数值分析MATLAB上机实验

数值分析实习报告

姓名：gestepoA

学号：201*******

班级：***班

序言

随着计算机技术的迅速发展，数值分析在工程技术领域中的应用越来越广泛，并且成为数学与计算机之间的桥梁。要解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，不仅要研究各种数学问题的数值解法，同时也要分析所用的数值解法在理论上的合理性，如解法所产生的误差能否满足精度要求：解法是否稳定、是否收敛及熟练的速度等。而且还能减少大量的人工计算。

由于工程实际中所遇到的数学模型求解过程迭代次数很多，计算量很大，所以需要借助如MATLAB，C++，VB，JAVA的辅助软件来解决，得到一个满足误差限的解。本文所计算题目，均采用MATLAB进行编程，MATLAB被称为第四代计算机语言，利用其丰富的函数资源，使编程人员从繁琐的程序代码中解放出来MATLAB最突出的特点就是简洁，它用更直观的、符合人们思维习惯的代码。它具有以下优点：

1友好的工作平台和编程环境。MATLAB界面精致，人机交互性强，操作简单。

2简单易用的程序语言。MATLAB是一个高级的矩阵/阵列语言，包含控制语言、函数、数据结构，具有输入、输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编好一个较大的复杂的应用程序（M 文件）后再一起运行。

3强大的科学计算机数据处理能力。包含大量计算算法的集合，拥有600多个工程中要用到的数学运算函数。

4出色的图像处理功能，可以方便地输出二维图像，便于我们绘制函数图像。

目录

1 第一题 (4)

1.1 实验目的 (4)

1.2 实验原理和方法 (4)

1.3 实验结果 (5)

1.3.1 最佳平方逼近法 (5)

1.3.2 拉格朗日插值法 (7)

1.3.3 对比 (8)

2 第二题 (9)

2.1实验目的 (9)

2.2 实验原理和方法 (10)

2.3 实验结果 (10)

2.3.1 第一问 (10)

2.3.2 第二问 (11)

2.3.3 第三问 (11)

3 第三题 (12)

3.1实验目的 (12)

3.2 实验原理和方法 (12)

3.3 实验结果 (12)

4 MATLAB程序 (14)

1第一题

某过程涉及两变量x 和y ，拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的

588

719

448 721

570

234

795 743

847

392

⑴请用次数分别为3，4，5，6的多项式拟合并给出最好近似结果f(x)。 ⑵请用插值多项式给出最好近似结果。

1.1实验目的：

学习逼近和插值的原理和编程方法，由给出的已知点构造多项式，在某个范围内近似代替已知点所代表的函数，以便于简化对未知函数的各种计算。

1.2试验原理和方法：

实验原理：

拉格朗日插值法中先构造插值基础函数：l k (x )=∏x−x i

x

k −x i

n j=0j≠k

(k =0,1,2,⋯,n )，然后构

造出拉格朗日多项式：p n (x )=∑(∏x−x i

x

k −x i

n j=0j≠k

)n k=0f (x k )。

最佳平方逼近中，设逼近函数P n (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，逼近函数和真实函数之差r =P n (x )−y ，[r 1r 2⋮r n ]=[11⋮

x 1

x 2

⋮⋯⋯⋱x 1n x 2n ⋮

1x n

⋯x n

n ][a 0a

1⋮a n ]−[y 1

y 2⋮y n ]，即：r =Xa −Y ，根据最小二乘准则令∑r i 2n i=0=min ，可以得到a =(X T X )−1X T

Y 。

实验方法：

逼近法采用最佳平方逼近，依据最小二乘原则：∑r i 2

n i=0=min ，由已知条件采用离散型。插值法采用拉格朗日插值法。

在逼近法中，由于是离散型的，所以法方程系数阵设计成求和。分别求出3、4、5、6次的多项式，逼近结果和真实值有一定差距，最小二乘正是让这些差距达到最小，理论上多项式次数越高结果和真实值差距越小。

拉格朗日插值法中“la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j))”语句实现的是我们通常书写的连乘形式拉格朗日插值多项式，但是表示不方便，而如果用“s=collect(s)”函数将其展开成降幂排列多项式以后，由于余项问题结果会和原本的多项式有偏差，这种偏差随着x 的增大而增大。求出多项式后和题目中给出的参考点进行比较。

最后，选择六次最佳平方逼近多项式和拉格朗日插值多项式（九次）进行比较，选取

xi=a+ih=1+0.2*i(i=0,1,⋯,45)，分别绘制两者的图像进行比较。

1.3试验结果

1.3.1最佳平方逼近法

三次多项式：- 1.033*x^3 + 19.33*x^2 - 94.48*x + 131.8

拟合结果：

0000000000

四次多项式：- 0.3818*x^4 + 7.368*x^3 - 42.14*x^2 + 73.53*x+ 0.745

拟合结果：

y 39.121

232.080

2

10.085

2

-5.563

8

-2.730

21.560

2

61.117

2

100.588

2

115.457

2

72.045