人教版八年级数学上全等三角形专题讲解

初中数学试卷

全等三角形专题讲解

（一）知识储备

1、全等三角形的概念：

（1）能够重合的两个图形叫做全等形。

（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示：

如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2、全等三角形的性质:

全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】

如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

3、全等三角形的判定定理：

S.A.S “边角边”公理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】

A.S.A “角边角”公理：

两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】

A.A.S “角角边”公理：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】

S.S.S “边边边”公理：

三边对应相等的两个三角形全等。【例5】

H.L “斜边直角边“公理

斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】

（二）双基回眸

1、下列说法中，正确的个数是（）

①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等

③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等

A．4 B．3 C．2 D．1

2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，

∠DEF的对应角是_____．

3、如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD

＝6，AD＝4，

那么BC等于（）

A．6 B．5 C．4 D．无法确定

4、如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC

的度数

为（）

A．40°B．35°C．30°D．25°

5、能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E

B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E

C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E

6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

（三）例题经典

例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．

（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；

（2）对应边AC＝，AB= ；

（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠

ABC= ．

例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．

求证：∠D＝∠B．

例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．

例4：如图，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．

例5：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点． 求证：RM 平分∠PRQ ．

例6：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ． 求证：（1）AB ＝DC ： （2）AD ∥BC ．

例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：

如图，AB 和CD 相交于点O ，且OA ＝OB ，∠A ＝∠C 。那么△AOD 与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。 答：△AOD ≌△COB ． 证明：在△AOD 和△COB 中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A

∴ △AOD ≌△COB （ASA ）

问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

例6图

例7图

例8：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

例9：如图，AD=AE，∠1=∠2，点D、E在BC上，BD=CE。

求证：△ABD≌△ACE．

例9图

例10：如图，已知AD∥CB，AD=CB，AE=BF，

求证：（1）△AFD≌△BEC．（2）DF∥CE.

拓展变式

例1：如图, ∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移

动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C 的射

线OC 便是∠AOB 的平分线，为什么?

例2：要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，可以在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD=BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，这时测得的DE 的长就是AB 的长。写出已知和求证，并且进行证明。

实战演练 一、填空题

1、如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．

2、已知：如图，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E.欲证明BD ＝CE ，需证明Δ_____≌△______，理由为______．

3、已知：如图，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，欲证ΔACE ≌ΔDBF ，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．

第2题

第3题

第1题