贵州省遵义航天高级中学2019届高三数学上学期第三次月考试题理

贵州省遵义航天高级中学2019届高三数学上学期第三次月考试题 理
一、选择题：
1.已知集合，，则等于 {}
220M x x x =->{}2,1,0,1,2N =--M N = A ． B ． C ． D ． ∅{}1{}0,1{}1,0,1-2．下列命题中，，为复数，则正确命题的个数是 x y ①若，则；
220x y +=0x y ==②若，，，且，则； i x a =+i y b =+a b ∈R a b >x y >③的充要条件是． i 1i x y +=+1x y ==A ．
B ．
C ．
D ．
01233. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．43 B. 55 C. 61 D. 81 4．某几何体的三视图如图所示，则其体积为 A ． B ．
C ．
D ．
4812245.是上奇函数，对任意实数都有，当时，
()f x R 3()()2f x f x =--13(,)22
x ∈，则
2()log (21)f x x =-(2018)(2019)f f +=A ．0 B ． 1 C ． D ． 2 1-6.在区间上随机取两个数，，则函数有零[0,1]21
()4
f x x ax b =++点的概率是 A ．
B ．
C ．
D ． 112231613
7.下列说法中正确的是
①“，都有”的否定是“，使
0x ∀>210x x -+≥00x ∃≤”.
20010x x -+<②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列. {}n a n S n S 2n n S S -32n n S S -③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.
A B A B ④已知变量，的回归方程是，则变量，具有负线性相关关系. y
20010y x =-y A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④
8.已知实数满足条件，令，则的最小值为
,x y 1
354y x x x y ≤-⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
ln ln z x y =-z
A ．
B ． C. D ． 3ln
22
ln 3
ln15ln15-9.
若
，则
2θ=sin 2θ=A ．
B ． C. D ． 132323-13
-10．如图，在圆中，若，，则的值等于
O 3AB =4AC =AO BC ⋅
A ．
B ．
C ．
D ．
8-7
2
-
72
811.在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆
xOy C 22
221(0,0)y x a b a b
-=>>相切，则的离心率为
22(2)(1)1x y -+-=C A ． B ． C ． D ． 43541692516
12.对于任意的正实数x ，y 都有（2x )ln 成立，则实数m 的取值范围为
e y -x y me
x ≤
A B C D ]1,1(e ]1,1(2e ],1(2e e ]1,0(e
二、填空题
13.现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，还有5本是互不相同的数学杂志，从这8本里选取3本，则不同选法的种数为 ．
14．等差数列的前项和为，，，则____________．
15．已知球面上有四个点，，，，球心为点，在上，若三棱锥A B C D O O CD A BCD -的体积的最大值为，则该球的表面积为__________．
83
O
16．已知.若
时，
()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+
，，，，，012λμ≤≤≤≤的最大值为2，则的最小值为 ()0 0x y
z m n m n
=
+>>，m n +
三、解答题
17.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为.已知，
ABC ∆A B
C ,,a b c 4
A π
=
.
sin()sin()44b C c B a ππ
+-+=求角；
()1B 若
的面积．
()2a =ABC ∆18.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，为正三PAB ∆角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，为线段的中点，在线段E AB M PD 上.
（I ）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM ；
M PD （II ）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，M M EC D --求出的值；若不存在，请说明理由． PM
PD
19.随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应M 的折线图：
2016年11月
2016年12月
2017年1月
2017年2月
2017年3月
2016年10月
市场占有率y （%）
2520151050
月份代码x
1
2
3
4
5
6
(1) 由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系，
y x 求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月的市场占有率；
y x M (2) 为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为元/辆和1200元/
1000辆的、两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行A B 频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是公司M 的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式：回归直线方程为，其中，. y bx
a =+ ()()()
1
2
1
n i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑ a y bx =-
20．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个
2222:1(0)x y C a b a b +=>>1
2e =C M 焦点，的距离之和是． 1F 2F 4（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于，两点，且两点与左右顶点不重合，若
2F C A B ，求四边形面积的最大值． 111F M F A F B =+
1AMBF
车
21.已知函数，其中常数.
2()(2)ln f x x a x a x =
-++0a >（1）当时，求函数的单调区间； 2a >()f x （2）设定义在上的函数
在点处的切线方程为，若
D ()h x y =00(,())P x h x ():g x l y =在内恒成立，则称为函数的“类对称点”，当时，试
()()
0g h x x x x ->-D P ()h x y =4a =问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请
()f x 说明理由.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线：，xOy C 22
60x y x +-=
直线：，直线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建1l 0x =2l 0y -=x 立极坐标系.
（1）写出曲线的参数方程以及直线，的极坐标方程；
C 1l 2l （2）若直线与曲线分别交于，两点，直线与曲线分别交于，两点，求
1l C O A 2l C O B 的面积.
AOB ∆
H
M
P
E
D
B
A
三模数学(理)参考答案
一、选择题 二、填空题 13 16 14
15 16π 16 1
2+n n
17．解：由应用正弦定理， ()1sin sin 44b C c B a ππ⎛⎫⎛⎫
+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得 …………2分 sin sin 4B C π⎛⎫+
⎪⎝⎭-sin C sin sin 4B A π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
sin sin B C C C B B ⎫⎫+-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭
整理得，即 …………………4分 sin cos cos sin 1B C B C -=()sin 1B C -=由于从而，因为，联立解得 ……6分 30,,4B C π<<
2B C π-=34B C π+=5
8
B π=由得………………7分
()2(
)18
C π
=
因为得 ………………9分
4
a A π
==sin 5
4sin sin 8
a B
b A π=
=同理得 …………10分所以的面积4sin
8
c π
=ABC ∆1sin 2S bc A =
=1
5
4sin 28
π⨯
4sin
8
π
⨯5
sin 88π
π= ………………12分
sin()sin 288πππ=
+sin 88ππ=⋅4
π
=2=18. （I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱
形，所以点
H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点，
所以MH // BP .又因为 BP 平面ACM , 平面ACM . ⊄MH ⊂所以 PB // 平面ACM . ……………4分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
A
C
A
A
D
D
A
C
C
B
D
（II ） 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .
又因为PE ⊥平面ABCD ，
以为原点，分别以为轴， E ,,EB EC EP ,,x y z 建立空间直角坐标系， E xyz -则，，
()0,0,0E ()1,0,0B ，，． ………10分
(
P ()
0C
,()
D -假设棱上存在点，设点坐标为，，
PD M M (),,x y z ()01PM PD λλ=≤≤
则，所以，
(
(,,x y z λ-=-
()
2)M λλ--所以，，
()2,)EM λλ=--
()
EC =
设平面的法向量为，则
CEM (),,x y z =n ，解得．
2)00EM x y z EC λλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩
n
n 0
2)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩令，则，得．
2z λ
=)x λ=
-)
),0,2λλ=
-n 因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量， ()0,0,1=m 所以
cos |||⋅〈〉=
==⋅n m n,m n |m 因为二面角的大小为60°， M
EC D --，即，解得，或（舍去） 12=
23210λλ+-=1
3
λ=1λ=-所以在棱PD 上存在点，当
时，二面角的大小为60°． M 1
3
PM PD =M EC D --19.解：(1)由题意：，，，，
3.5x =16y =()()
6
1
35i i i x x y y =--=∑()
6
2
1
17.5i i x x
=-=∑，，∴， 35217.5b
== 162 3.59a y b x =-⋅=-⨯= 29y x =+时，. 7x =
27923y =⨯+=即预测公司2017年4月份(即时)的市场占有率为.
M 7x =23%(2)由频率估计概率，每辆款车可使用1年，2年，3年，4
年的概率分别为、、A 0.20.35、，∴每辆款车的利润数学期望为
0.350.1A
(元)
()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=每辆款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为，，，， B 0.10.30.40.2∴每辆款车的利润数学利润为
B (元)
()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∵，∴应该采购款车. 175150>A 20.（1）依题意，，，因为，所以，， 24a =2a =1
2
e =
1c =2223b a c =-=所以椭圆方程为； C 22
143
x y +
=（2）设，，， ()11A x y ，()22B x y ，:1AB x my =+则由，可得，
221
14
3x my x y ⎧=++=⎪
⎨⎪⎩()2231412my y ++=即，，
()
2234690m y my ++-=()()
22236363414410m m m ∆=++=+>又因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为
111F M F A F B =+
1AMBF 1AMBF ，则，
S 1
12121222242ABF S S F F y y ==⨯⨯⨯-==△设，则，所以，因为，所
以
t =()2211m t t =-≥2124241
31
3t S t t t
=⨯
=⨯
++
1t ≥，所以，所以四边形面积的最大值为．
1
34t t
+≥(]06S ∈，1AMBF 621、解：（1））函数的定义域为 ……………………1分
()f x (0,)+∞ 2()(2)ln f x x a x a x =-++………………3分 ∴()2(2)a
f x x a x
'=-++2
2(2)x a x a x -++=2()(1)
2a
x x x
--=
， 2a >∴
12
a
>由，即，得或
0)(>'x f 2()(1)20a
x x x
-->01x <<2a x >
由，得…………………………，单调递减区间为…………5分
0)(<'x f 2
1a
x <
<(1,)2a （2）解：当时， ， 4a =2
)64ln f x x x x =-+（从而所以在点处的切线的斜率为
'
4)26f x x x
=-+
（P 000'
4=)26k f x x x =-+（所以在点处的切线方程为
P ……………………7分 2000000
4
()(26)64ln g x x x x x x x x =-+
-+-+令
()()()x f x g x φ=-则 2
2000000
4
()64ln (26)()(64ln )x x x x x x x x x x x φ=-+--+
---+又
00000
2()(2)44
()26(26)x x xx x x x x x xx φ--'=+
--+-=则令得或
………………8分
()0x φ'=0x x =02
x x =
①当
，即时，令，则
， 002x x >00x <<()0x φ'<00
2x x x <<所以函数在区间上单调递减， ()x φ00
2
(,x x 又易知
0()0x φ=所以当时，，从而有时， 002(,
)x x x ∈0()()0x x φφ<=00
2(,)x x x ∈0
()0x x x φ<-②当
，即，则， 002x x <0x >()0x φ'<00
2
x x x <<所以在上单调递减， ()x φ00
2
(
,)x x 所以当时，，从而有时， 002(
,)x x x ∈0()()0x x φφ>=002(,)x x x ∈0
()0x x x φ<-
所以当时，函数不存在“类对称点”…………10分
0)x ∈+∞ ()y f x =③当
，所以函数在上是增函数，
0x =
22
()(0x x x
φ'=
>()x φ(0,)+∞若，，
0x x >0()()0x x φφ>=0
()
0x x x φ>-若，， 故
恒成立
0x x <0()()0x x φφ<=0
()
x x x φ>-0
()
0x x x φ
>-所以当存在“类对称点”
，其横坐标为。

……………12分 0x =()y f x =
22.解：（1）依题意，曲线：，故曲线的参数方程是（C 22
(3)9x y -+=C 3
3cos 3sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩α
为参数），
因为直线：，直线，故，的极坐标方程为
1l 0x =2l 0y -=1l 2l ：，：.
1l ()6
R π
θρ=
∈2l ()3
R π
θρ=
∈（2）易知曲线的极坐标方程为， C 6cos ρθ
=把代入，得，
6
π
θ=6cos ρθ=1ρ=6
A π
把代入，得，所以，
3
π
θ=
6cos ρθ=
23ρ=(3,
3
B π
所以121
sin 2
AOB S AOB ρρ∆=
∠13sin()336ππ=⨯-=。