第四节作用在液体上的力-资料

pAρgAh 和 p Bp 0 ρg Bp h a
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工程中采用测压表（计）测得的压强一般都是相对压强，故相 对压强又常称为表压。由于大气压在地球表面处处都存在，所以 实用中通常所说的压强均指相对压强。 3 真空状态及真空压强（真空度）
当某点的绝对压强 p' 小于当地大气压 pa ，或其相对压强p<0 时，则称该点处于真空状态或负压状态。
方向一致的压应力，即静水压强；
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应力特征2：平衡液体内部某一点处应力的大小，即静水压强的 大小与受压面的方位无关。或者说平衡液体中在同一点处各个 方向上的静水压强大小都相等。 表明：在计算平衡液体中任一点静水压强的大小时，可以不考虑 静水压强的方向，它只是位置坐标的函数，即 p = p(x，y，z)
第二节 液体平衡微分方程 一、液体平衡微分方程的建立
在平衡液体中任选一点，以为中心分割出一微小正六面隔 离体，其各边长分别为dx 、dy 、dz，并与相应的直角坐标轴 平行，如图。
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分析六面体沿x轴方向的受力 情况。
1.表面力：设作用在O'点的静 水压强为p,它是位置坐标的连 续函数,即p=p(x,y,z).根据泰勒 级数将p沿x轴方向展开，并

Fz m
单位质量力的单位与加速度单位相同，即m/s2
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第2章 水静力学 任务：研究处于静止和相对平衡状态下液体内部压强 的分布规律以及利用这些规律解决液体中某一作用点的 压强和某一作用面的压力计算问题。 在不需要加以区分时，常将处于静止和相对平衡状态 的液体统称为平衡液体。
第一节 平衡液体的应力特性 静水压强：平衡液体作用在与之接触的表面上的压强 应力特征1：平衡液体只能承受方向与作用面内法线
根据同种相互连通的静止液 体中等压面为水平面的规律 可知，沿两种液体的分界面 所作的11-22水平面为等压面， 故由水静力学方程得
p 0 ρ a g1 h p 0 ρ b g3 (h h 2 )
ρa
ρb
h3 h2 h1
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再求pA
由于 ρ a 已为已知量，故求pA既可从连通器的左端进行，也
dxdydz fx
根据液体平衡条件，六面体所受到的合外力沿x轴方向分量 应为零，即
p 2 1 p x d d xy p d 2 1 z p x d d xy ρ dd zx fx d 0yd
将上式各项同除以dxdydz并整理得
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fx fy 0
fz g
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代入欧拉方程得 dpρgdz
或
dz dp 0 ρg
对于同种液体为常数，所以在液体中对上式积分可得
z p C ρg
该式就是水静力学基本方程。式中的 z 与 p ρg 都具有长度量纲
在水力学中，习惯将 z 称为计算点的位置水头，p ρg 称为计算
点的压强水头。
真空状态的真空程度用当地大气压pa与该点的绝对压强 p'的差 值来衡量，这一差值称为真空压强，以 pv 表示。
真空压强与绝对压强、相对压强的关系为
pvpapp
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上图（b）中，若点B的绝对压强 pB pa
则 p B v p a p B p a ( p 0 ρB ) g p B h
等压面的重要特性是：等压面与质量力正交。
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第三节 重力作用下液体的平衡
在工程实际中，常常见到液体处于与地面间无相对运动的 静止状态，这时液体所受到的质量力仅为重力。属于这种情况 的还有相对地面作匀速直线运动的平衡液体。下面以静止液体 为例进行讨论。
一、水静力学基本方程
设静止液体如图所示，液体所受到的质量力 只有重力，即单位质量力在各坐标轴方向上 的分量为
pApaρgAh
pB p0 ρgBh
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2 相对压强
以当地大气压为零点起算的压强称为相对压强，以p表示。
当地大气压通常以pa表示，则相对压强与绝对压强的关系为
pppa
对于液面与大气相通的敞口静止液体，若采用相对压强计算时，
上式中的p0=0，则
p ρgh
这就是敞口的静止液体中任一点相对压强的计算公式。 上图（a）、（b）中，点A和点B的相对压强分别为
国际单位均为 Pa或kPa和MPa
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2.质量力：作用在液体每个质点上的力，其大小与液体的
质量成正比。在均质液体中，质量力又与液体体积成正比， 故又称为体积力
水力学中常出现的质量力有重力和惯性力。
常用单位质量 力表示
在相应的三个 空间坐标轴上 的分量为
f

F
m
fx

Fx m
fy

Fy m
fz
第2讲
第四节 作用在液体上的力
按力作 用方式
表面力 质量力
两大类
1.表面力：作用在液体表面上的力，随着受力表面面积的增大
而增大。
表面力 只可能
直于作用面的压力 平行于作用面的切向力
两种形式
单位面积上的压力称 为压应力（或压强）
单位面积上的切 向力称为切应力
p lim ΔP ΔA0 ΔA ΔT
τ lim ΔA0 ΔA
将自由表面的 z=z0，p=p0 代入上式可得积分常数
C

z0
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p0 ρg
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如图,液面下任一点 A 处的水深 h= z0-z 将
C

z0

p0 ρg
代入 z p C ，注意
ρg
h= z0-z 整理得
pp0 ρgh
该式为水静力学基本方程的另一种形式。它是计算重力作用下的 平衡液体中任一点静水压强的基本公式。
1 ρ
p x

fx
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同理
1 ρ

p y

fy
1 ρ

p z

fz
称为液体平衡微分方程，欧拉于1775年首先推出，又称为欧拉平 衡微分方程
物理意义：平衡液体中各点单位质量液体所受到的表面力与质量 力相平衡。
将上述方程组中各式依次乘以dx、dy和dz，并相加得
p xd x p yd y p zd z ρfxd x fyd y fzdz
最大真空压强问题：由式 pvpapp 可知，真空
压强pv愈大，绝对压强 p' 就愈小。理论上，最大的真空压强发
生在绝对压强为零的状态，这时 pvMpa ，这种状态称为绝
对真空状态。 液体所能达到的最大真空压强为当地大气压强与相应液体
温度下的汽化压强之差。
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小结： 1.平衡液体的应力特性 2.液体平衡微分方程 3.水静力学基本方程 4. 压强的表示方法和量度单位 作业2：
略去级数中二阶以上的各项微量，可得沿x轴方向作用于abcd面 形心点M和a'b'c'd'面形心点N的压强分别为
pM
p1pdx 2x
和
pN
p1pdx 2x
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所以，作用于abcd和a'b'c'd'两微小面上的表面力分别为
PMp21p xdxdydz和 PNp21p xdxdydz 2. 质量力：设作用在六面体上的单位质量力沿x、y、z三轴方向 的分量分别为fx、fy、fz,则六面体上的质量力沿x轴方向的分量为
可从连通器的右端进行 由水静力学基本方程得
pAp0ρbgh 3 p Ap 0ρ ag1h ρ b g2h
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二、压强的表示方法和量度单位 （一） 绝对压强、相对压强和真空压强 压强通常采用两种计算基准和三种方法表示。 1 绝对压强
以没有气体分子存在的绝对真空状态为零点起算的压强称为绝 对压强，以 p' 表示如图（a）、（b）中点A和点B的绝对压强分 别为
上式左边是连续函数 pp(x.y.)z.的全微分dp，
从而得到液体平衡微分方程的全微分形式为
d p ρ (fxd x fyd y fzd)z
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二、等压面
在液体中，由压强相等的点组成的面称为等压面 在等压面上各点的压强都相等，即p=常数，故由上式可得平衡液 体的等压面方程为
fxdx + fydy + fzdz = 0
必须强调，如果平衡液体的质量力仅为重力、同种、相互 连通的三个条件不能同时满足，一般就不能直接应用上述规律。
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例如
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【例11】密度为 ρ a 和 ρ b的两种液体，盛装在如图所示的容器中， 各液面深度如图，两端自由液面压强均为p0。若 为ρ已b 知， 求 及容ρ a器底部A点的压强pA。 【解】先求 ρ a
水静力学基本方程讨论： 在质量力仅为重力作用的同种相互连通的平衡液体中，它们 可以反映以下规律：
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（1）液体中任一点的位置水头z和压强水头p/g之和都相等，或
者说静水压强随水深呈线性规律变化。 （2）液体中任一点的静水压强都等于液面压强与从该点到液面 的单位面积上液体的重量gh之和，且液面压强的任何变化量， 都会等值地传到液体中的各点。 （3）液体中的等压面为一系列位置水头z或水深h等于常数的等 深水平面。