大学物理期末复习磁学部分
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l MN NO OP PM
=2 B l= 0 j l
故
B
0 j / 2
第九章
磁场对电流的作用
回旋加速器
§9-1 磁场对载流导线的作用
一、安培定律(电流元受力规律)
dF Idl B
dF IdlB sin
•对于有限长载流导线
dl
B
F Idl B
•受力情况
F3
M
I
P
N F4
B
O
en
(O)P
F2
F1＝BIl 2 F2＝BIl 2
F1与F2形成一个力偶
M(N) F1
B
en
•所以线圈所受磁力矩：
M＝F1l1 cos M＝F1l1 sin BIl2l1 sin BIS sin
引入磁矩
F2
即
当
2）选回路(顺时针圆周) .
d
R
B 0 nI
2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
★重要结论——等效结论
例3 无限长载流圆柱面电流的磁场,已知总电流强度为I
L1
r
R
I
L2
0 I 2π R
B
r
o R r
解 0 r R B d l B 2 r 0 B 0 L1 0 I r R L B d l B2 r 0 I B
I
y
I
Idl
L
B
o
P
x
结论 1 ★ 任意形状载流导线在均匀磁场中 所受的力等效为由起点指向终点的载流直 导线的受力。 结论 2 ★均匀磁场中计算导线受力永远不 用微积分，用 F BIl sin
安培定律
例3：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径 为R的半圆导线中的电流为I。若导线所在平面与B 垂直，求该导线所受的安培力。 y 解：
圆弧形电流在圆心处的磁场是什么结果？
I
B0 2 R 2
0 I
o
R
方向： 注：仍可由右手螺旋法则或毕萨定律判 定方向！
思考其它几种典型电流激发的磁场
（1） R I
B0
0 I
4R
（3）
o （2） I
R
0 I BA 4π d
d *A
R1
R2
I
B0
o
0 I
8R
（4） I
B E Bi E
i
0 Idl r dB 3 4π r
毕萨定律的矢量式
dB 方向为
Idl r
例 判断下列各点磁感应强度的方向
1无 8 2
7
Idl
R
6 5无 4
3
例1. 有限长直导线，其电流强度为I，求导线旁任意一点 P(距导线 ro )的磁感应强度 B? (已知P点与导线两端连 线与导线方向的夹角 1 2 ) y 解：根据毕—萨定律 2 取任意电流元 Idl ro P 计算其在P点产生的磁感应强度微元： o o Idl sin l r 方向向里 dB 2 4 r Idl 各电流元产生的 dB 方向都向里可直接积 1
l
B MN 0nMNI
B 0 nI
n 是匝数密度 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.且内部磁感应强度为 0
B nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 （已知 n N I）
解 1） 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R 令 L 2 πR B 0 NI L
B
n B
n
（二）磁场的高斯定理
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
2、解释
S
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
S
B
B
3、说明
•磁场是无源场； 电场是有源场 •磁极相对出现，不存在磁单极； 单独存在正负电荷 人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，将 改写电磁理论。
4
R
1 5 Pm kR 5
方向：垂直盘面向外
M Pm B
1 M kR 5 B 所以大小 5
方向 向上
dq dI T
0, B 0, B
dr
向外 向内
2 π rdr rdr 2π 0dI 0 dB dr 2r 2
B
0
2
R
0
dr
0 R
2
复 习
• 磁场
电 流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
磁
铁
• 毕奥－萨伐尔定律
.
I
B dB l ro ctg 统 ro 一 o Idl sin d 变 dl 2 sin 4 r 2 量 o I (cos 1 cos 2 ) r ro / sin 4 ro
2 1
7
0 I (cos 1 cos 2 ) 有限长直导线激发的磁场： B 4a
电流 磁场的 总结： 磁场 电流 （1）电流产生磁场——第八章 （2）磁场对电流有力的作用——第九章
（3）磁场变化产生电动势（电流）——第十一章
如何求解电流产生磁场的分布？用叠加原理法！ 将电流视为 电流元的集合
电流元产生磁场公式 磁场叠加原理
电流磁场分布
三
毕奥—萨伐尔定律
0 Idl r 毕奥—萨 dB 4π r 3 伐尔定律
真空磁导率
在磁学中的地位相当与电学中 的点电荷激发电场的重要结论
Idl
dB
dB
r
Idl
I
P *
0 4π 10 N A
7
2
r
任意载流导线在场点 处产生的磁感应强度计算 磁感应强度的叠加原理算法
0 I dl r B dB 或 3 4π r
R
B
已知：
kr k 为常数） （ R . B . . 求： M
（用微积分法！先求总磁矩） 解：在带电圆盘上取半径 r ，宽 dr 的圆环 dq 2rdr
dr
r
o
B
dI dq 2 rdr 2 2
dP dI r m
2
1 5 P dP k r dr k R m m 5 0
重要推论： 1. 无限长直导线激发的磁场：
磁场的方向
I
1 0 ,
0 I B 2a
2. 直导线及其延长线上点
B
0 或 , dB 0
B0
磁场方向与无限长直电流之间符合右手螺旋关系：
B
0 I
2πa
I
I
B
X
B
半无限长载流长直导线的磁场
π 1 2 2 π
★本章主要内容：磁感应强度的两种算法 叠加原理法和安培环路定理法
基本磁现象
安培提出分子电流假设(解释磁铁显示磁性的原因):
• 每个分子都有电流环绕着，当分子排列整齐时，它们 的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流 • 磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体 效果
磁现象的电学本质—运动的电荷(电流)产生磁场
dΦ BdS
0 I
ldx
安培环路定理
n B dl 0 I i i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.(注意电流强度的正负号)
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
例1 求长直密绕螺线管内磁场 （已知 n I ）
磁现象的电学本质运动的电荷电流产生磁场基本磁现象每个分子都有电流环绕着当分子排列整齐时它们每个分子都有电流环绕着当分子排列整齐时它们的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体效果效果电流磁场电流磁场的总结
根据等效结论
F 2 BIR
方向向上
I
x
下面举例4，5 ——非匀强磁场 中导线受力！需用微积分解决
三、磁场作用于载流线圈的磁力矩
F3＝BIl1 sin BIl1 sin 向上 F4＝BIl1 sin 向下
两者大小相等，方向相反，且在 同一直线上，故对于线圈来说， 它们二者的合力矩为零。
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。 •磁感应线与电流成右手关系
二、磁通量 磁场的高斯定理
(一) 磁通量 1.定义:通过磁场中某一曲面的磁感应线
的数目，定义为磁通量，用Ф表示。
2、计算（先考虑匀强场中的平面） b. S 跟B成 角 a. S垂直B
m BS
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过
的磁感应线的数目。(磁感应强度几何定义)
S
B
N B S
2、几种典型的磁感应线
I
B I
S
N
载流长直导线
圆电流
载流长螺线管
3、磁感应线特性
综述：m B S
B
m BS cos
c. 通过任一曲面的 磁通量 m B dS
S
S
n B
dS
n
B
S
3、说明
•对于闭合曲面，规定n的方向垂直于曲面向外 穿出时，磁通量为正(θ<π/2, cosθ>0) 穿入时，磁通量为负(θ>π/2, cosθ<0) •穿过曲面磁通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数 •单位：韦伯(wb) 1Wb=1T· 2 m
0 Idl r dB 4 r 3
B
BP
无限长载流长直导线的磁场.
0 I
2πa
0 I
4πa
半无限长载流长直导线的磁场
圆环形电流中心的磁场
B
0 I
2R
圆弧形电流在圆心处的磁场
0 I B0 2 R 2
§8-3 磁场的性质
一、磁感应线(磁力线 )
1．定义：
第八章
产生原因：
电流与磁场
本章研究真空中稳恒电流所激发的恒定磁场的物理性质。
•静止电荷产生——静电场（上学期内容）
•运动电荷（电流）产生——磁场
•稳恒电流产生的磁场不随时间变化——稳恒磁场
主要涉及概念：
•描述磁场性质的主要基本物理量——磁感应强度 •电流元产生磁场的基本方程——毕－萨（Biot-savart）定律 •磁场性质的基本方程——高斯定理与安培环路定理（律）
解 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
2 ) 选回路
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
NO OP PM
磁场 B 的方向与
电流
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
*o
B 注意方向！ 0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
例3 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 动 ，求圆盘中心的磁感强度. 解：用叠加原理法——将圆盘视作大量圆线圈的叠加 等效圆线圈的电流强度 dI ：
R o r
BP
0 I
4πa
I
o
a
* P
I
讨论
o
R
x
*
B
圆电流中轴线上磁场
x
B
0 IR
2
2 2 3
（x R ）2 2
S
1) 无论 x>0 或 x<0,B与X轴同向 2）当 x = 0时，圆心处：
B
o I
2R
N
3）轴线以外的磁场较复杂，可定性给出 磁感应线， 电流与B线仍服从右手螺旋关系。
Pm ISn
M(N) F1
(O)P
B
en
en与 I 成右螺旋
线圈所受 磁力矩：
M Pm B
•讨论：
=/2， =0，最大力矩Mmax=ISB =0， =BS，力矩M=0，稳定平衡 =， =-BS，力矩M=0，非稳定平衡
例：求磁场中非均匀带电圆盘所受磁力矩
2
2π r
例4 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。课本例8-7
j
俯视图
dI dI’
dB
先判断方向
恰当选取闭合回路
j
B
P
N M M l B
O N
解： B d l B d l B d l B d l B d l
求磁通量 ：
例1 如图载流长直导线的电流为I , 试求通过矩 形面积的磁通量.（用微积分及磁通量定义式） 解：先取面积微元，
B
求其中的 d m ，再积分得 m 0 I B // S B 2π x
I
l
d1 d2
o
x
2π x 0 Il d2 dx Φ S B dS d1 2π x 0 Il d 2 Φ ln 2π d1
=2 B l= 0 j l
故
B
0 j / 2
第九章
磁场对电流的作用
回旋加速器
§9-1 磁场对载流导线的作用
一、安培定律(电流元受力规律)
dF Idl B
dF IdlB sin
•对于有限长载流导线
dl
B
F Idl B
•受力情况
F3
M
I
P
N F4
B
O
en
(O)P
F2
F1＝BIl 2 F2＝BIl 2
F1与F2形成一个力偶
M(N) F1
B
en
•所以线圈所受磁力矩：
M＝F1l1 cos M＝F1l1 sin BIl2l1 sin BIS sin
引入磁矩
F2
即
当
2）选回路(顺时针圆周) .
d
R
B 0 nI
2R d 时，螺绕环内可视为均匀场 .
★重要结论——等效结论
例3 无限长载流圆柱面电流的磁场,已知总电流强度为I
L1
r
R
I
L2
0 I 2π R
B
r
o R r
解 0 r R B d l B 2 r 0 B 0 L1 0 I r R L B d l B2 r 0 I B
I
y
I
Idl
L
B
o
P
x
结论 1 ★ 任意形状载流导线在均匀磁场中 所受的力等效为由起点指向终点的载流直 导线的受力。 结论 2 ★均匀磁场中计算导线受力永远不 用微积分，用 F BIl sin
安培定律
例3：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径 为R的半圆导线中的电流为I。若导线所在平面与B 垂直，求该导线所受的安培力。 y 解：
圆弧形电流在圆心处的磁场是什么结果？
I
B0 2 R 2
0 I
o
R
方向： 注：仍可由右手螺旋法则或毕萨定律判 定方向！
思考其它几种典型电流激发的磁场
（1） R I
B0
0 I
4R
（3）
o （2） I
R
0 I BA 4π d
d *A
R1
R2
I
B0
o
0 I
8R
（4） I
B E Bi E
i
0 Idl r dB 3 4π r
毕萨定律的矢量式
dB 方向为
Idl r
例 判断下列各点磁感应强度的方向
1无 8 2
7
Idl
R
6 5无 4
3
例1. 有限长直导线，其电流强度为I，求导线旁任意一点 P(距导线 ro )的磁感应强度 B? (已知P点与导线两端连 线与导线方向的夹角 1 2 ) y 解：根据毕—萨定律 2 取任意电流元 Idl ro P 计算其在P点产生的磁感应强度微元： o o Idl sin l r 方向向里 dB 2 4 r Idl 各电流元产生的 dB 方向都向里可直接积 1
l
B MN 0nMNI
B 0 nI
n 是匝数密度 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场 为零.且内部磁感应强度为 0
B nI
例2 求载流螺绕环内的磁场 （已知 n N I）
解 1） 对称性分析；环内 B 线为同心圆，环外 B 为零.
l B d l 2π RB 0 NI 0 NI B 2π R 令 L 2 πR B 0 NI L
B
n B
n
（二）磁场的高斯定理
1、内容
通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
B dS 0
2、解释
S
磁感应线是闭合的，因此 有多少条磁感应线进入闭 合曲面，就一定有多少条 磁感应线穿出该曲面。
S
B
B
3、说明
•磁场是无源场； 电场是有源场 •磁极相对出现，不存在磁单极； 单独存在正负电荷 人类对磁单极的探寻从未停止，一旦发现磁单极，将 改写电磁理论。
4
R
1 5 Pm kR 5
方向：垂直盘面向外
M Pm B
1 M kR 5 B 所以大小 5
方向 向上
dq dI T
0, B 0, B
dr
向外 向内
2 π rdr rdr 2π 0dI 0 dB dr 2r 2
B
0
2
R
0
dr
0 R
2
复 习
• 磁场
电 流
磁
电
流
运动电荷 磁 铁
运动电荷
场
磁
铁
• 毕奥－萨伐尔定律
.
I
B dB l ro ctg 统 ro 一 o Idl sin d 变 dl 2 sin 4 r 2 量 o I (cos 1 cos 2 ) r ro / sin 4 ro
2 1
7
0 I (cos 1 cos 2 ) 有限长直导线激发的磁场： B 4a
电流 磁场的 总结： 磁场 电流 （1）电流产生磁场——第八章 （2）磁场对电流有力的作用——第九章
（3）磁场变化产生电动势（电流）——第十一章
如何求解电流产生磁场的分布？用叠加原理法！ 将电流视为 电流元的集合
电流元产生磁场公式 磁场叠加原理
电流磁场分布
三
毕奥—萨伐尔定律
0 Idl r 毕奥—萨 dB 4π r 3 伐尔定律
真空磁导率
在磁学中的地位相当与电学中 的点电荷激发电场的重要结论
Idl
dB
dB
r
Idl
I
P *
0 4π 10 N A
7
2
r
任意载流导线在场点 处产生的磁感应强度计算 磁感应强度的叠加原理算法
0 I dl r B dB 或 3 4π r
R
B
已知：
kr k 为常数） （ R . B . . 求： M
（用微积分法！先求总磁矩） 解：在带电圆盘上取半径 r ，宽 dr 的圆环 dq 2rdr
dr
r
o
B
dI dq 2 rdr 2 2
dP dI r m
2
1 5 P dP k r dr k R m m 5 0
重要推论： 1. 无限长直导线激发的磁场：
磁场的方向
I
1 0 ,
0 I B 2a
2. 直导线及其延长线上点
B
0 或 , dB 0
B0
磁场方向与无限长直电流之间符合右手螺旋关系：
B
0 I
2πa
I
I
B
X
B
半无限长载流长直导线的磁场
π 1 2 2 π
★本章主要内容：磁感应强度的两种算法 叠加原理法和安培环路定理法
基本磁现象
安培提出分子电流假设(解释磁铁显示磁性的原因):
• 每个分子都有电流环绕着，当分子排列整齐时，它们 的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流 • 磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体 效果
磁现象的电学本质—运动的电荷(电流)产生磁场
dΦ BdS
0 I
ldx
安培环路定理
n B dl 0 I i i 1
一闭合路径的积分的值，等于 0 乘以该闭合路径 所包围的各电流的代数和.(注意电流强度的正负号)
即在真空的稳恒磁场中，磁感应强度 B 沿任
例1 求长直密绕螺线管内磁场 （已知 n I ）
磁现象的电学本质运动的电荷电流产生磁场基本磁现象每个分子都有电流环绕着当分子排列整齐时它们每个分子都有电流环绕着当分子排列整齐时它们的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流的电流合起来就可以满足磁棒的磁性所需要的电流磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体磁化可视为使物质中的分子电流排列整齐显示出总体效果效果电流磁场电流磁场的总结
根据等效结论
F 2 BIR
方向向上
I
x
下面举例4，5 ——非匀强磁场 中导线受力！需用微积分解决
三、磁场作用于载流线圈的磁力矩
F3＝BIl1 sin BIl1 sin 向上 F4＝BIl1 sin 向下
两者大小相等，方向相反，且在 同一直线上，故对于线圈来说， 它们二者的合力矩为零。
•磁感应线是环绕电流的无头尾的闭合曲线，无起点无终点； •磁感应线不相交。 •磁感应线与电流成右手关系
二、磁通量 磁场的高斯定理
(一) 磁通量 1.定义:通过磁场中某一曲面的磁感应线
的数目，定义为磁通量，用Ф表示。
2、计算（先考虑匀强场中的平面） b. S 跟B成 角 a. S垂直B
m BS
•用来描述磁场分布的曲线。
•磁感应线上任一点切线的方向——B的方向。 •B的大小可用磁感应线的疏密程度表示。
磁感应线密度：在与磁感应线垂直的单位面积上的穿过
的磁感应线的数目。(磁感应强度几何定义)
S
B
N B S
2、几种典型的磁感应线
I
B I
S
N
载流长直导线
圆电流
载流长螺线管
3、磁感应线特性
综述：m B S
B
m BS cos
c. 通过任一曲面的 磁通量 m B dS
S
S
n B
dS
n
B
S
3、说明
•对于闭合曲面，规定n的方向垂直于曲面向外 穿出时，磁通量为正(θ<π/2, cosθ>0) 穿入时，磁通量为负(θ>π/2, cosθ<0) •穿过曲面磁通量可直观地理解为穿过该面的磁感应线条数 •单位：韦伯(wb) 1Wb=1T· 2 m
0 Idl r dB 4 r 3
B
BP
无限长载流长直导线的磁场.
0 I
2πa
0 I
4πa
半无限长载流长直导线的磁场
圆环形电流中心的磁场
B
0 I
2R
圆弧形电流在圆心处的磁场
0 I B0 2 R 2
§8-3 磁场的性质
一、磁感应线(磁力线 )
1．定义：
第八章
产生原因：
电流与磁场
本章研究真空中稳恒电流所激发的恒定磁场的物理性质。
•静止电荷产生——静电场（上学期内容）
•运动电荷（电流）产生——磁场
•稳恒电流产生的磁场不随时间变化——稳恒磁场
主要涉及概念：
•描述磁场性质的主要基本物理量——磁感应强度 •电流元产生磁场的基本方程——毕－萨（Biot-savart）定律 •磁场性质的基本方程——高斯定理与安培环路定理（律）
解 ) 对称性分析螺旋管内为均匀场 , 方向沿 轴向, 外部磁感强度趋于零 ，即 B 0 .
2 ) 选回路
L.
M N +++ + + + ++++++ L O P
NO OP PM
磁场 B 的方向与
电流
B
I 成右螺旋.
MN
B d l B d l B d l B d l B d l
*o
B 注意方向！ 0
0 I
4 R2
0 I
4 R1
0 I
4π R1
例3 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密度 为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转 动 ，求圆盘中心的磁感强度. 解：用叠加原理法——将圆盘视作大量圆线圈的叠加 等效圆线圈的电流强度 dI ：
R o r
BP
0 I
4πa
I
o
a
* P
I
讨论
o
R
x
*
B
圆电流中轴线上磁场
x
B
0 IR
2
2 2 3
（x R ）2 2
S
1) 无论 x>0 或 x<0,B与X轴同向 2）当 x = 0时，圆心处：
B
o I
2R
N
3）轴线以外的磁场较复杂，可定性给出 磁感应线， 电流与B线仍服从右手螺旋关系。
Pm ISn
M(N) F1
(O)P
B
en
en与 I 成右螺旋
线圈所受 磁力矩：
M Pm B
•讨论：
=/2， =0，最大力矩Mmax=ISB =0， =BS，力矩M=0，稳定平衡 =， =-BS，力矩M=0，非稳定平衡
例：求磁场中非均匀带电圆盘所受磁力矩
2
2π r
例4 在一无限大的导体平板上均匀流有电流密度为 j 的面电流，求平板两侧的磁感应强度。课本例8-7
j
俯视图
dI dI’
dB
先判断方向
恰当选取闭合回路
j
B
P
N M M l B
O N
解： B d l B d l B d l B d l B d l
求磁通量 ：
例1 如图载流长直导线的电流为I , 试求通过矩 形面积的磁通量.（用微积分及磁通量定义式） 解：先取面积微元，
B
求其中的 d m ，再积分得 m 0 I B // S B 2π x
I
l
d1 d2
o
x
2π x 0 Il d2 dx Φ S B dS d1 2π x 0 Il d 2 Φ ln 2π d1