人教版数学九年级上册2211二次函数概念共22张
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数学人教版九年级上册22.1.1二次函数概念
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。 解：由题意得： Y=x(40-2x)
即：Y=-2x2+40x (0<x<20) 当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12 ＝192（m2）
1 m n ( n 1) 2
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛.比赛的场数m与球队n有什么关系？
即:
1 2 1 m n n 2 2
此式表示了比赛场数m与 球队个数n之间的关系, 对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
m 2 2
小结：二次函数 2 a 0) 定义：二次函数 y ax bx c(a, b, c是常数，
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。
（2）a,b,c为常数，a≠0
（3）等式右边最高次数为2，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项
(4)x的取值范围是任意实数
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)² +1
(3) s=3－2t² 1 __ (5)y= －x x²
(2) y=(x+3)² －x²
(6) v=8π r²
解: (1) y =3(x2-2x+1)+1 (4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2 =3x2-6x+3+1
数学人教版九年级上册22.1.1二次函数.1.1二次函数的概念
一次函数 正比例函数
y=kx (k≠0) 函 数
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方
体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式 为 y=6x . 2
问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场
比赛，要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队 对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所 以比赛的场次数
即
1 m n n 1 2
1 2 1 m n n 2 2
问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
（3） y=x(1+x)
例 ： 若 函 数 y ( m 1 ) x 是 二 次 函 数 ，
2
2 mm
求 m 的 取 值 范 围 。 2 m m 2 解：由题意得： 2 m 1 0
或 m 1 m 2 m 1
m 的 取 值 范 围 是 m 2
温故知新
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫做x的函数。
y=kx+b (k≠0) 变 量 之 间 的 关 系
(3)s=3-2t² 1 __ (5)y= x²
(4)y=(x+3)² -x²
(6)v=10 r²
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
y=kx (k≠0) 函 数
问题1：正方体六个面是全等的正方形，设正方
体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式 为 y=6x . 2
问题２：n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场
比赛，要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队 对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所 以比赛的场次数
即
1 m n n 1 2
1 2 1 m n n 2 2
问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
（3） y=x(1+x)
例 ： 若 函 数 y ( m 1 ) x 是 二 次 函 数 ，
2
2 mm
求 m 的 取 值 范 围 。 2 m m 2 解：由题意得： 2 m 1 0
或 m 1 m 2 m 1
m 的 取 值 范 围 是 m 2
温故知新
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。 对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫做x的函数。
y=kx+b (k≠0) 变 量 之 间 的 关 系
(3)s=3-2t² 1 __ (5)y= x²
(4)y=(x+3)² -x²
(6)v=10 r²
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
人教版初中数学九级上册第二十二章221二次函数的图象和性质2(共20张PPT)
大,当
时,y随x的增X大>而0 减小.
2.抛物线y=ax2+c与y=4x2的形状,大小，开口方向都相同，且顶点坐标是（0，-
4），则解析式______;它是由抛物y线=4yx=24-4x2向___平移____个单位长度得下到的。
3.若抛物4 线y=ax2+c经过点（-1,0），则与x轴的另一个交点坐标是_____.
a＞0 a＜0
函数最值
a＞0 a＜0
函数的增减性
a＞0
a＜0
y = ax2+k ﹙a≠0)
抛 物 向向 线 上下
对称轴左 对称轴左
最
最
侧y随x增 侧y随x增
最小， 最大， 大而减小， 大而增大，
X=0 （0，k） 低 高 y=k
y=k
对称轴右 对称轴右 侧y随x增 侧y随x增
大而增大； 大而减小.
活动五 比较异同
y=0
侧y随x增 侧y随x增 大而减小， 大而增大，
X=0
（0，k）
低
高
最小， y=k
对称轴右
最大，
侧y随x增 大而增大；
y=k
对称轴右
侧y随x增
大而减小.
活动六
探究a>0时y=ax2与y=ax2+k 图象间的联系
从数的角度探究
解析式
y=2x2-1 -1 y=2x2
+1 y=2x2+1
点的坐标
(x, 2x2-1)
y=ax2 +k逆向等距离平移可得y=ax2
y1
1 x2 3
2
y
2
x
0
2
y2
1 3
x
2
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
上册二次函数的相关概念人教版九年级数学全一册完美课件
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
•
6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
•
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
非负数； (4)实际问题的函数关系，自变量的取值还要符合实际意义．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
3.(1)函数 y＝x2－5x，自变量 x 的取值范围是 全体实数 ； (2)函数 y＝x－2 1，自变量 x 的取值范围是 x≠1 ； (3)函数 y＝ x＋2，自变量 x 的取值范围是 x≥－2 .
•
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
•
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
上册二次函数的相关概念人教版九年级数学全一册课件
y＝－2x2＋20x(1≤x＜10)
小结：根据实际问题及限定条件列不等式(组)求取值范围.
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
★10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝ 24 mm.动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移 动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如 果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何 变化？写出函数关系式及t的取值范围．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
4.圆的面积 S(cm2)与圆的半径 r(cm)的函数关系式为 S＝πr2， 自变量 r 的取值范围是 r＞0 .
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
9.矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． (1)y＝x2＋2x(x＞0) (2)15
小结：根据实际问题及限定条件列不等式(组)求取值范围.
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
★10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 mm，BC＝ 24 mm.动点P从点A开始沿边AC向点C以2 mm/s的速度移 动；动点Q从点C开始沿边CB向点B以4 mm/s的速度移动．如 果P，Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何 变化？写出函数关系式及t的取值范围．
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
4.圆的面积 S(cm2)与圆的半径 r(cm)的函数关系式为 S＝πr2， 自变量 r 的取值范围是 r＞0 .
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
知识点二：函数自变量的取值范围 (1)函数关系式是整式，自变量的取值范围是 任意实数； (2)函数关系式是分式，自变量的取值应使得分母 不等于0； (3)函数关系式是二次根式，自变量的取值应使得被开方数为
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
上册第22章 第1课时 二次函数的相关概念 -2020秋人教版九年级数学全一册课件( 共17张P PT)
9.矩形的长比宽长2 cm，设它的宽为x(cm)，它的面积为 y(cm2)． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x＝3时，求y的值． (1)y＝x2＋2x(x＞0) (2)15
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共36张PPT)
解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB∴=12, ∴PB=12-2t,
∴S
=
1 2
PB
BQ
=
1 2
(12
-
2
t)
4t＝-
4
t2+
24
t
.
t的取值范围为0≤t≤6.
课堂小结 1.二次函数的概念是什么？ 2.辨析二次函数时应注意哪些问题？
作业 1.（必做）课本41页第1、2题
2.（选做）课本42页第12题
形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
一次项
问题：
?
a，b，c为常数，a≠0
学以致用 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项。
二次项
常数项
注意：
（1）a,b,c 为常数，且a ≠ 0，但b、c可以取0
（2）各项均为整式.
（3）自变量的最高次数是2，取值范围是全体实数.
考查角度一 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
①y= 2x2 2 √
③y x2(1 x2) 1 ×
经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时 间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
∵AB∴=12, ∴PB=12-2t,
∴S
=
1 2
PB
BQ
=
1 2
(12
-
2
t)
4t＝-
4
t2+
24
t
.
t的取值范围为0≤t≤6.
课堂小结 1.二次函数的概念是什么？ 2.辨析二次函数时应注意哪些问题？
作业 1.（必做）课本41页第1、2题
2.（选做）课本42页第12题
形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分 别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次项
常数项
一次项
问题：
?
a，b，c为常数，a≠0
学以致用 判断依据： y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
1.下列函数,哪些是二次函数，哪些不是？
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和
常数项。
二次项
常数项
注意：
（1）a,b,c 为常数，且a ≠ 0，但b、c可以取0
（2）各项均为整式.
（3）自变量的最高次数是2，取值范围是全体实数.
考查角度一 二次函数的识别 下列函数中是二次函数的有 ①⑤ 。
①y= 2x2 2 √
③y x2(1 x2) 1 ×
经过12s汽车行驶了多远？行驶380m需要多少时 间？
知识点2 根据具体问题确定二次函数解析式
例2 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场
地，场地面积 S(m²)与矩形一边长a(m)
之间的关系是什么？是哪种函数关系？
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章2211二次函数共26张
1．由实际生活引入二次函数
喷泉(1)
课件说明
? 本课是在已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
? 学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
? 学习重点： 理解二次函数的定义．
你知道吗？
函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
解：由题意得：
(0<x<20)
x m
y m2
x m
（40-2x ）m
①∵2m+n=2 ②∵2m+n=2 ③∵2m+n=2 ④∵ m-n=2 ⑤ ∵ m-n=2
m-n=2 m-n=1
m-n=0
2m+n=1 2m+n=0
∴ m=4/3 ∴ m=1
n=-2/3
n=0
∴ m=2/3 n=2/3
∴ m=1 n=-1
（3）
这些函数有什 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别么说共出同哪点些？ 是常数、自变量和函数．
函数解析式
自变量 函数
y=6x2
x
y
n
d
x
y
这些函数 自变量的最高次项都是 二次的！
函数（1）（2）（3）有什么共同 点？
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 的函数，叫做 二次函数 .
(1) y=3(x-1)2+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t2
(4) y=(x+3)2-x2
(5)y= _1x_2-x
喷泉(1)
课件说明
? 本课是在已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
? 学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
? 学习重点： 理解二次函数的定义．
你知道吗？
函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
解：由题意得：
(0<x<20)
x m
y m2
x m
（40-2x ）m
①∵2m+n=2 ②∵2m+n=2 ③∵2m+n=2 ④∵ m-n=2 ⑤ ∵ m-n=2
m-n=2 m-n=1
m-n=0
2m+n=1 2m+n=0
∴ m=4/3 ∴ m=1
n=-2/3
n=0
∴ m=2/3 n=2/3
∴ m=1 n=-1
（3）
这些函数有什 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别么说共出同哪点些？ 是常数、自变量和函数．
函数解析式
自变量 函数
y=6x2
x
y
n
d
x
y
这些函数 自变量的最高次项都是 二次的！
函数（1）（2）（3）有什么共同 点？
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 的函数，叫做 二次函数 .
(1) y=3(x-1)2+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t2
(4) y=(x+3)2-x2
(5)y= _1x_2-x
人教版九年级数学上册全套PPT课件汇总--第22章 二次函数
问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计 划今后两年增加产量．如果每年都比上一年 的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量 y与x之间的关系应怎样表示？
一年后的产量20(1＋x) 两年后的产量y＝20(1＋x)2， 即y＝20x2＋40x＋20.
观察上面三个问题中的关系式，你发现 它们之间的共同点了吗？
(5) y＝x2＋1 ； x
1 不是整式，∴不是 x
(6) y＝(2x+1)2－6x；
整理得y＝4x2－2x＋1，∴是 (7) y＝π2＋3x ；
π2 是常数项，自变量最高次是1次，∴不是
(8) y = -1- 3x2. 自变量最高次是2次，∴是
函数
二次项系数 一次项系数 常数项
(2) y＝－5x2
例题与练习
例1 判断下列函数中哪些是二次函数？若是二次函 数，请指出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) y＝2x－3； 自变量的最高次数是1，∴不是
(2) y＝－5x2； 自变量的最高次数是2，∴是
(3) y＝7a3＋2a2； 自变量的最高次数是3，∴不是
(4) y＝ax2；
a≠0时才是二次函数，∴不是
y1 y2 y3.
三、课堂例题
例
3
已知抛物线
y
ax2 (a
0)
过
A(2,
y1) ，B(
3 2
,
y2 )和
C(1, y3) ，则y1 、y2 和 y3 的大小关系是_y_1___y_2 __y_3_.
A
y
y1
B
y2
y3
y ax2(a 0)
C
y ax2(a 0) 图象上的 点到对称轴（y轴）的距 离越远，纵坐标越大.
《二次函数》PPT优秀课件
说一说以上二次函数解析式的各项系数.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
链接中考
1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ C ）
A.y=3x-1 C.s=2t2-2t+1
B.y=ax2+bx+c
D.y=x2+
1
2
x
链接中考
2.已知函数 y=（m²﹣m）x²+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2﹣m=0，
探究新知
素养考点 1 二次函数的识别
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ .
①√ y= 2x2 2
×③y x2(1 x2 ) 1
最高次数是4
⑤√ y=x( x 1)
×②y 2x2 x(1 2x) a=0
×④y
1 x2
x2
√⑥y
x4 x2 x2 1
=x2
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数 解析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数 是否是二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1 正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都 有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表 示为 y=6x2①.
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的 步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代 数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
人教版初中数学2021课标版九年级上册第二十二章二次函数的图象和性质(共22张PPT)
人教版初中数学2021课 标版九年级上册第二十 二章二次函数的图象和
性质(共22张PPT)
人教版 九年级 上册
2Байду номын сангаас.1.3
顶点 (0,0)
顶点 (0,0)
向下平移 1个单位
向下平移 1个单位
顶点(0, 1)
向右平移 2个单位
向右平移 顶点(2, 0) 2个单位
平移方法1: 向下平移 1个单位
y
3
A 2
1
O
B(1，3)
C(3,0)
123 x
y B(1，3)
3 A 2
1
C(3,0)
O 123 x
上下平 移
左右平 移
y = ax 2 + k 上下平移 y = ax2
y = a( x - h )2
左右平移
6.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安
装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头
,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平
距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地
处离池中心3m,水管应多长?
向右平移 2个单位
顶 (平0,点 移0)方法2向:1个下单平位移 向右平移 2个单位
顶点(0, 1)
向右平移 2个单位 顶点(2,-
1)
向下平移 1个单位
顶点 (0,0)
向右平移 2个单位
顶点(2, 0)
向下平移 1个单位
顶点(2,1)
各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
性质(共22张PPT)
人教版 九年级 上册
2Байду номын сангаас.1.3
顶点 (0,0)
顶点 (0,0)
向下平移 1个单位
向下平移 1个单位
顶点(0, 1)
向右平移 2个单位
向右平移 顶点(2, 0) 2个单位
平移方法1: 向下平移 1个单位
y
3
A 2
1
O
B(1，3)
C(3,0)
123 x
y B(1，3)
3 A 2
1
C(3,0)
O 123 x
上下平 移
左右平 移
y = ax 2 + k 上下平移 y = ax2
y = a( x - h )2
左右平移
6.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安
装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头
,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平
距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地
处离池中心3m,水管应多长?
向右平移 2个单位
顶 (平0,点 移0)方法2向:1个下单平位移 向右平移 2个单位
顶点(0, 1)
向右平移 2个单位 顶点(2,-
1)
向下平移 1个单位
顶点 (0,0)
向右平移 2个单位
顶点(2, 0)
向下平移 1个单位
顶点(2,1)
各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
人教版数学九年级上册第二十二章二次函数课件22.1.1二次函数(共32张ppt)
∴点P(2
020a,2
020-a)的坐标为
2
1 020
,2
020,∴点P关于y轴的对称点是 -
2
1 020
,2
020
.
故选B.
3.(2019湖北荆门沙洋期中)如图,用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园ABCD,墙长为18 m,设AD的长为x m,菜园ABCD的面积为y m2,则y关于自变量x
资源拓展
1.(2020广东阳江江城期中,4,★★☆)对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的
是( )
A.y=mx2+3x-1
B.y=(m-1)x2
C.y=(m-1)2x2
D.y=(-m2-1)x2
答案 D 选项A,当m=0时,不是二次函数;选项B,当m=1时,m-1=0,不是二次函数; 选项C,当m=1时,(m-1)2=0,不是二次函数;选项D,当m取任意实数时,-m2-1≠0,是二次 函数.故选D.
2.函数y=(a-1) xa21+x-3是二次函数时,点P(2 020a,2 020-a)关于y轴的对称点是 ( )
A.
2
1 020
,2
020
C.
2
1 020
,-2
020
B.
-
2
1 020
,2
020
D.(2 019,2 020)
答案 B ∵y=(a-1)xa21 +x-3是二次函数,∴a2+1=2且a-1≠0,解得a=-1,
人均可支配收入为y万元,平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为
x,则y与x之间的函数表达式是
.
答案 y=0.75(1+x)2
人教版数学九年级上册22.1.1二次函数 课件(共22张PPT)
课后拓展延伸 某广告公司设计一幅周长为14m的矩形广告牌，广告设
计费为每平方米800元，设矩形－边长为x（m） ，面积 为S(m2)．
（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取 值范围
（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．
板书
课题： 22.1.1二次函数
思考：仅仅是X的指数等于2就可以了吗？
结论：既要满足X的指数要等于2， 同时也要满足二次项系数a≠0.
（五）课堂小结
1、这节课我有什么收获？还有什么困惑？
2、我最感兴趣的地方是
；
3、我想进一步研究的问题是
。
作业 A组：
1、下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A、xy+x2=1 B、x2+y-2=0 C、y2-ax=-2 D、x2-y2+1=0
（2）在半径为5cm的圆面上，从中挖去一个半径为xcm的圆面，
剩下的圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为
。
（3）正方体的棱长是x，表面积是y，写出y关于x的函数关系式
为
。
1、以小组为单位在对预习情况和预习检测结果 汇报；主要讨论交流课本中问题1、问题2，并 讨论相互解决存在问题。
2、对出现的共同性问题、预设问题组织研讨。
问题：将二次函数y=-2(x+3)2-6化成一般形式， 并指出 a、b、c的值。
归纳总结：
一般地，形如
(其中a,b,c是常数，
a
0
，c是
。
思考：判断一个函数是二次函数的关键是什么？
a ≠0
在y=ax2+bx+c (a ≠0)中当b=0或c=0的时候，它还是 二次函数吗？
2021人教版九年级数学(上)第22章 二次函数y=ax2的图象和性质(21张PPT)
y x2
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3)连线
y 1
函数y=-
1 2
x2,y=-2x2的图像
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5
x
与函数y=－x2(图中虚线图形)
-2
的图像相比,有什么共同点和不
-3 -4
同点?
-5
-6
-7
-8
y 1 x2
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
对称轴、顶点、最低点、最高点
顶点都是原点(0,0)
在同一直角坐标系中画出函数y=－21 x2和y=－2x2的图像
解:(1)列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)描点
y=
-
1 2
x2 …
-8 -4.5 -2 -0.5
0 -0.5 -2 -4.5 -8
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y x2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外)，顶点是它的最 低点，开口向上，并且向上 无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
y=－2x2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 …
(3)连线
y 1
函数y=-
1 2
x2,y=-2x2的图像
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5
x
与函数y=－x2(图中虚线图形)
-2
的图像相比,有什么共同点和不
-3 -4
同点?
-5
-6
-7
-8
y 1 x2
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c. 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像
都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
对称轴、顶点、最低点、最高点
顶点都是原点(0,0)
在同一直角坐标系中画出函数y=－21 x2和y=－2x2的图像
解:(1)列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)描点
y=
-
1 2
x2 …
-8 -4.5 -2 -0.5
0 -0.5 -2 -4.5 -8
人教版九年级上册第二十二章第一节二次函数共21张
三、研学教材
知识点一 列函数表达式
问题1 n 个球队参加比赛，每两队之间进 行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数n
有什么关系？ 分析：因为每个队要与其他（n-1）个队
各比赛一场，所以共有n(n-1) 场比赛；
又因为甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的 比赛是 同一场 比赛，
广东省怀集县城南初级中学 陈妙兰
（1）y＝1－3x2 解：是二次函数。
二次项系数是-3，一次项系数是0，常数项是1.
广东省怀集县城南初级中学 陈妙兰
三、研学教材
（2）y＝3x2＋2x 解：是二次函数。
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是0.
（3）y＝x (x－5)＋2 解：y=x2-5x+2是二次函数。
二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是2.
22
y ? 20x2 ? 40x ? 20 有什么共同点？
我们发现：上面的三个函数都是用自 变量的 二次式 表示的.
广东省怀集县城南初级中学 陈妙兰
三、研学教材 知识点二 二次函数的定义
一般地，形如： y ? ax2 ? bx ? c
( a , b , c 是常数， a ? 0 ) 的函数叫
做 二次函数 .其中，x 是自变量 ，
问题2 某种新产品现在的年产量是20 t ，
计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年
的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产 量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应怎样表示？
广东省怀集县城南初级中学 陈妙兰
三、研学教材
知识点一 列函数表达式
分析：若这种产品今年的原产量是 20 t.
二次函数的特殊形式： –当b＝0时， y＝ax2＋c
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奥运赛场腾空的篮球
喷泉水流所经过的路线
运动场上飞舞的跳绳
一、创设情境，导入新课
问题： 刚才你所看的图形，它是什么曲
线呢？它的表达式又如何表示呢？
二次函数的概念
二、合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列 问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的 关系： (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
例1: 关于x的函数 y ? (m? 1)xm2?m 是二次函 数, 求m的值.
解: 由二次函数的定义可得：
m2 ? m ? 2 m?1? 0
解得，m ? 2 ? 当m ? 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零。
巩固练习
4、m取何值时，函数 y= (m+1)xm2?2m?1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解: （1）由题意得 S ? 6a 2 (a ? 0)其中S是a的二次函数；
x2 （2）由题意得 y ? (x ? 0) 其中y是x的二次函数；
4?
（3）由题意得
S?
1 x(26 ? 2
x) ?
?
1 x2 2
? 13x(0 ?
x?
26)其中S是x的
二次函数
例4. 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
5、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子。 （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数 项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数 项的3倍。
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么 类型的函数。 （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm） 之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面 积S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关 系．
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
（1）y =πx2
Hale Waihona Puke （2）y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2
上述两个问题中的函数解析式具有哪些共同
的特征?
经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式.
二次函数的一般形式 :
y＝ax 2＋bx ＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0 时， y ＝ax 2＋c 当c ＝0 时， y ＝ax 2＋bx 当b＝0 ，c＝0时， y ＝ax 2
三、巩固概念
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? x 2
是
1 (2) y ? ? x2
(a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式（2）自变量的最高 次数是二次（3）二次项系数不等于零
二次函数的概念
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：ax2叫做二次项，a为二次项系数；
bx叫做一次项， b为一次项系数； c为常数项。 又例：y=x2+ 2x – 3
不是
( 3 ) y ? x (1 ? x ) 是
( 4 ) y ? ( x ? 1 ) 2 ? x 2 不是
先化简后判断
2、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项。
（1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2
3、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x2 ? px ? q, 得：
｛1? p ? q ? 4 4? 2p? q ? ?5
解得，p ? ?12,q ? 15.
? 所求的二次函数是y ? x2 ? 12x ? 15
这节课你有什么收获和体会？
喷泉水流所经过的路线
运动场上飞舞的跳绳
一、创设情境，导入新课
问题： 刚才你所看的图形，它是什么曲
线呢？它的表达式又如何表示呢？
二次函数的概念
二、合作学习，探索新知 :
请用适当的函数解析式表示下列 问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的 关系： (1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
例1: 关于x的函数 y ? (m? 1)xm2?m 是二次函 数, 求m的值.
解: 由二次函数的定义可得：
m2 ? m ? 2 m?1? 0
解得，m ? 2 ? 当m ? 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零。
巩固练习
4、m取何值时，函数 y= (m+1)xm2?2m?1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解: （1）由题意得 S ? 6a 2 (a ? 0)其中S是a的二次函数；
x2 （2）由题意得 y ? (x ? 0) 其中y是x的二次函数；
4?
（3）由题意得
S?
1 x(26 ? 2
x) ?
?
1 x2 2
? 13x(0 ?
x?
26)其中S是x的
二次函数
例4. 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的解析式.
5、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子。 （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数 项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为常数 项的3倍。
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么 类型的函数。 （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm） 之间的函数关系； （3）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面 积S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的函数关 系．
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
（1）y =πx2
Hale Waihona Puke （2）y = 2(1+x)2
=2x2+4x+2
上述两个问题中的函数解析式具有哪些共同
的特征?
经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式.
二次函数的一般形式 :
y＝ax 2＋bx ＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
二次函数的特殊形式：
当b＝0 时， y ＝ax 2＋c 当c ＝0 时， y ＝ax 2＋bx 当b＝0 ，c＝0时， y ＝ax 2
三、巩固概念
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y ? x 2
是
1 (2) y ? ? x2
(a,b,c是常数, a≠0 )
（1）关系式都是整式（2）自变量的最高 次数是二次（3）二次项系数不等于零
二次函数的概念
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是 常数，a≠0)的函数叫做二次函数 称：ax2叫做二次项，a为二次项系数；
bx叫做一次项， b为一次项系数； c为常数项。 又例：y=x2+ 2x – 3
不是
( 3 ) y ? x (1 ? x ) 是
( 4 ) y ? ( x ? 1 ) 2 ? x 2 不是
先化简后判断
2、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项。
（1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2
3、指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y ? x2 ? px ? q, 得：
｛1? p ? q ? 4 4? 2p? q ? ?5
解得，p ? ?12,q ? 15.
? 所求的二次函数是y ? x2 ? 12x ? 15
这节课你有什么收获和体会？