第五章刚体的转动

第五章 刚体的转动

§5-1、刚体定轴转动定律

【基本内容】

一、刚体的运动

1、平动

刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。 刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。 2、定轴转动

刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。 描述刚体转动的物理量

角位移θ∆

角速度ω

角加速度β

刚体匀变速转动公式

βθ

ωωβωωβωθ22

1

2

020

20=-+=+

=t

t t 二、刚体所受的力矩

力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。

F r M

⨯= 式中F

为力在转动平面的投影，r

为轴指向力的作用点。 结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。

三、刚体定轴转动定律

定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即

βJ M =

四、转动惯量

定义：对于质点系∑=

i

i

i r

m J 2

对于刚体⎰=dm r J 2

线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。 面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。 体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。

决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。

【典型题例】

【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。

【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′

＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于

滑轮边缘的切向加速度。

以m １向上、m ２

向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得

β)2

1

(

212222111m r M r T r T a m T g m a m g m T r =--=-=-

鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度a 与滑轮角加速度β之间的关系，还可以建立一个辅助方程

a ＝r β

)(),(,2

//)(22112112a g m T a g m T m m m r

M g m m a r -=+=++--=

【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。

当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即m ＝０，Ｍr ＝０时，结果为

g m m m m T T g m m m m a 2

12

12121122,+==+-=

与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。T １≠T ２是考虑实际转动效应的一个重要特征。

线量与角量关系的a ＝r β，是一个不可少的辅助方程。

【例5-2】 一刚体由长l 、质量为m 的匀质细杆和质量为m 的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另

一端点的轴O 在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求： 坐标

例2-4图

(1)刚体绕轴的转动惯量；

(2)当杆与竖直方向成θ角时的角速度为多大? 【解】 (1) 2

223

43

1ml ml ml J =+=

(2)当刚体转动与竖直方向成θ角时，所受合外力矩为

θθθsin 2

3

sin 21sin mgl mg

mgl M =+=

l g ml

mgl J M 8sin 98sin 92θθβ===

又因

θ

ωωθθωωβd d dt d d d dt d ===

所以

θ

ωωθd d l g =8sin 9

l

g d d l g /cos 2

38sin 90

2/θωωωθθ

ω

θ

π=⇒

=

⎰

⎰

【例5-3】用力F 将一块粗糙平面紧压在半径为R 的轮上，平面与轮间的滑动摩擦系数为μ。已知轮

的初角速度为0ω,质量为m 且均匀分布；轴的质量不计；力F

均匀分布在轮面上。求

（1） 轮转过多大角度时停止转动？ （2） 需多长时间停止转动？ 【解】首先计算轮所受摩擦力矩

在以轮心为原点的极坐标系中，取轮上一面积元θrdrd dS =，其上压力为

θππrdrd R

F

dS R F dN 2

2==

转动时，该面元所受摩擦力大小为

θπμμrdrd R

F dN df 2

== 方向沿切线且与面元的线速度方向相反。面元所受摩擦力矩大小为

θπμdrd r R

F rdf dM 2

2

-

=-= 负号表示摩擦力矩方向与面元角速度方向相反。

由于各面元所受力矩的方向都相同，所以整个轮受到的摩擦力矩为

FR drd r R

F M R

μθπμπ

32

22

20

-=-

=⎰

⎰

由转动定律

mR

F J M J M 34μββ-==

⇒= 例2-6图

轮

轴

例图

θ