2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市高二（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线的倾斜角为( )A.
B.
C.
D.
2.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是( )
A. B.
C.
D.
3.阿基米德公元前287年-公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在x
轴上，且椭圆C 的离心率为，面积为
，则椭圆C 的方程为( )
A. B. C.
D.
4.直线截圆
所得劣弧所对的圆心角为，则r 的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知直线l ：，直线m ：，若直线l 与m 的交点在第一象限，则数k 的取
值范围为( )
A.
B. C.
D.
或
6.已知在三棱锥中，
，
，则三棱锥
的
外接球的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一，传统
陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽．中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺．如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为12cm ，圆柱部分高度为9cm ，底面圆半径
为
已知该陀螺由密度为
克
的合成材料做成，则此陀螺质量最接近注：物体质
量=密度
体积( )
A. 432克
B. 477克
C. 495克
D. 524克
8.已知在直角坐标系xOy 中，点，O 为坐标原点，直线l ：
上存在点P 满足
，则实数m 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列四个方程所表示的曲线中既关于x 轴对称，又关于y 轴对称的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
( )
A. 1
B. C. 3
D.
11.已知圆M ：
，点P 是直线l ：
上一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，
切点分别是A 、B ，下列说法正确的有( ) A. 圆M 上恰有一个点到直线l 的距离为 B. 切线长PA 的最小值为1 C. 四边形AMBP 面积的最小值为2 D. 直线AB 恒过定点
12.如图，在三棱柱
中，侧面
是边长为2的菱形，
，
，
，以下正确的结论有( )
A. 直线BC 与直线所成的角为
B. 直线直线
C.
直线与平面
所成角的正弦值为 D. 三棱柱
的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知焦点在x 轴上的椭圆C ：
，其焦距为
，则实数
__________.
14.若，，是一个单位正交基底，且向量，，则
__________.
15.已知圆的方程为，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为__________.
16.已知在边长为6的正方体中，点M，N分别为线段和上的动点，当
__________时，线段MN取得最小值__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题10分
已知圆C：，直线l：与圆C相交于A、B两点．已知点在圆C上，求的取值范围；
若O为坐标原点，且，求实数m的值．
18.本小题12分
在中，已知点，边BC上的中线AD所在的直线方程是，的平分线BE 所在的直线方程是，求直线AB和AC所在的直线方程．
19.本小题12分
如图，在正方体中，点E，F分别为棱、的中点．
证明：直线平面；
若该正方体的棱长为4，试问：底面ABCD上是否存在一点P，使得平面，若存在，求出线段DP的长度，若不存在，请说明理由．
20.本小题12分
已知椭圆E：的右焦点坐标为，过F的直线l交椭圆于A，B两点，当A与上顶点重合时，
求椭圆E的方程；
若点，记直线PA，PB的斜率分别为，，证明：为定值．
21.本小题12分
在直角梯形ABCD中，如图，，，，点P在线段CD上，且现将
面APD沿AP翻折成如图所示的四棱锥，且平面平面ABCP，点Q在线段BC上．
若Q是BC的中点，证明：；
若在的条件下，二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．
22.本小题12分
已知圆C过坐标原点O和点，且圆心C在x轴上．
求圆C的方程；
设点
①过点M的直线l与圆C相交于P，Q两点，求当的面积最大时直线l的方程；
②若点T是圆C上任意一点，试问：在平面上是否存在点N，使得若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．
【解答】
解：设直线的倾斜角为
直线化为
故选：
2.【答案】B
【解析】【分析】
根据共面条件可知，，即可得出答案．
本题考查了四点共面的条件，属于基础题．
【解答】
解：M与A、B、C共面的条件是，且，
对于选项B，有，故B选项正确。

故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于a，b
的方程组，求解方程组即可得答案．
本题考查椭圆的性质的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
【解答】
解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆C的离心率为，面积为，
所以，解得，，
所以椭圆C的方程为
故选：
4.【答案】C
【解析】【分析】
令劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，由已知条件可推得为正三角形，再结合垂径定理和点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
【解答】
解：直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，
令劣弧的两个端点为A，B，圆心为O，
为正三角形，圆心到直线的距离为的高，
，解得
故选：
5.【答案】A
【解析】【分析】
根据直线相交于第一象限，得到关于k的不等式，解出即可．
本题考查了直线相交，考查交点坐标问题，是一般题．
【解答】
解：由，得：，
代入，得，
得：，解得：或①，
又，得，即，解得：②，
结合①②得：，
故选：
6.【答案】B
【解析】【分析】
由外接球的球心在正棱锥的高上，求出外接球的半径，由球的表面积公式求解即可．
本题考查了几何体的外接球问题，解题的关键是确定外接球球心的位置，三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此结论可以找到外接球的球心，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
【解答】
解：，，
故三棱锥是正三棱锥，
设PH为三棱锥的高，
则其外接球的球心在PH上，
设外接球的半径为R，
，则，
，即，解得，
故三棱锥外接球的表面积是
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
先根据圆柱圆锥的体积公式求出陀螺的体积，然后由密度求解质量即可．
本题考查了空间几何体的体积的求解，物体质量的求解，圆锥与圆柱体积公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
【解答】
解：由题意可得，该陀螺的体积为，
所以陀螺的质量为克．
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
设出P的坐标，根据数量积得到，进一步转化求解即可．
本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【解答】
解：设直线l：上点P的坐标为：，
则，，
，
故需：，解得：，
故选：
9.【答案】AC
【解析】【分析】
根据题意，结合双曲线、抛物线、椭圆、圆的性质，依次讨论求解即可．
本题考查双曲线、椭圆、抛物线以及圆的对称性，属于基础题．
【解答】
解：对A：曲线表示焦点在x轴上的双曲线，故该曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，故A正确；
对B：方程可化为x²表示焦点在y轴正半轴的抛物线，只关于y轴对称，故B错误；
对C：方程可化为，表示焦点在x轴上的椭圆，故该曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，故C正确；
对D：方程可化为²²，表示圆心为，半径为1的圆，只关于x轴对称，故D错误；故选：
10.【答案】BC
【解析】【分析】
由题意根据直线在坐标轴上的截距的定义，求得a的值．
本题主要考查直线在坐标轴上的截距的定义，属于基础题．
【解答】
解：直线在两坐标轴上的截距相等，
直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为，
，求得或，
故选：
11.【答案】BD
【解析】【分析】
利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长利用点到直线的距离可判
断B，由题可得四边形AMBP面积为，可判断C，由题可知点A，B，在以PM为直径
的圆上，利用两圆方程可得直线AB的方程，即可判断
本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的四边形面积问题，直线恒过定点问题等知识，属于中等题．
【解答】
解：由圆M：，可知圆心，半径，
圆心到直线l：的距离为，
圆M上恰有一个点到直线l的距离为，故A错误；
由圆的性质可得切线长，
当最小时，有最小值，又，
，故B正确；
四边形AMBP面积为，
四边形AMBP面积的最小值为1，故C错误；
设，由题可知点A，B，在以PM为直径的圆上，又，
所以，即，
又圆M：，即，
直线AB的方程为：，即，
由，得，即直线AB恒过定点，故D正确．
故选：
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
A 用平移直线法判断；B由平面即可判断；
C用向量数量积计算判断即可；D用三棱柱与三棱锥体积公式计算判断．
本题以命题真假判断为载体，考查了直线与平面成角问题，考查了体积计算问题，属于中档题．
【解答】
解：因为侧面是边长为2的菱形，所以，
又因为，，
因为，所以，
因为，，由勾股定理逆定理知，
建系如图，，，，，，，
对于A，因为，所以直线BC与直线所成的角为，所以A对；
对于B，因为直线平面，直线平面，所以直线直线，所以B对；对于C，令，因为，，
所以平面ABC的法向量是，又，
所以直线与平面所成角的正弦值为，所以C对；
对于D，三棱柱的体积为，
所以D错．
故选：
13.【答案】5
【解析】【分析】
由条件可得，，，根据a，b，c的关系可求得
本题考查了椭圆的方程，a，b，c的关系，属于基础题．
【解答】
解：因为焦点在x轴上的椭圆C：，其焦距为，
所以，，，
所以，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
由已知可得与的坐标，再由数量积的坐标运算求解得答案．
本题考查空间向量的数量积运算，是基础题．
【解答】
解：，，是一个单位正交基底，且向量，，
，，
则
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：圆的方程的转换，二次函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用圆的方程的形式的转换，利用二次函数的性质的应用求出圆的方程，进一步确定圆心的坐标．【解答】
解：圆的方程为，整理得：；
当时，圆的半径取最小值为1，
故圆的方程为；
圆心坐标为
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
以点D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标，设，，
线段MN取得最小值，此时满足，，再根据空间向量的坐标运算求解即可．
本题主要考查了异面直线的公垂线的求法，考查了空间向量的基本运算，同时考查了学生的运算求解能力，是较难题．
【解答】
解：以点D为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标，如图所示，
则，，，
设，
设，，
线段MN取得最小值，此时满足，，
所以，，
，
又因为，，
所以，解得，
此时，
所以当时，线段MN取得最小值，最小值为，
故答案为：，
17.【答案】解：将圆的方程变形为，
则圆心，，
令，即，
如图，
临界条件为直线与圆相切，
当直线在位置时，z取得最大值，
当直线在位置时，z取得最小值，
圆心到直线的距离，即，解得或，故的取值范围为
，
，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离公式，解得，
故实数m的值为
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的能力，属于中档题．
将圆的方程变形为，则圆心，，令，即，再根据图象，以及点到直线的距离公式，即可求解．
根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．
18.【答案】解：设点，由于点D为BC的中点，
所以，
故，
解得：，
由于点C关于直线BE的对称点满足直线BA所在的直线，
故，
解得
所以AB所在的直线方程满足；
所以直线AD和直线AB的交点满足：，
解得
故
所以AC所在的直线方程的斜率为，
所以直线AC的方程为，整理得
【解析】直接利用中点坐标和二元一次方程组的解法求出点B的坐标和直线AB的方程，进一步利用交点坐标求出点A的坐标，最后求出直线AC的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，中点坐标，二元一次方程组的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
19.
【答案】解：证明：在正方体中，点
E ，F分别为棱、的中点，
，
平面，平面，
直线平面；
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建
立空间直角坐标系，
设底面ABCD上存在一点，使得平面，
，，，，
，，，
平面，
，解得，，
底面ABCD上存在一点，使得平面，
线段DP的长度为
【解析】推导出，由此能证明直线平面；
以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出底
面ABCD上存在一点，使得平面，线段DP的长度为
本题考查线面平行的证明，考查满足线面垂直的点的位置的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：，，则，
可得，则，，
把B点坐标代入，得，解得，
又，，
则椭圆E的方程为；
证明：当直线l的斜率不存在时，直线方程为，
代入椭圆方程解得，，
又，，，；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，
联立，得
，，
，
分子
即
综上所述，，为定值．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆位置关系，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．
，，则，求得B的横坐标，可得B点坐标，代入椭圆方程求得a值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
当直线l的斜率不存在时，直线方程为，求出A，B的坐标，进一步求得，，得到为定值；当直线l的斜率存在时，设直线方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及斜率公式可得，为定值．
21.【答案】证明：在四棱锥中，，平面平面ABCP，平面平面
，
又平面APD，则有平面ABCP，而平面ABCP，于是得，
又四边形ABCP是矩形，Q是BC的中点，则，，
则，即，又，DP，平面DPQ，则有平面DPQ，而
平面DPQ，
所以
取PA中点E，连QE，如图，
因Q是矩形ABCP边BC的中点，则有，
由知平面ABCP，而平面ABCP，
于是得，而，DP，平面APD，
因此有平面APD，又平面APD，
则，在平面APD内过E作于O，连接OQ，而，因此有平面EOQ，，
从而有是二面角的平面角，
即，则，
又，，解得，而，于是得，
因此有，因，则，
所以三棱锥的体积为
【解析】本题主要考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，锥体体积的计算，二面角的相关计算等知识，属于难题．
根据给定条件证得平面DPQ，即可得证；
取PA中点E，连QE，得到是二面角的平面角，进行求解即可.
22.【答案】解：因为圆C过坐标原点O和点，且圆心C在x轴上，
所以设圆心，
则，
解得，
所以圆心，半径，
所以圆C的方程为；
①设圆心到直线的距离为d，
则，
所以，
当且仅当即时等号成立，
设直线l的方程为，
则圆心到直线l的距离，
解得，
所以直线l的方程为，
即；
②假设存在，，
由，得，
即，
化简整理得，
又点T在圆上，
所以，故，
则，
所以，
解得，，
所以，
故存在点N，满足题意．
【解析】根据条件设圆心，则，求解a，可得圆的方程；
①利用三角形的面积结合基本不等式，可知的面积最大时，圆心到直线的距离为d，设直线l方程，利用点到线的距离公式求解即可；
②假设存在，由，结合点在圆上，可得到方程则
，利用待定系数法求解m，n，即可判断．
本题考查了圆的方程，直线和圆的方程综合应用，属于中档题．。