜苗每捆的单价为10元，B 种菜苗每捆的单价为8元；（2）解：设本次可购买m 捆A 种菜苗，则可购买()100m -捆B 种菜苗，根据题意得：()100.980.9100828m m ⨯+⨯-≤，解得：60m ≤，∴m 的最大值为60，答：本次购买最多可购买60捆A 种菜苗．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行线的性质可得AFC FCD ∠=∠，FAE CDE ∠=∠，利用中点的定义可得AE DE =，从而证明FAE CDE ≌ ，然后利用全等三角形的性质可得AF CD =，再根据D 是BC 的中点，可得AF BD =，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD AD =，从而利用菱形的判定定理即可解答；（2）利用（1）的结论可得2ABD ADBF S S =菱形 ，再根据点D 是BC 的中点，可得2ABC ABD S S =△△，进而可得40ABC ADBF S S ==菱形 ，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵AF BC ∥，∴AFC FCD ∠=∠，FAE CDE ∠=∠，∵点E 是AD 的中点，∴AE DE =，∴()FAE CDE AAS ≌，∴AF CD =，∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =，∴AF BD =，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，∴12AD BD BC ==，∴四边形ADBF 是菱形；（2）解：∵四边形ADBF 是菱形，∴2ABD ADBF S S =菱形 ，∵点D 是BC 的中点，∴2ABC ABD S S =△△，∴40ABC ADBF S S ==菱形 ，∴1402AB AC ⋅=，∵90BAC ∠=︒，tan 2AC ABC BC∠==，设BC m =，则2AC m =，∴12402m m ⨯⨯=，∴m =m =-，∴AB =AC =∴BC ==，∴12BD BC ==∴菱形ADBF 的周长4BD =⨯=【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质是解题的关键．24．(1)①√，②×，③×(3)53或3或5【分析】（1）①当=1x -时，213y x =-=-，当2x =时，213y x =-=，则()336min k =--=，符合题意，故正确；②、③同理可解；（2）0a >时，求出两个函数k 的最小值，即可求解；（3）当2t <时，当x t =时，25y t t =-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()22575t t t t t -+--+-=，即可求解；当23t ≤≤时、当3t >时，同理可解．【详解】（1）解：①当=1x -时，213y x =-=-，当2x =时，213y x =-=，则()336min k =--=，符合题意，故正确；②当3x =-时，31y x =-=，当35x =-时，则35y x =-=，则5146min k ==-≠，故错误；③当3x =时，()2126y x =-+=，当2x =时，()2123y x =-+=，则6336min k ==-≠，故错误；故答案为：√，×，×；（2）解：∵12t >，故102t ->，当0a >时，当12x t =+时，12y ax b a t b ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，当12x t =-时，12y ax b a t b ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，当12x t =-时，12a y t =--，当12x t =+时，12a y t =-+，即11112222a a a tb a t b t t ⎛⎫⎛⎫++---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+，解得：2t =；当a<0时，列出的函数关系式和t 的值和0a >得情况完全相同，故2t =；（3）解：当x t =时，222445y x x t t t t t t =-++=-++=-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，当2x =时，4y t =+；①当2t <时，当x t =时，25y t t =-+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()22575t t t t t -+--+-=，解得：53t =；②当23t ≤≤时，当52t ≥时，当2x =时，4y t =+，当1x t =-时，275y t t =-+-，则()24750t t t +--+-=，解得：3t =；当52t <时，同理可得：()245t t t t +--+=，解得：4t =或1（均舍去）；③当3t >时，当1x t =-时，275y t t =-+-，当x t =时，25y t t =-+，则()22575t t t t t -+--+-=-，解得：5t =；综上，53t =或3或5．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，数形结合和正确理解新定义是解题的关键．25．(1)①()30A -，；②见解析(2)①见解析；②13【分析】（1）①令0y =，可得()30ax x +=，则A 点坐标可求出；②连接PC ，连接BP 延长交x 轴于点M ，由切线的性质可证得ECD CDE ∠=∠，则CE DE =；（2）①由222332y ax ax x ⎫=+==++⎪⎝⎭-可得()30A -，，32B ⎛- ⎝⎭，则3OA =，3AB OB ==，OAB 是等边三角形，证明BAC EBA ∽ ，根据相似三角形的性质可得结论；②过点O 分别作BC 、BE 的垂线，交BC 、BE 于点N 、M ，过点B 作AE 的垂线，交AE 于点G ，设OE m =，点D 的坐标为()0t，，由CAE OBE ∠=∠可得CBO OBE ∠=∠，再根据角平分线的性质，结合三角形的面积，得出BD OD BE OE =，则33t m t -=+，即可求解．【详解】（1）解：①令230y ax ax =+=，∴()30ax x +=，解得0x =或3-，∴()30A -，；②如图，连接PC ，连接PB ，延长交x 轴于点M ，∵P 过O 、A 、B 三点，B 为顶点，∴PM OA ⊥，90PBC BDM ∠+∠=︒，又∵PC PB =，∵CE 为切线，∴90PCB ECD ∠+∠=︒，又∵BDM CDE ∠=∠，∴ECD CDE ∠=∠，∴CE DE =；（2）解：①如图，∵3a =-，∴222332y ax ax x ⎫=+==++⎪⎝⎭-，令0y =，可得()303x x -+=，∴0x =或3-，∴()30A -，，322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴3OA =，3AB OB ==，∴OAB 是等边三角形，∴60BAO ABO AOB ∠=∠=∠=︒，∴60ACB AOB ∠=∠=︒，∴60ACB BAE ∠=∠=︒，∵CAE OBE ∠=∠，60BAO ABO ∠=∠=︒，∴BAO CAE BAC ∠+∠=∠，ABO OBE EBA ∠+∠=∠，∴BAC EBA ∽ ，∴AB AC BE AB=，∴2AB AC BE =⋅；②解：如图，过点O 分别作BC 、BE 的垂线，交BC 、BE 于点N 、M ，过点B 作AE 的垂线，交AE 于点G，设OE m =，点D 的坐标为()0t ，，∵CAE CBO ∠=∠，CAE OBE ∠=∠，∴CBO EBO ∠=∠，∴ON OM =，∵12OBD S BD ON =⋅ ，12OBE S BE OM =⋅ ，∴OBD OBE S BD S BE= ，∵12OBD S OD BG =⋅ ，12OBE S OE BG =⋅ ，∴OBD OBE S OD S OE = ，∴BD OD BE OE=，∵BD =BE =，t m-=，∴33tmt-=+或t（舍去），∴131133tm t t+-==+，∴111113 OD OE t m-=--=．【点睛】本题是二次函数与圆的综合问题，考查了二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．。
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2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（）A．3或﹣3 B．6 C．﹣6 D．6或﹣62．下列计算正确的是（）A．a3+a4=a7B．a3•a4=a7C．（a3）4=a7D．a6÷a3=a23．2015年10月18日，TCL2015长沙国际马拉松赛正式开赛，来自国内外的1.5万余名选手在长沙这座美丽的城市中奔跑．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米，将数据42千米用科学记数法表示为（）A．42×103米B．0.42×105米C．4.2×104米D．4.2×105米4．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A．40° B．35° C．50° D．45°5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系中抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+2 B．y=3（x+2）2﹣2 C．y=3（x﹣2）2+2 D．y=3（x+2）2+26．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠17．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．120°C．150°D．180°8．下列说法正确的是（）A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上B．数据3，3，5，5，8的众数是8C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明毎买50张奖券中一定有一张中奖D．想要了解长沙市民对“全面二孩”政策的看法，宜采用抽样调查9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）10．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．x l=1，x2=2 B．x l=﹣2，x2=﹣1 C．x l=1，x2=﹣2 D．x l=2，x2=﹣111．为了迎接元旦小长假的购物高峰，黄兴南路步行街某运动品牌专卖店购进甲、乙两种服装，现此商店同时卖出甲、乙两种服装各一件，每件售价都为240元，其中一件赚了20%，另一件亏了20%，那么这个商店卖出这两件服装总体的盈亏情况是（）A．赚了12元B．亏了12元C．赚了20元D．亏了20元12．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为（）A．﹣64 B．0 C．18 D．64二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．有一组数据如下：2，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的方差为．15．已知x，y满足方程组，则x﹣y的值是．16．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为（度）．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题，每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．计算：（）﹣1﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣2sin60°．20．先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．21．为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情况，我市教育部门在红旗中学2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）参加调查的人数共有人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m的值；（3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择8名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是多少？22．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．23．为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2013年的绿色建筑面积约为950万平方米，2015年达到了1862万平方米．若2014年、2015年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2016年是“十三五”规划的开局之年，我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我市能否完成计划目标？24．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．25．已知抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），直线1的解析式为y2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求b、c的值；（2）若函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．（1）写出点C的两个好友坐标；（2）直线l的解析式是y=x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；（3）抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C 上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．数轴上的点A到原点的距离是3，则点A表示的数为（）A．3或﹣3 B．6 C．﹣6 D．6或﹣6【考点】数轴．【分析】先设出这个数为x，再根据数轴上各点到原点的距离进行解答即可．【解答】解：设这个数是x，则|x|=3，解得x=+3或﹣3．故选：A．2．下列计算正确的是（）A．a3+a4=a7B．a3•a4=a7C．（a3）4=a7D．a6÷a3=a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3与a4是相加，不是相乘，不能利用同底数幂的乘法计算，故本选项错误；B、a3•a4=a7，正确；C、应为（a3）4=a3×4=a12，故本选项错误；D、应为a6÷a3=a6﹣3=a3，故本选项错误．故选B．3．2015年10月18日，TCL2015长沙国际马拉松赛正式开赛，来自国内外的1.5万余名选手在长沙这座美丽的城市中奔跑．马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米，将数据42千米用科学记数法表示为（）A．42×103米B．0.42×105米C．4.2×104米D．4.2×105米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将42千米用科学记数法表示为4.2×104，故选C．4．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD=70°，那么∠ACD的度数为（）A．40° B．35° C．50° D．45°【考点】平行线的性质．【分析】根据角平分线定义求出∠BAC，根据平行线性质得出∠ACD+∠BAC=180°，代入求出即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠BAD=70°，∴∠BAC=2∠BAD=140°，∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，故选：A．5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系中抛物线的解析式是（）A．y=3（x﹣2）2+2 B．y=3（x+2）2﹣2 C．y=3（x﹣2）2+2 D．y=3（x+2）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】该题实际上是将抛物线y=3x2向下、向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律解答即可．【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下、向左平移2个单位（﹣2，﹣2），所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3（x+2）2﹣2．故选：B．6．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≠1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．7．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90° B．120°C．150°D．180°【考点】圆锥的计算．【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解：设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，则=2πr，解得：n=180°．故选D．8．下列说法正确的是（）A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上B．数据3，3，5，5，8的众数是8C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明毎买50张奖券中一定有一张中奖D．想要了解长沙市民对“全面二孩”政策的看法，宜采用抽样调查【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；众数．【分析】根据概率是事件发生的可能性，可对A、C做判断；正确理解众数的定义可以判断B选项；结合调查的方式可确认选择何种调查方式从而判断D．【解答】解：A：抛硬币是一个随机事件，不能保证反面朝上，所以A错误；B：本组数据应该有两个众数，3、5都出现了两次，所以B错误；C：获奖概率为是一个随机事件，所以C错误；D：对长沙市民的调查涉及的人数众多，适合用抽样调查，所以D正确．故选：D．9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（）A．（2，5）B．（2.5，5）C．（3，5）D．（3，6）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标．【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．10．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象，则关于x的方程kx+b=的解为（）A．x l=1，x2=2 B．x l=﹣2，x2=﹣1 C．x l=1，x2=﹣2 D．x l=2，x2=﹣1【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【分析】根据网格的特点及两函数交点的坐标可直接解答．【解答】解：由图可知，两函数图象的交点坐标为（1，2），（﹣2，﹣1），故关于x的方程kx+b=的解为x l=1，x2=﹣2．故选C．11．为了迎接元旦小长假的购物高峰，黄兴南路步行街某运动品牌专卖店购进甲、乙两种服装，现此商店同时卖出甲、乙两种服装各一件，每件售价都为240元，其中一件赚了20%，另一件亏了20%，那么这个商店卖出这两件服装总体的盈亏情况是（）A．赚了12元B．亏了12元C．赚了20元D．亏了20元【考点】一元一次方程的应用．【分析】先根据题意设出赚钱的和亏本的衣服的本钱x，y，列出关于x，y的方程，求得两件衣服的本钱，再根据售价即可得出亏本了20元．【解答】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，则x+20%x=240，解得x=200，y﹣20%y=240，解得y=300，∴240×2﹣=﹣20（元）．即：这个服装店卖出这两件服装亏本了，亏本20元．故选：D．12．若一列不全为零的数除了第一个数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2016个，且具有“波动性质”，则这2016个数的和为（）A．﹣64 B．0 C．18 D．64【考点】有理数的加法．【分析】根据已知得出，a n+1=a n+a n+2，a n+2=a n+1+a n+3，a n+3=a n+2+a n+4，进而得出a n+a n+2+a n+4=0，a n+1+a n+3+a n+5=0，即可得出答案【解答】解：由题意得：a n+1=a n+a n+2，a n+2=a n+1+a n+3，a n+3=a n+2+a n+4，三式相加，得：a n+a n+2+a n+4=0，同理可得：a n+1+a n+3+a n+5=0，以上两式相加，可知：该数列连续六个数相加等于零，2016是6的倍数，所以结果为零．故选：C．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件AF=CE ，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，得出AF∥CE，根据有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形推出即可．【解答】解：添加的条件是AF=CE．理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴AF∥CE，∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：AF=CE．14．有一组数据如下：2，a，4，6，8，已知它们的平均数是5，那么这组数据的方差为 4 ．【考点】方差；算术平均数．【分析】先由平均数的公式计算出a的值，再根据方差的公式计算．一般地设n个数据，x1，x2，…，x n的平均数为， =（x1+x2+…+x n），则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，【解答】解：a=5×5﹣2﹣4﹣6﹣8=5，s2= [（2﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．15．已知x，y满足方程组，则x﹣y的值是﹣1 ．【考点】解二元一次方程组．【分析】将方程组两方程相减即可求出x﹣y的值．【解答】解：，②﹣①得：x﹣y=﹣1．故答案为：﹣1．16．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或﹣1 ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】令y=0，则关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数k的值．【解答】解：令y=0，则kx2+2x﹣1=0．∵关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，∴关于x的方程kx2+2x﹣1=0只有一个根．①当k=0时，2x﹣1=0，即x=，∴原方程只有一个根，∴k=0符合题意；②当k≠0时，△=4+4k=0，解得，k=﹣1．综上所述，k=0或﹣1．故答案为：0或﹣1．17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，若∠CAB=55°，则∠ADC的大小为35 （度）．【考点】圆周角定理．【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，∠ACB=90°，又由直角三角形的两锐角互余，即可求得∠B的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=55°，∴∠B=90°﹣∠CAB=35°，∴∠ADC=∠B=35°．故答案为：35°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是 6 ．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=A′D，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积．【解答】解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，∴△A′DE∽△ACB，∴=，即=，解得x=3，∴S△A′DE=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6，故答案为：6．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题，每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．计算：（）﹣1﹣（﹣1）0+|﹣3|﹣2sin60°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=2﹣1+3﹣2×=4﹣．20．先化简，再求值：﹣，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先进行通分得到原式=+，再进行同分母的加法运算，然后把分子分解因式后约分得到原式=，再把a的值代入计算即可．【解答】解：原式=+===，当a=﹣1时，原式==1﹣．21．为了认真贯彻教育部关于与开展“阳光体育”活动的文件精神，实施全国亿万学生每天集体锻炼一小时活动，吸引同学们走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，掀起校园内体育锻炼热潮，我市各学校结合实际情况举办了“阳光体育”系列活动，为了解“阳光体育”活动的落实情况，我市教育部门在红旗中学2000名学生中，随机抽取了若干名学生进行问卷调查（要求每位学生只能填写一种自己喜欢的活动），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）参加调查的人数共有300 人，在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为108 度；（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中m的值；（3）若要从该校喜欢“D”项目的学生中随机选择8名进行节目排练，则喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是多少？【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式．【分析】（1）用喜欢乒乓球的人数除以其所占的百分比即可求得调查的总人数，；（2）用喜欢C项目的人数除以总人数即可求得其百分率，从而得到m的值；（3）利用概率公式即可求得该同学被抽中的概率．【解答】解：（1）参加调查的人数为69÷23%=300（人），∵“C”的人数为：300﹣60﹣69﹣36﹣45=90（人），∴表示“C”的扇形的圆心角为×360°=108°，故答案为：300，108．（2）补全条形图如下：∵m%=×100%=20%，∴m=20；（3）=，答：喜欢该项目的小丽同学被选中的概率是．22．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，∴∠C=∠B，∠1=∠C，∴∠1=∠B，又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，∴∠E+∠EAD=90°，∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，∴AE⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，∵DA=DC，∴CF=AC=3，在Rt△CDF中，∵sinC==，设DF=4x，DC=5x，∴CF==3x，∴3x=3，解得x=1，∴DC=5，∴AD=5，∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，∴△ADE∽△DFC，∴=，即=，解得AE=，即⊙O的直径为．23．为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2013年的绿色建筑面积约为950万平方米，2015年达到了1862万平方米．若2014年、2015年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2）2016年是“十三五”规划的开局之年，我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我市能否完成计划目标？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率x，根据2013年的绿色建筑面积约为950万平方米和2015年达到了1862万平方米，列出方程求解即可；（2）根据（1）求出的增长率问题，先求出预测2016年绿色建筑面积，再与计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米进行比较，即可得出答案．【解答】解：（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率x，根据题意得：950（1+x）2=1862，解得：x1=0.4=40%，x2=﹣2.4（不合题意，舍去），答：这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率是40%；（2）根据题意得：∵2016年绿色建筑面积是：1862×（1+0.4）=2606.8万平方米＞2400万平方米，∴2016年我市能完成计划目标．24．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．（1）求证：PE=PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角线可得∠ACB=∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，然后等量代换即可得证；（2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB，从而得到∠PDC=∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE=90°，判断出△PDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB=PD，∵PE=PB，∴PE=PD；（2）判断∠PED=45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC=∠PDC，∵PE=PB，∴∠PBC=∠PEB，∴∠PDC=∠PEB，∵∠PEB+∠PEC=180°，∴∠PDC+∠PEC=180°，在四边形PECD中，∠EPD=360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD=360°﹣180°﹣90°=90°，又∵PE=PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED=45°．25．已知抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），直线1的解析式为y2=2mx+3m2+4nm+4n2，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求b、c的值；（2）若函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用顶点坐标公式，待定系数法列出方程组即可解决问题．（2）根据△≥0，以及非负数的性质即可解决问题．（3）首先求出A、B坐标，分三种情形讨论即可①当BA=BP时，②当AB=AP时，③当PA=PB 时．【解答】解：（1）∵抛物线y1=x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，1），∴，解得：，∴b的值为2，c的值为2．（2）y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+（2+2m）x+3m2+4nm+4n2+2，∵函数y1+y2的图象与x轴始终有公共点，∴△=（2+2m）2﹣4×1×（3m2+4nm+4n2+2）≥0，即﹣4（m﹣1）2﹣4（m+2n）2≥0．∵（m﹣1）2≥0，（m+2n）2≥0，∴m=1，n=﹣，∴直线l的解析式为y=2x+2．（3）如图，A（﹣1，0），B（0，2）．AB==，对称轴x=﹣1，①当BA=BP时，可得P1（﹣1，4），②当AB=AP时，可得P2（﹣1，），P3（﹣1，﹣），③当PA=PB时，可得P4（﹣1，2）．综上所述，当△PAB是等腰三角形时，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，2）．26．在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，1.5），我们把以点C为圆心，半径为1.5的圆称为点C的朋友圈，圆周上的每一个点叫做点C的一个好友．（1）写出点C的两个好友坐标；（2）直线l的解析式是y=x﹣4，与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当点C的朋友圈有好友落在直线上时，直线将受其影响，求在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间；（3）抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，且顶点D恰好为点C的好友，连接OD．E为⊙C 上一点，当△DOE面积最大时，求点E的坐标，此时△DOE的面积是多少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由朋友圈以及好友的定义，结合图形，即可得出结论；（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5﹣0.5t），根据好友的定义，结合点C到直线l的距离小于等于1.5，即可得出关于时间t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；（3）根据二次函数的性质找出抛物线的对称轴，结合函数图象以及好友的定义找出点D的坐标；连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，通过垂径定理、解直角三角形求出线段EM的长，再结合三角形的面积公式即可求出S△DOE的值，由点C、M点的坐标利用待定系数法求出直线CM的解析式，设出点E的坐标，再结合两点间的距离公式即可求出点E的坐标，此题得解．【解答】解：（1）1.5﹣1.5=0，1.5+1.5=3，∴点（0，0）、（0，3）到点C的距离为1.5，∴点（0，0）、（0，3）为点C的好友．（2）设圆心C往下运动了t秒，则点C的坐标为（0，1.5﹣0.5t），直线l：y=x﹣4可变形为4x﹣3y﹣12=0，点C到直线l的距离d==|0.3t﹣3.3|，当直线受圆C影响时，有d≤1.5，即|0.3t﹣3.3|≤1.5，解得：6≤t≤16．∴在点C向下运动的过程中，直线受其影响的时间为6≤t≤16．（3）令y=x﹣4中y=0，则x﹣4=0，解得：x=3，即点A的坐标为（3，0）．依照题意画出图形，如图1所示．∵抛物线y=ax2+bx+c过原点O和点A，点O（0，0），点A（3，0），∴抛物线的对称轴为x==1.5，∵点D恰好为点C的好友，∴点D的坐标为（1.5，1.5）．连接OD，过点C作CM⊥OD于点M，延长MC交圆C于点E，连接EO、ED，此时S△DOE最大，如图2所示．∵OD是圆C的弦，CM⊥OD，∴点M为线段OD的中点，∴点M的坐标为（，）、OM==，在Rt△CMO中，OM=，CO=1.5=，∴CM==．∵CE=1.5=，EM=EC+CM，∴EM=，此时S△DOE=OD•EM=OM•EM=×=．设直线CM的解析式为y=mx+n，∵点C的坐标为（0，1.5）、点M的坐标为（，）即（0.75，0.75），∴，解得：，∴直线CM的解析式为y=﹣x+1.5．设点E的坐标为（x，﹣x+1.5）（x＜0），∵EC==1.5，∴x=﹣，或x=（舍去），∴点E 的坐标为（﹣，）．故当△DOE面积最大时，点E 的坐标为（﹣，），此时△DOE 的面积是．。