人教版选修2-2第二章学案专题讲练：数学归纳法无答案

专题讲练：数学归纳法
※知识要点
1．归纳法：由一系列有限的||特殊事例得出________的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为____归纳法和________归纳法． 2．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值__________时命题成立． (2)(归纳递推)假设______________________________时命题成立，证明当________时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． ※题型讲练 【例
1】用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝
1－a n ＋2
1－a
(a ≠1，n ∈n *)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2＋a 3
变式训练1：
1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为1
2n (n －3)条时，
第一步检验第一个值n 0等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1
2n －1＜n (n ∈n *，n ＞1)时，
第一步应验证不等式________．
【例2】用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈n *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )
A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1
B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1＋2k ＋1
C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1
D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1 变式训练2：
1．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2 (n ∈n *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是 ．
2．用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n 2＋…＋22＋12＝n (2n 2
＋1)
3
，第二步证明由“k 到k ＋1”时，左边应加( ) A. k 2 B. (k ＋1)2 C. k 2＋(k ＋1)2＋k 2 D. (k ＋1)2＋k 2 【例3】用数学归纳法证明： 对任意的
n ∈n *，
11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝n
2n ＋1
. 变式训练3：
1．对于n ∈n *，用数学归纳法证明：
1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －1)·2＋n ·1＝1
6n (n ＋1)(n ＋2)．
2．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1
n (n ∈n *，n ≥2)．
【例4】数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈n *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 变式训练4：
1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足2S n ＝a 2n ＋n ，a n ＞0(n ∈n *)．猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明． ※课后练习
1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )
A ．假设n ＝k (k ∈n ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立
B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立
C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈n ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立
D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 2．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
3．用数学归纳法证明
1＋2＋3＋…＋n 2＝
n 4＋n 2
2
，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1 B ．(k ＋1)2
C ．(k ＋1)4＋(k ＋1)22
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2
4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋1
2n －1<n (n ∈n *，n >1)”时，
由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )
A ．2k －1
B ．2k －1
C ．2k
D ．2k ＋1 5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈n *)”时，第一步验证的表达式为________．
6．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____．
7．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >13
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的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是
______________．
8．用数学归纳法证明：
1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2 (n ∈n *)
9．在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足关系式： S n ＝12(a n ＋1a n )．
(1)求a 1，a 2，a 3；
(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并证明你的猜想． 10．在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈n *)． (1) 求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4；
(2) 由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； 11．由下列各式：
第1式：1＞12， 第2式：1＋12＋1
3＞1，
第3式：1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞3
2，
第4式：1＋12＋13＋…＋1
15＞2，
第5式：1＋12＋13＋…＋131＞5
2
，
…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．。