17.1-勾股定理-教学设计-教案
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计一. 教材分析《勾股定理》是初中数学的重要内容，也是中学数学中最为基本的定理之一。
人教版数学八年级下册17.1节主要介绍了勾股定理的证明和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解勾股定理的含义，学会运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、三角函数等知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对理论证明的过程可能感到困惑，对实际应用的掌握程度也有所不同。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的证明和应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究、合作等方法，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明和应用。
2.难点：对勾股定理证明过程中的一些关键步骤的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。
3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队合作精神。
4.实践操作法：让学生动手操作，加深对知识的理解和记忆。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板、直尺等。
2.学具：笔记本、文具、三角板、直尺等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、房屋建筑等，引导学生观察并思考这些三角形中是否存在某种特殊的关系。
2.呈现（15分钟）介绍勾股定理的定义和表述，展示勾股定理的证明过程，如Pythagorean theorem的证明。
引导学生理解并掌握勾股定理。
3.操练（15分钟）分组讨论，每组选取一个实际问题，运用勾股定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的解答，进行讲解和点评，强调勾股定理在实际问题中的应用。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理教学设计
4.教学延伸：
（1）引导学生探索勾股定理在建筑、测量等领域的应用，提高学生的数学应用意识。
（2）鼓励学生开展课后研究，了解勾股定理的历史背景和证明方法，培养学生的数学素养。
（3）组织数学竞赛、讲座等活动，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学水平。
4.教师对每个小组的表现进行点评，引导学生深入思考，提高解题能力。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我会设计以下类型的题目：
1.基础题：计算给定直角三角形的斜边长度，巩固勾股定理的运用。
2.提高题：解决实际问题，如测量距离、学生运用勾股定理进行数学探究，提高学生的数学思维能力。
5.结合实际例子，讲解勾股定理在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用意识。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我将组织学生进行以下活动：
1.分成若干小组，让学生相互讨论勾股定理的理解和应用。
2.每个小组选取一个实际例子，共同探讨如何运用勾股定理解决问题。
3.各小组分享讨论成果，展示解题过程，其他小组给予评价和建议。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中运用勾股定理，提高解题能力；
4.引导学生运用数形结合、分类讨论等数学思想，培养解决问题的策略和方法；
5.组织学生进行勾股定理的证明，锻炼学生的逻辑思维和推理能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生主动探索勾股定理的热情；
2.使学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强数学应用意识；
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.引导学生观察直角三角形的性质，回顾已知的勾三、股四、弦五的特殊直角三角形。
八年级数学下册人教版17.1勾股定理教学设计
4.小组讨论题：分组讨论课本练习第17.1节的第6题，共同探讨勾股定理在其他数学领域的应用。
-鼓励小组合作，培养学生的团队协作和交流沟通能力。
-引导学生从多角度思考问题，拓宽知识视野，激发学生的创新意识。
5.家庭作业：布置一道综合性的勾股定理题目，要求学生在家庭作业本上完成。
5.能够运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的几何作图问题。
（二）过程与方法
1.通过实际操作、观察和思考，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2.学会运用数学语言进行表达和交流，提高学生的数学表达能力和团队协作能力。
3.能够运用勾股定理解决实际问题，培养学生的实际问题解决能力和创新意识。
4.在学习过程中，引导学生总结规律，提高学生的归纳总结能力。
1.注重激发学生的学习兴趣，通过引入生动有趣的实例，使学生感受到勾股定理在实际生活中的重要性。
2.针对不同学生的学习能力，设计梯度性问题和练习，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
3.强调几何直观，引导学生通过观察、操作、画图等方式，加深对勾股定理的理解。
4.加强对学生几何逻辑思维能力的培养，引导学生运用勾股定理进行推理和证明。
2.教学方法：独立完成、相互检查、教师辅导。
3.教学过程：
a.教师布置具有梯度性的练习题，涵盖勾股定理的基本应用和拓展应用。
b.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
c.学生相互检查练习结果，共同讨论解题思路和方法。
d.教师针对学生的练习情况进行点评，强调解题技巧和注意事项。
（五）总结归纳
-设计综合性题目，让学生自主整合所学知识，形成完整的知识结构。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》(第1课时)教学设计
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》（第1课时）教学设计一. 教材分析《勾股定理》是初中数学八年级下册第17.1节的内容，它是数学史上重要的定理之一。
本节内容通过引入直角三角形三边的关系，引导学生探究并证明勾股定理，进而运用该定理解决实际问题。
教材内容安排合理，由浅入深，既注重理论证明，又强调实际应用，有利于培养学生的探究能力和实践能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本知识，直角三角形的相关概念，以及一些基本的证明方法。
但勾股定理的证明较为复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和空间想象力。
同时，学生需要通过实例感受勾股定理在实际生活中的应用，提高学习兴趣和积极性。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和意义，掌握勾股定理的表达式。
2.学会运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
3.了解勾股定理在实际生活中的应用，提高学习的实践能力。
4.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明和应用。
2.证明过程中涉及到的逻辑推理和空间想象力。
3.将勾股定理应用于解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究勾股定理。
2.运用多媒体辅助教学，展示勾股定理的证明过程。
3.采用案例教学法，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用。
4.小组讨论，培养学生的团队合作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理相关教案、PPT、学习资料。
3.直角三角形模型或图片。
4.练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示直角三角形模型或图片，引导学生回顾直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的定义和表达式，让学生初步了解勾股定理。
3.操练（15分钟）分组讨论，让学生尝试证明勾股定理。
在讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生证明过程中的共性问题，进行讲解和总结，让学生掌握勾股定理的证明方法。
人教版八年级数学下册17.1勾股定理优秀教学案例
2.自主探究：让学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。
3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得，培养合作精神。
4.巩固练习：设计有针对性的练习题，让学生在实践中掌握勾股定理。
5.课堂讨论：组织学生分享自己的解题心得，丰富数学思维。
3.引导学生认识数学在生活中的应用，提高他们运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生团队协作、沟通交流的能力，增强他们的社会责任感。
三、教学重点与难点
1.教学重点：勾股定理的定义及其证明方法，勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点：勾股定理的推导过程，运用勾股定理解决复杂直角三角形问题。
四、教学过程
2.生活实例：展示一些生活中常见的直角三角形现象，如建筑物、家具等，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高他们运用数学解决实际问题的意识。
3.提问引导：教师提问：“你们知道什么是勾股定理吗？”“勾股定理在我国古代是如何被发现的？”引发学生的思考和讨论。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：引导学生通过观察、实验、推理等方法，发现并证明勾股定理。例如，可以让学生分组讨论，每组设计一个实验来验证勾股定理。
2.自主探究，培养能力：在讲授新知环节，我引导学生通过观察、实验、推理等方法，自主发现并证明勾股定理。这种自主探究的学习方式，培养了学生的数学思维能力，提高了他们的问题解决能力。
3.小组合作，增强合作精神：在学生小组讨论环节，我将学生分成若干小组，让他们选择一个证明方法进行讨论。这种小组合作的方式，既能够提高学生的团队合作能力，又能够促进学生之间的沟通交流。
1.激发学生兴趣：通过故事、图片等素材，引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们学习数学的兴趣。
人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理17.1.1勾股定理(教案)
至于学生小组讨论环节，我发现学生们对于勾股定理在实际生活中的应用有很多自己的想法，这是一个很好的现象。但同时，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖别人，缺乏独立思考的能力。针对这一点，我计划在接下来的课程中，多设计一些开放性问题，鼓励学生发表自己的观点，提高他们的独立思考能力。
最后，在总结回顾环节，我觉得学生对勾股定理的基本概念和应用的掌握程度还是不错的。但我也意识到，仅仅依靠课堂上的学习是远远不够的，还需要学生在课后进行巩固。因此，我打算在课后布置一些与勾股定理相关的练习题，让学生在实践中进一步巩固所学知识。
5.培养学生团队合作和交流表达的能力，通过小组讨论、分享证明勾股定理的方法，提升数学交流素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-勾股定理的概念及其表述：使学生明确勾股定理是直角三角形三条边长度关系的表达，理解其数学表达式a²+b²=c²。
-勾股定理的证明方法：通过拼贴法和代数法，让学生掌握证明勾股定理的过程，理解其逻辑推理。
-勾股数的识别与应用：使学生能够判断并运用勾股数解决实际问题。
-实际问题的解决：培养学生将勾股定理应用于解决生活中的直角三角形问题。
举例：在讲解勾股定理的应用时，重点强调如何将实际问题抽象为直角三角形问题，并运用勾股定理求解。
2.教学难点
-勾股定理的理解：学生可能对a²+b²=c²这一表达式中的平方概念理解不深，需要通过具体实例和图形进行讲解。
17.1勾股定理(1)教学设计2022-2023学年人教版八年级下册数学
17.1 勾股定理（1）教学设计一、教学目标1.了解勾股定理的基本概念和原理；2.掌握勾股定理的运用方法，能够解决与勾股定理相关的问题；3.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：1.勾股定理的概念和原理；2.三角形的直角边、斜边和斜角的关系；3.勾股定理的运用方法和例题讲解。
三、教学步骤步骤一：导入1.教师通过提问的方式引出勾股定理的概念，激发学生对于勾股定理的兴趣；2.教师通过举例子的方式，让学生感受一下勾股定理的应用场景。
步骤二：学习与讨论1.教师通过讲解勾股定理的定义和原理，引导学生理解勾股定理的内涵；2.教师通过几何图形和实际问题的分析，让学生看到勾股定理的实际应用；3.学生与教师一起探讨如何应用勾股定理解决问题，并给出解决问题的步骤。
步骤三：例题讲解1.教师选择一些典型的例题进行讲解，通过解题过程演示勾股定理的运用方法；2.教师引导学生分析题目中的信息，确定解题思路，并进行逐步解题。
步骤四：练习与巩固1.学生在教师的指导下，完成相关练习题；2.学生互相交流解题思路，激发学生的合作学习能力和解决问题的能力。
步骤五：归纳总结1.教师引导学生总结勾股定理的运用方法；2.学生以小组为单位，展示他们的解题思路和方法；3.教师进行点评和总结，强调勾股定理的重要性和实际应用。
四、教学评价1.课堂练习的完成情况，包括学生的解题过程和答案的准确性；2.学生课后作业的完成情况，包括书面作业和练习题；3.学生对于勾股定理的理解程度和应用能力的评价。
五、教学反思本节课通过理论讲解和实际问题的应用，帮助学生理解和掌握勾股定理的基本概念和运用方法。
在教学过程中，学生积极参与，课堂气氛活跃。
通过解题讲解和学生的合作学习，提高了学生的解决问题的能力。
但是在练习环节中，部分学生的思维转换还不够灵活，需要加强巩固训练。
教师在今后的教学中将重点培养学生的分析问题和解决问题的能力，多进行案例分析和实践操作，提高学生的学习兴趣和实际应用能力。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示一组图片，包括古代建筑、现代桥梁等，引导学生观察这些图形中的直角三角形，并提出问题：“这些图形有什么共同特点？它们在数学中有什么特殊性质？”
2.学生观察后，教师总结直角三角形的定义，并引导学生回顾已知的直角三角形相关知识，为新课的学习做好铺垫。
5.针对教学难点，采取以下措施：
a.对勾股定理的证明过程进行详细讲解，通过画图、举例等方式，让学生在直观感知的基础上，理解证明的严密性。
b.专门安排一节课，让学生列举并分析勾股数的特点，总结规律，以便更好地辨识和应用勾股数。
c.结合实际情境，开展数学建模活动，让学生在小组内共同探讨、解决问题，提高他们的数学建模能力。
5.掌握勾股数的特点，能够辨识和列举出一组勾股数。
（二）过程与方法
在教学过程中，学生将通过以下方式来达成目标：
1.通过观察直角三角形的特性，引导学生发现勾股定理，培养观察力和逻辑思维能力。
2.通过小组合作，探究勾股定理的证明方法，提高合作意识和解决问题的能力。
3.通过数学问题的解答，培养学生将理论知识应用于实际情境的能力。
4.利用数形结合的方法，让学生在直观的图形中理解抽象的数学公式，提高形象思维和抽象思维的能力。
5.通过分析勾股数的特点，让学生总结规律，增强数学归纳和总结的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们探究数学问题的热情。
2.使学生体会到数学知识与现实生活的紧密联系，增强学生的数学应用意识。
人教版八年级下册17.1《勾股定理》第一课时教学设计
一、教学目标
17.1《勾股定理》教学设计
17.1《勾股定理》教学设计1、教学目标.【教学内容解析】本节课是人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理第一课时．本节之前学生已经学习了三角形一些知识，勾股定理研究的是直角三角形三边之间特有的数量关系，将形与数密切联系起来，是解直角三角形的主要依据，在生产和生活实际中应用广泛.本节课我从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生自主地经历一条由观察猜想到实践验证到推理论证的科学探索之路.我期望通过本节课达成四个一，为此我确定本节课教学目标为：【教学目标】知识与技能：掌握一个定理——勾股定理，并会用定理解决简单问题.过程与方法：（1）、经历一次由特殊到一般的探索过程，通过观察、思考、尝试猜想结论，发展合情推理能力．（2）、体验一种利用几何图形的面积证明代数恒等式的数形结合的思想，感受数学思维的严谨性．情感与态度：通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增添一份民族自豪感. 在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神．2、学情分析.【学生学情】八年级学生已经具备了一定的观察、归纳、猜想和推理能力，已经学习了一些几何图形的面积的计算方法，但是运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，对于如何将形与数有机的结合起来还有待提高.3、重点难点.【教学重点】勾股定理的证明与运用．【教学难点】用拼图法证明勾股定理.【教学策略】本节课主要采用启发式、探究式教学，由浅入深，由特殊到一般的提出问题，引导学生采用观察思考、动手实践、自主探索、合作交流的学习方法，使学生主动获得知识并发展能力．4、教学过程.【导入】.教师出示情景图片提出问题，学生实践思考、探索交流等.一、设置情景引发思考从A地到B地有两条路，并且AC垂直于BC．问题一：哪条路近？为什么？问题二：你能知道走第一条比走第二条近几米吗？为什么？那么在Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，能否求出AB的长呢？带着这个问题我们开始第十八章《勾股定理》的学习．本章我们将探索直角三角形三边之间特有的数量关系，并运用所得的结论解决问题．今天我们学习第十八章第一节——勾股定理.从简单的生活实例入手，引领学生预知本章的研究主题，引出课题．二、探索定理获得知识勾股定理给同学们设了三关，大家有没有信心冲过这三关！冲过这三关，我们就能获得知识，解决问题．使教学内容富有挑战性.观察猜想首先由毕达哥拉斯带领我们进入第一关．(学生读题)2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯非常善于观察和思考，经常能够从平淡的生活现象中发现数学问题．(教师提问,学生发表见解)观察：这个地面是由什么图形拼成的?观察：这些直角三角形都什么关系？毕达哥拉斯发现以直角三角形三边为边长都可做出一个正方形.观察：图中两个小正方形与大正方形的面积之间有什么关系？如果中间直角三角形的两直角边分别为a, b,斜边为c，思考：直角三角形三边之间有什么关系？问题：对于任意直角三角形如果两直角边分别为a, b，斜边为c，那么三边之间是否也有a2+b2=c2这样的关系呢？得出猜想，猜想之后进入第二关．从观察生活中常见的地砖入手，让学生感受到数学就在身边．通过设计问题串，让探索过程由浅入深，使学生从观察中得到猜想.适时穿插毕达哥拉斯这一人文背景，使学生获得新知，同时也感染学生养成善于观察勤于思考的科学的学习品质.2、实践验证：图中每个小方格的面积均为1，请分别算出正方形A,B,C的面积，利用面积关系验证三边关系.(同样的图形学案中有,让学生先独立完成,再小组交流,然后全班展示) 给学生充分的自主探索、合作交流的空间,鼓励学生尝试用不同的方式解决问题.学生活动：分别求出图1、图2中三个正方形的面积.学生动脑思考，动手做,动口说想法.师生总结：图1：9 + 16 = 25图2： 4 + 9 = 13所以: SA + SB = SC所以: a2 +b2=c2讨论中发表自己的看法,提高语言表达能力. 通过交流总结出用面积割补法求大正方形的面积,为定理的证明做铺垫，突破本节课的难点.3、推理论证特殊数据不能代表一般规律，我们猜想的这个结论要作为定理必须经过推理论证.学生活动：通过动手合作拼正方形，并利用所拼的图形完成此猜想的证明．学生探索交流之后展示自己的拼图，解释自己的想法.由猜想到验证到论证，有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体，经历知识的形成过程．4、总结定理学生总结:定理的文字表达形式，和符号推理形式.教师介绍:我国古代学者把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.早在3000年前的《周髀算经》就记载勾三股四弦五的说法。
人教版八年级下学期数学17.1勾股定理教学设计
3.提高拓展题：选取课本第17.1节后的练习题4、5、6，旨在培养学生运用勾股定理解决复杂问题的能力，尤其是涉及斜边和直角边长度计算的问题。
4.创新思维题：鼓励学生运用勾股定理，自己设计一道有趣的数学问题，并与同学分享。此举旨在激发学生的创新思维和解决问题的能力。
5.课后反思：要求学生撰写一篇关于勾股定理学习心得的短文，内容包括对勾股定理的认识、学习过程中的困惑与解决方法、勾股定理在实际生活中的应用等。
6.预习任务：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解勾股定理的拓展知识，为后续学习做好准备。
注意事项：
1.作业难度要适中，既要保证学生对基础知识的巩固，又要激发他们的挑战欲望。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳等教学活动，引导学生自主发现勾股定理，培养观察能力和归纳总结能力。
2.通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在探究勾股定理的过程中，发展团队协作能力和解决问题的能力。
3.通过勾股定理的证明过程，引导学生运用已知数学知识，培养创新思维和解决问题的方法。
4.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中掌握勾股定理的应用，提高解决问题的能力。
4.培养学生将勾股定理应用于解决实际问题的能力，鼓励他们从生活中发现数学问题，提高数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，特别是涉及直角三角形边长计算的题目。
3.理解并掌握勾股定理的证明过程，培养逻辑推理能力和数学思维能力。
人教版数学八年级下册17.1勾股定理的应用+最短路径问题+教学设计
（2）注重启发式教学，引导学生主动发现问题、解决问题。
（3）鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队协作能力。
（4）关注学生的情感态度，营造轻松、愉快的学习氛围，让学生在愉悦中学习。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在这一环节，我将通过一个贴近生活的实际问题来导入新课。我会向学生展示一张地图，上面标注了两地之间的直线距离无法直接测量。然后提问：“同学们，你们知道如何计算地图上两点之间的直线距离吗？”这个问题将激发学生的思考，他们可能会联想到之前学过的勾股定理。接着，我会简要回顾一下勾股定理的定义和公式，为新课的学习做好铺垫。
2.在坐标系中，给出两个点的坐标，计算它们之间的距离。请同学们尝试使用两种不同的方法进行计算，并比较结果。
3.设计一道关于最短路径问题的题目，要求包含直角三角形和坐标系元素。请同学们自行解答，并在下节课与同学们分享解题思路和答案。
4.请同学们撰写一篇关于勾股定理应用的小论文，可以从历史、生活、科技等角度展开论述，不少于500字。
（1）导入：通过一个实际问题，如计算两地之间的直线距离，引出勾股定理。
（2）新课：讲解勾股定理的证明和应用，结合实际问题，让学生感受勾股定理的价值。
（3）探究：引导学生运用勾股定理解决最短路径问题，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（4）巩固：设计不同类型的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5.完成课后练习册中与勾股定理和最短路径问题相关的内容，巩固所学知识。
作业要求：
1.书写规范，保持卷面整洁。
2.解题过程要求步骤清晰，逻辑性强。
3.小论文要有自己的观点，论述充分，可以适当引用资料。
人教版八下数学17.1 课时1 勾股定理教案+学案
人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理教案【教学目标】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．.【教学重点】1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.【教学难点】了解利用拼图验证勾股定理的方法．【教学过程设计】一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究知识点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理例1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；(2)S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用例2在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明例3探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的面积之和等于Rt △ABD 和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．知识点二：勾股定理与图形的面积例4 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．【板书设计】17.1 勾股定理课时1 勾股定理1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．【教学反思】在课堂教学中应注意调动学生学习数学的积极性．让学生满怀激情地投入到数学学习中，提高数学课堂教学效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．人教版八年级下册数学第17章勾股定理17.1 勾股定理课时1 勾股定理学案【学习目标】1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想；2.会用勾股定理进行简单的计算.【学习重点】掌握用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.【学习难点】能够运用勾股定理进行有关的运算．【自主学习】一、知识回顾网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C的面积呢？AB CCBA方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c=__________________________;右图：S c=__________________________.二、合作探究考点1：勾股定理的认识及验证想一想 1.2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面，联想到了正方形A，B和C面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想.证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”＝________，证明：∵S大正方形S小正方形＝________,S大正方形＝___·S三角形＋S小正方形，∴________=________+__________.要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形：222222, ，=+--.a cb bc a c a b知识点2：利用勾股定理进行计算【典例探究】例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.变式题1 在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【跟踪训练】求下列图中未知数x、y的值：三、知识梳理内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论四、学习中我产生的疑惑【学习检测】1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c22. 如图，Rt△ABC（∠C=90°）的主要性质：（用几何语言表示）（1）两锐角之间的关系：____________________.（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：_________.3.如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________.4. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.5.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c=_______.（2）若c=13，b=12，则a=_______.6.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.7.如图所示，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6，则正方形A，B的面积的和为_______.8.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．10.如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计1
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》教学设计1一. 教材分析人教版数学八年级下册17.1《勾股定理》是初中的重要知识点，也是中学数学中的一个难点。
本节课主要介绍勾股定理的证明及其应用。
通过学习，学生能够理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，会使用勾股定理求解直角三角形的问题。
但是，对于证明勾股定理，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过探究、合作的方式，理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的证明及其应用。
2.教学难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.探究法：引导学生通过自主探究、合作交流的方式，证明勾股定理。
2.案例分析法：通过具体案例，让学生理解勾股定理在实际问题中的应用。
3.讲解法：教师对勾股定理的相关知识进行讲解，为学生提供学习指导。
六. 教学准备1.课件：制作勾股定理的相关课件，包括勾股定理的证明过程及应用案例。
2.素材：准备一些关于勾股定理的应用问题，用于课堂练习和拓展。
3.板书：设计好板书，包括勾股定理的表述和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示勾股定理的背景知识，引导学生回顾相似三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师简要介绍勾股定理的定义，然后通过课件展示勾股定理的证明过程，让学生初步了解勾股定理的证明方法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个证明方法，尝试证明勾股定理。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）教师选取几组勾股定理的应用问题，让学生独立解答。
解答完毕后，教师进行点评，巩固学生对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些关于勾股定理的拓展问题，引导学生进行思考。
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理(第1课时直角三角形三边的关系)》教学设计
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的直角三角形实物图片，如楼梯、房屋斜顶等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们之间是否存在某种关系？
2.学生观察后，教师提出问题：直角三角形的两条直角边和斜边之间有什么关系？激发学生的好奇心，为新课的学习做好铺垫。
3.教师简要回顾已学的三角形知识，如三角形的性质、分类等，为新课勾股定理的学习打下基础。
3.讲解与演示：教师以生动的语言和形象的比喻，解释勾股定理的内涵，并通过多媒体演示勾股定理的推导过程，帮助学生理解。
4.实践环节：设计具有挑战性的数学问题，让学生运用勾股定理进行求解。同时，鼓励学生将实际问题转化为数学模型，培养他们解决实际问题的能力。
5.巩固环节：通过课堂练习、课后作业等形式，让学生反复练习勾股定理的应用，加深对定理的理解。
2.培养学生的逻辑思维能力，通过分析勾股定理的证明过程，理解其内涵。
3.培养学生的合作交流能力，通过小组讨论、分享心得，共同探讨勾股定理在实际问题中的应用。
4.培养学生的动手操作能力，通过制作直角三角形模型，验证勾股定理的正确性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，认识到数学在生活中的重要作用。
c.对于作业中的疑问，鼓励同学们相互讨论，共同解决问题。
3.作业评价：
a.教师在批改作业时，关注学生的解题思路和方法，及时发现并纠正错误。
b.针对不同学生的作业完成情况，给予个性化的评价和指导，激发学生的学习积极性。
c.对优秀作业进行展示，鼓励同学们向榜样学习，共同提高。
4.作业反馈：
a.教师应及时向学生反馈作业情况，指出共性问题，进行针对性的讲解。
b.鼓励学生针对作业中的错误进行自我反思，查找原因，提高自主学习能力。
人教版八年级下册17.1勾股定理优秀教学案例
（三）情感态度与价值观
1.学生了解勾股定理在我国古代的发现和应用，感受数学文化的魅力，培养民族自豪感和对数学的热爱。
2.学生通过学习勾股定理，培养对数学的兴趣和好奇心，激发学习数学的内在动力。
3.学生通过解决实际问题，体验数学的价值和意义，认识到数学在生活中的重要性，培养应用数学的意识和能力。
2.学生能够通过观察、分析、推理等数学思维活动，探索并发现勾股定理的规律，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3.学生能够运用勾股定理解决一些简单的几何问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.学生通过观察生活实例，培养从实际问题中抽象出数学模型的能力，提高解决问题的能力。
2.学生在小组合作、讨论交流的过程中，培养团队协作能力和表达能力，提高自主学习能力和合作学习能力。
3.动态演示辅助：运用几何画板等教学工具，动态展示直角三角形中两直角边的变动，让学生直观地观察到斜边的变化规律，帮助学生理解和掌握勾股定理。
（二）问题导向
1.设计问题链：围绕勾股定理的定义、证明和应用，设计一系列递进式问题，引导学生思考和探索，激发学生的好奇心，培养学生的问题解决能力。
2.自主探究引导：引导学生提出问题，鼓励学生自主探究，引导学生通过观察、分析、推理等数学思维活动，探索并发现勾股定理的规律。
3.动态演示辅助：运用几何画板等教学工具，动态展示直角三角形中两直角边的变动，让学生直观地观察到斜边的变化规律，帮助学生理解和掌握勾股定理。
（二）讲授新知
1.勾股定理的定义：通过几何画板工具，展示直角三角形中两直角边的变动，引导学生观察和分析斜边的变化规律，引股定理的证明：引导学生通过小组合作、讨论交流的方式，探索并发现勾股定理的证明方法，引导学生运用几何画板工具，动态展示直角三角形的证明过程，帮助学生理解和掌握勾股定理的证明方法。
《17.1.1勾股定理》教学设计
《17.1.1勾股定理》教学设计武夷山三中数学组授课教师：武夷山三中余莉英指导教师：武夷山三中林年雄蔡万平一、教材分析（一）教材所处的地位及作用：《勾股定理》是人教版新课标八年级数学第十七章第一节第一课时内容，勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途也很大。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值，是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用，学好本节至关重要。
（二）教学目标：1、知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，初步会用它进行有关的计算。
培养学生观察、比较、分析、推理的能力。
通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
2、过程与方法：经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会“数形结合”和“特殊到一般”的思想方法。
3、情感态度与价值观：通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想激励学生发奋学习。
让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
（三）教学重点、难点：重点：是勾股定理的发现、验证和应用。
难点：是用拼图方法、面积法证明勾股定理二、学情分析：前面，学生已具备一些平面几何的知识，能够进行一般的推理和论证，但如何通过面积法（拼图法）证明勾股定理，学生对这种解决问题的途径还比较陌生，存在一定的难度，针对这个问题我将本课的教法和学法体现确定如下：1、教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课采用探究发现式教学，提供适当的问题情境．由浅入深，由特殊到一般地提出问题。
17.1.1《勾股定理》教案
17.1.1《勾股定理》教案《17.1.1 《勾股定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！作业内容17.1.1《勾股定理》【教材分析】本节课是勾股定理的第1课时，根据课程标准的要求，注意让学生经历探索勾股定理的过程，鼓励学生用不同的方法解决问题，在解决问题的过程中，注意渗透数形结合的思想。
另外，勾股定理具有很高的文化价值，这点要充分体现，以提高学生探索的欲望.【学情分析】学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会.【教学目标】1.经历探索勾股定理的过程，提高学生的推理能力，体会数形结合的思想.2.理解并掌握勾股定理通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心.【教学重点】掌握勾股定理，让学生深刻感悟到直角三角形三边所具备的特殊关系【教学难点】勾股定理的证明【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】三角板【课时设置】一课时【教学过程】活动一：课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
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生：（分割拼图，得到教科书 24 页图 17.1—3 图，构造了以 a、b 为直角边的直角三角 形，令斜边为 c，沿直角三角形的斜边分割从而拼得边长为 c 的正方形，完成拼图.）
师：怎样根据拼图活动的结果证明勾股定理呢？
生：图 1 两个正方形面积为
，图 3 拼成正方形面积为 ，即
师：勾股定理的证明方法据说有 400 多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．
（课件/板书）
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么
.
问题 5 画一个直角三角形
，
，它的两直角边分别是 AC=3cm，
BC=4cm，量一量它的斜边 师：画一个直角三角形
是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？
，
，它的两直角边分别是 AC=3cm，BC=4cm，
量一量它的斜边 是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？（学生动手操作、计算，教
生：两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. 师：为什么？ 生：……（通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形 A，B 中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形 A，B 的面积之和等于大正 方形 C 的面积．） 师：这里每个正方形的面积等于其边长的平方.于是这三个正方形的边长构成的等腰直 角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？ 生：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 师：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，接下来探究问题 2. 问题 2 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A，B，C 的 面积是否也有类似的关系？ 师：如图, 以直角三角形的三边为边长作三个正方形 A、B、C，并计算他们的面积. （学生动手计算，教师巡视指导）
2. 教学重点/难点
2.1 教学重点： 探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理． 2.2 教学难点： 以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．
3. 教学用具 4. 标签
教学过程
1 谈话引入
我们知道，研究三角形从它的元素入手，也就是三角形的三条边和三个角。对于等腰 三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相 等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特 殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.
教学准备
1. 教学目标
1.1 知识与技能： 通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论． 1.2 过程与方法： 1．在充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的 过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想． 2．在探索上述结论的过程中，发展归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论． 1.3 情感态度与价值观： 1．树立积极参与、合作交流的意识． 2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．
师：赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形， 仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将边长为 a、b 的两个连体正方形，拼成一个新的正方 形？
图1
图2
图3
情况 1，在线段 MN 上截取 MP = a，得到 NP = b，从而确定点 P；
情况 2，通过折叠，得到边长为 a - b 的正方形，它实际上是赵爽弦图的黄实，延长小 正方形的一边与线段 MN 相交于点 P.
生：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
师：接下来我们来看问题 3. 问题 3 以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直 角边分别为 a，b，斜边长为 c，我们的猜想仍然成立吗？ 师：这个结论仍然成立，中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”. 师：我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前 1100 年人们 已经知道“勾广三，股修四，径隅五”. 把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股， 斜边称为弦. 将此定理命名为勾股定理. 师：他有非常多证明方法，这里我们依然可以利用刚才的割补法. （课件/板书）
师：谁来说一说？ 生：图 1：正方形 A、B、C 的面积分别为 16、9、25；图 2：正方形 A、B、C 的面积 分别为 4、9、13. 师：正方形 C 的面积你是如何计算的？ 生：……（通过割、补两种方法求出其面积） （课件/板书）
图 1 SC 图 2 SC 师：这里注意正方形的面积又转化为边长的平方，于是正方形 A，B，C 所围成的直角 三角形三条边之间有怎样的关系？
师个别指导）
生：结果一样.
（课件/板书）
在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，
AC＝3cm， BC＝4cm．2＋42=25
∴AB＝5cm
师：我们可以利用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的问题.这是勾股定理 最重要的应用.
3 典例剖析
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BD 平分∠ABC，交 AC 于点 D，且 AB＝4， BD＝5，则点 D 到 BC 的距离是多少？
“割”的方法：
，于是
.
“补”的方法：
，于是
.
（课件/板书） 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）
问题 4 历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股 定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．
师：（展示“弦图” ，并介绍）我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，这个图 案是公元 3 世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”， 2002 年国际数学家大会在北京召开，其中的会徽就是这个图案.
推进新课
（板书课题：勾股定理）
2 新知探究
问题 1 相传 2500 多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，毕达哥拉斯有 一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关 系．观察下面图中的地面，看看你能发现什么？三个正方形 A，B，C 的面积有什么关系？
师：同学们，我们也来是否也和大哲学家有同样的发现呢？观察三个正方形之间的面 积的关系.