抛物线讲义

第五讲 抛物线

教学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)．

2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际

问题中的作用．

3.理解数形结合的思想.

一、知识回顾 课前热身

知识点1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．

知识点2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0

F ⎝⎛⎭

⎫－p

2，0 F ⎝⎛⎭

⎫0，p 2 F ⎝

⎛⎭⎫0，－p

2 离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2 y ＝－p

2

y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)

|PF |＝x 0＋p

2

|PF |＝－x 0＋p

2

|PF |＝y 0＋p

2

|PF |＝－y 0＋p

2

例题辨析推陈出新

例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．

[自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为 5.

(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

变式练习1．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．

(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．

解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.

(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.

答案：(1)x2＝12y(2)8

例2(1)抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物

线的方程为( )

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝12x

C ．y 2＝16x

D ．y 2＝20x

(2)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．

[自主解答] (1)由题意知，3＋6a ＝5，a ＝1

3

，则抛物线方程为y 2＝8x .

(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，线段F A 的中点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝⎛⎭

⎫

24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. [答案] (1)A (2)32

4

变式练习2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，

|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )

A ．18

B ．24

C ．36

D ．48

解析：选C 设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p

2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，得p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为1

2

×6×12＝36.

例3已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)(x 1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值． [自主解答] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p

2，与y 2＝2px 联立， 从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p

4.

由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，

所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .

(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．

设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，

又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.

变式练习3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦

点，若|F A |＝2|FB |，求k 的值．

解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝k (x ＋2)，

y 2

＝8x ，

得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝8

k 2－4，

x 1x 2＝4.

又由抛物线的定义可知|F A |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2， 所以x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2(x 2＋1)，代入x 1x 2＝4 得2(x 2＋1)x 2＝4，解得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，

将x 2＝1，x 1＝4代入x 1＋x 1＝8k 2－4得k 2＝89，由已知k >0，所以k ＝22

3

.

三、归纳总结 方法在握

归纳

4个结论——直线与抛物线相交的四个结论

已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：

(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p

sin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；

(2)x 1x 2＝p 2

4；

(3)y 1y 2＝－p 2；