成都树德中学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（ ）
A ．2,ln 2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭ B ．20,ln 2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C
．⎫
+∞⎪⎪⎝⎭ D
．⎛ ⎝⎭
2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有
1212
()()
1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）
A ．[1，)+∞
B ．(0，1]
C ．[2，)+∞
D ．(0,)+∞
3．已知函数2
3,0
()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨
+⎩
的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2
B ．1
(2
，2)
C ．(1,2)-
D ．(1,3)-
4．定义域为R 的连续可导函数()f x 满足()()x
f x f x e '-=，且()00f =，若方程
()()21
016
m f x f x ++=⎡⎤⎣⎦有四个根，则m 的取值范围是（ ） A ．2416
e e m -<<
B ．42
e
m <<
C ．2
16
e m e >-
D ．2
e m >
5．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的
最小值为（） A ．1 B ．2
C
D
6．若1
201x x ，则（ ）
A ．2121ln ln x
x
e e x x ->- B ．2
121ln ln x x e e x x -<-
C ．1221x
x
x e x e > D ．1221x
x
x e x e <
7．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ） A
．
3
R B
．
3
R C
．
2
R D
．
2
R
9．已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有
()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（ ）
A
．
8
B
C
D
10．设动直线x m =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于,M N ，则MN 的最小值为（ ） A ．
11ln 222
+ B ．
11
ln 222
- C ．1ln 2+ D ．ln 21-
11．函数()2
1ln 2
f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12
-
B ．0
C ．
12
D ．无最大值
12．已知函数22,2()2,2x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值
范围为（ ）
A ．28,
e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．2
8,4e ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．[)28,
4,e ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题
13．若函数()2
1ln 2
f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______. 14．若函数2
1()43ln 2
f x x x x =-
+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是____． 15．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）+xf '（x ）＞0，且f （3）＝0，则不等式xf （x ）＞0的解集是_____．
16．已知函数()2
4ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的
取值范围是______．
17．已知数列()
*
4n n b n N =∈.记数列{}n b 的前n 项和为n T ．若对任意的*n N ∈，不等式
4843n T k n ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭
恒成立，则实数k 的取值范围为______．
18．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e x
g x x x
=
+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
19．已知函数()3
2
23121x x f x x =+--在[],1m 上的最大值为17，则m =______. 20．若函数()3
2
ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题
21．设函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈. （1）若函数()f x 在2
x π=
处的切线方程为1y =，求m 的值；
（2）若()0,x π∀∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围. 22．已知函数()()2
ln 0,1x
f x a x x a a a =+->≠．
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）若存在[]
12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求a 的取值范围．
23．已知函数()ln f x ax x =-. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 24．设函数()ln 1
x f x x
+=
， （1）求曲线()y f x =在点()()
,e f e 处的切线方程；
（2）当1≥x 时，不等式()()
211a x f x x x --≥恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()ln ()a
f x x a R x
=+∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a >时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2，求a 的值. 26．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). （1）当a ＝
1
2
时，求f (x )的极值； （2）讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得
1201x x <<<，且
()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，
然后结合函数单调性进行求解即可． 【详解】
解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ， 令()0f x =，
可得e x
a x =
令()e x
g x x
=
即()()2
e 1x x g x x
-'=， 令()0g x '=，可得1x =， 可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<， 当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，
()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
可得1201x x <<<， （i ）若11
02
x <<，则21120x x >>>，符合题意； （ii ）若
11
12
x <<，则2121x x >>， 根据单调性，可得()()122f x f x <， 即()()112f x f x <，
可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，
1ln 2x ∴>，
综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln 2,1． 又
()g x 在()ln 2,1上单调递减，
可得()()ln 2g x g >， 即2ln 2
a
． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常
化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．A
解析：A 【分析】
求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
等价于()'
211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a
时，()'0f x <，不合题意，
0a >时，只需211ax -，
即1
a
x
在[1，)+∞恒成立， 故max 1
()1a x
=，
故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】
1212
()()
1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，
由此考虑利用导数进行求解.
3．C
解析：C 【分析】
先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】
设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则0
0,
12
y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，
（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点
(,ln 3)C x x x x -，
()ln 31
ln 13ln 2x x x f x x x x k x
-+'=+-=-=-=
，
整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()2
3f x x x =+，
设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，
()2
31
23x x f x x k x
++'=+=-=
，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，
所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，
在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，
故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
4．A
解析：A 【分析】
构造函数()()x
f x x b e =+，根据()00f =求出0b =，利用导数判断函数的单调性，作
出其大致图像，令()t f x =，只需2
1016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，利用二次函数根的分布即可求解. 【详解】
由()()()()()
()()()
2
2
1x x
x
x
x
x x f x e f x e f x f x e e f x e e
f x e '-'-=-=⇒
'=⇒，
则(
)()()()1x x x
f x f x x b x x b e e e f ⎡⎤=⇒=+=+⎢
⎥⎣⎦
⇒， 由()000f b =⇒=，则()x
f x e x =⋅.
由()()1x
f x e x '=+，当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，()f x 单调递增；
当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，()f x 单调递减，
当x →-∞，()0f x <，x →+∞，()0f x >，如图所示：
令()t f x =，则2
1
016
mt t ++
=，由已知可得 21016mt t ++
=两个不同的根1t ，21,0t e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
， 令()2
116g t mt t =++，由121210010
16t t m m t t m ⎧
+=-<⎪⎪⇒>⎨
⎪⋅=>⎪⎩
， 则()210
00
,4160
11
02g e e g m e e
m ⎧⎛⎫
-> ⎪⎪⎝
⎭⎪⎛⎫⎪>⇒∈-⎨
⎪∆>⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎩. 故选：A 【点睛】
本题考查了构造函数判断函数的单调性、根据方程根的个数求参数的取值范围，考查了二次函数根的分布，此题综合性比较强，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】
设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），
∴|AB |＝211a a lna a lna +-
+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11
x
-
， ∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝
2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.
故选B ． 【点睛】
本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．
6．C
解析：C 【分析】
令()x e f x x
=，(01)x <<，()()ln 01x g x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x
的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】
令()x e f x x =，(01)x <<，则2
(1)
()0x e x f x x
-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1
201x x ，则12()()f x f x >，
故12
12
x x e e x x >，即1221x x
x e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01x
g x e x x =-<<，则11()x x
xe g x e x x
-'=-=，
令()1x h x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，
且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.
7．C
解析：C
【解析】
构造函数1
ln ,0,10y x x x y x
+='=>+
> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，
即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C
8．A
解析：A 【分析】
根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】
根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：
显然满足2
2
2
4
h r R =-，
故圆柱的体积()232
14
h r h h R h πππ=⨯=-+，
故可得()22
3,(02)4
V h h R h R ππ<'=-+<，
令()0V h '>，解得23
0h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<23
2h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫
=⎪⎪⎝⎭
.
即当h =
时，圆柱的体积最大. 故选：A . 【点睛】
本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.
9．C
解析：C 【分析】
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()f x h t =，利用导数可求
()max 27
256
h t =
，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项. 【详解】
3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，
令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()3
1h t t t =-，则()2
()4f x h t =，
又()()()()()322
131114h t t t t t t '=---=--， 若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
为增函数；
若1,14t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤
⎥⎝⎦
为减函数； 故()max 27256h t =
，故2
max 27()64
f x =，
所以max ()f x =
min ()f x =，
当且仅当1sin 4cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取最大值，当且仅当1sin 4cos x x ⎧
=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
故M ≥
M
故选：C. 【点睛】
本题考查与三角函数有关的函数的最值，注意通过换元法把与三角函数有关的函数问题转化为多项式函数，后者可以利用导数来讨论，本题属于中档题.
10．A
解析：A 【分析】
将两个函数作差，得到函数()()y f x g x =-，利用导数再求此函数的最小值，即可得到结论. 【详解】
设函数()()()2
ln 0=-=->y f x g x x x x ，
()2121
20-'∴=-=>x y x x x x
，
令0y '<，
0x
，02∴<<x ，函数在⎛ ⎝⎭上为单调减函数；
令0y '>，
0x
，2∴>x ，函数在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上为单调增函数.
x ∴=
时，函数取得极小值，也是最小值为111
ln 2222-=+.
故所求MN 的最小值即为函数2ln y x x =-的最小值11
ln 222
+.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的最值，属于中档题.
11．A
解析：A 【分析】
利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】
()21ln 2f x x x =-，()2
11x f x x x x
-'∴=-=.
当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 1
12
f x f ==-. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：
（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；
（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极
值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；
（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.
12．D
解析：D 【分析】
函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2
x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩的图象与y m =的图象有
两个不同的交点，当2x >时，()22x
x x
f x e
+=对其求导判断单调性，作出()y f x =的图象，数形结合即可求解. 【详解】
令()()0g x f x m =-=可得()f x m =，
所以函数()()g x f x m =-有两个零点等价于22,2()2,2x x x
x f x e x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+≤⎩
的图象与y m =的图
象有两个不同的交点，
当2x >时，()22x x x f x e +=，()()()
2222222x x x x
x e e x x x f x e e
+-+-'==， 当2x >时()2
20x
x f x e
-'=<，()f x 单调递减， 当2x ≤时，()2f x x =+单调递增， 所以()f x 图象如图所示：
当2x =时，()222
2228
2f e e
+⨯==，所以280x e <<， 故选：D 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、填空题
13．【分析】先求导设把问题转化为在上存在两个零点设为且再利用韦达定理求解代入整理利用二次函数求取值范围即可【详解】因为所以设因为函数在上存在两个极值点所以在上存在两个零点所以在上存在两个零点设为且所以根
解析：814,16⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
先求导，设()2
g x x ax b =++，把问题转化为()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12
,x x 且12x x ≠，再利用韦达定理求解，代入()39b a b ++，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】 因为()()2
1ln 02
f x x b x ax x =
++>， 所以()2b x ax b
f x x a x x
++'=++=，
设()2
g x x ax b =++，
因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点， 所以()f x '在()1,2上存在两个零点，
所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，
所以根据韦达定理有：1212
x x a
x x b +=-⎧⎨⋅=⎩，
故()2
3939b a b b ab b ++=++
()()2
1212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅ ()()22112233x x x x =--，
因为()11,2x ∈，
所以2
2
1
113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
， 2
22223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫
-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
，
由于12x x ≠， 所以(
)()2
211
2281334,16x x x x ⎛⎫--∈
⎪⎝⎭
. 故答案为：814,16⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.
把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.
14．0【详解】此题考查导数的应用；所以当时原函数递减当原函数递增；因为在上不单调所以在上即有减又有增所以
解析：0123t t <<<<或 【详解】
此题考查导数的应用；2343(1)(3)
()4x x x x f x x x x x -+--=-+-'=-=-
，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所
以在[]
,1t t +上即有减又有增，所以0113
{
{01231131
t t t t t t <<<<∴<<<<<+<+或或
15．（﹣∞﹣3）∪（3+∞）【分析】令当x ＞0时可得x ∈（0+∞）上函数单调递增由可得由函数是定义在R 上的奇函数可得函数是定义在R 上的偶函数进而得出不等式的解集【详解】解：令当x ＞0时∴x ∈（0+∞）上
解析：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） 【分析】
令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝，当x ＞0时，
()()0f x xf x '+>，可得
x ∈（0，
+∞）上，函数()g x 单调递增．由()30f ＝，可得()30g ＝．由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得函数()g x 是定义在R 上的偶函数．进而得出不等式的解集． 【详解】
解：令()()g x xf x =，()()()g x f x xf x ''+＝ 当x ＞0时，
()()0f x xf x '+>
∴x ∈（0，+∞）上，函数()g x 单调递增．
()30f ＝，∴()30g ＝．
∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数． 由()()03g x g >＝，即()
()3g x g ＞， ∴|x |＞3，
解得x ＞3，或x ＜﹣3．
∴不等式()0xf x ＞的解集是()(),33-，-∞⋃+∞． 故答案为：()(),33-，
-∞⋃+∞． 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞
【分析】
对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】
由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，
， 2'()+4ln ()2+4a
f x x x a x f x x x
=+⇒=+
，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.
当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a
x a x x x x
+
≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2
(24)166x x --∈--，
，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a
x a x x x x
+
≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2
(24)166x x --∈-，
，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】
本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.
17．【分析】先求得然后利用分离常数法通过构造函数法结合导数求得的取值范围【详解】由于公比为所以所以对任意的不等式恒成立即恒成立即对任意的恒成立构造函数则令解得而所以所以在上递增在上递减令所以故故答案为： 解析：34
k ≥
【分析】
先求得n T ，然后利用分离常数法，通过构造函数法，结合导数，求得k 的取值范围. 【详解】
由于14,4n
n b b ==，公比为4，所以()()141441441414
333
n n n n T +-==
-=--， 所以对任意的*n N ∈，不等式4843n T k n ⎛
⎫
+
≥- ⎪⎝⎭
恒成立， 即1
1
4843
n k n +⋅≥-恒成立，即1241263
44
n n
n n k +--≥
=对任意的*n N ∈恒成立. 构造函数()()6314x x f x x -=≥，则()()'
6ln 43ln 464
x
x f x -⋅++=， 令'
0f x
解得041
log 2
x e =
+. 而
4411log log 2122e +>+=，44113log log 4222
e +<+=， 所以012x <<.
所以()f x 在[)01,x 上递增，在()0,x +∞上递减. 令634n n
n a -=
，1239
,416
a a ==，12a a >. 所以134n a a ≤=
，故3
4k ≥. 故答案为：34
k ≥ 【点睛】
本小题主要考查等比数列前n 项和公式，考查不等式恒成立问题的求解，考查数列的单调性和最值的判断，属于难题.
18．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求
解析：2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【分析】
将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x
y x
=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】
函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点， 等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x
y x
=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln x
y x
-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln x
y x
=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln x
y x =
单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e
， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()
2
,e a e -
分别作出图象，其若要有两个交点，则2
211a e a e e e
-<
⇒<+
故答案为：2
1,e e ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.
19．【分析】利用导数得到的单调性和极值由极大值与比较得到【详解】函数所以令得所以时单调递增时单调递减所以时取极大值为因为在处取得最大值为
所以解得（舍）（舍）故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单 解析：32
-
【分析】
利用导数得到()f x 的单调性和极值，由极大值与17比较，得到()17f m = 【详解】
函数()3
2
23121x x f x x =+--，
所以()2
6612f x x x '=+-，
令()0f x '=，得2x =-，1x =，
所以(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增，
()2,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以2x =-时，()f x 取极大值，为()21917f -=>， 因为()f x 在x m =处取得最大值为17， 所以21m -<<，
()322312117f m m m m =+--=，
解得3
2
m =-
，m =m =. 故答案为：32
-. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，根据函数的最大值求自变量的值，属于中档题.
20．【分析】转化条件得有两个不同实数根令通过导数画出函数的草图后数形结合即可得解【详解】函数的定义域为函数函数有两个不同的零点即为有两个不同实数根令则当时单调递增；当时单调递减可画出函数的草图如图：由图 解析：(),0-∞
【分析】
转化条件得2ln a x x x =-+有两个不同实数根，令()2
ln g x x x x =-+，通过导数画出
函数()g x 的草图后数形结合即可得解. 【详解】
函数()f x 的定义域为()0,∞+，
∴函数()32322ln 0ln ln f x x x x x ax ax x x x x a x x x =-+-=⇔=-+⇔=-+， ∴函数()f x 有两个不同的零点即为2ln a x x x =-+有两个不同实数根，
令()2
ln g x x x x =-+，则()()()2111
21x x g x x x x
+-+'=
-+=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；
当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减.
()10g =，
∴可画出函数()g x 的草图，如图：
由图可知，要使2ln a x x x =-+有两个不同实数根，则0a <. 故答案为：(),0-∞. 【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.
三、解答题
21．（1）2；（2）()1,+∞. 【分析】
（1）利用已知条件求出切点坐标，代入到原函数即可得到m 的值；（2）利用已知条件得到cos 2sin x m x >-
，令()cos 212sin sin sin x g x x x x
=-=-，sin x t =，(]0,1t ∈，得到
()1
2g t t t
=-，求导分析函数()g t 的单调性即可得到m 的取值范围.
【详解】
（1）由题意，函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈， 且函数()f x 在2
x π=
处的切线方程为1y =，
所以该函数过点,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故cos 2sin 112222f m m m πππ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=-+=⇒=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭， 所以m 的值为2；
（2）对()0,x π∀∈，()0f x >恒成立， 即cos 2sin 0x m x +>， 所以cos 2sin x m x >-，①
又因为()0,x π∈，所以sin 0x >， 故①可化简为cos 2sin x
m x
>-
，② 令()2cos 212sin 1
2sin sin sin sin x x g x x x x x
-=-=-=-
， 再令sin x t =，则(]
0,1t ∈， 所以()12g t t t
=-，
()2
1
20g t t '=+
>， 所以()g t 在(]0,1上单调递增， 故()()max 1211g t g ==-=，
又由②式可得，当(]
0,1t ∈时，()m g t >恒成立， 所以()max 1m g t >=，
综上所述：m 的取值范围是：()1,+∞. 【点睛】
结论点睛：利用导数研究不等式恒成立问题.
（1）()f x a ≥恒成立()min f x a ⇔≥；()f x a ≥成立()max f x a ⇔≥； （2）()f x b ≤恒成立()max f x b ⇔≤；()f x b ≤成立()min f x b ⇔≤； （3）()()f x g x >恒成立，令()()()F x f x g x =-，则()min 0F x >. 22．（1）()0,∞+（2）[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥
⎝⎦
【解析】
试题分析：（1）先求原函数的导数得：f'（x ）=()
ln 2ln 21ln x x
a a x a x a a +-=+-，再
对a 进行讨论，得到f'（x ）＞0，从而函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．
（2）f （x ）的最大值减去f （x ）的最小值大于或等于e ﹣1，由单调性知，f （x ）的最大值是f （1）或f （﹣1），最小值f （0）=1，由f （1）﹣f （﹣1）的单调性，判断f （1）与f （﹣1）的大小关系，再由f （x ）的最大值减去最小值f （0）大于或等于e ﹣1求出a 的取值范围． 试题
（1）由于()()
ln 2ln 21ln 0x x
f x a a x a x a a =+'-=+->，
1° 当1,2a y x >=单调递增，ln 0a >，所以()
1ln x
y a a =-单调递增， 故()
21ln x
y x a a =+-单调递增，
∴()()
21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，
故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
2° 当01,2a y x <<=单调递增，ln 0a <，所以()
1ln x
y a a =-单调递增，故
()
21ln x y x a a =+-单调递增，
∴()()
21ln 201ln 0x x a a a a +->⨯+-=，即()()0f x f '>'，所以0x >，
故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；综上，函数()f x 的单调增区间为()0,+∞． （2）因为存在[]
12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-， 所以当[]1,1x ∈-时，()
()
()()()()()()max
min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-，
由（1）知，()f x 在[
]
10
-，上递减，在[]
0,1上递增， 所以当[]1,1x ∈-时()()
()()()
()(){}min
max
01,max 1,1f x f f x f f ===-，
而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a a a a a a ⎛⎫
--=+--++=--
⎪⎝⎭
，
记()()12ln 0g t t t t t =-->，因为()2
2121110g t t t t ⎛⎫
=+-=-≥ ⎪⎝⎭
'（当2t =时取等
号），
所以()12ln g t t t t
=--在()0,t ∈+∞上单调递增，而()10g =．
1° 当1a >时，()0g a >， ∴()()11f f >-， ∴当1a >时，()()101f f e -≥-， 即ln 1a a e -≥-，易知：ln y a a =-，在()1,a ∈+∞上递增， ∴a e ≥． 2° 当01a <<时，()0g a <， ∴()()()()1
11,101,ln 1f f f f e a e a
<---≥-+≥-， 易知1ln y a a =
+在()0,1a ∈上递减， ∴10,a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上：[)10,,a e e ⎛⎤
∈⋃+∞ ⎥⎝⎦
． 23．（1）答案见解析；（2）10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x
-'=-=，然后解不等式()0f x '<和()0f x '>即可..
（2）由()1
f x a x '=-
，当0a ≤时，()10f x a x
'=-<，()f x 单调减不成立，当0a >
时，()11a x a f x a x x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭'=-=，易得1x a
=是()f x 的极小值点，然后分1
a e ≥，1
0a e
<<
两种情况，利用零点存在定理求解. 【详解】
（1）当1a =时，由()111x f x x x
-'=-
=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；. （2）由()1
f x a x
'=-
， 若0a ≤，()1
0f x a x
'=-
<， ()f x 单调减，()f x 最多有一个零点，不合题意；
若0a >，()11a x a f x a x x
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭'=-=，
当10,
x a ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调减； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调增， 则1
x a
=
是()f x 的极小值点， （i ）若111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫
≥
⇒<≤⇒=⋅-≥-= ⎪⎝⎭
， 此时，()f x 最多有一个零点，不合题意；. （ii ）当111110ln 1ln 0a e f a e e a a a a ⎛⎫
<<
⇒>⇒=⋅-<-= ⎪⎝⎭
， 又1110f a e e
⎛⎫
=⋅+> ⎪⎝⎭
，故在11,e a ⎛⎫
⎪⎝⎭
内，()f x 有一个零点， 又∵10,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()f x 单调递减， 在10,
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点. 由（1）知，ln 1ln11x x -≥-=，等号仅当1x =时成立，
224422
22ln 2ln 2f a a a a a
a ⎛⎫⎛⎫=⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
故在214,a a ⎛⎫
⎪⎝⎭
内，()f x 有一个零点，
又∵1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()f x 单调增， 在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
内，()f x 有且只有一个零点. 所以a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查函数的单调性与导数以及函数的零点与导数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
24．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞ 【详解】
试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜
式求切线方程（2）构造函数()()
2
ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<
2
a <，1
2
a ≥
进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题
（1）根据题意可得，()2f e e
=， ()2ln 'x
f x x -=
，所以()
22ln 1'e f e e e -==-，即2
1k e =-， 所以在点()()
,e f e 处的切线方程为()221
y x e e e
-
=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()
221ln 110a x x a x f x x x x
-----=≥在1≥x 恒成立，
令()()
2
ln 1g x x a x =--，()1x ≥，
所以()1
2g x ax x
-'=
， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增， 所以()()10g x g ≥=， 所以不等式()(
)21
a x f x x
->
成立，即0a ≤符合题意；
当0a >时，令
1
20ax x
-=，解得x =1=，解得12a =，
当10<
2a <1，
所以()g x '在⎛ ⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，
所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭
上单调递减， 21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，令()1ln h a a a a =--+，
()222
111
'10a a h a a a a -+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫
<=--+=+-< ⎪
⎝⎭
， 所以存在10g a ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
， 所以1
02
a <<不符合题意；
②当12a ≥
1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，
所以()()10g x g ≤= 显然1
2
a ≥
不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤ 25．（1）见解析；（2），a e =. 【分析】 （1）求得()2
x a
f x x =
'-，分类讨论，即可求解函数的单调性； （2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]
1,e 上单调递增，分1a e <<和a e ≥两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】
（1）定义域为()0,+∞,求得()221a x a f x x x x
='-=
-, 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增 ,
当0a >时，令()0f x '=，得 x a =，所以当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]
1,e 上单调递增，所以 ()()min 12f x f a ===（舍去）,
当1a e <<时，由（1）知()f x 在[]1,a 单调递减，在[]
,a e 单调递增 所以()()min ln 12f x f a a ==+=，解得a e = （舍去）, 当a e ≥时，由（1）知()f x 在[]
1,e 单调递减， 所以()()min ln 12a a
f x f e e e e
==+=+=，解得a e = , 综上所述，a e =. 【点睛】
本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
26．（1）f (x )极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析. 【分析】 （1）当a ＝12时，f (x )＝ln x －1
2x ，求导得到f ′(x )＝1x －12＝22x x
-，然后利用极值的定义求解.
（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝
1ax
x
- (x >0)，然后分a ≤0和a >0两种情况讨论求解. 【详解】 （1）当a ＝
12时，f (x )＝ln x －1
2x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝22x x
-， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，
于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋
－
f (x )
ln 2－1
极大值（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝
1x －a ＝
1ax
x
- (x >0). 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，当x∈
1
0,
a
⎛⎫
⎪
⎝⎭
时，f′(x)>0，
当x∈
1
,
a
⎛⎫
+∞
⎪
⎝⎭
时，f′(x)<0，
故函数在x＝1
a
处有极大值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝1 a .
【点睛】
本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。