复数 复习小结

课 题：复数复习小结

教学目的：

1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.

2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.

3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算.

4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义 教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用．

教学难点：复数的知识结构的梳理

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、知识要点： 1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 2

1i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i

3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1

4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*

3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .

6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

7. 复平面、实轴、虚轴：

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

8．复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .

9. 复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .

10. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.

11. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)

12．乘法运算规则：设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，那么它们的积(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

13.乘法运算律：

(1)z 1(z 2z 3)=(z 1z 2)z 3 ; (2)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3; (3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.

14.除法运算规则：

①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )， 即(a +bi )÷(c +di )=x +yi

∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i .

∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .

由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx ,解这个方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d

c a

d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di

c bi a ++的分母有理化得： 原式=22

()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++.

15*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

16. 复数加法的几何意义：如果复数z 1，z 2分别对应于向量1OP 、2OP ，那么，以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2，对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量

17.复数减法的几何意义：两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

18．

复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r 19. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的

非负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内的辐角就叫做辐角主值，记为argz

20. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+ 其中22b a r += ，r a =θcos ， r

b =θsin ； 复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③θcos 与θsin i 之间用加号连结

21. 复数的三角形式的乘法：

若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+，

则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++

22. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)：

若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n n

z r n i n θθ=+ 23. 复数的三角形式的除法：

若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+，

则11212122

(cos()sin(r z z i r θθθθ÷=-+- 24. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算：

①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +，