物理学第二章刚体转动
刚体旋转知识点归纳总结
刚体旋转知识点归纳总结1. 刚体旋转的基本概念刚体是指在一定时间内，其内部各点的相对位置不改变的物体。
刚体旋转是指刚体围绕固定点或固定轴发生的旋转运动。
在刚体旋转中，需要引入一些基本概念：1.1 刚体的转动刚体的旋转可以是定点转动，也可以是定轴转动。
在定点转动中，刚体绕固定点旋转，而在定轴转动中，刚体绕固定轴旋转。
定点转动和定轴转动都是刚体旋转运动的两种基本形式。
1.2 刚体的转动角度和角速度刚体的转动角度是刚体在单位时间内所转过的角度，通常用θ表示。
刚体的角速度是指刚体单位时间内转过的角度，通常用ω表示。
在刚体定点转动中，角速度是刚体绕定点旋转的角度速度；在刚体定轴转动中，角速度是刚体绕定轴旋转的角度速度。
1.3 刚体的转动惯量刚体的转动惯量是衡量刚体抵抗旋转的惯性大小，通常用I表示。
刚体转动惯量的大小取决于刚体形状、质量分布以及旋转轴的位置。
对于质点组成的刚体，其转动惯量可以通过对质点的质量进行积分得到。
1.4 刚体的角动量刚体的角动量是刚体旋转运动的物理量，通常用L表示。
角动量的大小和方向分别由角速度和转动惯量决定。
在定点转动中，如果刚体的角速度和转动惯量都不变，那么刚体的角动量也保持不变；在定轴转动中，如果刚体绕固定轴旋转，那么刚体的角动量也保持不变。
2. 刚体的转动力学刚体的转动力学研究刚体在旋转运动中所受的力和力矩，包括转动定律、角动量定理、动能定理等内容。
2.1 刚体的平衡刚体旋转平衡需要满足一定的条件，包括力矩平衡条件和动量平衡条件。
刚体力矩平衡条件是指刚体所受的合外力矩为零；刚体动量平衡条件是指刚体所受的合外力矩关于某一点的力矩为零。
2.2 刚体的角动量定理刚体的角动量定理描述了刚体在受到外力矩作用下，其角动量的变化规律。
根据角动量定理，刚体所受外力矩产生的角动量变化率等于刚体所受外力矩的矢量和。
2.3 刚体的动能定理刚体的动能定理描述了刚体在旋转运动中，其动能的变化规律。
根据动能定理，刚体所受外力矩产生的功率等于刚体动能的变化率。
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
大学物理—刚体的动轴转动
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
v v r sin r sin 900
和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为
v 的方向垂直于
2
r 78.5m / s
r
at ar 3.14m / s
3
2
2
an r 6.16 10 m / s 边缘上该点的加速度 a an al 其中 a l 的方向 与 v 的方向相反，a n 的方向指向轴心，a 的大小
1 m1 2m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2
22
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动
1. 刚体 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离恒保持不变。 2.平动和转动 刚体最简单的运动形式是平动和转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定的直 线，在运动中始终保持平行，这种运动叫平动。 刚体平动时，在任意一段时间内，刚体中各质 点的位移相同。且在任何时刻，各质点的速度和加 速度都相同。
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究在大学物理中，研究刚体运动的转动惯量和角动量是非常重要的。
本文将深入探讨刚体运动中转动惯量和角动量的概念、计算公式以及其在物理学中的应用。
一、转动惯量的概念及计算公式刚体的转动惯量，简称为惯量，是描述刚体旋转运动惯性大小的物理量。
转动惯量的计算与刚体的形状和质量分布有关。
刚体的转动惯量用符号"I"表示，其计算公式为：I = ∑mr²其中，"m"是刚体上各个质点的质量，"r"是该质点到转轴的距离。
对于连续分布的质量，转动惯量的计算将采用积分的方式。
二、角动量的概念及计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量。
在刚体运动中，角动量的大小和方向都很重要。
角动量（L）的计算公式为：L = Iω其中，"I"是刚体的转动惯量，"ω"是刚体的角速度。
刚体的角速度定义为单位时间内转过的角度。
对于质点和刚体的角动量，其大小和方向可以通过力矩（τ）和时间（t）的计算得到。
L = τt三、转动惯量和角动量的应用1. 刚体平衡在研究刚体的平衡时，转动惯量和角动量是非常重要的参考量。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以确定平衡条件，从而解决物体受力平衡问题。
2. 陀螺原理陀螺是刚体运动转动惯量和角动量的经典应用之一。
陀螺的旋转方向不易改变，是因为陀螺具有较大的转动惯量，保持角动量守恒的特性。
3. 物体滚动在物体滚动的过程中，转动惯量和角动量的变化会影响物体的运动。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以理解物体滚动的物理原理，并进行相关的问题求解。
4. 自行车行驶自行车作为一种常见的运动方式，其行驶原理也涉及到转动惯量和角动量。
通过刚体运动的转动惯量和角动量，可以分析自行车的稳定性和行驶效果，为相关问题提供解答。
总结：转动惯量和角动量是刚体运动中重要的物理概念。
它们的计算公式和理论基础为我们解决刚体运动问题提供了重要的数学工具。
大学物理_第二章_刚体
2rdr
m
R2
2
rdr
(2) 求 d J
利用上题结果 dJ = r2 dm
r 0
(3) 求 J
dr
J
r 2dm
m
Rr2
0
m
R2
2
rdr
1 mR 2 2
J 1 mR 2
2
例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量
对质心轴 （1） dm dx m dx
l
mO
在半径为r、宽度为dr的面积元dS上的质元
0
具有相同的线速度v。则dS上阻力的大小为:
dF f dS f 2 r dr
考虑盘的上下表面，故阻力矩大小为
dM 2 r dF
总阻力矩
R
M dM 0 (2r f 2 r)dr
m
R
0 (2r kv 2 r)dr
与力的作用点的位置和方向都有关。即，只有力矩才
能改变刚体的转动。当M=0时，刚体匀速转动或静止
r
f11 f
f⊥
m
M
r
f
M r f11 f rf11 r f
对转动没影响 M r f r f
大小f：应 M 理 r解f s为 in在方转向动：平沿面r 内f
2
1 3
mL2
又如求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行
轴的转动惯量:
JO JC md2
Jo
1 2
mR2
mR2
3 mR2 2
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：
质点系动力学：刚体运动规律及转动动能定理
质点系动力学在物理学中，质点系动力学是研究物体间相互作用的力以及物体运动轨迹的学科。
本文将讨论质点系动力学中的一个重要概念：刚体运动规律及转动动能定理。
刚体运动规律刚体是一个比较理想化的物理模型，假设物体的形状和大小在运动过程中保持不变。
根据刚体运动规律，刚体在外力作用下会发生运动，根据牛顿第二定律，刚体的运动状态取决于作用在刚体上的合力。
刚体的运动可分为平动和旋转两种类型。
在平动运动中，刚体整体沿直线或曲线运动；而在旋转运动中，刚体绕固定轴线旋转。
根据刚体运动规律，刚体的运动轨迹可以用运动学方程描述，运动方程中包含了速度、加速度等因素。
转动动能定理转动动能定理是描述刚体绕固定轴线旋转动能变化的重要定理。
根据转动动能定理，刚体旋转过程中的动能变化等于作用在刚体上的转动力做功的总和。
假设有一个质量为m、半径为r的刚体，绕垂直轴线（转动惯量为I）旋转。
根据转动动能定理，刚体的转动动能变化ΔK等于转动力做的功W。
转动动能的变化由以下公式给出：ΔK = W = τθ其中，τ为转动力矩，θ为转动角度。
转动角度与角速度的关系为θ = ωt，因此转动动能变化ΔK还可以表示为ΔK = τωt。
结论通过以上讨论，我们了解了质点系动力学中的刚体运动规律以及转动动能定理。
刚体运动规律可以帮助我们理解物体在运动过程中的轨迹和状态变化，而转动动能定理则为解释物体旋转运动提供了重要定量关系。
深入研究质点系动力学中的这些概念，有助于我们更好地理解物体的运动规律和相互作用过程。
在质点系动力学的研究中，刚体运动规律及转动动能定理是重要的基础知识，对于进一步探索物体间相互作用和运动规律具有重要意义。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解质点系动力学中的这一部分内容，激发对物理学的兴趣和探索。
刚体的平动和转动
刚体的平动和转动刚体是物理学中的重要概念，它是指在力的作用下不会发生形变的物体。
刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
本文将就刚体的平动和转动进行详细阐述。
一、刚体的平动刚体的平动是指整个物体在空间中沿直线运动，其每一部分都以相同的速度和方向移动。
刚体的平动可以用质心的运动来描述。
质心是刚体在空间中的一个点，刚体的质量集中于此点。
在刚体平动的过程中，质心的位置发生变化。
根据牛顿第二定律，刚体所受的合外力等于质量乘以加速度。
因此，刚体平动的加速度与合外力成正比，与质量成反比。
刚体平动时，其质心的速度与作用在质心上的合外力成正比，与质体的质量成反比。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转。
刚体转动的基本量是角速度和角加速度。
角速度是刚体每单位时间转动的角度，通常用符号ω表示。
角加速度是角速度变化的速率，通常用符号α表示。
刚体的转动是由力矩产生的。
力矩是力对轴线的垂直距离乘以力的大小。
根据力矩定理，一个物体的转动平衡需要满足合外力矩为零的条件。
根据转动定律，刚体的转动惯量与其质量和形状有关。
转动惯量用符号I表示，它与质体质量的分布以及围绕的轴线位置有关。
转动惯量越大，刚体越难以改变其转动状态。
三、刚体的平动与转动的联系刚体的平动和转动是密切相关的。
根据转动定律，刚体的转动加速度与转动力矩成正比，与转动惯量成反比。
因此，当一个刚体在平动时，可以通过产生合适的力矩使其发生转动。
进一步地，根据动量定理，刚体的平动动量等于质量乘以质心的速度。
而角动量定理则表明刚体的转动动量等于转动惯量乘以角速度。
刚体的平动和转动动量都遵循守恒定律，在运动过程中保持不变。
在实际应用中，刚体的平动和转动经常同时发生。
比如，汽车在行驶的过程中既存在平动又存在轮胎的转动。
为了描述这种情况，物理学家提出了受力分析的方法，将平动和转动各自相关的力和力矩进行分析。
总结：刚体的平动和转动是物理学中重要的运动形式。
刚体的平动是指整个物体沿直线运动，由质心的运动来描述；刚体的转动是指物体围绕固定轴线进行旋转，由角速度和角加速度来描述。
刚体的运动和转动
刚体的运动和转动刚体是指物体在运动或转动过程中，各部分之间保持相对位置不变的物体。
在物理学中，刚体是一个重要的概念，它的运动和转动具有一定的规律和性质。
本文将详细探讨刚体的运动和转动，以及相关的基本概念和原理。
一、刚体的运动刚体的运动是指整个物体的平动，即物体作为一个整体的运动。
平动可以是沿直线运动，也可以是曲线运动。
根据牛顿第一定律，当物体所受合外力的矢量和为零时，物体将保持静止或匀速直线运动。
而当物体所受合外力的矢量和不为零时，物体将发生加速度，即产生直线运动。
刚体的平动可以通过理解质点来进行分析。
质点是指物体的质量集中在一个点上，没有形状和大小，无论是刚体还是非刚体，都可以看作是由许多质点组成的。
因此，在分析刚体的平动时，可以把刚体简化为质点。
同时，刚体的平动也满足牛顿第二定律，即合外力等于质量乘以加速度。
二、刚体的转动刚体的转动是指物体绕某个轴进行旋转的运动。
转动的轴可以是任意选择的，但通常选择物体上的某个固定点或固定轴线作为转动的轴。
在刚体的转动中，每一个点都绕轴线进行圆周运动，并且所有点的转动角度相等。
刚体的转动可以由物体的转动惯量和转动力矩来描述。
转动惯量是物体对转动的抵抗程度或者旋转惯性的量度，它与物体的质量分布和形状密切相关。
转动力矩则是引起刚体转动的力和力臂的乘积，它的方向由右手定则给出。
根据角动量守恒定律，当刚体不受外力矩作用时，刚体的角动量守恒。
这意味着刚体的角动量大小和方向在运动过程中保持不变，从而导致刚体产生转动。
三、刚体的动力学方程刚体的运动和转动都可以通过动力学方程来描述。
对于平动的刚体，动力学方程可以表示为：∑F = ma其中，∑F表示物体所受合外力的矢量和，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
而对于转动的刚体，动力学方程可以表示为：∑τ = Iα其中，∑τ表示物体所受合外力矩的矢量和，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
四、刚体的运动和转动的实例刚体的运动和转动在日常生活和工程领域中有着广泛的应用。
大学物理 2.1 刚体的定轴转动和平面平行运动
对轴的力矩的计算:
把外力分解成转动平面内的 分力和垂直于转动平面的分力。
垂直分力与转轴平行，对O点力矩垂直于转轴，则对 转轴力矩为零。
外力对转轴的力矩，就是转动平面内的分力对 该转轴的力矩
M z rf sin rf hf
【思考】如何确定正、负号？
证明：重力对过质心轴的合力矩等于零
刚体各个质元所受重力对任意
2.1.1 刚体的定轴转动
平动：刚体中任意两个质点的连线在运动
刚体的运动
中始终保持平行。 转动
刚体平动的运动特点：刚体平动时各个质元的运动情况 完全相同，可以用刚体质心的运动来表达刚体的平动。
vi ri
ai ri
转 轴：在某一惯性参考系中固定不变的质点集合。 转动平面：垂直于转轴的平面。
刚体转动的运动特点：除转轴上的质元之外，刚体各个质 元都在转动平面内做圆周运动。
把刚体想象地分割成许多质元，刚体就可以看成是由 这些质元组成的质点系。在整个运动和受力过程中，这 种质点系中任何两个质点之间的距离都保持不变。
刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应用到这种 特殊的质点系上得到。
2.1 刚体的定轴转动和平面平行运 动
2.1.1 刚体的定轴转动 2.1.2 刚体定轴转动定理 转动惯量 力矩 2.1.3 刚体的平面平行运动
例如：圆柱体、球等轴对称刚体在平面上的滚动，等 等。
平面平行运动可分解成：质心运动和绕垂直于运动平 面的过质心轴的转动。
质心运动服从质心运动定理；刚体绕过质心轴的转动 定理与定轴转动定理的形式相同
MC IC
证明：质心运动定理
如果过质心轴没有加速度，相对刚体质心静止的参
考系是惯性系，MC=IC 显然成立。
一点O的合力矩
大学物理A 练习题 第2章《刚体定轴转动》
《第2章 刚体定轴转动》一 选择题1. 关于力矩有以下几种说法：(1) 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量． (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零．(3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等．在上述说法中，(A) 只有(2) 是正确的． (B) (1)、(2) 是正确的． (C) (2)、(3) 是正确的．(D) (1)、(2)、(3)都是正确的．[ ]2. 几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体(A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．[ ]3. 将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为β．如果以拉力2mg 代替重物拉绳时，飞轮的角加速度将 (A) 小于β． (B) 大于β，小于2 β． (C) 大于2 β． (D) 等于2 β．[ ]4. 花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为ω0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为31J 0．这时她转动的角速度变为(A) 31ω0． (B) ()3/1 ω0． (C) 3 ω0． (D) 3 ω0．[ ]5. 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统(A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒．(D) 机械能、动量和角动量均守恒．[ ]二 填空题1. 一飞轮作匀减速转动，在5 s 内角速度由40π rad ·s -1减到10π rad ·s -1，则飞轮在这5 s 内总共转过了________________圈，飞轮再经______________的时间才能停止转动．2. 一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J ＝3.0 kg ·m 2，角速度ω 0＝6.0 rad/s ．现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N ·m ，当物体的角速度减慢到ω＝2.0 rad/s 时，物体已转过了角度∆θ ＝_________________．3. 如图所示，A 、B 两飞轮的轴杆在一条直线上，并可用摩擦啮合器C 使它们连结．开始时B 轮静止，A 轮以角速度ωA 转动，设在啮合过程中两飞轮不受其它力矩的作用．当两轮连结在一起后，共同的角速度为ω．若A 轮的转动惯量为J A ，则B 轮的转动惯量J B ＝________．4. 一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为________________．5. 一滑冰者开始张开手臂绕自身竖直轴旋转，其动能为E 0，转动惯量为J 0，若他将手臂收拢，其转动惯量变为021J ，则其动能将变为__________________．(摩擦不计) 三 计算题1. 均质圆轮A 的质量为M 1，半径为R 1，以角速度ω绕OA 杆的A 端转动，此时，将其放置在另一质量为M 2的均质圆轮B 上，B 轮的半径为R 2．B 轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动．放置后，A 轮的重量由B 轮支持．略去轴承的摩擦与杆OA 的重量，并设两轮间的摩擦因素为μ，问自A 轮放在B 轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？2. 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为021ω时所需的时间．3. 如图所示，设两重物的质量分别为m 1和m 2，且m 1＞m 2，定滑轮的半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t 时刻滑轮的角速度．4. 一匀质细棒长为2L ，质量为m ，以与棒长方向相垂直的速度v 0在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞．碰撞点位于棒中心的一侧L 21处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬时绕O 点转动的角速度ω．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为231ml ，式中的m 和l 分别为棒的质量和长度．)m21215. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为 )，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 经过多少时间后，圆盘停止转动． (圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为221MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)四 研讨题1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
大学物理学-刚体的转动定律
ω
v ri
vi
∆mi
v
Ek =
∑
i =1
n
1 1 n 1 2 2 2 2 ∆ m i ri ω = ( ∑ ∆ m i ri )ω = J ω 2 2 2 i =1 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半. 与角速度平方乘积的一半.
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
支架S 支架S
外环 陀螺G 陀螺G 内环
2–6 刚体的定轴转动 6 直升机螺旋桨的设置
尾桨的设置： 尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋 产生一个向下的角动量。 转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向 旋转，在机身尾部安装一个尾桨， 旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨， 对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立 轴上安装了一对对转螺旋桨， 轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反， 装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持 系统的总角动量仍然为零。 系统的总角动量仍然为零。
力矩的功
A=
∫θ
θ2
1
M dθ
力矩的功率 力矩的功率
dA dθ P= =M = Mω dt dt
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动 6
9
3、刚体定轴转动的动能定理 、
物理学02习题
第二章 刚体的转动习 题1、两个半径相同的飞轮用一皮带相连，作无滑动转动时，大飞轮边缘上各点的线速度的大小是否与小飞轮边缘上各点的线速度的大小相同？角速度又是否相同？2、当刚体转动时，如果它的角速度很大，是否说明刚体的角加速度一定很大？3、如果作用在刚体上的合力矩垂直于刚体的角动量，则刚体角动量的大小和方向会发生变化吗？4、一个人随着转台转动，两手各拿一只重量相等的哑铃，当他将两臂伸开，他和转台的转动角速度是否改变？5、直径为0.6 m 的转轮，从静止开始做匀变速转动，经20 s 后，它的角速度达到100π rad/s,求角加速度和在这一段时间内转轮转过的角度。
6、求质量为m ，长为l 的均匀细棒对下面几种情况的转动惯量。
（1） 转轴通过棒的中心并与棒成垂直； （2） 转轴通过棒的一端并与棒垂直；（3） 转轴通过棒上离中心为h 的一点并与棒成垂直； （4） 转轴通过棒中心并和棒成θ角。
7、如图2-19所示，一铁制飞轮，已知密度ρ=7.8 g/cm 3，R 1=0.030 m ，R 2=0.12 m ，R 3=0.19 m ，b =0.040 m ，d =0.090 m ，求它对转轴的转动惯量。
8、一飞轮直径为0.3 m ，质量为5 kg ，边缘绕绳，现用恒力拉绳一端，使它由静止均匀地加速，经0.5 s 转速达到10 rev/s,假定飞轮可看做实心圆柱体，试求：（1）飞轮的角加速度及其在这段时间内转过的转数；（2）从拉动后t =10 s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
（3）拉力及拉力所作的功；9、用线绕于半径R =1 m ，质量m =100 kg 的圆盘上，在绳的一端作用10 N 的拉力，设圆盘可绕过盘心垂直于盘面的定轴转动。
试求： （1）圆盘的角加速度；（2）当线拉下5 m 时，圆盘所得到的动能。
10、两个质量为m 1和m 2的物质分别系在两条绳上，这两条绳又分别绕在半径为r 1和r 2并装在同一轴的两鼓轮上，如图2-20所示。
(物理学)第二章刚体转动
第二章 刚体的转动一、计算题2、求质量为m ，长为l 的均匀细棒对下面几种情况的转动惯量。
转轴通过棒中心并和棒成θ角。
4、一飞轮直径为0.3 m ，质量为5 kg ，边缘绕绳，现用恒力拉绳一端，使它由静止均匀地加速，经0.5 s 转速达到10 rev/s,假定飞轮可看做实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及其在这段时间内转过的转数；（2）从拉动后t =10 s 时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
（3）拉力及拉力所作的功；5、用线绕于半径R=1 m ，质量m=100 kg 的圆盘上，在绳的一端作用10 N 的拉力，设圆盘可绕过盘心垂直于盘面的定轴转动。
求（1）圆盘的角加速度；（2）当线拉下5 m 时，圆盘所得到的动能。
11、一根质量为m ，长为l 的均匀细棒，绕一水平光滑转轴O 在竖直平面内转动。
O 轴离A 端距离为3l，此时的转动惯量为91ml2,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动，求： （1） 棒在水平位置上刚起动时的的角加速度； （2） 棒转到竖直位置时角速度和角加速度；（3） 转到垂直位置时，在A 端的速度及加速度。
（重力作用点集中于距支点6l处）12、如图2-8所示，一圆形飞轮可绕垂直轴转动，边缘绕有绳子，在绳子下端挂以质量m ＝20kg 的物体。
已知圆形飞轮半径R ＝2.0m ，质量M ＝300kg 。
求：（已知转动惯量I ＝21MR2） (1) 圆形飞轮的角加速度；(2) 绳子下端挂的物体下落4m 后圆形飞轮的角速度和转动动能。
14、固定的发动机飞轮，转动惯量为2000㎏·㎡，在恒外力矩的作用下，飞轮从静止开始转动，经过100s 后，转速达15rev/s ，求：(1) 外力矩的大小。
(2)此时的转动动能的大小。
(3)经过100s 时，发动机飞轮转过的圈数。
参考答案二、计算题2、解：（1）如图2-9（a ）所示，取质量元x lmm d d =，由转动惯量的定义，得x x lm m x I d d d 22== 则2220121d 2d l m x x l m I I I l ===⎰⎰ （2）由平行轴定理，得g图2-822231121)2(ml ml l m I =+⋅=（3）由平行轴定理，得：22121ml mh I += （4）如图2-9（b ）所示，求质量元x lmmd d =，绕转轴oo ′的转动惯量 x l mx I d )sin (d 2⋅=θ，则222022d 2sin d 1sin 12l m I I x x lml θθ==⋅=⎰⎰4、 解：飞轮绕轴的转动惯量228121d m mR I ==（1）飞轮在恒力作用下，作匀加速转动，由ω=βt 得ππωβ405.0210=⨯=t＝rad/s2又由221t βθ＝得 2140π055π2.θ=⨯⨯= rad 则转过的圈数为5π252π.N== （2）由转动定律M =I β和Fd R F M 21=⋅=得 21150340π15πN 44I F md d ββ.===⨯⨯⨯=拉力所作的功21115π035π1125πJ 22..W F S F R Fd θθ=⋅=⋅==⨯⨯⨯=（3）由ω=βt 得ω=40 π×10＝400 π rad/s边缘上一点的速度v =ωR=400 π×0.15= 60 π m/s切向加速度π0.615.040=⨯==πβτR a m/s2法向加速度222n (400π)01524000π.a R ω==⨯= m/s2加速度的大小图2-9（b ）n 2n 2τa a a a ≈+=（n τa a << ）5、解：圆盘绕轴的转动惯量222m kg 5011002121⋅⨯⨯==＝mR I （1）由转动定律M =I β得5150110＝⨯=⋅==I R F I M β rad/s2 （2）外力矩所作的功等于圆盘动能的 增加，即2k 110550J 2E I F S ω==⋅=⨯= 11、解：转轴到A 端的距离为3l ，即转轴到细棒的质心的距离为6l。
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第二章 刚体的转动
一、计算题
2、求质量为m,长为l 的均匀细棒对下面几种情况的转动惯量。
转轴通过棒中心并和棒成θ角。
4、一飞轮直径为0．3 ｍ，质量为5 kg,边缘绕绳,现用恒力拉绳一端，使它由静止均匀地加速，经0.５ ｓ转速达到10 ｒev ／s,假定飞轮可看做实心圆柱体，求：
(1)飞轮的角加速度及其在这段时间内转过的转数；
（2)从拉动后t =10 ｓ时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。
(3）拉力及拉力所作的功;
5、用线绕于半径R=1 m,质量ｍ=100 kg 的圆盘上,在绳的一端作用10 N 的拉力，设圆盘可绕过盘心垂直于盘面的定轴转动。
求
(1)圆盘的角加速度;
（2)当线拉下５ ｍ时，圆盘所得到的动能。
11、一根质量为m ，长为l 的均匀细棒,绕一水平光滑转轴O 在竖直平面内转动。
Ｏ轴离A 端距离为3
l ,此时的转动惯量为
9
1ｍl2,今使棒从静止开始由水平位置绕O 轴转动，求: （1） 棒在水平位置上刚起动时的的角加速度; （2） 棒转到竖直位置时角速度和角加速度;
（3） 转到垂直位置时，在A 端的速度及加速度。
（重力作用点集中于距支点6l
处)
12、如图2-8所示，一圆形飞轮可绕垂直轴转动，边缘绕有绳子，在绳子下端挂以质量m ＝2０kg 的物体。
已知圆形飞轮半径R=2．0ｍ,质量M ＝３０0kg 。
求:（已知转动惯量I ＝
2
1
ＭR2) (1) 圆形飞轮的角加速度;
(2) 绳子下端挂的物体下落4m 后圆形飞轮的角速度和转动动能。
１4、固定的发动机飞轮，转动惯量为2０00㎏·㎡,在恒外力矩的作用下，飞轮从静止开始转动,经过100ｓ后,转速达１5rev/s,求：
(1) 外力矩的大小。
(2)
此时的转动动能的大小。
（3）经过100s 时，发动机飞轮转过的圈数。
参考答案
二、计算题
２、解:(1）如图2-９（ａ)所示,取质量元x l
m
m d d =
,由转动惯量的定义,得
x x l
m m x I d d d 2
2=
= 则ﻩ ﻩﻩﻩﻩ2220
12
1
d 2d l m x x l m I I I
l ===⎰
⎰ （2）由平行轴定理,得
g
图2-8
2223
1
121)2(ml ml l m I =+⋅=
(3）由平行轴定理,得：
2212
1
ml mh I +
= （4）如图2－9（b)所示，求质量元x l
m
m
d d =
,绕转轴ｏo ′的转动惯量 x l m
x I d )sin (d 2⋅=θ，
则
2
220
22d 2sin d 1
sin 12
l m I I x x l
ml θθ==⋅=
⎰⎰
4、 解：飞轮绕轴的转动惯量228
1
21d m mR I ==
(１）飞轮在恒力作用下,作匀加速转动,由ω=βｔ得
ππ
ω
β405
.0210=⨯=
t
＝
rad ／s ２
又由22
1t βθ＝
得 21
40π055π2
.θ=
⨯⨯= rad 则转过的圈数为5π
252π
.N
=
= (２)由转动定律M ＝I β和Fd R F M 2
1
=
⋅=得 21150340π15πN 44
I F md d ββ.===⨯⨯⨯=
拉力所作的功2
1115π035π1125πJ 22
..W F S F R Fd θθ=⋅=⋅==⨯⨯⨯=
(3)由ω=βｔ得
ω＝40 π×1０＝4００ π rad ／s
边缘上一点的速度
v ＝ωR ＝４00 π×0.15= ６0 π m ／ｓ
切向加速度
π0.615.040=⨯==πβτR a m/ｓ2
法向加速度
222n (400π)01524000π.a R ω==⨯= m/s2
加速度的大小
图2-9（b ）
n 2
n 2
τa a a a ≈+=
ﻩ(n τa a << )
5、解：圆盘绕轴的转动惯量
222m kg 5011002
1
21⋅⨯⨯==
＝mR I （1)由转动定律M =I β得
5
1
50110＝⨯=⋅==
I R F I M β rad/ｓ２ （2)外力矩所作的功等于圆盘动能的 增加，即
2
k 110550J 2E I F S ω=
=⋅=⨯= 11、解：转轴到A 端的距离为3l ，即转轴到细棒的质心的距离为6
l。
(1）细棒在水平位置上刚起动时所受的力矩为
M = m ｇ·
6l =6l
m ｇｌ 由转动定律,可得此时细棒的角加速度为2136129
mgl
M g
I l ml β===
(2）细棒转到竖直位置时,所受力矩为0，角加速度为0。
但角速度最大,由机械能守恒，得
mg ·
6l ＝1
2
Ｉω2 即 ﻩ
ﻩω=
(3)竖直位置时，A 端的速度
A 33l l υω=⋅=
=A 端的加速度即为向心加速度
2A n l
a a g g
ω==⋅
= 12、解：(１)如图所示，设圆形飞轮的角加速度为β，物体下落的加速度为a 则有：
ａ =βR
又由转动定律和牛顿定律得:
TR = Ｉβ和ｍg-T = ma
上三式联立解得
22(2+)2?20×10×20+300?210=rad/s 17
m
g
m M R
β=
=(2) (2)由2
2ω
βθ
=得
210440
217217
ω=⨯
⨯=
ω=
rad/s
转动动能ﻩﻩﻩ
212k E I ω=
21140120003002J 221717k E =⨯⨯⨯⨯=
14、解：飞轮在恒外力矩作用下，作匀加速转动 由0t ω
ωβ=+得
152π
03π100
.t
ω
β⨯=
=
= ra ｄ／s ２
（１）由M =I β得外力矩大小为:
200003π=600π.M =⨯ N ·m
(2）转动动能2
12
k
E I ω=
，即 221
2000(30π)900000πJ 2
k E =
⨯⨯=
（3)由2012
t t θ
ωβ=+
得 2211
03π1001500π22.t θβ=
=⨯⨯= ｒad 转过的圈数
ﻩ
1500π7502π
N ==。