高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
专题圆锥曲线中的最值及范围问题
高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F （0 ，41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
练习：1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B两点，求证：22AB COS θ=-;（Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：（1）由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C的左焦点，离心率2e =设l 为椭圆的左准线。
圆锥曲线中范围与最值问题
§9.10 圆锥曲线中范围与最值问题题型一 范围问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，且短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的取值范围． 解 (1)由题意，椭圆短轴的两个端点与右焦点构成等边三角形，故c ＝3b ，a ＝b 2＋c 2＝2b ， 即椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1， 代入P ⎝⎛⎭⎫1，32， 可得b ＝1，a ＝2.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则|MA |·|MB |＝(a －1)(a ＋1)＝a 2－1＝3；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， 则Δ＝4m 2＋12(m 2＋4)＝16(m 2＋3)>0恒成立，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4， 由弦长公式可得|MA |·|MB |＝1＋m 2·|y 1|·1＋m 2·|y 2| ＝(1＋m 2)·|y 1y 2|＝3(1＋m 2)m 2＋4＝3(m 2＋4)－9m 2＋4＝3－9m 2＋4， 因为m 2＋4≥4，则0<9m 2＋4≤94， 所以34≤3－9m 2＋4<3. 综上所述，|MA |·|MB |的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，3. 教师备选(2022·武汉调研)过双曲线Γ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ，B 两点，设Γ的右焦点为F 2.(1)若△ABF 2可以是边长为4的正三角形，求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ，使得AF 2⊥BF 2，求Γ的离心率的取值范围．解 (1)依题意得|AF 1|＝2，|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.∴2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2，a ＝1，2c ＝|F 1F 2|＝23，c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝2，此时Γ的标准方程为x 2－y 22＝1. (2)设l 的方程为x ＝my －c ，与x 2a 2－y 2b2＝1联立， 得(b 2m 2－a 2)y 2－2b 2cmy ＋b 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2b 2cm b 2m 2－a 2，y 1y 2＝b 4b 2m 2－a2， 由AF 2⊥BF 2，F 2A —→·F 2B —→＝0，(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0，(my 1－2c )(my 2－2c )＋y 1y 2＝0⇒(m 2＋1)b 4－4m 2c 2b 2＋4c 2(b 2m 2－a 2)＝0⇒(m 2＋1)b 4＝4a 2c 2⇒(m 2＋1)＝4a 2c 2b 4≥1 ⇒4a 2c 2≥(c 2－a 2)2，∴c 4＋a 4－6a 2c 2≤0⇒e 4－6e 2＋1≤0，又∵e >1，∴1<e 2≤3＋22，∴1<e ≤1＋2，又A ，B 在左支且l 过F 1，∴y 1y 2<0，b 4b 2m 2－a 2<0⇒m 2<a 2b 2⇒m 2＋1＝4a 2c 2b 4<a 2b 2＋1， ∴4a 2<b 2＝c 2－a 2⇒e 2>5. 综上所述，5<e ≤1＋ 2.思维升华 圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．跟踪训练1 从抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)和椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上各取两点，将其坐标记录于下表中：(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)抛物线C 1和椭圆C 2的交点记为A ，B ，点M 为椭圆上任意一点，求MA →·MB →的取值范围．解 (1)∵C 1：x 2＝2py (p >0)，当y ≠0时，x 2y＝2p ， 根据表格的数据验证，可知⎝⎛⎭⎫－3，94，⎝⎛⎭⎫1，14满足方程x 2＝2py ， 解得p ＝2，得抛物线C 1的方程为x 2＝4y .将(0，2)，⎝⎛⎭⎫5，32代入椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)可得a 2＝8，b 2＝2， 即椭圆C 2的方程为x 28＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4y ，x 2＋4y 2－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 1＝1，不妨令A (－2,1)，B (2,1)． 设M (x 0，y 0)是C 2：x 28＋y 22＝1上的动点， 则x 20＝8－4y 20≥0.即得－2≤y 0≤ 2.于是有MA →·MB →＝(－2－x 0,1－y 0)·(2－x 0,1－y 0)＝x 20＋y 20－2y 0－3 ＝－3y 20－2y 0＋5＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163. ∵－2≤y 0≤ 2.即－1－22≤－3⎝⎛⎭⎫y 0＋132＋163≤163. 于是－1－22≤MA →·MB →≤163. 故MA →·MB →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1－22，163. 题型二 最值问题例2 (2022·金昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A ⎝⎛⎭⎫－1，22，短轴长为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点(0,2)的直线l (直线l 不与x 轴垂直)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且O 为坐标原点．求△MON 的面积的最大值．解 (1)依题意得(－1)2a 2＋⎝⎛⎭⎫222b 2＝1，而b ＝1， 则1a 2＋12＝1⇒1a 2＝1－12＝12⇒a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为直线l 不与x 轴垂直，则l 的斜率k 存在，l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0，因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，则有Δ＝(8k )2－4·(2k 2＋1)·6＝16k 2－24>0⇒k 2>32， 即k <－62或k >62， 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1， x 1x 2＝62k 2＋1， 所以|MN |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2k 2＋12－4·62k 2＋1＝1＋k 2·8(2k 2－3)(2k 2＋1)2＝1＋k 2·22·2k 2－32k 2＋1， 而原点O 到直线l ：kx －y ＋2＝0的距离d ＝2k 2＋1，△MON 的面积S ＝12·|MN |·d ＝12·1＋k 2·22·2k 2－32k 2＋1·2k 2＋1＝22·2k 2－32k 2＋1，令t ＝2k 2－3⇒2k 2＝t 2＋3(t >0)，S ＝22t t 2＋4＝22t ＋4t， 因为t ＋4t ≥2t ·4t＝4， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取“＝”，此时k 2＝72， 即k ＝±142，符合要求， 从而有S ≤224＝22， 故当k ＝±142时， △MON 的面积的最大值为22. 教师备选(2022·厦门模拟)设椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，点A ，B ，C 分别为Γ的上、左、右顶点，且|BC |＝4.(1)求Γ的标准方程；(2)点D 为直线AB 上的动点，过点D 作l ∥AC ，设l 与Γ的交点为P ，Q ，求|PD |·|QD |的最大值．解 (1)由题意得2a ＝|BC |＝4，解得a ＝2.又因为e ＝c a ＝32，所以c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝1.所求Γ的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)方法一 由(1)可得A (0,1)，B (－2,0)，C (2,0)，则k AC ＝－12， 直线AB 的方程为x －2y ＋2＝0，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋λ. 联立⎩⎨⎧ y ＝－12x ＋λ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得，x 2－2λx ＋2λ2－2＝0.①由Δ>0，得－2<λ<2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋λ，x －2y ＋2＝0，解得D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫λ－1，λ＋12， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由①知⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2λ，x 1x 2＝2λ2－2，② 又|PD |＝52|x 1－(λ－1)|， |QD |＝52|x 2－(λ－1)|， 所以|PD |·|QD |＝54|x 1x 2－(λ－1)(x 1＋x 2)＋(λ－1)2|，③ 将②代入③，得|PD |·|QD |＝54|λ2－1| ，λ∈(－2，2)， 所以当λ＝0时，|PD |·|QD |有最大值54.方法二 设AD →＝λAB →＝λ(－2，－1)＝(－2λ，－λ)，则D (－2λ，1－λ)，由点斜式，可得直线l 的方程为y －(1－λ)＝－12(x ＋2λ)， 即y ＝－12x －2λ＋1. 联立⎩⎨⎧ y ＝－12x －2λ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2＋(4λ－2)x ＋8λ2－8λ＝0，①由Δ＝(4λ－2)2－4×(8λ2－8λ)>0， 解得1－22<λ<1＋22， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由①得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2－4λ，x 1x 2＝8λ2－8λ，② 由题意可知|PD |＝52|x 1＋2λ|， |QD |＝52|x 2＋2λ|， 所以|PD |·|QD |＝54|x 1x 2＋2λ(x 1＋x 2)＋4λ2|，③ 将②代入③得|PD |·|QD |＝54|4λ2－4λ| ＝5|λ2－λ|，当λ＝12时，|PD |·|QD |有最大值54. 思维升华 圆锥曲线中最值的求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练2 如图所示，点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解 (1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，∵P A ⊥PF ，∴AP →·FP →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，可得2x 2＋9x －18＝0，得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，故x ＝32，于是y ＝532. ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，532. (2)由(1)可得直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，点B (6,0)．设点M 的坐标是(m ，0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|， 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.由椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ， 得d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15， 由于－6≤x ≤6，由f (x )＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15的图象(图略)可知， 当x ＝92时，d 取最小值，且最小值为15. 课时精练1．已知双曲线C 的焦点F (3，0)，双曲线C 上一点B 到F 的最短距离为3－ 2.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程； (2)已知点M (0,1)，设P 是双曲线C 上的点，Q 是P 关于原点的对称点．设λ＝MP →·MQ →，求λ的取值范围． 解 (1)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线C 的焦点F (3，0)，双曲线C 上一点B 到F 的最短距离为3－2，∴c ＝3，c －a ＝3－2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝(3)2－(2)2＝1，则双曲线的方程为x 22－y 2＝1， 渐近线方程为y ＝±22x . (2)设P 点坐标为(x 0，y 0)，则Q 点坐标为(－x 0，－y 0)，∴λ＝MP →·MQ →＝(x 0，y 0－1)·(－x 0，－y 0－1)＝－x 20－y 20＋1＝－32x 20＋2. ∵|x 0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．2．(2022·阳泉模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，P 是椭圆C 上的一个动点，当P 是椭圆C 的上顶点时，△F 1PF 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率存在的直线PF 2，与椭圆C 的另一个交点为Q .若存在T (t ，0)，使得|TP |＝|TQ |，求t 的取值范围．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，12·b ·2c ＝1，b 2＋c 2＝a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1，c ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)，直线PF 2的斜率为k ， 由(1)设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)．当k ＝0时，t ＝0符合题意；当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴Δ＝16k 4－4(1＋2k 2)(2k 2－2)＝8k 2＋8>0，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2， y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2， 即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.∵|TP |＝|TQ |，∴直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，∴TN ⊥PQ ，即k TN ·k ＝－1. ∴－k 1＋2k 22k 21＋2k 2－t ·k ＝－1， ∴t ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2. ∵k 2>0，∴1k 2>0 ,2＋1k2>2， ∴0<12＋1k 2<12， 即t ∈⎣⎡⎭⎫0，12.3．(2021·北京)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A (0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 5. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点P (0，－3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y ＝－3于点M ，N ，若|PM |＋|PN |≤15，求k 的取值范围．解 (1)因为椭圆过A (0，－2)，故b ＝2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b ＝45，即a ＝5， 故椭圆的标准方程为x 25＋y 24＝1. (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB ：y ＝y 1＋2x 1x －2，令y ＝－3，则x M ＝－x 1y 1＋2， 同理x N ＝－x 2y 2＋2. 直线BC ：y ＝kx －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，4x 2＋5y 2＝20，可得(4＋5k 2)x 2－30kx ＋25＝0，故Δ＝900k 2－100(4＋5k 2)>0，解得k <－1或k >1.又x 1＋x 2＝30k 4＋5k 2，x 1x 2＝254＋5k 2， 故x 1x 2>0，所以x M x N >0.又|PM |＋|PN |＝|x M ＋x N | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1y 1＋2＋x 2y 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1－1＋x 2kx 2－1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2kx 1x 2－(x 1＋x 2)k 2x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪50k4＋5k 2－30k4＋5k 225k 24＋5k 2－30k 24＋5k 2＋1＝5|k |， 故5|k |≤15，即|k |≤3，综上，－3≤k <－1或1<k ≤3.4．(2022·德州模拟)已知抛物线E ：x 2＝－2y ，过抛物线上第四象限的点A 作抛物线的切线，与x 轴交于点M .过M 作OA 的垂线，交抛物线于B ，C 两点，交OA 于点D .(1)求证：直线BC 过定点；(2)若MB →·MC →≥2，求|AD |·|AO |的最小值．(1)证明 由题意知，抛物线E ：x 2＝－2y ，则y ＝－12x 2，可得y ′＝－x ， 设A (2t ，－2t 2)(t >0)，则k AM ＝－2t ，所以l AM ：y ＋2t 2＝－2t (x －2t )，即y ＝－2tx ＋2t 2，所以M (t ，0)，又k OA ＝－2t 22t ＝－t ，所以k BC ＝1t， 所以l BC ：y －0＝1t (x －t )，即y ＝1tx －1， 所以直线BC 过定点(0，－1)．(2)解 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1t x －1，x 2＝－2y ，整理得x 2＋2tx －2＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2t，x 1x 2＝－2， 则MB →·MC →＝(x 1－t ，y 1)·(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t )(x 2－t )＋y 1y 2＝x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2＋14x 21x 22＝1＋t 2≥2， 所以t 2≥1，又由|AD |＝⎪⎪⎪⎪1t ·2t ＋2t 2－11＋1t 2＝2t 2＋1t 2＋1·t ， |AO |＝(2t )2＋(－2t 2)2＝2t 1＋t 2， 所以|AD |·|AO |＝2t 2＋1t 2＋1·t ·2t ·1＋t 2 ＝⎝⎛⎭⎫2t 2＋122－14， 因为2t 2≥2，所以当2t 2＝2，即t ＝1时， |AD |·|AO |的最小值是6.。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题
高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c别离表示椭圆核心到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中极点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，经常使用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，经常使用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或依照平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处置．(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论经常使用以下方式解决：（1）结合概念利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的转变范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示那个函数，通过讨论函数的值域来求参数的转变范围。
（4）利用代数大体不等式。
代数大体不等式的应用，往往需要制造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个一起特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮忙求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
专题---圆锥曲线中的最值与范围问题
高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。
解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。
以下从五个方面予以阐述。
一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2的一条弦，假设AB=4，那么AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ，解析：抛物线y=x 2的焦点为F 〔0 ，41〕，准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=41-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，那么所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +43≥21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值411， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。
练习：1、(2021海南、宁夏理)点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为〔 A 〕A. 〔41，－1〕 B. 〔41，1〕 C. 〔1，2〕 D. 〔1，－2〕2、〔2021安徽文〕设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：2422AB COS θ=-;〔Ⅲ〕过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解 ：〔1〕由题意得：2222222844c a a c b a b c=⎧⎪⎧=⎪⎪=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=+⎩∴ ∴椭圆C 的方程为22184x y += (2)方法一：由〔1〕知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率22e =设l 为椭圆的左准线。
第1部分 板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)
第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)热点一 最值问题求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.例1 (2019·邯郸模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为E 上的一个动点，且|PF 2|的最大值为2＋3，E 的离心率与椭圆Ω：x 22＋y 28＝1的离心率相等.(1)求E 的方程；(2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值.跟踪演练1 (2019·焦作模拟)已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，点A ⎝⎛⎭⎫1，12，B (1,2). (1)若直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率； (2)若直线l 2：y ＝2x ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的面积的最大值.圆锥曲线的范围问题的常见解法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.例2 (2019·江西九校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，A ，B ，C 是椭圆上任意三点，A ，B 关于原点对称且满足k AC ·k BC ＝－12.(1)求椭圆E 的方程；(2)若斜率为k 的直线与圆：x 2＋y 2＝1相切，与椭圆E 相交于不同的两点P ，Q ，求|PQ |≥435时，k 的取值范围.跟踪演练2 (2019·合肥质检)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点M (m ,9)到其焦点F 的距离为10.(1)求抛物线C 的方程；(2)设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，求|AP |·|BQ |的取值范围.圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.例3 (2019·南开模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A ，B ，过F 与l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C ，D ，与l 3：x ＝4交于P ，求证：直线P A ，PF ，PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列.跟踪演练3 (2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为F (1,0)，且点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线x ＝4于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上.真题体验(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值.押题预测已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (2a ，3)，F 1，F 2分别是椭圆W 的左、右焦点，△PF 1F 2为等腰三角形. (1)求椭圆W 的方程；(2)过左焦点F 1作直线l 1交椭圆于A ，B 两点，其中A (0,1)，另一条过F 1的直线l 2交椭圆于C ，D 两点(不与A ，B 重合)，且D 点不与点(0，－1)重合.过F 1作x 轴的垂线分别交直线AD ，BC 于E ，G . ①求B 点坐标； ②求证：|EF 1|＝|F 1G |.A 组 专题通关1.(2019·吉林调研)已知A ，B 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点，|AB |＝2，且离心率为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)若点P (x 0，y 0)(x 0≠0)为直线y ＝2上任意一点，P A ，PB 交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点(－3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM →·ON →的取值范围.3.(2019·恩施州质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线L ：x ＝－1与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点. (1)求抛物线C 的方程；(2)点A 关于x 轴的对称点为D ，证明：存在实数t ∈(0,1)，使得KF →＝tKB →＋(1－t )KD →.B 组 能力提高4.(2019·泰安质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点⎝⎛⎭⎫－22，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (－2,0)且不与x 轴重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过右焦点F 的直线AF ，BF 分别交椭圆C 于点M ，N ，设AF →＝αFM →，BF →＝βFN →，α，β∈R ，求α＋β的取值范围.5.(2019·六安模拟)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其中长轴长是短轴长的2倍，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 是椭圆E 上动点，且横坐标大于2，点B ，C 在y 轴上，(x －1)2＋y 2＝1内切于△PBC ，试判断点P 的横坐标为何值时△PBC 的面积S 最小.。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
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高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考要考什么
1 圆锥曲线的最值与范围问题
(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：
①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．
②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．
③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．
④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．
(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．
(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．
(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．
(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，
通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是
均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于：
①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；
（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
★★★突破重难点
【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF|
取得最小值，求点P 的坐标。
若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标
2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22
259
1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+
3．已知双曲线22
1169
x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）
A ．5
B ．4
C （
D ）115
. 5．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________2
1(，1） 例题1、若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
练习、已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W .
（Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.
（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233
，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
例题2、已知动点Q 与两定点(－2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为－12
，点Q 形成的轨迹为M . (1)求轨迹M 的方程；
(2)过点P (－2,0)的直线l 交M 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，平行于AB 的直线与M 位于x 轴上方的部分
交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作CE ，DF 垂直x 轴于E ，F 两点，求四边形CEFD 面积的最大值．
例题3、如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆
C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点
D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
【例4】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点23(,)A -，离心率为2，点12,F F 分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若2
4y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．
,例题5，已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为
2
3，求△AOB 面积的最大值。
,例题6已知椭圆2
2:12
x E y +=的右焦点为F ，过F 作互相垂直的两条直线分别与E 相交于,A C 和,B D 四点.（1）四边形ABCD 能否成为平行四边形，请说明理由；（2）求四边形ABCD 面积的最小值.
例7、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23
，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．
,例题8如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12
，其左焦点到点P (2,1)的距离为10，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程
考点2 范围、最值问题与平面向量的交汇
【例9】设F 1，F 2分别是椭圆x 24
＋y 2
＝1的左、右焦点． (1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→的最大值和最小值；
(2)设过定点M (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率的取值范围．
【例10】已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，其右焦点()1,0F ，离心率为2． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点不在圆2259
x y +=内， 求m 的取值范围．。