高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题

★★★高考要考什么

1 圆锥曲线的最值与范围问题

(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：

①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．

②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．

③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．

④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．

(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．

(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．

(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．

(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，

通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是

均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

★★★突破重难点

【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF|

取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标

2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22

259

1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+

3．已知双曲线22

1169

x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条

4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）

A ．5

B ．4

C （

D ）115

. 5．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________2

1(，1） 例题1、若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23

＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

练习、已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .

（Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.

（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32

，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233

，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．

例题2、已知动点Q 与两定点(－2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为－12

，点Q 形成的轨迹为M . (1)求轨迹M 的方程；

(2)过点P (－2,0)的直线l 交M 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，平行于AB 的直线与M 位于x 轴上方的部分

交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作CE ，DF 垂直x 轴于E ，F 两点，求四边形CEFD 面积的最大值．

例题3、如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆

C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点

D .

(1)求椭圆C 1的方程；

(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．

【例4】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点23(,)A -，离心率为2，点12,F F 分别为其左右焦点．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若2

4y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．

,例题5，已知椭圆C ：122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

2

3，求△AOB 面积的最大值。