福建师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版
2019-2020学年福建省福州市仓山区师范大学附中高二上学期期中数学试题(解析版)
福建省福州市仓山区师范大学附中高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若x 2＜1，则-1＜x ＜1”的逆否命题是（ ） A ．若2x 1≥，则x 1≥或x 1≤- B ．若1x 1-<<，则2x 1< C ．若x 1>或x 1<-，则2x 1> D ．若x 1≥或x 1≤-，则2x 1≥【答案】D 【解析】【详解】因为原命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝则p ⌝”,所以命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ 故选D ．2．设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】【详解】本题采用特殊值法：当3,1a b ==-时，0a b +>，但0ab <，故是不充分条件；当3,1a b =-=-时，0ab >，但0a b +<，故是不必要条件.所以“0a b +>”是“0ab >”的既不充分也不必要条件.故选D.【考点】1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.3．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”（ ） A ．不是互斥事件 B ．是互斥但不对立事件 C ．是对立事件 D ．以上答案都不对【答案】B【解析】由于事件“甲分得红牌“与事件“丁分得红牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件． 【详解】由互斥事件及对立事件的定义知，事件“甲分得红牌”与事件“丁分得红牌”是互斥但不对立事件，故选:B ．本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，以及它们之间的关系，属于基础题． 4．抛物线2y ax =的准线方程为( ) A ．4a y =-B ．14y a=-C ．4a x =-D ．14x a=-【答案】B【解析】先写出抛物线的标准方程，进而可得准线方程． 【详解】由题得标准方程为21x y a=，则准线方程为14y a =-，故选B.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．5．在2013年辽宁全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( )A ．310B ．58C ．710D ．25【答案】A【解析】若火炬手编号为12345，，，，，∵试验发生的基本事件总数为3510C =，其中选出的火炬手的编号相连包括{123}，，，{}234，，，{}345，，共3种情况，∴选出的火炬手的编号相连的概率为310，故选A. 点睛：本题主要考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题；由题意知本题是古典概型问题，火炬手编号为12345，，，，，得到试验发生的基本事件总数为35C ，“选出的火炬手的编号相连”包含的事件个数，作商即可.6．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C与2C 2C 的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．12y x =±【解析】先用a ，b 分别表示出12,C C 的离心率为22a b a-和22a b +，两离心率之积为44232a b a -=，可解得b a 的值，再根据2C 的方程可知双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为by x a=±，即得． 【详解】由题得1C 的离心率221a b e -=，2C的离心率222a b e +=，44123a b e e -⋅==，整理等式可得431()2b a -=，解得41()4b a =，已知0a b >>，则有22b a =，双曲线2C 的焦点在x 轴上，则它的渐近线方程为22y x =±，故选A. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的基本性质，在椭圆中满足222a b c =+，在双曲线中满足222c a b =+，不要混淆，造成计算错误．7．如图所示，圆O 的半径为 2，现随机向圆O 内投掷a 粒豆子(豆子大小忽略不计），其中有b 粒落在圆O 的内接正十二边形内，则圆周率的近似值是( )A ．3baB ．3a bC ．a bD ．b a【答案】B【解析】已知圆的半径为2，可得它的面积S ，再计算出圆内接正十二边形的面积'S ，根据投掷豆子的掉落情况可得等式'S bS a=，直接解得圆周率近似值． 【详解】由题，圆O 的半径为2，则圆的面积4S π=，内接正十二边形面积为12'12(22sin )12212S π=⨯⨯⨯⨯=，由向圆O 内投掷a 粒豆子，有b 粒落在圆O 的内接正十二边形内，可得124b a π=，则3a b π=，圆周率的近似值为3ab，故选B.【点睛】本题通过圆和内接正多边形的面积关系来表示圆周率的近似值，难度不大． 8．已知样本9,10,11,x ,y 的平均数是10，方差是2，则xy =( ) A ．100 B ．102C ．98D ．96【答案】D【解析】先由样本平均数是10，可得x y +的值，再根据方差是2可得222222(109)(1010)(1011)(10)(10)25x y s -+-+-+-+-==，将x y +的值代入等式，即可解得xy ． 【详解】 由题得91011105x y++++=，解得20x y +=，由222222(109)(1010)(1011)(10)(10)25x y s -+-+-+-+-==化简整理可得22208x y +=，则有22()208220x y xy +=+=，解得96xy =，故选D.【点睛】本题考查平均数和方差公式，属于基础题，需认真计算． 9．双曲线1y x=的实轴长和焦距分别为( )A ．2B ．2,C ．4D ．【答案】C【解析】先求出双曲线的实轴与双曲线的交点，即可得到a ，实轴长为2a ，再根据等轴c ，进而得到焦距2c ． 【详解】由题得，双曲线的实轴为y=x ，所以双曲线和实轴的交点为(1,1)，则实半轴a ==2a =，又因为1y x =为等轴双曲线，离心率e =c=2，2c=4，故选C. 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，注意题干要求实轴不是实半轴，求焦距不是半焦距．10．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．B ．23CD ．1【答案】C【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：02000232263OM y k y p y pp y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ．【考点】1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．11．已知F 是椭圆C ：22221x y a b +=(a>b>0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆222()39c b x y -+=相切于点Q ，（其中c 为椭圆的半焦距），且2PQ QF =u u u r u u u r 则椭圆C 的离心率等于（ ） A．B ．23C．2D ．12【答案】A【解析】【详解】 记椭圆的左焦点为F′,圆(x-3c )2+y 2=23c的圆心为E, 连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-3c =23a ,QF uuu r =2,∴QF PF '=13=,∴PF′∥QE, ∴=13,且PF′⊥PF. 又∵|QE|=ca(圆的半径长), ∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a, ∴|PF|=2a-b. ∵PF′⊥PF, ∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2, ∴b 2+(2a-b)2=(2c)2, ∴2(a 2-c 2)+b 2=2ab, ∴3b 2=2ab, ∴b=,c==5a,5∴5二、多选题12．关于x,y 的方程22221232x y m m +=+-，(其中223m ≠) 对应的曲线可能是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线E.圆【答案】ABCE【解析】根据22m +和232m -的大小情况进行讨论，结合标准形式判断曲线形状即可． 【详解】由题，若22232m m +>-，解得22m -<<，2320m ->，解得6m <-或6m >，则当66(2,)(,2)x ∈--⋃时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若22322m m ->+，解得2m <-或2m >，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B正确；若2320m -<，解得66m -<<，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；因为220m +<时，m 无实数解，所以D 错误；当22m =时，方程为224x y +=，所以E 正确，故选ABCE. 【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，分情况逐一讨论即可．13．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是( )A ．()11222a c a c +>+B ．1122a c a c -=-C ．1221a c a c >D ．2112e e +=E.椭圆Ⅱ比椭圆I 更扁 【答案】ABD【解析】先根据已知的条件确定1a 和2a 的关系，以及1c 和2c 的关系，再判断正确选项． 【详解】由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得212a a =，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得221a c c +=；因为112222a c a a c +=++，且22a c >，则112222222()a c a a c a c +=++>+，所以A 正确；因为11222222()a c a a c a c -=-+=-，所以B 正确；因为21222a a c c =，212222222()a c a c a a a c =+=+，则有22222222121222()0a c a a c a a c a a c c -=--=-<，所以C 错误；因为1211222122a c c e a e a +==+=，所以D 正确；因为12221122222222022a c a c c c c e a a a e a -=+--==>-，即12e e >，则椭圆I 比椭圆Ⅱ更扁，所以E 不错误，故选ABD. 【点睛】本题考查椭圆的基本性质，找到两个椭圆的长半轴和半焦距的关系，逐一分析选项即可．三、填空题14．若x ，y 满足约束条件10,{30,30,x y x y x -+≥+-≥-≤则z=x−2y 的最小值为__________.【答案】5-【解析】【详解】试题分析：由10{30x y x y -+=+-=得12x y =⎧⎨=⎩，记为点()1,2A ；由10{30x y x -+=-=得34x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,4Β；由30{30x x y -=+-=得30x y =⎧⎨=⎩，记为点()3,0C .分别将A ，B ，C 的坐标代入2z x y =-，得1223Αz =-⨯=-，3245Βz =-⨯=-，3203C z =-⨯=，所以2z x y =-的最小值为5-．【考点】 简单的线性规划 【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： （1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．15．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线22y x =上，则这个正三角形的边长是____________. 【答案】3【解析】正三角形的一个顶点在原点上，根据抛物线的对称性可知，另外两个顶点关于x 轴对称，设一个顶点坐标为200(,)2y y ，则有0202tan 6y y π=，解得0y ，进而求出边长. 【详解】由题得，正三角形另外两个顶点关于x 轴对称，设一个顶点坐标为200(,)2y y ，边长为a ，则有0202tan6y y π=，解得023y =，再由正弦定理231tan 62a π==，解得边长a =.【点睛】本题考查抛物线的对称性，难度不大.16．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________． 【答案】[)2,+∞【解析】试题分析：由已知，该直线斜率的绝对值小于或等于渐进线的斜率,ba所以b a ≥2e =≥. 【考点】1.双曲线的几何性质；2.直线的斜率.17．设P 为抛物线28y x =上的动点，P 在y 轴的投影为点M ，点(4,6)A ，则||||PA PM +的最小值是________.【答案】2【解析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，延长PM 交准线于H 点，由抛物线定义可知||||PF PH =，故||||||||2PM PA PF PA +=+-，由||||||PF PA FA +≥可得所求的最小值为||2FA -，计算出||FA 的值，即可得到||2FA -的值，即||||PA PM +的最小值．【详解】由题得焦点(2,0)F ，准线2x =-，延长PM 交准线于H 点，则有||||PF PH =，||||2||2PM PH PF ∴=-=-，||||||||2PM PA PF PA ∴+=+-，即求出||||PF PA +的最小值即可．已知点A 在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知||||||PF PA FA +≥，当点P 是线段FA 和抛物线的交点时，||||PF PA +可取得最小值为||FA ，由两点之间距离公式计算求得||FA =||||PA PM +的最小值是2．【点睛】本题考查抛物线的定义及性质，用定义将抛物线上点到y轴的距离转化为到焦点的距离关系，是常考题型．18．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是．【答案】﹣=1（x＞3）．【解析】试题分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解：如图，△ABC与圆的切点分别为E、F、G，则有|AE|=|AG|=8，|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故答案为﹣=1（x＞3）．【考点】轨迹方程．四、解答题19．已知动点M 到定点(3,0)F 的距离和它到定直线:1l x =3M 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程； (2)过点F ，倾斜角为3π的直线交曲线C 于A,B 两点，求AB . 【答案】（1）22136x y -=；（2）||3AB =【解析】（1）设d 为动M 到直线:1l x =的距离，由M 到定点(3,0)F 的距离和它到定直线:1l x =3||3MF d=，设点坐标(,)M x y ，代入等式进行化简，即得曲线C 的方程．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程3(3)y x =-，和曲线C 的方程联立，再由212||1()|AB k x x =+-，可得||AB 的值． 【详解】（1）设(,)M x y ，d 为点M 到直线:1l x =的距离，则||3MF d=， 22(3)3x y -+=2226x y -=，即22136x y -=，经检验，该方程即为曲线C 的方程；（2）设()()1122,,,A x y B x y 依题意知，直线AB 的方程为3(3)y x =-，由223(3)26y x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得，218330x x -+= 显然判别式大于零，且121218,33x x x x +=⋅=法一：()22121212||1(3)24163AB x x x x x x =+-=+-=；法二：12||||||3131AB AF BF x x =+=-+-，易得121,1x x >> 从而()12||32163AB x x =+-=. 【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，和求双曲线截得直线的弦长，运用了设而不求的方法，以及弦长公式，是常见的题型．20．某商店为迎接端午节，推出两款粽子：花生粽和肉粽.为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两种粽子的销售量，如下表表示（其中销售单位：个） 天数 销售量天数 1234567891011花生粽 103 93 98 93 106 86 87 94 91 99 100 肉粽 889798 9510198103106103111100（1）根据两组数据完成下面茎叶图：（2）统计学知识，请评述哪款粽子更受欢迎；（3）求肉粽销售量y 关于天数t 的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量（回归方程系数精确到0.1）参考数据：()()111155iii tty y =--=∑，参考公式：()()()121ˆˆˆ,ni ni ii i tt y y b ay bt t t ==--==--∑∑ 【答案】（1）见解析；（2）肉粽更受欢迎；（3）113个【解析】（1）根据表格数据填写茎叶图；（2）由两种粽子的销量情况判断受欢迎款粽子；（3）分别根据公式求出t ，y ，ˆb，ˆa ，从而确定线性回归方程，再将15t =代入回归方程，即得销量． 【详解】（1）根据所给数据可绘制如下茎叶图：（2）由茎叶图知，肉粽的销售量均值高于花生粽，两种销售量波动情况相当，所以认为肉粽更受欢迎；（3）()()22222211116,2543211102ni i t t t =+==-=⨯++++=∑.1100(1232512363110)10011y =+----+-+++++=.所以，155ˆ 1.4110b =≈ ˆ100 1.4691.6a=-⨯=从而线性回归方程为ˆ 1.491.6y t =+ 所以预估第15天肉粽的销售量为1.41591.6113⨯+≈个 【点睛】本题考查根据表格绘制茎叶图，求线性回归方程，以及由回归方程估计销量，是常考的题型之一．21．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”．每次租车收费的标准由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分．已知陈先生的家离上班公司12公里，每天上、下班租用该款汽车各一次．一次路上开车所用的时间记为t （分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为[)2060,分．（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率； （2）若公司每月发放800元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按22天计算），并说明理由.（同一时段，用该区间的中点值作代表） 【答案】（1）1925；（2）见解析 【解析】分析：（1）利用对立事件的概率公式求陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率.(2)比较每个月的费用和800元的大小，即得解.详解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的事件为A则所求的概率为()()1219115025P A P A =-=-=所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为1925. （2）每次开车所用的平均时间为122882253545553550505050⨯+⨯+⨯+⨯= 每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1120.1235=16.2⨯+⨯ 每个月的费用为16.2222=712.8⨯⨯，712.8<800 因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车.点睛：本题主要考查对立事件的概率，考查平均值的计算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析能力.22的椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于,A B 两点，3AB =． （1）求此椭圆的方程；（2）已知直线2y kx =+与椭圆交于,C D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点()1,0E -，求k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2）76k =．【解析】试题分析：（1）设焦距2,3c c e a ==Q ，从而求解椭圆的标准方程；（2）将2y kx =+代入椭圆的方程，得()22131290k x kx +++=，由>0∆，得到21k >，再由韦达定理得到1221213k x x k +=-+，122913x x k =+，利用平面向量化简，列出方程，即可求解k 的值． 试题解析：（1）设焦距为22222,,,1,333c b b c e a b c b a a a a ===+∴==∴==Q Q ∴椭圆的方程为2213x y +=．（2）将2y kx =+代入椭圆的方程，得()22131290k x kx +++=, 又直线与椭圆有两个交点，所以()()221236130k k ∆=-+>, 解得21k>．设()()1122,,,C x y D x y ,则121222129,1313k x x x x k k+=-=++, 若以CD 为直径的圆过E 点，则·0EC ED =u u u r u u u r , 即()()1212110x x y y +++=,而()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++, 则()()()()()()()221212121222911221111215501313k k k x x y y k x x k x x k k +++++=+++++=-+=++, 解得76k =,满足21k >． 【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系、韦达定理化简运算是解答的关键，试题运算量大，思维难度深，属于中档试题．23．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，已知点(1,2)Q ，P 是动点，且三角形POQ 的三边所在直线的斜率满足111OP OQ PQk k k +=. (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过F 作倾斜角为60°的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 的面积； (3)过点(1,0)D 任作两条互相垂直的直线12,l l ，分别交轨迹 C 于点A ，B 和M ，N ，设线段AB ，MN 的中点分别为E ，F .，求证：直线EF 恒过一定点.【答案】（1）24(0,2)y x y y =≠≠；（2）ABC S ∆=（3）定点(3,0)，理由见解析【解析】（1）设点P 的坐标，用已知点和P 点坐标表示出OP K ，OQ K 和PQ K ，再代入等式111OP OQ PQk k k +=，整理即得点P 的轨迹C 方程；（2）设A,B 点的坐标，根据点F ，可得直线L 的方程，将L 的方程和P 的轨迹方程联立，再由公式ABC 211||2S OF y y ∆=⨯⨯-可得△AOB 的面积；（3）设点A,B 的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，点E 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，将直线1l 与曲线方程联立，因为直线与曲线有两个交点，则可用斜率k 表示出点E ，直线12,l l 垂直，可知直线2l 的斜率为1k-，且2l 过点D ，则同理可得用k 表示的F 点坐标，根据点斜式可求出直线EF 的方程，再根据方程特点可证． 【详解】（1）设点P 的坐标为(,)P x y ，则2,2,1OP OQ PQ y y K K K x x -===-， 由111OQ OP PQ K K K +=，得1122x x y y -+=-，整理得点P 的轨迹的方程为：24(0,2)y x y y =≠≠（2）设()()1122,,,A x y B x y，由241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得：240y -=12124y y y y ∴+==-，ABC 21111||1222S OF y y ∆∴=⨯⨯-=⨯==（3）证明：设点A,B 的坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则点E 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭. 由题意可设直线1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得()2222240k x k x k -++=， ()224224416160k k k ∆=+-=+>，∵直线l 与抛物线交于A ，B 两点，()1212122442,2x x y y k x x k k ∴+=++=+-=， ∴点E 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭，由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得F 的坐标为()212,2kk +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+.此时直线EF 的斜率为：()2222221112EF k kkk kk k+==-+-+ ∴直线EF 的方程为，()222121ky k x k k+=--- 整理得，22(3)1ky k x k+=--恒过定点(3,0)，当1k =±时，直线EF 的方程为3x =，也过点(3,0).综上所述，直线EF 恒过定点(3,0). 【点睛】本题考查求抛物线的轨迹方程，以及用设而不求的方法计算与抛物线有交点的三角形的面积，最后一问证明直线方程过定点也用了此方法，对计算准确度要求较高，有一定的综合性．。
福建师范大学第二附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
2019—2020学年度第一学期高二数学半期考试题命题范围： 选修2-1第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个命题：“p 且q ” “p 或q ” “非p ”中，真命题的个数为（ ） A ．0B ．3C ．2D ．12．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（ ）A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x3．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和），它们所表示的曲线可能是（ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ4．已知M （-2,0）,N （2,0）,|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支5．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ ）A ．（0,+∞）B ．（0,2）C ．（1,+∞）D ．（0,1）6. 如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BAAC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FGCA · Ｄ．2EF CB ·7．已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x -=平行,则x,y 的值分别是（ ）A ．6和-10B ．–6和10C ．–6和-10D ．6和108．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．椭圆122222=+by a x 与双曲线122222=-b y a x 有公共焦点，则椭圆的离心率是（ ）A 23B315 C 46D 630 10．已知双曲线方程为1422=-y x ，过)1,2(-P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线L 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动， 则当QA QB ⋅。
精编福建省福州市2019-2020学年高二数学上学期期中试题(有标准答案)
福建省福州市2019-2020学年上学期期中试题高 二 数 学（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ）A.1(1)1n n +-+B.(1)1n n -+C.(1)n n -D.1(1)n n--2、下列选项中正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d <，则a bc d > C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若0ab >，a b >，则11a b< 3、不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为φ，那么 （ ）A. 0,0a <∆≥B. 0,0a <∆≤C. 0,0a >∆≤D. 0,0a >∆> 4、已知等差数列｛n a ｝满足,0101321=++++a a a a 则有（ ） 57.0.0.0.5199310021011==+<+>+a D a a C a a B a a A5、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．06030或 B ．06045或 C ．060120或 D ．015030或 6、若三条线段的长为5、6、7，则用这三条线段 （ ） A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形 7、下列函数中，y 的最小值为2的是（ ）A.1y xx =+B.1(0)y x x x =+>C. 4(0)y x x x =+>D.y =8、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123=S ，606=S ，则9S =( )A ．192 B.300 C.252 D.3609、ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin a B b A c C +=，2221()4ABC S b c a ∆=+-，则角B 等于（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒10、如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60︒，再由点C 沿北偏东15︒方向走10米到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔高AB 的高度为（ ）A.10B.11、设实数,x y满足条件, 若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为 12，则3a +4b的最小值为（ ）A ．B ．256C ．83D ．412、将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵。
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(四)
福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一.单项选择题1．C．2．B．3．B．4．B 5．A．6．A．7．D．8．A．9．C 10．B 11．D．12．B．二.填空题13．解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．解：∵数列{a n}为等差数列，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，即a3=3，又∵a5=5，∴d==1，∴a n=5+（n﹣5）=n，又∵==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题18．解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，∴当n≥2时，S n﹣1=﹣n﹣1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，由T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，得，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．。
数学-高二-福建省师范大学附属二中高二上期中考试数学试题
福建师大二附中2016—2017学年第一学期高二年期中考数 学 试 卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一.选择题(每题5分,共60分) 1. 若a b >，则下列正确的是( )A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->- 2. 等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 3. 一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 （ ）A ．2617海里/小时 B ．634海里/小时 C ．2217海里/小时 D ．234海里/小时4.若集合2{4}M x x =>，3{0}1xN xx -=>+，则M N ＝( )A ．{2}x x <-B ．{23}x x <<C ．{23}x x x <->或D ．{3}x x >5. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是( )A. A B <B. A B >C. A B =D.11A B< 6.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于( )A ．30B ．60C ． 30或150 D.60或120 7. 在等差数列{}n a 中，若14,a a 是方程260x x --=的两根，则23a a +的值为( )A.6B.-6C.-1D.18. 已知数列}{n a 满足10,a =*13()31n n n a a n N a +-=∈+，则前200项的和为( )A ．0B ．3-C ．3D ．23 9. 若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ） A.326+ B.327+ C.346+ D.347+10. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m的取值范围为（ ）A ．(1,12)+B ．(12,)++∞C ．(1,3)D ．(3,)+∞11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，sin sin()3sin 2C A B B +-=.若3C π=,则ab = ( )A.3或12B. 3或14C. 3D. 1212.设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. C. D.二.填空题(每题5分,共20分)13. 不等式012<--mx mx 的解集是全体实数，则m 的取值范围是 14. 已知正数,a b 的等比中项是2，且11,+m b n a a b=+=，则m n +的最小值是15. 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，()f x R ,x y R ∈()()()f x f y f x y ⋅=+()()11,2n a a f n n N *==∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60︒和30︒，且座位A 、B的距离为________米． 16. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，……，则第100个括号内的数为________. 三.解答题(共70分)17.(10分)一个小型家具厂计划生产A 型和B 型两种型号的桌子.每种都要经过打磨和上漆两道工序.下表给出了两种型号打磨和上漆所需的时间及一个工人每天分别完成打磨和上漆工序的最长工作时间.如果A 型桌子每张获利400元,B 型桌子每张获利300元, 问：A 型和B 型桌子每天各生产多少张，才能使工厂获利最大？最大值为多少元？18. (12分)在锐角三角形ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若c =，且ABC ∆a b +的值．19. (12分) 等差数列}{n a 中，已知0>n a ，15321=++a a a ，且13,5,2321+++a a a 构成等比数列}{n b 的前三项.（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T .20. (12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25x -万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入-总支出)?21. (12分)0)x ≥成等差数列．又数列{}(0)n n a a >中，13a =，此数列的前n 项的和*()n S n N ∈对所有大于的正整数n 都有1()n n S f S -= ． (1)求数列{}n a 的第1n +项； (2)是11n a +，1na 的等比中项，且n T 为{}nb 的前n 项，求n T .22. (12分) 已知二次函数2)(2+-=bx ax x f (0>a ).（1）若不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ，求a 和b 的值； （2）若12+=a b .①解关于x 的不等式0)(≤x f ；②若对任意]2,1[∈a ，0)(>x f 恒成立，求x 的取值范围.福建师大二附中2016—2017学年第一学期高二年期中考数 学 答 案一.选择题D B A B B C D B D A A C二.填空题13. (]-4,0 14. 5 15.30 16.397三.解答题17. 解:设每天生产A 型和B 型桌子分别为y x ,张，总利润为 z （元）则由题意，得10545029069450231500,00,0x y x y x y x y x y x y +≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤⇔+≤⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩目标函数是 400300z x y =+，画图，得29023150x y x y +=⎧⎨+=⎩ 的交点是 (30,30)Pmax 304003030021000z =⨯+⨯=（元）答：A 型和B 型桌子每天各生产30、30张，才能使工厂获利最大，最大值为21000元.18. （1）2sin c A =，由正弦定理2sin sin A C A =∴sin C =由ABC ∆是锐角三角形，∴060C =． （2）1sin 2ABC S ab C ∆==6ab =，2221cos 22a b c C ab +-==，将c =2213a b +=，∴222()2131225a b a b ab +=++=+=，∴5a b +=．19. 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由已知得：1532321==++a a a a ，即52=a .又100)135)(25(=+++-d d ，解得2=d 或13-=d （舍），321=-=d a a ， ∴12)1(1+=-+=n d n a a n .又5211=+=a b ，10522=+=a b ，∴2=q ，∴125-⨯=n n b . （2）]2)12(27253[512-⋅+++⨯+⨯+=n n n T ，]2)12(272523[5232n n n T ⋅+++⨯+⨯+⨯= ，两式相减得]12)21[(5]2)12(222725223[5132-⋅-=⋅+-⨯++⨯+⨯+⨯+=--n n n n n n T ，∴]12)12[(5+⋅-=n n n T .20. (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x （x －1）2·2－50， (0＜x ≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x ≤10，x ∈N)， 由－x 2＋20x －50＞0， 解得10－52＜x ＜10＋52， 而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出． 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x ＝1x(－x 2＋19x －25)＝ 19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大． 21. 因为x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3. 所以f (x )＝(x ＋3)2. 因为S n ＝f (S n －1)(n ≥2)， 所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3.所以{S n }是以3为公差的等差数列． 因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3.所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n .所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. (2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n ， 所以b n ＝1a n ＋1a n ＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝118⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 118⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）.22. 解：(1) 不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ， ∴与之对应的二次方程022=+-bx ax 的两根为1，2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=+a a b 22121，解得⎩⎨⎧==31b a .(2) 将12+=a b 代入2)(2+-=bx ax x f ，得)1)(2(2)12()(2ax x a x a ax x f --=+--=(0>a )①0)1)(2(≤--a x x ，∴若(21>a )，不等式0)(≤x f 解集为}21|{≤≤x a x ；若210<<a ，不等式0)(≤x f 解集为}12|{a x x ≤≤；若21=a ，不等式0)(≤x f 解集为}2|{=x x .②令2)2()(2+--=x x x a a g ，则⎩⎨⎧>>0)2(0)1(g g 或0=x ，解得2>x 或21<x 或0=x .故x 的取值范围是2|{>x x 或21<x 或}0=x .。
福建省福建师范大学附属第二中学高二数学上学期期中试题(1)
福建师大二附中2016—2017学年第一学期高二年期中考数 学 试 卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）一.选择题(每题5分,共60分) 1. 若a b >，则下列正确的是( ) A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc > D ．a c b c ->-2. 等差数列{}n a 中，15410,7a a a +==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．43. 一船自西向东匀速航行上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为 （ ）A ．2617海里/小时 B ．634海里/小时 C ．2217海里/小时 D ．234海里/小时4.若集合2{4}M x x =>，3{0}1xN xx -=>+，则M N ＝( )A ．{2}x x <-B ．{23}x x <<C ．{23}x x x <->或D ．{3}x x >5. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是( )A. A B <B. A B >C. A B =D.11A B< 6.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于( )A ．30B ．60C ． 30或150 D.60或1207. 在等差数列{}n a 中，若14,a a 是方程260x x --=的两根，则23a a +的值为( )A.6B.-6C.-1D.1 8. 已知数列}{n a 满足10,a=*1)n a n N +=∈，则前200项的和为( )A ．0B ．3-C ．3D ．239. 若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+B.327+C.346+D.347+10. 设1m >，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)++∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞11.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，sin sin()3sin 2C A B B +-=.若3C π=,则ab= ( ) A.3或12 B. 3或14 C. 3D. 1212.设是定义在上的恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是（ ）二.填空题(每题5分,共20分)13. 不等式012<--mx mx 的解集是全体实数，则m 的取值范围是 14. 已知正数,a b 的等比中项是2，且11,+m b n a a b=+=，则m n +的最小值是 15. 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图所示，在坡度为15︒的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60︒和30︒，且座位A 、B 的距离为________米．16. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，……，则第100个括号内的数为________. 三.解答题(共70分)()f x R ,x y R ∈()()()f x f y f x y ⋅=+17.(10分)一个小型家具厂计划生产A 型和B 型两种型号的桌子.每种都要经过打磨和上漆两道工序.下表给出了两种型号打磨和上漆所需的时间及一个工人每天分别完成打磨和上漆工序的最长工作时间.如果A 型桌子每张获利400元,B 型桌子每张获利300元, 问：A 型和B 型桌子每天各生产多少张，才能使工厂获利最大？最大值为多少元？18. (12分)在锐角三角形ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C2sin c A =． （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ∆，求a b +的值．19. (12分) 等差数列}{n a 中，已知0>n a ，15321=++a a a ，且13,5,2321+++a a a 构成等比数列}{n b 的前三项.（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T .20. (12分)小王在年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为25x -万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大(利润＝累计收入＋销售收入-总支出)?21. (12分)0)x ≥成等差数列．又数列{}(0)n n a a >中，13a =，此数列的前n 项的和*()n S n N ∈对所有大于1的正整数n 都有1()n n S f S -= ．(1)求数列{}n a 的第1n +项； (2)11n a +，1na 的等比中项，且n T 为{}nb 的前n 项，求n T .22. (12分) 已知二次函数2)(2+-=bx ax x f (0>a ).（1）若不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ，求a 和b 的值； （2）若12+=a b .①解关于x 的不等式0)(≤x f ；②若对任意]2,1[∈a ，0)(>x f 恒成立，求x 的取值范围.福建师大二附中2016—2017学年第一学期高二年期中考数学答案一.选择题D B A B B C D B D A A C二.填空题13. (]-4,0 14. 5 15.30 16.397三.解答题17. 解:设每天生产A型和B型桌子分别为yx,张，总利润为z（元）则由题意，得10545029069450231500,00,0x y x yx y x yx y x y+≤+≤⎧⎧⎪⎪+≤⇔+≤⎨⎨⎪⎪≥≥≥≥⎩⎩目标函数是400300z x y=+，画图，得29023150x yx y+=⎧⎨+=⎩的交点是(30,30)Pmax304003030021000z=⨯+⨯=（元）答：A型和B型桌子每天各生产30、30张，才能使工厂获利最大，最大值为21000元.18. （1）2sinc A=，由正弦定理2sin sinA C A=∴sin2C=由ABC∆是锐角三角形，∴060C=．（2）1sin22ABCS ab C∆==6ab=，2221cos22a b cCab+-==，将c=2213a b +=，∴222()2131225a b a b ab +=++=+=，∴5a b +=．19. 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由已知得：1532321==++a a a a ，即52=a . 又100)135)(25(=+++-d d ，解得2=d 或13-=d （舍），321=-=d a a ， ∴12)1(1+=-+=n d n a a n .又5211=+=a b ，10522=+=a b ，∴2=q ，∴125-⨯=n n b . （2）]2)12(27253[512-⋅+++⨯+⨯+=n n n T ，]2)12(272523[5232n n n T ⋅+++⨯+⨯+⨯= ，两式相减得]12)21[(5]2)12(222725223[5132-⋅-=⋅+-⨯++⨯+⨯+⨯+=--nn n n n n T ， ∴]12)12[(5+⋅-=nn n T .20. (1)设大货车到第x 年年底的运输累计收入与总支出的差为y 万元， 则y ＝25x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤6x ＋x （x －1）2·2－50，(0＜x ≤10，x ∈N)，即y ＝－x 2＋20x －50，(0＜x ≤10，x ∈N)，由－x 2＋20x －50＞0， 解得10－52＜x ＜10＋52， 而2＜10－52＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出． 所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y －＝1x [y ＋(25－x )]＝1x(－x 2＋19x －25)＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ·25x＝9，当且仅当x ＝5时取得等号．即小王应当在第5年年底将大货车出售，才能使年平均利润最大． 21. 因为x ，f （x ）2，3(x ≥0)成等差数列，所以f （x ）2×2＝x ＋ 3.所以f (x )＝(x ＋3)2. 因为S n ＝f (S n －1)(n ≥2)， 所以S n ＝f (S n －1)＝(S n －1＋3)2. 所以S n ＝S n －1＋3，S n －S n －1＝ 3. 所以{S n }是以3为公差的等差数列． 因为a 1＝3，所以S 1＝a 1＝3.所以S n ＝S 1＋(n －1)3＝3＋3n －3＝3n .所以S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. (2)因为数列b n 是1a n ＋1，1a n的等比中项，所以(b n )2＝1a n ＋1·1a n，所以b n ＝1a n ＋1a n＝13（2n ＋1）·3（2n －1）＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 118⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝118⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 9（2n ＋1）. 22. 解：(1) 不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ， ∴与之对应的二次方程022=+-bx ax 的两根为1，2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=+a a b 22121，解得⎩⎨⎧==31b a .(2) 将12+=a b 代入2)(2+-=bx ax x f ，得)1)(2(2)12()(2ax x a x a ax x f --=+--=(0>a )①0)1)(2(≤--a x x ，∴若(21>a )，不等式0)(≤x f 解集为}21|{≤≤x a x ；若210<<a ，不等式0)(≤x f 解集为}12|{a x x ≤≤；若21=a ，不等式0)(≤x f 解集为}2|{=x x .②令2)2()(2+--=x x x a a g ，则⎩⎨⎧>>0)2(0)1(g g 或0=x ，解得2>x 或21<x 或0=x .故x 的取值范围是2|{>x x 或21<x 或}0=x .。
福建师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中考试数学试题
福建师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题-B．A．113322x-展开式中二项式系数和为5．若()10++=（）A B CA．4095B．6．已知角θ的大小如图所示，则A ．53-B ．7．已知0x >，0y >，且A ．3B ．8．设数列{}n a 满足11a =，如[)23=，[)2.12-=-，记A ．4044B ．二、多选题9．已知直线2:(1)l a a x ++A ．当1a =-时，直线l B ．若直线l 与直线x -C ．直线l 过定点(0,1)D ．当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等10．已知函数()cos2f x x =A ．()f x 的最大值为3C ．()f x 的图象关于直线11．已知同底面的两个正三棱锥-P ABC 的侧面与底面所成角的大小为A ．//PA 平面QBCB ．设三棱锥Q ABC -C ．平面ABC 截球O 所得的截面面积是球D ．二面角P AB Q --的正切值为A ．函数()y f x =的零点是()0,0B ．不等式()0f x >的解集是()0,∞+．C ．设()()g x f x '=，则()g x 在[)0,∞+上不是单调函数D ．对任意的(),0,s t ∈+∞，都有()()()f s t f s f t +>+．16．已知椭圆2222x y a b+线段1F P 与y 轴交于点为.四、解答题17．在ABC 中，a ，(1)求tan tan AB的值；(2)若2c =，3tan 4C =18．已知数列{}n a 为等差数列，其前(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列n b 的前n 项和(1)若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在(2)从这100个苹果中随机挑出8个，这重量范围（单位：kg ）[)0.1,0.3个数2为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出量在[]0.3,0.7内的个数为X ，求随机变量20．如图，在长方形111ABCD A B C -AEEBλ=.（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角1D EC D --的大小为21．已知椭圆C ：(22221x y a b a b+=>(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l ：y kx m =+（,R k m ∈）与椭圆①求证：AOB 的面积为定值；②椭圆C 上是否存在一点P ，使得四边形。
福建高二高中数学期中考试带答案解析
福建高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．2.若,则的解集为（）A．B．C．D．3.下列命题中正确的是（）A．复数与相等的充要条件是且B．任何复数都不能比较大小C．若则D．若，则或4.数列，…, 的前项的和等于（）A．B．C．D．5.对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．C．D．7.已知函数，若在区间上单调递增减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.三次函数当时有极大值，当时有极小值，且函数过原点，则此函数是（）A．B．C．D．9.若是正实数，则的最小值（）A．B．C．D．10.复数满足方程那么在复平面内对应的点组成的图形为（）A．以为圆心，以为半径的圆B．以为圆心，以为半径的圆C．以为圆心，以为半径的圆D．以为圆心，以为半径的圆11.定义在上的函数满足其导函数满足则下列结论一定错误的是（）A．B．C．D．二、填空题1.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为．2.已知若则的表达式为．3.定积分．4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为令则的值为．三、解答题1.已知求证：2.请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设.（1）某广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.3.求同时满足下列条件的所有复数.（1）是实数，且；（2）的实部和虚部都是整数.4.设函数其中（1）讨论在其定义域上的单调性；（2）当时，求取得最大值和最小值的的值.5.已知数列满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.6.设函数（1）证明：在上单调递减，在上单调递增；（2）若对于任意，都有求的取值范围.福建高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.是的共轭复数，若为虚数单位) ，则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据共轭复数的定义：两复数实部相同，虚部互为相反数。
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2019—2020学年度第一学期高二数学半期考试题
命题范围： 选修2-1
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）
1．给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个命题：“p 且q ” “p 或q ” “非
p ”中，真命题的个数为（ ） A ．0
B ．3
C ．2
D ．1
2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2
3,2
5
(-
，则椭圆方程是（ ）
A ．
14
82
2=+x y B ．16
102
2=+x y C ．18
42
2=+x y D ．16
102
2
=+y x
3．已知方程0,,0(022>≠≠=++=+c b a ab c by ax ab by ax 其中和），它们所表示的曲线可能是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
4．已知M （-2,0）,N （2,0）,|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线左支
C ．一条射线
D ．双曲线右支
5．如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．（0,+∞）
B ．（0,2）
C ．（1,+∞）
D ．（0,1）
6. 如图1,空间四边形ABCD 的四条边及对角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，，的中点，则2
a 等于（ ）
Ａ．2BA
AC · Ｂ．2AD BD · Ｃ．2FG
CA · Ｄ．2EF CB ·
命题人 审核人
7．已知向量)5,3,2(-=与向量),,4(y x -=平行,则x,y 的值分别是（ ）
A ．6和-10
B ．–6和10
C ．–6和-10
D ．6和10
8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23
的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．椭圆122222=+b
y a x 与双曲线122222=-b y a x 有公共焦点，则椭圆的离心率是（ ）A 23
B
315 C 4
6
D 630 10．已知双曲线方程为14
2
2
=-y x ，过)1,2(-P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直
线L 的条数共有（ ）
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
11．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动， 则当QA QB ⋅。