最新经济数学基础5第二讲
经济数学基础讲义第5章定积分
第2章定积分2.1 定积分的概念和性质例计算定积分 10d x x．分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间]1,0[等分． 解：将区间]1,0[n 等分，每个小区间的长度为n1，取i ξ为每个小区间的右端点， 得积分和∑=⋅ni nn i 11，计算积分和得∑∑===⋅ni ni i n n n i 121112)1(12nn n+=（等差数列求和公式．）n2121+=由此得21)2121(lim 1lim1=+=⋅∞→=∞→∑n n n i n ni n 由定积分的定义可知21d 10=⎰x x 2.1.3 牛顿—莱布尼兹公式：若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则ba bax F a F b F x x f )()()(d )(简记为-=⎰对于N-L 公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即: 若)(x F ,)(x G 均为)(x f 的原函数，则ba b a bax G x F x x f )()(d )(==⎰②在公式)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰中如果把b 换成x ，就得到)()(d )(a F x F x x f x a-=⎰ 例1 计算⎰12d x x ．解：因为2)(x x f =，它的一个原函数为331)(x x F =，得3131d 13102==⎰x x x 若将原函数换为231)(3+=x x F ，同样得31)231(d 13102=+=⎰x x x例2 计算⎰-21d e x x ．解：因为xx f e )(=，它的一个原函数为xx F e )(=，得122121e e e d e ----==⎰xx x例3 计算⎰--112d e x x ．解：c x x x+-=---⎰2112e21d e ， 112112e 21d e -----=⎰x x x )e (e 2122--=-例4 计算⎰+232d 1x x x ．解：c x x x x ++=+⎰23332)1(92d 1， 22332032)1(92d 1+=+⎰x x x x 952=例5 计算⎰21d e x x x ．解：c x x x xx+-=⎰e )1(d e ， 2121e )1(d e x x x x x -=⎰2e =例6 计算⎰e1d ln x x ．解：c x x x x +-=⎰)1(ln d ln ， e1e1)1(ln d ln -=⎰x x x x 1=2.1.4 定积分的性质先回顾不定积分的性质性质1.⎰⎰⎰±=±x x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([性质2. ⎰⎰=x x f k x x kf d )(d )(定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质． 定积分的性质：性质1. ⎰⎰⎰±=±bab abax x g x x f x x g x f d )(d )(d )]()([性质2. ⎰⎰=b abax x f k x x kf d )(d )(性质3.⎰⎰⎰+=b ccabax x f x x f x x f d )(d )(d )(证：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，由N-L 公式)()(d )(a F b F x x f ba -=⎰)()(d )(a F c F x x f ca -=⎰)()(d )(c F b F x x f bc -=⎰)]()([)]()([d )(d )(c F b F a F c F x x f x x f b cca-+-=+⎰⎰⎰=-=bax x f a F b F d )()()(这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c 可以在区间],[b a 内，也可以在区间],[b a 外．性质3.⎰⎰⎰+=bcc abaxx f x x f x x f d )(d )(d )(证：设)(x F 是)(x f 的一个原函数，由N-L 公式)()(d )(a F b F x x f ba -=⎰)()(d )(a F c F x x f ca -=⎰)()(d )(c F b F x x f bc-=⎰)]()([)]()([d )(d )(c F b F a F c F x x f x x f b cca-+-=+⎰⎰⎰=-=bax x f a F b F d )()()(这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c 可以在区间],[b a 内，也可以在区间],[b a 外．例1 计算⎰+π2d )cos 2(x x x ．解：⎰⎰⎰+=+πππ22d cos 2d d )cos 2(x x x x x x x ⎰⎰+=ππ2d cos 2d x x x xππ003sin 231x x +=331π=例2 求⎰-2d 1x x ．解：⎩⎨⎧<-≥-=-1,11,11x x x x x⎰⎰⎰-+-=-21102d 1d 1d 1x x x x x x ⎰⎰-+-=2110d )1(d )1(x x x x212122)1(2)1(-+--=x x 12121=+=2.2.1 换元积分法 定积分换元积分法若⎰⎰'=babax x u x u f x x f d )())((d )(1，且当a x =时，α=u ；当b x =时，β=u ．则⎰⎰=βαu u f x x f bad )(d )(1例1 计算⎰-21d 131x x ． 解： ⎰-21d 131x x ⎰'--=21d )13(13131x x x ⎰--=21)13(d 13131x x ⎰=-52d 13113u uu x 52ln 31u =)2ln 5(ln 31-=例2 计算⎰-132d 34x x x ．解：令u x =-334，x x u d 9d 2-=⎰-132d 34x x x ⎰-⋅=14)d 91(u u ⎰-=14d 91u u 271432911423=⋅-=u 例3 计算)0(d 022>-⎰a x x a a．分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．解：令t a x sin =，t t a x d cos d =，且当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．得⎰-ax x a 022d ⎰⋅-=2222d cos sin πt t a t a a ⎰=2022d cos πt t a ⎰+=22d )2cos 1(2πt t a（三角公式22cos 1cos 2θθ+=）4)2sin 21(22202a t t a ππ=+⋅= 2.2.2 分部积分法不定积分分部积分公式：⎰⎰'-='x u v uv x v u d d ⎰⎰-=u v uv v u d d定积分有类似的分部积分公式⎰⎰'-='b aba bax v u uv x v u d d 或 ⎰⎰-=baba bau v uv v u d d例1 计算⎰21d e x x x ．解：⎰⎰'=2121d )e (d e x x x x x x ⎰⋅-=21211d e e x x x x 2212e e e e 2=--=x例2 计算⎰e 1d ln x x ．解：⎰⎰'⋅=e1e1d )(ln d ln x x x x x ⎰⋅-=e1e1d 1ln x x xx x 1)1e (0e =---= 例3 计算⎰20d 2sin 3πx x x ．解：⎰⎰-=202d )2cos 21(3d 2sin 3ππx x x x x x ⎰+-=2020d 2cos 232cos 23ππxx x202sin 4343ππx +=π43=2.3 广义积分定积分是在有限区间],[b a 上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分（或称无穷积分）：⎰⎰∞+∆+∞→=ab ab x x f x x f d )(d )(lim⎰⎰∞-∆-∞→=b b aa x x f x x f d )(d )(lim在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散． 例1 计算广义积分⎰∞+12d 1x x． 解：⎰∞+12d 1x x ⎰+∞→=b b x x 12d 1lim bb x 1)1(lim -=+∞→1)11(lim =+-=+∞→bb 例2 计算广义积分⎰∞+-02d e x x ．解：⎰∞+-02d ex x⎰-+∞→=bxb x 02d elimbx b 02e 21lim -+∞→-=21)e 1(21lim 2=-=-+∞→b b例3 计算广义积分⎰∞--0d e 2x x x．解：⎰∞--0d e 2x x x ⎰--∞→=0d e lim2ax a x x ⎰--=--∞→02)(d e 21lim2a x a x2e 21lim ax a --∞→-=21)e (121lim 2-=--=--∞→a a（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
微观经济学讲义-第二讲_图文_图文
(α＞0,β＞0)
中指数的经济含义。
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微观经济分析44
由（iv），（v）我们可知 代入（vi）可以求得
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微观经济分析36
• （4）： 由（3）直接代入支出函数得 ，进而
故谢泼特引理得证。
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微观经济分析37
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微观经济分析6
关于(p,y)是零次齐次的。 对于y是严格递增的。
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微观经济分析7
对于p是严格递减的。
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微观经济分析42
三、预算份额
• 如果收入为y，消费的商品数量为
(x1,x2,…,xn)，价格为(p1,p2,…,pn)，则
称
为购买xi的收入份额，或
预算份额。
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微观经济分析43
例：Cobb—Douglass效用函数
U(X1,X2)=
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微观经济分析15
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
微观经济分析16
如果初始状态：v(0.25,1,2)=2。若政府要征收 0.5元的所得税，则消费者收入y会从2下降为 1.5元。用间接效用函数来衡量，开征0.5元的 所得税会使消费者的间接效用从2下降至1.5。 如果政府的税收总量仍为0.5，但考虑的是开征 商品税，则效果会有所不同。设政府只对X1（ 例如酒）开征商品税，由于开征商品税会使税
经济数学基础第五章讲稿
F ( x) F ( x)dx
其中右端不定积分中出现的积分常数C，由其它已 知条件确定。
注意：当由边际收入求总收入函数时，积分常 数C需依据隐含条件：R(0)=0来确定。
（2）利用变上限定积分
若已知某经济函数F(x)的边际函数F´(x)及初始 值F(0)，由牛顿――莱布尼茨公式
xy ' 2 y sin x ① y xy y ③
'' ' 3
xdy ydx 0 ②
yy e y 1 ④
'' x '
均为常微分方程。
⑶ 微分方程的阶：微分方程中所含未 知函数的导数（或微分）的最高阶数， 称为微分方程的阶。例如，上面方程 ①，②均为一阶微分方程，③，④分 别为二阶、三阶微分方程。
第五章 积分应用
一、积分的几何应用 1．已知切线斜率求曲线方程 若已知某一曲线y=F(x)(未知)在其上任意一点x 处的切线斜率为k=f(x),且过点(x0 ，y0)，那么求 此曲线的方程的方法为：
(1)
由F(x) f(x)dx,求得切线斜率为f(x )的一族曲线
（含任意常数C).
(2)把（x0,y0）代入上式，确定出任意常数C，即得所 求方程。
x
2．求平面图形的面积 ⑴ 定积分的几何意义
若f ( x )在[ a, b]上连续且f ( x ) 0，则
b a f ( x)dx表示曲线y f(x) 与x轴及直线
x a，x b所围成的曲边梯形的面 积，如 右图。即：A
a f ( x)dx f ( x) 0
b
当f ( x ) 0时， f ( x ) dx是由曲线 y f ( x )与x轴及直线x a, x b所围成的
经济应用数学课件5-2
8 Q 1 6 Q 2 0 .0(3 1 Q 1 2 Q 1 Q 2 3 Q 2 2 ) 4,00
(Q10,Q20).
练习2
续解
(Q1,Q2) 8 Q 1 6 Q 2 0 .0(3 1 Q 1 2 Q 1 Q 2 3 Q 2 2 ) 4,0
由
QQ128600..0011((6QQ116QQ22))00,.
(1)若有 f(x,y)f(x0,y0)则, 称P0(x0, y0)是函数f (x, y)
的极大值点,称 f (x0, y0)是函数 f (x, y)的极大值.
(2)若有f(x,y)f(x0,y0)则, 称P0(x0, y0)是函数f (x, y)
的极小值点,称 f (x0, y0)是函数 f (x, y)的极小值.
x y z A 表面积 最小.设箱子的长为 ,宽为 ,高为 . 依题设
V xyz,则
于是,箱子的表面积
z
V xy
.
A2(x yy zz)x2(x yV xV y),
(x0,y0)
x y z 案例1 解设箱子的长为 ,宽为 ,高为 . 于是,箱子的表面积
这是求二元函A 数 的2 极(x 值问 y题y. 由 zz)x2(x yV xV y),
11
Q816464212,8
11
3 1 24 6 62 4 8 1 4 6 6 1 4.28
三. 最小二乘法
案例2
经验 公式
如何根据实验数据确定变量间的函数关系?
在生产实践和科学实验中,常常需要根据实验数据 数据来找出变量间函数关系的近似表达式,这种近似 表达式称为经验公式. 用最小二乘法建立直线型经公验式
函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点; 函数的极大值与极小值统称为函数的极值.
经济应用数学基础(第二版)全书课件汇总整本书电子教案(最新)
lim
n
xn
A
如: lim 1 0 ； lim n 1
n n
n n 1
1.2 极 限
【经济问题1-1】中老大每次分得的马匹数构成
的数列
17 2
17 18 2
17 182 2
17 18n1 2
17
易知
lim
n
18n1
2
0
1.2 极 限
2. 函数极限
定义1.5 如果当自变量 x取正值并无限增大时，函数
（2）由题意，收益函数为
R(Q) Q P Q(90 0.5Q) 90Q 0.5Q
L(Q) R(Q) C(Q) 1.5Q2 94Q 10
1.2 极限
1.2.1 极限概念
1. 数列极限
定义1.4 对于数列 ，xn如果当 无限n 增大时， xn
无限趋近于一个确定的常数 A，则称常数 为A 数列
2
3 x, 1 x 2
1
(1)求此函数的定义域并作出草图；-2 -1
12 -1
x
(2)求 f ( 1), f (1), f ( 4) 的值。
-2
2
3
解 （1）函数的定义域为 (1,2] ,
（2）f ( 1) 1 1 3 , f (1) 12 1, f (4) 3 4 5
22
2
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
因为 f (x) 的左极限和右极限都存在但不相等，所以
lim f (x)不存在。
x0
1.2 极 限
1.2.2 无穷小量与无穷大量
经济数学课件完整版
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
《经济数学基础》 teaching_02_02
导数基本公式与运算法则2.2.1 导数的四则运算法则设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，则)()(x v x u y ±=在点x 处也可导，且v u v u '±''±)(． (2.2.1)设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，则)()(x v x u y ⋅=在点x 处也可导，且v u v u uv '±'=')(． (2.2.2)特别地，当其中有一个函数为常数c 时，则有u c cu '=')(． (2.2.3) 上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：w uv w v u vw u uvw '+'+'=')(． (2.2.4)设函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，且，0)(≠x v ，则)()(x v x u y =在点x 处也可导，且2)(vv u v u v u '-'='. (2.2.5) 证明乘积的导数公式．证 设对应于自变量的改变量x ∆，函数u 、v 分别取得改变量u ∆和v ∆，于是函数y 的改变量为：uv v v u u y -∆+∆+=∆))((=v u v u v u ∆⋅∆+∆⋅+⋅∆， v xu x v u v x u x y ∆⋅∆∆+∆∆⋅+⋅∆∆=∆∆， 由函数)(x u 和)(x v 在点x 处可导，得u x u x '=∆∆→∆0lim，v xvx '=∆∆→∆0lim ，则][lim lim00v xux v u v x u x y x x ∆⋅∆∆+∆∆⋅+⋅∆∆=∆∆→∆→∆=v x u x v u x u v x x x x ∆⋅∆∆+∆∆⋅+∆∆⋅→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim=0⋅'+'⋅+'⋅u v u u v =v u v u '+'．例1 设x xx y x cos 423532+-+=，求y '．解 )(cos 4)2()(3)(532'+'-'+'='-x x x y x=)sin (42ln 2)3(3254x x x x -+--⨯+⨯- =x xx xsin 42ln 29104---． 例2 设)135)(21(2+-+=x x x y ，求y '．解 )135)(21()135()21(22'+-+++-'+='x x x x x x y=)310)(21()135(22-+++-x x x x =12302--x x ．例3 设x x x y ln sin =，求y '．解 )(ln sin ln )(sin ln sin )('+'+'='x x x x x x x x x y=xx x x x x x x 1sin ln cos ln sin 1⋅++⋅=x x x x x x sin ln cos ln sin ++．例4 已知32)(2++-=x x x x f ，求)1(f '．解 222)3()3)(2()3()2()(+'++--+'+-='x x x x x x x x f =2222)3(56)3(1)2()3)(12(+-+=+⋅+--+-x x x x x x x x ， 81)31(5161)1(22=+-⨯+='f ． 例5 设xx x y 7253+-=，求y '．解 先化简，得212125725-+-=xx x y ，于是232123)21(7212255--⋅-⋅+⋅⋅-⋅⋅='x x x y=)7225(212722533232123--=----x x x x x x ．例6求x y tan =的导数． 解 因为xxy cos sin =，所以 2)(cos )(cos sin cos )(sin x x x x x y '-'=' =xx x x 222cos sin cos +=x x 22sec cos 1=， 即 x xx 22sec cos 1)(tan =='. 用同样方法可以得到x xx 22csc sin 1)(cot -=-='.2.2.2 复合函数的导数)13sin(+=x y 是一个复合函数，它可以看作是由u y sin =及13+=x u 复合而成的．我们用定义求出它的导数．)13sin(]1)(3sin[+-+∆+=∆x x x y =)2313cos(23sin2xx x ∆++∆， 而xx x x x y ∆∆++∆=∆∆)2313cos(23sin 2， 则xx x x x y x x ∆∆++∆=∆∆→∆→∆)2313cos(23sin 2lim lim 00 =23)2313cos(23sin 3lim 0xx x x x ∆∆++⋅∆→∆=)2313cos(lim 2323sinlim300x x x x x x ∆++⋅∆∆→∆→∆ =)13cos(3)13cos(13+=+⋅⋅x x .定理 设函数)(x u ϕ=在点x 处有导数)(u f dudy'=，函数)(u f y =在点u 处有导数)(u f dudy'=，则复合函数)]([x f y ϕ=在该点x 也有导数，且)()(x u f dx dy ϕ'⋅'= (2.2.6)或 '⋅'='x u x u y y (2.2.7)或dxdu du dy dx dy ⋅=. (2.2.8) 证 设自变量x 在点x 处取得改变量x ∆，中间变量u 则取得相应改变量u ∆，从而函数y 取得改变量y ∆．当0≠∆u 时，有xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆,又因为)(x u ϕ=在点x 处可导，则在点x 处必连续，即0lim 0=∆→∆u x ,于是)(lim lim 00xu u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ =)()(lim lim00x u f xu u y x u ϕ'⋅'=∆∆⋅∆∆→∆→∆. 当0=∆u 时，可以证明上式仍成立． 例7 求下列函数的导数：(1)x y 3sin =；(2)2cos x y =；(3)5sin x y =；(4)4)52(x y +=；(5)xy 211+=；(6)234x y -=；(7)x y cos ln =.解 (1)设x u sin =，3u y =x x x u u y y x u x cos sin 3cos 322=⋅='⋅'='； (2)设2x u =，u y cos =2sin 22sin x x x u u y y x u x -=⋅-='⋅'='；(3)设5x u =，u y sin =5cos 5151cos x u u y y x u x =⋅='⋅'='； (4)设x u 52+=，4u y =则33)52(2054x u u y y x u x +=⋅='⋅'='；(5)设x u 21+=，1-=u y 则22)21(22)1(x u u y y x u x +-=⋅-='⋅'='-； (6)设234x u -=，21u y =则221343)6(21xxx u u y y x u x ---=-⋅='⋅'='-.(7)设x u cos =，u y ln =，则x xx x u u y y x u x tan cos sin )sin (1-=-=-⋅='⋅'='．定理2.2的结论可以推广到多层次复合的情况．例如设)(u f y =，)(v u ϕ=，)(x v ψ=，则复合函数)]}([{x f y ψϕ=的导数为dxdv dv du du dy dx dy ⋅⋅= (2.2.9)例8 求下列函数的导数：(1)xy 1tan 2=；(2))32(sin 2x y -=；(3)1cos log 23+=x y ．解 (1)设u y 2=，v u tan =，xv 1=x v u x v u y y '⋅'⋅'='xx xv xu 1cos 2ln tan 2)1(cos 12ln 222122=-⋅⋅=； (2))3()32cos()32sin(2-⋅-⋅-='x x y=-3sin2(2-3x) ；(3) 122)1sin (3ln 1cos 1'222+⋅+-⋅⋅+=x x x x y=1tan 13ln 22+⋅+-x x x ．例9 求下列函数的导数：(1)x x y 43)1(-+=； (2)nx x y )3(2-=． 解 (1))43)1(43)1('-++-'+='x x x x y=x x x 4324)1(43--⋅++-=xx xx x 4361432243--=----；(2))3()3(212'-⋅-='-x xx x n y n =222212)3()3()3()()3(-'---'⋅--x x x x x x x n n =222212)3(23)3(---⋅--x x x x x n n =-1221)3()3(+--+n n x x nx ．例10 求函数2211ln xx y -+=的导数． 解 由对数性质，有)]1ln()1[ln(2122x x y --+=，则}])1ln[(])1{[ln(2122'--'+='x x y=42212)1212(21x xx x x x -=---+．例11 推导αx y =的求导公式．证 利用对数的性质我们将函数写成指数式x x y ln e αα==，令u x =ln α，则u e y =，111e -=⋅⋅=⋅='αααααx xx x y u ． 2.2.3 隐函数的导数我们称由未解出因变量的方程0),(=y x F 所确定的y 与x 之间的关系为隐函数．例如，422=+y x ，yxe xy =，05)sin(2=-x y x ，0=-+xy e e y x ，0422=+-y x 等．隐函数求导数的方法是：方程两端同时对x 求导，遇到含有y 的项，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数y '，得到一个含有y '的方程式，然后从中解出y '即可．例12 求由方程422=+y x 所确定的隐函数y 的导数．解 方程两边同时对x 求导，得)4()()(22'='+'y x ，即022='⋅+y y x ，解出y '，得yx y -='． 例13 求由方程xy e y =所确定的隐函数y 的导数．解 方程两边同时对x 求导，得y x y x y y '+'='⋅e ，即y x y y y '+='⋅e ，解出y '，得xe yy y --='． 例14 求曲线1ln =+y xy 在点)1,1(M 处的切线方程．解 先求由1ln =+y xy 所确定的隐函数的导数．方程两边同时对x 求导，得)1()(ln )('='+'y xy ，即01='⋅+'+y yy x y ， 解出y '，得112+-=+--='xy y yx y y ． 在点)1,1(M 处，2111-='==y x y 于是，在点)1,1(M 处的切线方程为)1(211--=-x y ，即032=-+y x ．2.2.4 取对数求导法例15 求曲线)231()2)(35()13(3<<-+-=x x x x x y ． 解 两边取对数，有)]2ln()35ln()13ln([ln 31ln x x x x y --+--+=，方程两边同时对x 求导，可得xx x x y y -++--+='⋅213551331(311，即)213551331()2)(35()13(313xx x x x x x x y -++--+-+-='． 例16 求x x y sin =的导数)0(>x ．解 两边取对数，有x x y ln sin ln =，两边同时对x 求导，可得)(ln sin ln )(sin 1'+'='⋅x x x x y y=x xx x sin 1ln cos +，即)sin 1ln (cos sin x xx x x y x +='．2.2.5 导数基本公式反三角函数的导数公式． 211)(arcsin xx -='；211)(arccos xx --='；211)(arctan x x +='；211)cot (x x arc +-='． 例17 求下列函数的导数：(1))3arcsin(2x y =；(2)3)2arctan xx y =．解 (1)4222916)3()3(11xx x x y -='⋅-='．(2)2222)2(arctan 464121)2(arctan 3x xx x y +=+⋅='． 基本初等函数的导数公式 (1)0)(='c (c 为常数)；(2)1-='αααx x ）（(α为任意常数)； (3)a a a x x ln )(='(1,0≠>a a )； (4)x x e e =')(； (5)ax e x x a a ln 1log 1)(log =='(1,0≠>a a )； (6)xx 1)(ln ='； (7)x x cos )(sin ='； (8)x x sin )(cos -='；(9)xx x 22cos 1sec )(tan =='； (10)xx x 22sin 1csc )(cot -=-='；(11)211)(arcsin xx -='；(12)211)(arccos xx --='；(13)211)(arctan x x +='；(14)211)cot (x x arc +-='； 导数的四则运算法则 设u 、v 是x 的可导函数(1)v u v u '±'='±)(； (2)v u v u v u '±'='⋅)(； (3)v c cv '=')(；(4)2)(vv u v u v u '-'=' )0(≠v ； (5)设)(u f y =，)(x u ϕ=，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为)()(x u f dxdyϕ'⋅'=或'⋅'='x u x u y y ．。
第2讲随机事件的概率
A与B是相等集合
A与B无相同元素
A与B的并集
A与B的交集
A与B的差集
A的余(补)集
§1.2 随机事件的概率
• 1.直观定义 • 2.统计定义 • 3.古典定义； • 4.公理化定义； • 5.几何定义.
1.2.1 概率的统计定义
概率的直 在一次试验中事件A发生的可能性大小的 观定义： 量度称为事件A的概率。
B { 取到的两只球都是黑球}
C { 取到的两只球中至少有一只是白球 }
D { 取到的两只球颜色相同 }
显然C B, D A B
(1)
P( A)
P42 P62
12 30
2 5
（2）类似于（1），可求得
P(B)
P22 P62
1 15
由于AB ，Leabharlann 由概率的有限可加性，所求概率为：
P(D) P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种 方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方 法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
率的稳定值p,记做P(A)。概率是不变的
我们称这一定义为概率的统计定义 。
4 概率是事件的自然属性，有事件就一定有 概率。频率是概率的表现，频率的本质是概率
概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……,
经济数学基础(线性代数)讲义.doc
经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1，矩阵：A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，称为矩阵。
认识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列， 第一行依次0,1,2， 第二行1,1,4 第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵， 再给出一个三行四列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，这个矩阵记作n m A ⨯，表明这个矩阵有m 行，n 列，注意行m 写在前面,列n 写在后面，括号里面的称为元素，记为ij a ，i 是行，j 是列， 例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵，也说成43⨯矩阵，注意行3在前面，列4在后面，这里211=a （就是指的第一行第一列那个数） 123-=a （就是指的第二行第三列那个数） 2，矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。
例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。
,3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母对应⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b =⎦⎢⎢⎢⎣⎡33323122211211c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b ，注意是对应元素相乘，再求和。
经济数学基础课件第一节3
因为lim n
1 2n
0
所以离A最近的中点就是自己.
变量在变化过程中的变化趋势模型
变量在变化过程中无限接近于一个确定的常 数A，称变量在此变化过程中以A为极限。
lim y
n
x
x x0
lim
n
xn
lim f ( x)
lim f ( x)
x
lim f ( x)
x x0
极限符号
lim f (x)
x x0
变量： 数列或函数
极限过程
n x
要求：
x x0
完整规范！
病毒传播模型
某实验室用100只老鼠做某种病毒的传播实验， 以检验它的传播理论。由实验分析得到 t天后， 感染病毒的老鼠数目N的数学模型如下：
100 N 1 99 e0.5t
（1）实验开始时，有多少只老鼠感染此疾病？ （2）什么时候有一半的老鼠感染此疾病？ （3）预测很多天后，传染病的传播数量。
lim f ( x) A或f ( x) A( x )
x
否则称函数当x 时没有极限.
一般地，当x 0, 且x无限增大时，函数f ( x)的极限为A，记为 lim f ( x) A
x
当x 0, 且 x 无限增大时，函数f ( x)的极限为A, 记为 lim f ( x) A
x
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
第
一
1
节
变
2
化
3
趋
势
4
问
题
5
案例分析 知识讲解 例题分析 课堂练习 应用模型
案例分析一
一尺之锤，日取其半，万世不竭.一根1米长的棒，每 次截去一半， 观察剩余量.
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四. 函数的基本特性 (一). 函数的单调性
定义：设函数y=f（x），x∈D，对于任意的 x1，x2 ∈ D，且x1<x2
当x1x2时 , 恒有 f (x1)< f (x2) ,
则称 f (x) 在 D上单调增加 ; 当x1x2时 , 恒有 f (x1)> f (x2) ,
则称 f (x) 在 D上单调减少 ; 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 .
例14.yx3,x(,),求其反.函数
解 :yx3的值y域 (为 , )
由y x3解出
x3 y y( , )
交换字母 y3 x是yx3的反函. 数
问题1
什么样的函数存在反函 数 ?
问题2
f 1和f的定义域和值域之间什 有么关系?
班级
姓名
第次
作 业 格 式
一律用A4纸
结束语
谢谢大家聆听！！！
x是定义在W上的以y为自变量的函数,
记为 xf1(y),
yW
并称之y其 f为 (x)的反函 , 数
习惯上，我x表 们示 总自 是变 用y表 量示 ，因 用变量 所以通x常 f1把 (y)改写y为 f1(x)。 xW
根据定义求反函数时：
1.由 yf(x)解x 出 f 1(y)
2.交换:y字 f母 1(x)
(四) . 函数的周期性
设 f (x)的定义域为 D，如果存在 T≠ 0, 使得对于 任一xD, 都有(x T) D，且 f (x T) = f (x) 恒成立，
则称 f (x)为周期函数， T 称为 f (x) 的周期.
通常周期是指最小正周期.
周期函数的图像每隔一个周期重复出现.
y
1
x
0
2π 3 π π π
2
2
π π 3 π 2π x
2
2
1
例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 2π为周期的 周期函数；
函数y=tan x及y=cot x都是以π为周期的周期函数.
(五).反函数
定义 设 y = f (x) 的定义域为 D，值域为W， 如果对于任一yW，必定有xD,满足f (x) = y，则
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