§3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换(原型变换)

1 1.571 1.571 0.5541 Z 1 H (Z ) 1 1 2 T 1 0.2079 Z 1 0.1905 Z 0.2079 Z
可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 C 有关，即只与fc和fs的相 对值 f c / f s 有关，而与采样频率fs无直接关系。
例如，f s 4kHz, fc 1kHz 与 f s 40kHz, fc 10kHz 的 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得： 1.571 1.571 0.5541 z 1 H (Z ) 1 1 0.2079z 1 0.1905z 1 0.2079z 2
1 3
2 3

1 z 1 z 1 z 1 z
1 3
1 3
1 3
1
3 z
2
1 z 21 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 21 z 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 41 z 1 z 1 z 1 z 1 2 z z 2 2 z 1 z 2 2 z 1 2 z 1 z 1 1 z 1 z 1 z 2 3 z
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构：
c c / 3e j / 6 c / 3e j / 6 Ha(s) s c s c(1 j 3) / 2 s c(1 j 3) / 2
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有
A 1 c , s1 c ; A 2 c /
3e j / 6
s2 c (1 j 3) / 2; A3 c / 3e j / 6 , s3 c (1 j 3) / 2
将上式部分系数代入数字滤波器的系统函数：
Ai H (Z ) SiT 1 Z i 1 1 e
1 Ha ( s ) 1 2s 2s 2 s 3
以 s / c 代替其归一化频率，得：
1 H a ( s) 1 2(s / c ) 2(s / c ) 2 (s / c )3
得到巴特沃兹多项式的系数，之后 以 s / c 代替归一化频率，即得 Ha (s)。 将 c 2fc 代入，就完成了模拟 滤波器的设计，但为简化运算，减小误 差积累， fc数值放到数字滤波变换后代 入。
例1 设采样周期 T 250s( f s 4khz) ,设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1kHz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。
解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
N
极点
Si
并将 c c / T 代入，得：
H (Z )
C / T
1 e
c
Z
1

(c / 3T )e j / 6 1 e
c (1 j 3 ) / 2
Z
1

(c / 3T )e j / 6 1 e c (1 j
3) / 2
Z 1
合并上式后两项，并将 c 2f cT 0.5 代入，计算得：
原型变换
模拟原型
模拟低通、高通 带通、带阻
原型变换
映射变换
数字低通、高 通带通、带阻
也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一 定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种 数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法。
4.4.1 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1 ）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2 ）由变换关系将 {ωk} 映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数）
§4．4 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的 频率变换（原型变换）
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特 沃兹滤波器 ,切比雪夫滤波器 , 椭圆滤波器等 , 每种滤波器都有自 己的一套准确的计算公式，因此在模拟滤波器的设计中，只要 掌握原型变换，就可以通过归一化低通原型的参数，去设计各 种实际的低通、高通、带通或带阻滤波器。这一套成熟、有效 的设计方法，也可通过前面所讨论的各种变换应用于数字滤波 器的设计，具体过程如下：
H ( Z ) H a ( s)
s
2 1 z 1
T 1 z 1
1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 1 2 1 z 1 2 1 z 1 1 z 1
b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率
c 2f cT 0.5
2 c 2 c Baidu Nhomakorabeag T 2 T
（二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 s / c 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2( s / c ) 2 ( s / c )3 并将 c 2 / T 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。