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高三数学上学期第四次月考试题

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2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题(5月月考)数学试题

2024届甘肃省庆阳市长庆中学高三第四次学情检测试题（5月月考）数学试题 请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ） ABCD2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．y = B．y =±C．y x = D．2y x =± 3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=- 4．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A． B ．4π C． D ．3π5．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．36． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．457．函数cos()cosx xf xx x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A．B．C．D．8．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月份C．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元9．已知15455,log 5,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 10．已知集合{}10,1,0,12x A xB x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ） A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,1 11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题(解析版)

湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题(解析版)
剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有 种选择，
则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数种，奇数不相邻，4位于第四位共有 个，
所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，要求奇数不相邻，且4不在第四位的个数共有 个.
故答案为：120
14.已知函数 的定义域是 ，则函数 的单调增区间为______.
【详解】对于A，连接 、 ．
∵ 、 分别为 、 的中点，∴ ∥EF，
易知AB∥ ，且AB= ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，∴ ∥EF．
∵ ⊥ ，∴ ⊥EF，故A正确；
对于B，设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，
∵ ，
又 ，
∴ ，故B错误；
对于C，取 的中点 ，连接 、 、EQ、 ，
易知EF∥ ∥GQ，GQ 平面AEF，EF 平面AEF，∴GQ∥平面AEF；
A.72B.74C.76D.78
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
5.已知 ，则 （）
A. B.2C.4D.12
【答案】C
【解析】
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】求出 所过 定点，结合 始终垂直，从而得到点 的轨迹为以 为直径的圆 ，数形结合求出最值，求出 的取值范围，由双曲线的离心率为 ，当 取得最大值时，离心率最大，由点到直线距离公式得到 ，求出 ，得到离心率.
【详解】 变形为 ，故经过定点 ，
变形为 ，过经过定点 ，

山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考(4月)数学试题数学试题

山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考(4月)数学试题数学试题

山东省威海市重点中学2024学年高三第四次月考（4月）数学试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．62．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 3．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π4．已知函数()1ln11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ） A ．1B 3C ．±1D ．36．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-8．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（ ）A ．{}|2x x >B ．{}|1x x ≥C ．{}|12x x <<D ．{}|2x x ≥11．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(文)试卷(带答案)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数 学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{} |x 2x <1，集合N ＝{} |x log 2x >1，则下列结论中成立的是(C) A ．M ∩N ＝M B ．M ∪N ＝N C ．M ∩()∁U N ＝M D.()∁U M ∩N ＝【解析】由2x <1＝20，得x <0，由log 2x >1＝log 22，∴x >2，∴M ∩()∁U N ＝{}x |x <0∩{}x |x ≤2＝M ，故答案为C.2．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面α、β，下列四个命题中正确的是(A) A ．若l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ，则α∥β B ．若m ∥n ，n α，则m ∥αC ．若m α，n α，m ∥β，n ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n β，则n ⊥α【解析】∵m 与α的位置关系不确定，∴m ∥α不一定成立，B 不成立；由于m 与n 几何位置关系不确定，∴α∥β的条件不具备，C 不成立；D 也不成立，∴选A.3．已知P (1，3)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的渐近线上，则该双曲线的离心率为(A)A.10 B ．2 C. 5 D. 3【解析】根据点P (1，3)在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝3x ，所以有ba ＝3，即b ＝3a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝10a ，所以有e ＝10，故选A.4．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式是(B)A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【解析】由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，||φ<π2，x ∈R )在一个周期内的图象可得：A ＝1，14T ＝14·2πω＝π12＋π6，解得ω＝2，再把点⎝⎛⎭⎫π12，1代入函数的解析式可得：1＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.再由||φ<π2可得：φ＝π3，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故应选B.5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为(参考数据：sin 15°＝0.258 8，sin 7.5°＝0.130 5)(C)A ．12B ．16C ．24D ．48【解析】由程序框图可列表如下：n 6 12 24 S332336－32因为36－32≈3.106>3.10，所以输出n 的值为24，故选C.6．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，则满足不等式S n <－6的n的最小值是(D)A ．62B ．63C ．126D ．127【解析】因为S n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n ＋1n ＋2＝log 2⎝⎛⎭⎫2n ＋2<－6，所以2n ＋2<2－6，n >126，故应选D. 7．设A 、B 、C 为圆O 上三点，且AB ＝3，AC ＝5，则AO →·BC →＝(D) A ．－8 B ．－1 C ．1 D ．8【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则AD →＝12(AB →＋AC →)，OD →·BC →＝0.所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8，选D.8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n ＋2，则f (a n )＝(A)A ．0B ．0或1C ．－1或0D ．1或－1【解析】∵f (x )＝f (x ＋2)，所以f (x )函数周期为2，∵数列{}a n 满足S n ＝2a n ＋2，∴a 1＝－2，S n －1＝2a n －1＋2，∴a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴{a n }以－2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝－2n ，∴f (a n )＝f (－2n )＝f ()0＝0，故选A.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧||lg ||x －2，x ≠2，0，x ＝2，若b <0，则关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的不同实数根共有(C)A ．4个B ．5个C ．7个D ．8个【解析】由[f (x )]2＋bf (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝－b .所以方程[f (x )]2＋bf (x )＝0的根的个数转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝0，y ＝－b (b <0)的图象的交点个数．因为函数f (x )的图象大致如图所示，数形结合可知，f (x )＝0有3个实数根，f (x )＝－b (b <0)有4个实数根，所以[f (x )]2＋bf (x )＝0共有7个不同的实数根，故答案选C.10．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为(D)A.8π3＋15B.16π3＋ 3C.8π3＋233D.16π9＋233【解析】由已知中的三视图，圆锥母线为l ＝（5）2＋⎝⎛⎭⎫2322＝22，圆锥的高h ＝（5）2－12＝2，圆锥底面半径为r ＝l 2－h 2＝2，截去的底面弧的圆心角为120°，故底面剩余部分为S ＝23πr 2＋12r 2sin 120°＝83π＋3，故几何体的体积为：V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫83π＋3×2＝169π＋233，故选D. 11．本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放，甲、乙两人计划前去自习，其中甲连续自习2小时，乙连续自习3小时．假设这两人各自随机到达图书馆，则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是(B)A.19B.16C.13D.12【解析】据题意，甲、乙应分别在下午4点、3点之前到达图书馆，设甲、乙到达图书馆的时间分别为x ，y ，则⎩⎨⎧1≤x ≤4，1≤y ≤3，所对应的矩形区域的面积为6.若下午5钟点时甲、乙两人都在自习，则⎩⎨⎧3≤x ≤4，2≤y ≤3，所对应的正方形区域的面积为1，所以P ＝16，选B.12．设函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称．已知f (x )＝⎩⎨⎧d （x ）－a ，x <1，4（x 2－3ax ＋2a 2），x ≥1，若函数f (x )恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是(A)A.⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫14，1∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，32 【解析】因为函数d (x )与函数y ＝log 2x 关于直线y ＝x 对称，所以d (x )＝2x ；设g (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1，h (x )＝2x －a ，x <1，因为f (x )恰有2个不同的零点，又因为h (x )至多有一个零点，故：①若g (x )有两个零点，h (x )没有零点，则⎩⎨⎧a ≥1，h （1）＝2－a ≤0，得a ≥2②若g (x )和h (x )各有1个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1且⎩⎨⎧－a <0，h （1）＝2－a >0，得12≤a <1.综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，1∪[2，＋∞)．故答案选A.选择题答题卡题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案CAABCDDACDBA本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．已知圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0外切，则a 的值为__0或6__． 【解析】圆C 1：(x －a )2＋y 2＝1的圆心为()a ，0，半径为1，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为()3，0，半径为2，两圆外切，所以||a －3＝3，∴a ＝0，6，故a 的值为0或6.14．如果复数z 满足关系式z ＋||z －＝2＋i ，那么z 等于__34＋i__． 【解析】设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，||z －＝a 2＋b 2，所以a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ， 所以得：⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1所以z ＝34＋i.15．已知2a ＝5b ＝10，则a ＋bab＝__1__．【解析】由已知，a ＝log 210＝1lg 2，b ＝log 510＝1lg 5.所以a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x ＞0时f (x )＞1.若f (4)＝5，则不等式f (3x 2－x －2)<3的解集为__⎝⎛⎭⎫－1，43__． 【解析】设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1－x 2)＞1.所以f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1>0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是增函数．因为f (4)＝5，即f (2)＋f (2)－1＝5，所以f (2)＝3.所以原不等式化为f (3x 2－x －2)<f (2)3x 2－x －2<23x 2－x －4<0－1<x <43.故不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－1，43. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x ，a ≠0，x ∈R ，f (x )的最大值是2，且在x ＝π6处的切线与直线x －y＝0平行．(1)求a 、b 的值；(2)先将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，已知g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，求cos 2α的值．【解析】(1)f ′(x )＝a cos x －b sin x ，1分由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2a cos π6－b sin π6＝1，解之得：⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.4分 (2)由(1)有f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，6分因为将f (x )的图象上每点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，8分由g ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1013，α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝513，且2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－1213，10分cos 2α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝－1213·12＋513·32＝53－1226.12分18．(本题满分12分)如图，已知三棱柱ABC －A ′B ′C ′的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点。

2024-2025学年上海杨浦高级高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)

2024-2025学年上海杨浦高级高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)

1杨浦高中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.不等式211x −>的解集是________.2.已知集合102x P x x ⎧⎫+=≤⎨⎬−⎩⎭，(,)Q a =+∞，若P Q ⊂，则实数a 的取值范围是________.3.若平面向量(3,4)a =，2b =，6a b ⋅=−，则向量a b 、的夹角为________.4.在(2)n x +的展开式中（其中n 是正整数），各项的系数和为729，则4x 项的系数 为________.5.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()32x f x e x =+−，当0x <时，()f x =________.6.已知2z i =+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程240x x m −+=的一个根，Im()m z ⋅=________.7.等差数列{}n a 的首项13a =，公差为d ，若34a =，则111n n d a +∞−=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑________.8.已知a βγ、、是不同的平面，l m n 、、是不同的直线，下列命题中：(1)若,,,l m l α⊥βαβ=⊥则m ⊥β；(2)若//,,,m n αβ⊂α⊂β则//m n ；(3)若,,//,l m l m ⊥αβγ=则β⊥α且γ⊥α；(4)若,,,l α⊥βγ⊥βαγ=则l ⊥β，所有真命题的序号是________.9.已知(,6)P m 是第二象限角α终边上的一个点，且24tan 27α=−，将OP 绕原点O 顺时针旋转4π至OP '，则点P '的坐标为________.210.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A 、B ，岛上安装了信号接收塔.舰艇P 沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A 、B 是曲线的焦点.当P 在小岛B 正北方向1P 处时，测得距小岛B 3海里.当舰艇航行至小岛B 西偏南60︒的2P 处时，测得距小岛B 1.5海里.在以线段AB 中点为圆心、1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P 在航行的过程中，会放下巡逻船Q ，巡逻船在以PB 为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是________.11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期是（ ） A ．6πB ．3πC ．32πD ．32π 14.下列函数在区间(0,)+∞上为严格减函数的是（ ） A ．cos y x =B ．2x y =C ．2y x −=D ．21y x =−15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2B．C ．3D．316.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F ，则2PQ QF +的最小值为（ ） A ．6B．2+C．D．4+三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，且365a a =−，816S =−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(),21,12,2n n na n kb k N k n k =−⎧=∈≥⎨=⎩，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 对于函数()y f x =，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x −=−，则称()y f x =为“准奇函数”. （1）已知函数()31x f x x −=+，试问()y f x =是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若()3x g x m =+为定义在[]1,1−上的“准奇函数”，试求实数m 的取值范围.419.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，26AC AB ==，2CD DB =. （1）证明：AD ⊥平面BOP ；（2）若圆锥PO 的侧面积为18π，求二面角 O BP A −−的余弦值.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知函数()22x x af x =+，其中a 为实常数. （1）若()07f =,解关于x 的方程()5f x =； （2）讨论函数()y f x =的奇偶性；（3）当1a =时，用定义证明函数()y f x =在[0,)+∞上是严格增函数，并解不等式()(2)1f x f x >+.521.（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题（i ）问满分6分，（ii ）问满分8分.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用.门、窗装饰图案成为园林建筑中最有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆1C 和圆2C 组成，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，圆2C 以线段12F F 为直径. （1）设计如图所示的洞窗，椭圆1C 的离心率应满足怎样的范围? （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米.（i ）从1F 射出的任意一束光线1F A 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB ，B 为切点，然后用量角器探究猜测1AF B 是定值，请帮他们证明上述猜想;（ii ）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P 是1C 上的一个动点，P 、Q 关于原点对称，过P 和Q 分别做圆的切线，交于R 、S ，求四边形装饰PRQS 面积S 的取值范围.图1 图2 图36参考答案一．填空题 1.(,0)(1,)−∞+∞ 2.1a <− 3.3arccos 5π− 4.60 5.32x e x −−++ 6.5−7.348.（3）、（4）9.( 10.无论P 在何处，以PB 为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 11.2 12.69 11.已知正数a ，b ，c 满足1c <，4a b +=，则()211ab bc c +−的最小值为________. 【答案】2【详解】由题意知()211124c c c c +−⎛⎫−≤= ⎪⎝⎭，当12c =时取等号， 故()()2124419119119122228a b a b ab bc c ab b ab b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+≥+=+=+=+=++ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭1911010288b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当33b a ==时取等号， 综上，当11,3,2a b c ===时，()211ab bc c +−的最小值为2. 12.已知数列{}n a 是有无穷项的等差数列，首项10a ≥，公差0d >，且满足：①38是数列{}n a 中的项；②对任意的正整数,m n ()m n ≠，都存在正整数k ，使得m n k a a a =.则这样的不同等差数列共有________个. 【答案】69【详解】设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项， 由已知m n k a a a =，设12(),(2)k k a x x d a x x d =+=+，则由等差数列定义得()2121k k a a xd k k d −==−⋅.因为0d ≠，所以21x k k Z =−∈， 即数列{}n a 的每一项均是整数，所以数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数.7由题意，设38k a =，则138k a d +=+是数列{}n a 中的项， 所以38(38)d ⋅+是数列{}n a 中的项.设38(38)m a d =⋅+，则38(38)38383738()m k a a d d m k d −=⋅+−=⨯+=−⋅， 即(38)3837m k d −−⋅=⨯.因为*38,m k Z d N −−∈∈，故d 是3837⨯的约数. 所以1,2,19,37,219,237,1937,3837d =⨯⨯⨯⨯，.当1d =时，138(1)0a k =−−≥，得1,2,,38,39k =⋯，故138,37,,2,1,0a =⋯，共39种可能；当2d =时，1382(1)0a k =−−≥，得1,2,,18,19,20k =⋯，故138,36,34,,4,2,0a =⋯，共20种可能；当19d =时，13819(1)0a k =−⨯−≥，得1,2,3k =，故138,19,0a =，共3种可能； 当37d =时，13837(1)0a k =−−≥，得1,2k =，故138,1a =，共2种可能； 当38d =时，13838(1)0a k =−⨯−≥，得1,2k =，故138,0a =，共2种可能； 当237d =⨯时，138237(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当1937d =⨯时，1381937(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能； 当3837d =⨯时，1383837(1)0a k =−⨯⨯−≥，得1k =，故138a =，共1种可能. 综上，满足题意的数列{}n a 共有392032211169+++++++=（种）. 经检验，这些数列均符合题意. 二、选择题13．A 14．C 15．C 16．C15.在正方体1111ABCD A B C D −中，3AB =，点E 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，在8三角形1A BD 内有一动点P （包括边界），则PA PE +的最小值是（ ） A ．2 B．C ．3D．【答案】C【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()13,0,3A ，()3,3,0B ，()0,0,0D ，()3,0,0A ，()3,1,0E ， ()3,3,0DB ∴=，()13,0,3DA =，()10,0,3AA =，设A 关于平面1A BD 的对称点为(),,A x y z '，则()13,,3A A x y z '=−−−，()3,,AA x y z '=−，设平面1A BD 的法向量(),,n a b c =，则1330330DB n a b DA n a c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，解得：1b =−，1c =−，()1,1,1n ∴=−−，A ∴与A '到平面1A BD 的距离1133AA n A A n x y d nn'⋅⋅−++====，又AA //n '，3x y z ∴−=−=−，1x ∴=，2y =，2z =，()1,2,2A '∴，3PA PE PA PE A E ''∴+=+≥==（当且仅当,,A P E '三点共线时取等号），即PA PE +的最小值为3.16.已知点,P Q 分别是抛物线2:4C y x =和圆22:10210E x y x +−+=上的动点，若抛物线C 的焦点为F，则2PQ QF +的最小值为（ ） A．6 B ．2+C ．D ．4+【答案】C9【详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点坐标为(1,0)F ，又由圆2210210x y x +−+=， 可化为22(5)4x y −+=，可得圆心坐标为(5,0)E ，半径2r =， 设定点(,0)M t ，满足12QF QM =成立，且00(,)Q x y即=2200(5)4x y −+=，代入两边平方可得： 20(4)16t x t −=−，解得4,(4,0)t M =，所以定点M 满足12QF QM =恒成立， 可得22(|)PQ QF PQ QM +=+，如图所示， 当且仅当1,,M P Q 在一条直线上时， 此时PQ QM +取得最小值||PM ， 即22(|)2PQ QF PQ QM PM +=+≥，设(,)P x y ，满足24y x =，所以22PQ QF PM +≥=，2PQ QF +≥2x =时，等号成立。

福建省长汀县第一中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)试题

福建省长汀县第一中学2015届高三上学期第四次月考数学(理)试题

长汀一中2014-----2015学年第一学期第四次月考试题高三数学（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 已知全集R U =，集合{}022≤-=x x x A ，集合{}R x e y y B x∈==,，那么()=B A C UA. {}2>x xB. {}0<x xC. {}10≤<x xD. {}21≤<x x 2. 已知α是第四象限角，且53cos =α，则=-αα2sin 2cos A.259 B. 2517 C. 2523 D. 2531 3. 在等差数列{}n a 中，已知3923a a +=，则数列{}n a 的前9项和=9SA. 3B. 6C. 9D. 124. 已知命题p ：“R x ∈∀，总有012>+-x x ”的否定是“R x ∈∃，使得012≤+-x x ”;命题q ：在ABC ∆中，“4π>A ”是“22sin >A ”的必要不充分条件. 则有 A. p 真q 真 B. p 真q 假 C. p 假q 真 D. p 假q 假 5．()d x x ex⎰+10sin 的值为A. 1cos +eB. 1cos -eC. 1sin -eD. 1sin +e6. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是A . 6B ．163C ．143D ．47.()f x 的说法中正确的是A.()f x 是偶函数B.()f x 的最小正周期为π正视图俯视图侧视图第6题图C. ()f x 的图象关于点D. ()f x 在区间 8．设y x ,满足约束条件231+1x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax Z 的最小值为2，则ba 23+的最小值为 A. 12 B. 6 C. 4 D. 29. 现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos = ④x x y 2⋅=的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是第9题图A. ④①②③B. ①④③②C. ①④②③D. ③④②① 10. .对于函数(),()f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“互相接近点”。

河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考 数学试题

河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考 数学试题

河北省保定市重点高中2021届高三上学期第四次月考数学试题考试范围：一轮复习前八章 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i2．设集合{}5,3,1,0,1,3U =---，{A x U y =∈=，则UA =（ ）．A ．[]5,3-B ．{}3,1-C ．{}5,3-D ．{}5,3,1,3--3．已知1tan 123πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则11tan 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13B ．13- CD．4．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(41)n n a n +=-+，则111221a a a +++=（ ）A ．45B ．65C ．69D ．105-5．设22(02)()3log (2)x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，则[](2)f f =（ ）试卷第2页，总6页A ．2-B ．1-C ．0D ．86．已知()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩则关于a 的不等式()()21f a f a -<的解集为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．已知函数()ln ||f x x =，2()g x mx =，若方程()()0f x g x -=在(,1][1,)x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，则m 的取值范围为（ ）A ．1(0,)2eB ．1(,)2e+∞ C ．1(0,)eD ．1(,)e+∞8．已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B．3C．5D二、多选题9．将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C．6g π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．()g x 为奇函数10．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A．若a b⊥，则tan 2θ=B．若b在a上的投影为12-，则向量a与b的夹角为23πC．存在θ，使得||||||a b a b+=+D．a b的最大值为311．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D－中，E，F分别是11AB BC，的中点．有下列结论，其中正确的是（）A．EF与1BB垂直B．EF与平面11BCC B垂直C．EF与1C D所成的角为45°D．//EF平面1111DCBA12．已知抛物线24y x=的准线过双曲线2222:1x yCa b-=(0,a>0b>)的左焦点F，且与双曲线交于,A B两点，O为坐标原点，AOB的面积为32，则下列结论正确的有（）A．双曲线C的方程为224413yx-=B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°C．点F到双曲线C3D．双曲线C的离心率为2三、填空题试卷第4页，总6页13．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为______.14．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()22a b c ab +=+，30B =︒，2a =，则ABC ∆的面积为______.15．如图，正四面体ABCD 中，异面直线AB 与CD 所成的角为_______，直线AB 与底面BCD 所成角的余弦值为_______．16．已知点P 是抛物线24y x =上动点，且点P 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，当PFPA取最小值时，直线AP 的方程为______．五、解答题17．在①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ； （2）若5c =，11a b +=，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．已知点(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----，点P 在圆22:4E x y +=上运动.（1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为22的直线方程； （2）求222||||||PA PB PC ++的最值.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()()*4211n n S n a n N-+=∈．（1）求证：21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列；（2）求和：12231011111a a a a a a +++． 20．如图，四棱锥P ABCD －中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，CE AB ∥． （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1==PA AB ，3AD =，且CD 与平面PAD 所成的角为45︒，求二面角B PE A --的正切值．试卷第6页，总6页21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率，过x 轴正半轴一点()0m ,且斜率为l 交椭圆于A ，B 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使得以AB 为直径的圆过原点，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由22．设a R ∈，函数21()ln (1)2f x a x x a x =+++. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设21()()(2)2x f x x a x ϕ=--+，若()x ϕ有两个相异零点1x ，2x ，且12x x <，求证：12ln ln 2ln 0x x a +-<.答案第1页，总28页参考答案1．A【解析】【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2．C【解析】【分析】先求出集合A ，再根据补集定义即可求出.【详解】{A x U y =∈={}2230x U x x =∈--+≥ {}31x U x =∈-≤≤{}3,1,0,1=--，所以{}5,3UA =-．故选：C.【点睛】本题考查集合的补集运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．B【解析】【分析】利用三角函数诱导公式tantan 进行求解.【详解】1111tan[()]tan()1212πππαα-+=-+，111tan tan 12123ππαα⎛⎫⎛⎫+=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴. 故选：B【点睛】答案第3页，总28页本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.4．B【解析】【分析】由题意可得1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，从而可得1112211112192021()()a a a a a a a a +++=+++++……，进而可得答案【详解】因为1(1)(41)n n a n +=-+，所以1211(1)(41)(1)[4(1)1](1)(4)n n n n n a a n n +++++=-++-++=--，则1112211112192021()()4585a a a a a a a a +++=+++++=-⨯+…… 65=，故选：B ．【点睛】此题考查由数列的通项公式求一些项的和，利用了并项求和法，属于基础题5．B【解析】【分析】先求()2f ，再求[]()(2)4f f f =即可．【详解】解：由已知()2224f ==，则[]()2(2)43log 41f f f ==-=-+． 故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的求值，是基础题．6．B【解析】【分析】分析函数单调递增，解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，即可得解. 【详解】由题：()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩， 当01x <<时，()ln 0f x x =<，且单调递增； 当1≥x 时，()10f x x =-≥，且单调递增，所以()()()1,1ln ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩在()0,∞+单调递增， 解不等式()()21f a f a -<等价于解：021a a <-<，解得：1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了根据函数单调性求解不等式，关键在于准确识别函数的单调性，此题易错点在于漏掉考虑函数定义域，导致增根.属于较易题.7．A【解析】【分析】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数，所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象两个不同的交点，画出函数图象，求出两函数图象相切时的m 值，利用数形结合可得结果.【详解】因为函数()ln f x x =，()2g x mx =都是偶函数， 所以方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，只需在[)1,+∞上，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在两个不同的交点， 0m <不合题意，当0m >时，20mx >,当()ln 01f x x x =>⇒>，即交点横坐标在[)1,+∞上，假定两函数的图象在点()00,P x y 处相切，即两函数的图象在点()00,P x y 处有相同的切线， 则有()()1'2,'g x mx f x x ==，则有0012mx x =，解得2012x m=， 则有()()20000111,ln ln ln 222g x mx f x x m=====， 可得111ln 222m =，则有12e m=，解得12m e =， 因为m 越小开口越大，所以要使得()f x ，()g x 在[)1,+∞上，恰有两个不同的交点， 则a 的取值范围为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 此时，()()2ln ,f x x g x mx ==的图象在][(),11,-∞-⋃+∞四个不同的交点， 方程()()0f x g x -=在][(),11,x ∈-∞-⋃+∞有四个不同的解，所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．B【解析】【分析】 先根据点到直线距离公式求得FA b =，再由513AF BF =用b 表示出FB .根据双曲线的渐近线方程及正切二倍角公式，即可求得a 与b 的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），右焦点(),0F c ，渐近线方程为b y x a =±. 将渐近线方程化为一般式为0bx ay ±=，双曲线满足222c a b =+，过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，如下图所示:由点到直线距离公式可知22bcFA b b a ==+， 根据题意513AF BF =，则135b BF =， 设AOF α∠=，由双曲线对称性可知2AOB α∠=，而tan b a α=，18185tan 25b AB b OA a aα===， 由正切二倍角公式可知2222tan 2tan 21tan ab a b ααα==--， 即221825b ab a a b=-，化简可得2249a b =， 由双曲线离心率公式可知221313193c b e a a==+==， 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线标准方程与性质的简单应用，渐近线方程与离心率的应用，属于中档题.【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值可判断B 、C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项. 【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象 . 对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 、C 选项，sin 163g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误，C 选项正确； 对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-， 所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，同时也考查了三角函数图象变换，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【解析】【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+， a b D 正确. 【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确； 若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+== )θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a bD 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．AD【解析】【分析】过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，可得//EF MN ，所以直线EF 可转化为直线MN 来求解平行，垂直及所成角问题.【详解】如图：正方体1111ABCD A B C D －过E ，F 分别作AB BC ，的垂线，垂足为,M N 两点，连接MN ，由题意可得//EF MN ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1⊥BB MN 即1BB EF ⊥，A 选项正确；由题意可得MN 不垂直BC ，所以MN 不垂直平面11BCC B ，即EF 不垂直平面11BCC B ，B 选项不正确；因为11//AB C D ，连接1C B 和C A ，所以1B AC ∠为EF 与1C D 所成的角，因为11AC B C B A ==所以160B AC ∠=，C 选项不正确；因为//EF MN ，MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD所以//EF 平面ABCD ，又平面1111D C B A ∥平面ABCD ，所以//EF 平面1111D C B A ，D 选项正确；故选：AD【点睛】本题考查了判断线线垂直，线面垂直，线面平行及线线角的求法，属于较易题.12．ABD【解析】【分析】根据抛物线24y x =准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ，得到c ，再根据与双曲线交于,A B 两点，且AOB 的面积为32，求得双曲线的方程，再逐项验证. 【详解】因为抛物线24y x =的准线过双曲线2222:1x y C a b -=(0,a >0b >)的左焦点F ， 所以1c =-，又与双曲线交于,A B 两点， 所以221,,1,b b A B a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以AOB 的面积为2123122b a ⨯⨯=，即232b a =， 解得213,24a b ==， 所以双曲线C 的方程为224413y x -=，故A 正确； 双曲线C的渐近线方程为y =，所以两渐近线的的夹角为60°，故B 正确； 点F 到双曲线C的渐近线的距离为2d =，故C 错误； 双曲线C 的离心率为1212c e a ===，故正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13【解析】【分析】根据题意可知相当于求解等比数列的第7项，利用等比数列的通项公式可得结果.【详解】因为从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率1，所以第七个单音的频率为671a =⨯=.故答案为.【点睛】 本题主要考查以音乐文化为背景的等比数列问题，从中提炼出数学本质是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】【分析】已知条件利用余弦定理求得C ，然后由三角形内角和可得A ，再由等腰三角形得b ，再由三角形面积公式求得面积．【详解】∵()22a b c ab +=+，∴222a b c ab +-=-，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，120C =︒， ∴30A =︒，∴2b a ==，∴11sin 22sin12022ABC S ab C ∆==⨯⨯︒=【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式．解三角形中有三类公式：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，掌握这些公式是解题基础．15．90° 3【解析】【分析】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F ，空1：根据等腰三角形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可；空2：根据线面垂直的性质和判定定理，结合线面角定义、锐角三角函数定义进行求解即可.【详解】取CD 中点E ，连接AE 、BE ，作AF ⊥BE 于点F .空1：因为AC AD BC DB ===，所以CD ⊥AE ，CD ⊥BE ， AE BE ＝E ，,AE BE ⊂平面ABE ，∴CD ⊥平面ABE ，AB平面ABE ，∴CD ⊥AB ，∴异面直线AB 与CD 所成的角为90°； 空2：∵CD ⊥平面ABE ，AF ⊂平面ABE ，∴CD ⊥AF ，又AF ⊥BE ，,,CD BE ECD BE =⊂平面BCD ，∴AF ⊥平面BCD ，∴∠ABF 是直线AB 与底面BCD 所成角，正四面体ABCD 中，因为AF ⊥平面BCD ，所以点F 是三角形BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，所以22213()32BF a a a =-= 则333cos 3a BF ABF AB a ∠===．故答案为：90°；33【点睛】本题考查了求异面直线所成的角和线面角的计算，考查了线面垂直的判定定理和性质的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.16．10x y -+=【解析】【分析】由()1,0A -在准线上，过抛物线上点P 作PD 垂直与准线，得到cos PD PAF PA=∠，得出 PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设出切线方程为(1)y k x =+，结合判别式，即可求解.【详解】由题意，抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，()1,0A -在准线上， 过抛物线上的点P 作PD 垂直与准线交于D 点， 由抛物线的定义，可得PF PD =，在PAD △中，cos cos PD DPA PAF PA=∠=∠， 所以PD PA最小时，则cos PAF ∠最小，此时PAF ∠最大， 而PAF ∠最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设过()1,0A -与抛物线相切的直线方程为(1)y k x =+，联立方程组2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，整理得2440y y k -+=， 则24()440k∆=--⨯=，解得1k =±，又由点P 在第一象限，所以1k =，所以直线AP 的方程为1y x =+，即10x y -+=.故答案为：10x y -+=.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．（1）3C π=；（23【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ；（2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①： 由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC 的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=，故ABC 的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题．18．(1)7100x y ++=或20x y +-=;(2)最大值为88,最小值为72.【解析】【分析】(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果.(2) 由(2,2),(2,6),(4,2)A B C ----设P 点坐标为(),x y 则224x y +=. 代入化简可得222||||||804PA PB PC y ++=-,由22y -≤≤,即可求得求222||||||PA PB PC ++的最值.【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C 且被圆E 截得的弦长为,所以圆心到直线的距,设直线方程为2(4)y k x +=-,即420kx y k ---=,=解得17k =-或1k =-所以直线方程为7100x y ++=或20x y +-=. (2)设P 点坐标为(),x y 则224x y +=.222222222||||||(2)(2)(2)(6)(4)(2)PA PB PC x y x y x y ++=++++++-+-++ ()223468804x y y y =+-+=-因为22y -≤≤,所以7280488y ≤-≤,即222||||||PA PB PC ++的最大值为88,最小值为72.【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.19．（1）证明见解析；（2）1021【解析】【分析】(1)由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥,化简可得()122123n n a a n n n -=≥--即可证得结论; (2)由(1)可求得21n a n =-,利用裂项求和即可得出结果.【详解】解：（1）证明：由()()*4211n n S n a n N -+=∈得()()1142112n n S n a n ----=≥， 两式相减得()()()123212n n n a n a n --=-≥，即()122123n n a a n n n -=≥--， 在()()*4211n n S n a n N -+=∈中，令1n =，得11a =，故11121231n n a a a n n -====--，即21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数数列，得证． （2）由（1）知121n a n =-，即21n a n =-， 1223101111111113351921a a a a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯ 1111111201012335192122121⎛⎫=-+-++-=⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】 本题考查利用n a 与n S 的关系证明数列为常数列,考查利用递推公式求数列的通项公式,考查通过裂项求数列的和,难度一般.20 【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明线线垂直BA PA ⊥，BA AD ⊥来证明线面垂直，即BA ⊥平面PAD CE BA ,CE ∴⊥平面PAD .（Ⅱ）以A 为原点建立平面直角坐标系，通过法向量之间的夹角余弦，得到二面角的夹角余弦值，再求出其正切值法二：连接PE ，作AH ⊥PE 于H ，找到二面角的平面角为AHB ∠，在直角三角形PAE 中求出线段长度，求出tan AHB ∠，即二面角的正切值.【详解】（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，BA ⊂平面ABCD BA PA ∴⊥BA AD ⊥,,AD PA ⊂平面PAD 且AD PA A ⋂=BA ∴⊥平面PADCE BA ,CE ∴⊥平面PAD（Ⅱ）由（Ⅰ）知，CDE ∠为CD 与平面PAD 所成的角，所以45CED ∠=︒又1CD AB ==,90CED ∠=︒1,2DE CE AB AE ∴====连接,PE BE法一：以A 为原点O ，AD 为OX 轴，AB 为OY 轴，AP 为OZ 轴建立空间直角坐标系 ()00,0A ，，()0,1,0B () 2,0,0E由（I ）知AB 为平面PAE 的法向量且()0,1,0AB =设平面PBE 的法向量为(),,n x y z = ()()2,1,0,0,1,1BE PB =-=-由,n BE n PB ⊥⊥，得020y z x y -=⎧⎨-=⎩，取1x =，则()1,2,2n =设所求二面角为θ，则22cos 133AB nAB n θ⋅===⨯⋅sin 3θ∴==sin tan cos θθθ∴== 法二：作AH ⊥PE 于H ，由（I ）知BA PE ⊥，,AH BA ⊂平面AHB ，AH BA A ⋂=PE ∴⊥平面AHB BE ⊂平面AHB ，PE BE ∴⊥AHB ∴∠为所求二面角的平面角在直角三角形PAE 中，1122AH PE AE PA ⋅=⋅AH ∴=tan AB AHB AH ∴∠==21．（1）22162x y +=；（2）存在，m =【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求椭圆的,,a b c ，得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为)()03y x m x =->，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用0OA OB ⋅=，转化为坐标运算，建立等量关系求m 值.【详解】（1）根据题意，抛物线28y x =的焦点是()2,0，则()2,0F ，即2c =，，即3c e a ==，解可得a =26a =，则2222b a c =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m x =->由()221623x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m -<又0m >，∴0m <<设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.则))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又由以AB 为直径的圆过原点，则0OA OB ⋅=，即()212121212410333m x x y y x x x x m +=-++= 即26m =，又023m <<6m ∴=即存在6m =使得以AB 为直径的圆过原点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的综合应用，重点考查逻辑推理，计算能力，属于中档题型.22．（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分0a ≥，0a <两种情况讨论导函数正负，即得解；（2）由1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，构造1212ln x xa x x -=，结论12ln ln 2ln 0x x a +-<，可转化为()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，构造函数21()ln 2g t t t t =--+，分析单调性研究单调性，即可证.【详解】（1）(1)()()1a x x a f x x a x x++'=+++=，0x >， 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数；当0a <时，令()0f x '>，解得x a >-，则函数()f x 在区间(0,)a -上是减函数，在区间(,)a -+∞上是增函数.综上得：当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间；当0a <时，函数()f x 的单调递减区间是(0,)a -，单调递增区间是(,)a -+∞.（2）由题意得，()ln x a x x ϕ=-.因为1x ，2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根，所以1122ln 0ln 0a x x a x x -=⎧⎨-=⎩，两式相减得()()1212ln ln 0a x x x x ---=，解得1212lnx xa x x -=. 要证：12ln ln 2ln 0x x a +-<，即证：212x x a <，即证：()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即证：()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 令12(0,1)x t x =∈（因为120x x <<），则只需证21ln 2t t t<-+.设21()ln 2g t t t t=--+，∴22111()ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫'=-+=-+ ⎪⎝⎭；令1()2ln h t t t t =-+，∴22211()110h t t t t ⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭，()h t 在(0,1)上为减函数，∴()(1)0h t h >=，∴()0g t '>，()g t 在(0,1)为增函数，()(1)0g t g <=.即21ln 2t t t<-+在(0,1)上恒成立，∴12ln ln 2ln 0x x a +-<.【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.。

2020-2021学年湖南省常德一中高三(上)第四次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖南省常德一中高三(上)第四次月考数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖南省常德一中高三（上）第四次月考数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4} 2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2] 5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．144698．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝．14．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为．15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣2＜x＜4}解：∵M＝{x|﹣1＜x＜4}，N＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜3}．故选：B．2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），则＝（）A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴z1＝1+i，z2＝i．∴＝．故选：D．3．设函数f（x）＝log2|x|，若a＝f（log2），b＝f（log52），c＝f（e0.2），则a，b，c的大小为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：因为f（﹣x）＝f（x）即f（x）为偶函数，且x＞0时，函数单调递增，a＝f（log2）＝f（log32），b＝f（log52），c＝f（e0.2），因为e0.2＞1＞log32＞log52，所以c＞a＞b．故选：A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），N（1，0）．若动点M满足＝，则的取值范围是（）A．[0，2]B．[0，2]C．[﹣2，2]D．[﹣2，2]解：设M（x，y），由动点M满足＝，得，化简得：x2+（y﹣2）2＝8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则＝2cosθ∈[﹣2，2]，故选：D．5．直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]解：设圆心（3，2）到直线y＝kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN＝2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故k的取值范围是[﹣，0]．故选：A．6．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A．B．C．D．解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，由正弦定理，有：＝＝，∴cos A＝，由余弦定理，有：cos A＝，∴＝，即＝＝，整理得：（x+1）2＝（x﹣1）（x+4），解得：x＝5，三边长为4，5，6，则cos A＝＝．故选：A．7．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．按照香农公式，在不改变W的情况下，将信噪比从1999提升至λ，使得C：大约增加了20%，则λ的值约为（）（参考数据：lg2≈0.3，103.96≈9120）A．7596B．9119C．11584D．14469解：由题意得：≈20%，则≈1.2，1+λ≈20001.2，∵lg20001.2＝1.2lg2000＝1.2（lg2+3）≈1.2（0.3+3）＝3.96，故20001.2≈103.96≈9120，∴λ≈9119，故选：B．8．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．解：因为线l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）2＝2上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距＝5，则|AB|max＝5+2．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则解：A．a＜b＜0，则a2＞b2，正确；B．若ab＝4，则a+b可能小于0，例如，a＝b＝﹣2，因此不正确；C．若a＞b，则ac2≥bc2，c＝0时取等号，因此不正确；D．若a＞b＞0，m＞0，则a（b+m）﹣b（a+m）＝m（a﹣b）＞0，∴正确．故选：AD．10．在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是（）A．EF与AD所成角的正切值为B．EF与AD所成角的正切值为C．AB与面ACD所成角的余弦值为D．AB与面ACD所成角的余弦值为解：取BD中点M，BC中点N，连结EM，FM，AN，DN，∵在正三棱锥A﹣BCD中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AN⊥BC，DN⊥BC，又AN∩DN＝N，∴BC⊥平面ADN，∵AD⊂平面ADN，∴AD⊥BC，EM∥AD，且EM＝＝，MF∥BC，MF＝＝1，∴EM⊥MF，EF与AD所成角为∠FEM，∴EF与AD所成角的正切值为tan∠FEM＝＝＝，故A错误，B正确；连结BF，AF，则AF⊥CD，BF⊥CD，又AF∩BF＝F，∴CD⊥平面ABF，过点B作BP⊥AF，交AF于P，则BP⊥CD，∵CD∩AF＝F，∴BP⊥平面ACD，∴∠BAF是AB与面ACD所成角，∵AB＝3，AF＝＝2，BF＝，∴cos∠BAF＝＝＝．∴AB与面ACD所成角的余弦值为，故C正确，D错误．故选：BC．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（）A．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1）B．函数f（x）有五个零点C．若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（﹣2）≤m≤f（2）D．对∀x1，x2∈R，|f（x2）﹣f（x1）|＜2恒成立解：根据题意，函数f（x）定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），依次分析选项：对于A，当x＜0时，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝e x（﹣x﹣1），整理得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e x（x+1），A正确；对于B，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），此时有1个零点x＝1，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，f（x）有3个零点，B错误；对于C，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1），其导数f′（x）＝e﹣x（2﹣x），在区间（0，2）上，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，则在区间（0，+∞）上有极大值f（2）＝e﹣2，而x→0，f（x）→﹣1，则在区间（0，+∞）上，有﹣1＜f（x）≤e﹣2，又由f（x）为奇函数，则在区间（﹣∞，0）上，由﹣e﹣2≤f（x）＜1，综合可得：f（x）的值域为（﹣1，1），若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜1，C错误；对于D，当x＜0时，f′（x）＝e x（x+2），得到x＜﹣2时，f′（x）＜0，﹣2＜x＜0，时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，所以x＝﹣2时f（x）取得最小值，﹣e﹣2，且x＜﹣2时，f（x）＜0，所以f（x）＜f（0）＝1，即﹣e﹣2＜f（x）＜1，当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（2﹣x），所以f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，x＝2时，f（x）取最大值e﹣2，且x＞2时，f（x）＞0，所以f（x）＞f（0）＝﹣1，所以﹣1＜f（x）≤e﹣2，所以f（x）的值域为（﹣1，e﹣2]∪[﹣e﹣2，1）．故∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2，D正确；故选：AD．12．设{a n}是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意n∈N+，均有a n+k＞a n，则称{a n}是间隔递增数列，k是{a n}的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则{a n}是间隔递增数列C．已知，则{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若{a n}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤t＜5解：，因为q＞1，所以当a1＜0 时，a n+k＜a n，故错误；B.，令t＝n2+kn﹣4，t在n∈N*单调递增，则t（1）＝1+k﹣4＞0，解得k＞3，故正确；C.，当n为奇数时，2k﹣（﹣1）k+1＞0，存在k≥1 成立，当n为偶数时，2 k+（﹣1）k﹣1＞0，存在k≥2 成立，综上：{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D．若{a n} 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则，n∈N*成立，则k2+（2﹣t）k＞0，对于k≥3 成立，且k2+（2﹣t）k≤0对于k≤2 成立，即k+（2﹣t）＞0，对于k≥3 成立，且k+（2﹣t）≤0，对于k≤2 成立，所以t﹣2＜3，且t﹣2≥2，解得4≤t＜5，故正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量与的夹角为90°，，则＝2．解：∵平面向量与的夹角为90°，∴•＝0，又∵，∴2＝＝4+4＝8，∴＝2，故答案为：214．点（2，1）关于直线x﹣y+1＝0对称点的坐标为（0，3）．解：设所求对称点的坐标为（m，n），则由对称关系可得，解方程组可得，即所求点的坐标为（0，3）故答案为：（0，3）15．函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为4．解：∵函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1＝0上（mn＞0），∴m+n＝1（mn＞0），∴＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＝n＝时，的最小值为4．故答案为：4．16．如图，矩形ABCD中，，AD＝2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合），且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D﹣MNQ，则三棱锥D﹣MNQ体积的最大值为1；当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为．解：设MB＝t，则AM＝DN＝2﹣t，∵沿MN将△DMN折起，当DN⊥平面MNQ时，三棱锥D﹣MNQ的体积最大，此时V D﹣MNQ＝＝＝﹣，∴当t＝时，V D﹣MNQ取最大值，最大值为1，此时MB＝，DN＝，∴MQ＝NQ＝2，∴△MNQ为等边三角形，∴当三棱锥D﹣MNQ体积最大时，三棱锥D﹣MNQ是正三棱柱的一部分，如图所示：则三棱柱MNQ﹣EDF的外接球即是三棱锥D﹣MNQ的外接球，设点G，H分别是上下底面正三角形的中心，∴线段GH的中点即是三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的球心O，∴OH＝又，∴△MNQ是边长为2的等边三角形，∴HQ＝，∴三棱柱MNQ﹣EDF的外接球的半径R＝OQ＝＝，∴三棱锥D﹣MNQ的外接球的表面积为4πR2＝，故答案为：1；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，4），B（6，2），求△OAB的外接圆的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A（1，3）到直线l的距离为，求直线l的方程．解：（1）∵O（0，0），A（2，4），B（6，2），∴k OA＝2，OA的中点坐标为（1，2），则OA的垂直平分线方程为，即x+2y﹣5＝0；，OB的中点坐标为（3，1），则OB的垂直平分线方程为y﹣1＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10＝0．联立，解得，故圆心坐标为（3，1），半径r＝．∴△OAB的外接圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10；（2）当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，即kx﹣y＝0．由，解得k＝﹣7或k＝1．∴直线方程为7x+y＝0或x﹣y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y﹣a＝0，由已知可得，解得a＝2或a＝6．∴直线方程为x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．综上可得，直线方程为：7x+y＝0或x﹣y＝0或x+y﹣2＝0或x+y﹣6＝0．18．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，化简得＝＝，所以函数f（x）的最小正周期π．∵y＝sin x的减区间为，由，得，所以函数f（x）的单调递减区间为．（Ⅱ）因为∵，所以．所以．所以函数f（x）在区间上的取值范围是．19．在①a2，a3，a4﹣4成等差数列．②S1，S2+2，S3成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在公比为2的等比数列{a n}中，______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】方案一：选条件①解：（1）由题意，a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4，∵a2，a3，a4﹣4成等差数列，∴2a3＝a2+a4﹣4，即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1）知，b n＝（n+1）log2a n＝（n+1）log22n＝n（n+1），记c n＝，则c n＝＝＝2[﹣]，∴T n＝c1+c2+…+c n＝2（﹣）+2（﹣）+…+2[﹣]＝2[﹣+﹣+…+﹣]＝2[﹣]＝2﹣．方案二：选条件②解：（1）由题意，S1，＝a1，S2+2＝3a1+2，S3＝7a1，∵S1，S2+2，S3成等差数列，∴2（S2+2）＝S1+S3，即2（3a1+2）＝a1+7a1，解得a1＝2，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）同方案一第（2）题解答过程．20．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，（1）求证：BC⊥AB1；（2）若，求二面角C﹣B1B﹣A的余弦值．解：（1）证明：取BC中点O，连接AO，B1O，由于△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，∴AO⊥BC，B1O⊥BC，且AO∩B1O＝O，∴BC⊥平面B1AO，又AB1在平面B1AO内，∴BC⊥AB1；（2）设AB＝a，△ABC与△B1BC是全等的等边三角形，则BB1＝AB＝BC＝AC＝B1C＝a，又，由余弦定理可得，在△AB1C中，有，所以以OA，OB，OB1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面ABB1的一个法向量为，则，可取，又平面BCB1的一个法向量为，∴二面角C﹣B1B﹣A的余弦值为．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1作直线l与椭圆C交于A，B两点，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：△ABF2的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．解：（1）∵离心率为，∴a＝2c，∵△ABF2的周长为8，∴4a＝8，得a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，因此，椭圆C的标准方程为．（2）设△ABF2的内切圆半径为r，∴，又∵|AF2|+|AB|+|BF2|＝8，∴，要使△ABF2的内切圆面积最大，只需的值最大．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：x＝my﹣1，联立消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，易得△＞0，且，，所以＝，设，则，设，，所以在[1，+∞）上单调递增，所以当t＝1，即m＝0时，的最大值为3，此时，所以△ABF2的内切圆面积最大为．22．已知函数f（x）＝x sin x+cos x．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）记x i为函数y＝f（x）（x＞0）的从小到大的第i（i∈N*）个极值点，证明：（n≥2，n∈N）．解：（1）f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x，由f′（x）＞0可知，当x＞0时，x∈（0，）∪（2kπ+，2kπ+π）（k∈N），当x＜0时，x∈（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），∴f（x）的递增区间是（﹣2kπ﹣π，﹣2kπ﹣π）（k∈N），（0，），（2kπ+，2kπ+π）（k∈N）；（2）证明：由f′（x）＝0，x＞0，得x i＝（n∈N*），∵＝＜•＝（﹣）（n≥2，n∈N*），∴++•••+＜[（﹣）+（﹣）+•••+（﹣）]＝（﹣）＜•＝＜．。

天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)

天津市第一中学2023-2024学年高三第四次月考数学试卷(解析版)

天津一中2023—2024-2高三年级第四次月考数学试卷本试卷总分150分，考试用时120分钟．考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得集合，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由，所以.故选：C.2. 将收集到的天津一中2021年高考数学成绩绘制出频率分布直方图，如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. B. 高三年级取得130分以上的学生约占总数的65%C. 高三年级的平均分约为133.2D. 高三年级成绩的中位数约为125【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由各个矩形面积之和为1即可列式求解；对于B ，求最右边两个矩形面积之和即可验算；对于C ，D 分别由平均数计算公式、中位数计算方法即可判断.{}{}2|3100,33A x x x B x x =--<=-≤≤A B = (2,3]-[)3,5-{1,0,1,2,3}-{3,2,1,0,1,2,3,4}---{}1,0,1,2,3,4A =-23100x x --<25x -<<{}1,0,1,2,3,4A =-{}33B x x =-≤≤{}1,0,1,2,3A B ⋂=-0.028a =【详解】对于A ，，故A 正确；对于B ，高三年级取得130分以上的学生约占总数的，故B 正确；对于C ，高三年级的平均分约为，故C 正确；对于D ，设高三年级成绩的中位数为，由于，所以，故D 不正确.故选；D.3. 已知，条件，条件，则是的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】结合绝对值的性质，根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，所以由得，故由能推出；反之，当时，满足，但是；所以是的充分不必要条件.故选：A .4. 函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】.()1100.0010.0090.0250.037100.028a =-⨯+++÷=⎡⎤⎣⎦()0.0280.03710100%65%+⨯⨯=()1050.0011150.0091250.0251450.0281350.03710133.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=x 0.010.090.250.350.500.350.370.72++=<<+=130140x <<0a >:p a b >2:q a ab >p q 0a >a b >2a ab ab >≥:p a b >2:q a ab >10,2a b =>=-212a ab =>=-122a =<-=p q ()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭【分析】根据函数奇偶性即可排除CD ，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R ，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD ，当时，，故排除A .故选：B.5. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，设，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】结合偶函数的性质，函数单调性，只需比较对数、分数指数幂的大小即可得解.【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递增，所以，即.故选：B.6. 多项式展开式中的系数为（ ）A. 985B. 750C. 940D. 680【答案】A 【解析】分析】由二项式定理即可列式运算，进而即可得解.【详解】多项式展开式中的系数为.故选：A.7. 已知斜三棱柱中，为四边形对角线的交点，设三棱柱的体积【2()(1)cos 31xf x x =-⋅+()f x ()()()22321cos 1cos 1cos 313131x x x xf x x x x f x -⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=-⋅=-+⋅=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x πx =()ππ22π1cos π103131f ⎛⎫-=< ⎪++⎝⎭=-+()f x R ()f x [0,)+∞12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭12b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1ln 2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c <<b<c<ac<a<bb a c<<()f x R ()f x [0,)+∞()()1211ln 2ln 1e 22b f f f c f ff a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<==<<== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b<c<a ()52(71)52x x++2x ()52(71)52x x++2x 32350555C 712C 7159805985⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+=111ABC A B C -O 11ACC A 111ABC A B C -为，四棱锥的体积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】如图，延长，连接，则、，进而得，即可求解.【详解】如图，延长，连接，则，所以，又O 为的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则，所以，即故选：A8. 已知函数（为常数，且）的一个最大值点为，则关于函数的性质，下列说法错误的有（ ）个.1V 11O BCC B -2V 21:V V =1:31:41:62:31OA 11,,OB OB A B 111123A BCC B V -=11122A BCC B V V -=12223V V =1OA 11,,OB OB A B 11111111,3A ABC A BCCB A ABC V V V V V ---=+=111123A BCCB V -=1AC 1A 11BCC B O 11BCC B 11111222A BCC B O BCC B V V V --==12223V V =2113V V =()sin cos f x a x b x =+,a b 0,0a b >>π3x =()sin 2cos 2g x a x b x =+①的最小正周期为；②的一个最大值点为；③在上单调递增；④的图像关于中心对称．A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的性质，求的关系，再根据辅助角公式化简函数，再利用代入的方法，判断函数的性质.【详解】函数，，平方后整理为，所以，，函数的最小正周期为，故①正确；当时，，此时函数取得最大值，故②正确；当时，，位于单调递增区间，故③正确；，故④错误，所以错误的只有1个.故选：B9. 已知双曲线的左焦点为，过作渐近线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】()g x π()g x π6()g x 2π,π3⎛⎫⎪⎝⎭()gx 7π,012⎛⎫⎪⎝⎭,a b ()g x ()sin cos f x a x b x =+12b +=()20a =a π()sin 2cos 22sin 26g x x b x b x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0b >()g x 2ππ2=π6x =πππ2662⨯+=()g x 2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭π3π13π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭77ππ4π2sin 22sin 0121263g b b π⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221(0,0)x y a b a b-=>>1(,0)F c -1F P 212y cx =M 13PM F P =【分析】首先利用等面积法求出点坐标，再根据，求出坐标，再将坐标带入抛物线化简即可求解出双曲线离心率.【详解】据题意，不妨取双曲线的渐近线方程为，此时，，∴，且是直角三角形，设，则，，代入中，得，即；设,则，，由，则，，∴，则；又在抛物线上，，即，化简得，分子分母同时除以，，且，，.故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知，且满足（其中为虚数单位），则_________．【答案】2【解析】【分析】根据复数相等得到关于的方程组，解该方程组即可.【详解】由题意，可得，P 13PM F P =M M 212y cx =by x a=-1F P b =1OF c =OP a =1OPF (,)p p P x y 11122OPF p S ab cy== p aby c ∴=b y xa =-2p a x c =-2(,a ab P c c-(,)M xy 2,a ab PM x y c c ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 221,,a ab b ab F P c cc c c ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13PM F P = 223a b x c c+=⋅3ab ab y c c -=⋅2234,b a ab x y c c -==2234(,)b a abM c c -M 212y cx =22243()12ab b a cc c-∴=()()()2222222222221612316123a b b aca c a c a a c ⎡⎤=-⇔-=--⎣⎦422491640c a c a -+=4a 4291640e e ∴-+=1e >2e ∴===e ∴=,R a b ∈(12i)(i)3i a b ++=-i 22a b +=,a b (12i)(i)3i a b ++=-(2)(2)i 3i a b a b -++=-所以，解得，所以.故答案为：211. 著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n 个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种【答案】【解析】【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解.【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种，第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种，由数列满足，，则，，，则不同的做法有种.故答案为：.12. 已知在处的切线与圆相切，则_________．【答案】或【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得切线方程，再由直线与圆相切，列出方程，即可求解.【详解】由函数，可得，则且，所以函数在处的切线方程为，即，又由圆，可得圆心，半径为，2321a b a b -=⎧⎨+=-⎩1575a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222a b +=n n a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥9242776C 2121⨯==⨯5a {}n a 120,1a a ==()12(1)(3)n n n a n a a n --=-+≥()()321312a a a =-+=()()432419a a a =-+=()()5435144a a a =-+=2144924⨯=9242()ln f x x x =-1x =22:()4C x a y -+==a -0x y -=2()ln f x x x =-1()2f x x x=-'(1)1f '=(1)1f =()f x 1x =11y x -=-0x y -=22:()4C x a y -+=(,0)C a 2r =因为与圆，解得.故答案为：.13. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为______，若小伟同学运用“超能力”，抽到的5道题都是逻辑推理题，则这5道题目中答对题目个数的数学期望为______.【答案】 ①. ##②. 【解析】【分析】根据全概率公式求解概率，根据二项分布列的期望公式求解即可.【详解】设事件“小伟同学任意抽取一道题目作答，答对题目”，则.由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答，则答对题目的概率为，根据二项式分布知，所以，即的数学期望为.故答案为：，14. 在中，设，，其夹角设为，平面上点满足，，交于点，则用表示为_________．若，则的最小值为_________．【答案】 ①. ②.【解析】【分析】由和三点共线，得到和，得出方程组，求得的值，得到，再由，化简得到，得出，结合基本不等式，即可求解.0x y -=C 2a =±±20%50%30%0.20.60.7X 0.5511201A =()0.20.20.50.60.30.70.55P A =⨯+⨯+⨯=0.2()5,0.2X B ~()50.21E X =⨯=X 10.551ABC ,AB a AC b ==u u u r r u u u r r θ,D E 2AD AB = 3AE AC =,BE DC O AO ,a b65AO DE DC BE ⋅=⋅ cos θ4355AO a b =+ ,,D O C ,,B O E 2(1)AO ta t b =+- ()33AO ua u b =+-2133t ut u =⎧⎨-=-⎩,t u 4355AO a b =+ 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 2248209a b a b ⋅=+ 22209cos 48a b a bθ+=【详解】因为三点共线，则存在实数使得，又因为三点共线，则存在实数使得，可得，解得，所以，由，因为，可得，整理得，可得，所以又因为所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以.故答案为：15. 设函数，若函数与直线有两个不同的公共点，则的取值范围是______.【答案】或或【解析】【分析】对于，当可直接去绝对值求解，当时，分和,,D O C t (1)2(1)AO t AD t AC ta t b =+-=+-,,B O E u ()()133AO u AB u AE ua u b =+-=+-2133t u t u =⎧⎨-=-⎩24,55t u ==4355AO a b =+ 32,2,3DE AE AD b a DC AC AD b a BE AE AB b a =-=-=-=-=-=- 65AO DE DC BE ⋅=⋅ 436()(32)(2)(3)555a b b a b a b a +⋅-=-⋅-2248209a b a b ⋅=+ 2248cos 209a b a b θ=+ 22209cos 48a b a bθ+=22209a b+≥ 22209cos 48a b a b θ+=≥ 22209a b = 3b cos θ4355AO a b =+ 22()21f x x ax ax =-++()y f x =y ax =a 2a <-21a -<<-2a >221y x ax =-+0∆≤0∆>a <-a >论，通过和图像交点情况来求解.详解】由已知，即，则必过点，必过，对于，当时，，此时恒成立，所以，令，即，要有两个不同的公共点，则，解得或或，当时，或当时，和图象如下：此时夹在其两零点之间的部分为，令，得无解，则有两个根有两个根，即有两个解，，符合要求；当和图象如下：【221y x ax =-+()1y ax x =-22()21f x x ax ax ax =-++=()2211x ax ax x -+=-()1y ax x =-()()0,0,1,0221y x ax =-+()0,1221y x ax =-+280a ∆=-≤a -≤≤2210x ax -+≥()222()2121f x x ax ax a x ax =-++=+-+()221a x ax ax +-+=()22210a x ax +-+=()21Δ442020a a a ⎧=-+>⎨+≠⎩2a -≤<-21a -<<-2a <≤280a ∆=->a <-a >a <-221y x ax =-+()1y ax x =-221y x ax =-+-2221x ax ax ax -+-=-+()221a x -=()2211x ax ax x -+=-()2211x ax ax x ⇔-+=-()22210a x ax +-+=()2Δ4420a a =-+>a <-a >221y x ax =-+()1y ax x =-或令，根据韦达定理可得其两根均为正数，对于①，则，解得，对于②，则，解得，综上所述，的取值范围是或或.【点睛】方法点睛：对于方程的根或者函数零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题，图象直观方便，对解题可以带来很大的方便.三、解答题（本大发共5小题，共75分）16. 已知中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理求关系，再利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦定理计算即可；（2）利用三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】2210x ax -+=011⎧<<⎪⎪>3a >011⎧<<⎪⎪<3a <<a 2a <-21a -<<-2a >ABC sin cos sin 22C CB =2223a c b -=πsin 3B ⎛⎫+⎪⎝⎭1b =ABC ,,a b c cos B因为，所以，由正弦定理得，所以，即，所以，在中，，所以【小问2详解】由（1）得当时，，所以17. 已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD 中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）求到平面的距离．【答案】（1）证明见详解 （2）sincos sin 22C CB =sin 2sinC B =2c b =2222223347b a b c b b +=+===a 222cos 2a cb B ac +-===ABC sin B ==π11sin sin 322B B B ⎛⎫+=== ⎪⎝⎭1b =2a c ==122ABC S =´´=1111ABCD A B C D -ABCD 2AB =111A B =1AA ⊥ABCD 12,AA E =1//A E 11BCC B 11ABC D 11BCC B E 11ABC D 15（3【解析】【分析】（1）直接使用线面平行的判定定理即可证明；（2）构造空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，再计算两个法向量的夹角余弦值的绝对值即可；（3）使用等体积法，从两个不同的方面计算四面体的体积即可求出距离.【小问1详解】由于，，故，而，故四边形是平行四边形，所以，而在平面内，不在平面内，所以平面；【小问2详解】如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面与平面的法向量分别是和，则有和，1EAD B 11∥A B AB CE AB ∥11CEA B 1111122CE CD AB A B ====11CEA B 11A E B C ∥1B C 11BCC B 1A E 11BCC B 1//A E 11BCC B 1A 11111,,A A A D A B,,x y z ()2,0,0A ()10,1,0D ()2,0,2B ()10,0,1B ()10,1,1C ()()()()11110,0,2,2,1,0,2,0,1,0,1,0AB AD BB B C ==-=--=11ABC D 11BCC B ()1,,n p q r = ()2,,n u v w =11100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 212110n BB n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，，从而，，.故我们可取，，而，故平面与平面所成角的余弦值是.【小问3详解】设到平面的距离为，由于，而，所以.所以到平面18. 已知椭圆的左右顶点为A ，B ，上顶点与两焦点构成等边三角形，右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过作斜率为的直线与椭圆交于点，过作l 的平行线与椭圆交于P ，Q 两点，与线段BM 交于点，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据上顶点与两焦点构成等边三角形求出即可；（2）设出直线方程，利用弦长公式求出求出，，利用点到直线的距离求出点到直线的距离和点到直线的距离，再根据列式计算即可.【小问1详解】2020r p q =⎧⎨-+=⎩200u w v --=⎧⎨=⎩0r v ==2p q =20u w +=()11,2,0n = ()21,0,2n =-11cos ,5n 11ABC D 11BCC B 15E 11ABC D L 111111332E AD B AD B V LS L AD AB L -==⋅⋅⋅= 111142333E AD B B AD E AEB ABCD V V S S --==⋅⋅=⋅= 43=L =E 11ABC D 22221(0)x y a b a b +=>>(1,0)F A (0)k k >l M F N 2AMN BPQ S S =△△k 22143x y +=k =,a b AM PQ N AM B PQ 2AMN BPQ S S =△△由已知在等边三角形中可得，则椭圆的标准方程为为；【小问2详解】设直线的方程为：，联立消去得，则，得，，设直线的方程为：，设，联立，消去得，易知，则，所以，由得，所以直线的方程为，即，联立得，所以点到直线的22,a c b ====22143x y +=l ()2y k x =+()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩y ()2222341616120k x k x k +++-=221612234M k x k --=+226834M k x k-=+226834Mk AM x k -=-=-=+PQ ()1y k x =-()()1122,,,P x y Q x y ()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()22223484120k x k x k +-+-=0∆>221212228412,3434k k x x x x k k-+==++PQ ==()2212134k k +=+226834M k x k -=+222681223434M k k y k k k ⎛⎫-=⋅+= ⎪++⎝⎭BM ()2221234268234kk y x k k +=---+()324y x k=--()()3241y x k y k x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩222463,4343k k N k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭N AM点到直线，因为，所以，解得.【点睛】方法点睛：直线与椭圆联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根的判别式.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．19. 已知数列满足对任意的，均有，且，，数列为等差数列，且满足，．（1）求，的通项公式；（2）设集合，记为集合中的元素个数．①设，求的前项和；②求证：，．【答案】（1），B PQ 2AMN BPQ S S =△△()221211122234k k +=⨯+k =∆0∆>{}n a *N n ∈212n n n a a a ++=12a =24a ={}n b 11b =2105b b a +={}n a {}n b {}*1N n n k n A k a b a +=∈<≤n c n A ()2n n n p b c =+{}n p 2n 2n P *N n ∀∈122121111176n n c c c c -++++< 2n n a =32n b n =-（2）①；②证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质，结合等差数列的通项公式、等比数列的通项公式进行求解即可；（2）①根据不等式的解集特征，结合累和法、等比数列的前项和公式分类讨论求出的表达式，最后根据错位相减法进行求解即可；②运用放缩法，结合等比数列前项和公式进行运算证明即可.【小问1详解】因为数列满足对任意的，均有，所以数列是等比数列，又因为，，所以等比数列的公比为，因此；设等差数列的公差为，由；【小问2详解】因为，，所以由，因此有，即有，，当时，有于是有当为大于2的奇数时，()2122122n n P n n +=-⋅+-12322,n n k k +*<-≤∈N n n c n {}n a *N n ∈212n n n a a a ++={}n a 12a =24a ={}n a 212a a =1222n n n a -=⨯={}n b d ()210511932313132n b d d d b b n n a ⇒+++=⇒=⇒=+-=+-=2n n a =32n b n =-11,2322,nn n k n a b a k k k *+*+<≤∈⇒<-≤∈N N {}{}{}{}{}123452,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,22A A A A A ===== {}623,24,,43,A =1234561,1,3,5,11,21,c c c c c c ======234512233445562,42,82,162,322,c c c c c c c c c c +=+==+==+==+== 12,n n n c c ++= 2,N n n *≥∈112,n n n c c --+=1112,n n n c c -+--=n ()()()243122431122221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-+-+=+++++，显然也适合，当为大于2的偶数时，，显然也适合.①，，，设，则有，两式相减，得，，；②设，显然，，当时，有，因此，12214211143n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+=-11c =n ()()()244222442222221n n n n n n n c c c c c c c c -----=-+-++-+=+++++ 122214211143nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+=-21c =()()()21,21,N 221,2,Nn n n n n n n k k p b c n n k k **⎧+=-∈⎪=+=⎨-=∈⎪⎩()()212342121321242n n n n n P P P P P P P P P P P P P --=++++++=+++++++ ()()132124212132321221222424222n nn n n n -⎡⎤⎡⎤=⨯++⨯+++-⋅+-+⨯-+⨯-++⋅-⎣⎦⎣⎦()()()123212122232212221234212n n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅+-+-+--⎣⎦ ()()12321212223221222n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ()()234221212223221222nn S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 123212212222222n n n S n -+-=+++++-⋅ ()()2212121222212212n n n S n S n ++-⇒-=-⋅⇒=-⋅+-()2122122n n P n n +=-⋅+-()()11321k k k k c *+=∈+-N ()11332121k k k k c +=≤-+-()4213224k k k --⨯=-4,N k k *≥∈()()344213224042132212kk kkkk k--⨯=->⇒->⨯⇒<-()1133421221k k k k k c +=≤<-+-所以当时，，即，显然当时，有成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键由可以确定从第几项开始放缩，根据数列的通项公式的形式，得到，这样可以进行放缩证明.20. 已知函数．（1）讨论的单调区间；（2）已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点；①求证：；②求证：．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，再讨论，结合函数的定义域，即可求函数的单调区间；（2）①要证，即证，只需证，构造函数，，借助导数即可得证；②同①中证法，先证，则可得，利用、是方程的两根所得韦达定理，结合即可得证.【小问1详解】，，N k *∈4512321111111111143222k k k c c c c c -⎛⎫+++++<++++++ ⎪⎝⎭ 43123211111111122114312k k k c c c c c --⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒+++++<+++⨯- 312321111171171171322326k k k c c c c c --⎛⎫+++++<+-<+= ⎪⎝⎭ 2k n =122121111176n n c c c c -++++< 171111632=+++()1133421221k k k k k c +=≤<-+-2()24ln f x x ax x =-+()f x [4,6]a ∈()f x ()1212,λλλλ<b ∈R ()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<1212x x λ+>31x x -<∆1212x x λ+>2112x x λ>-()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈2232x x λ+<()()2312123122x x x x x x λλ=++<---1λ2λ220x ax -+=[4,6]a ∈()()222422x ax f x x a x x-+'=-+=0x >其中，，当时，即，此时恒成立，函数在区间单调递增，当时，即或当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，当，得或当时，，时，，所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，综上可知，当的单调递增区间是；当的单调递增区间是和，单调递减区间是；【小问2详解】①由（1）知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，、是方程的两根，有，，又的图象与有三个公共点，故，则，()22tx x ax =-+28a ∆=-0∆≤a -≤≤()0f x '≥()f x ()0,∞+0∆>a <-a >a <-()0f x ¢>()0,∞+()f x ()0,∞+a >()0t x =1x =1x =0x <<x >()0f x ¢>x <<()0f x '<()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭a ≤()f x ()0,∞+a >()f x ⎛ ⎝⎫+∞⎪⎪⎭[4,6]a ∈()f x ()10,λ()2,λ+∞()12,λλ1λ2λ220x ax -+=122λλ=12a λλ+=()y f x =y b =()123123,,x x x x x x <<112230x x x λλ<<<<<1112x λλ->要证，即证，又，且函数在上单调递减，即可证，又，即可证，令，，由，则恒成立，故在上单调递增，即，即恒成立，即得证；②由，则，令，，则，故在上单调递增，即，1212x x λ+>2112x x λ>-1112x λλ->()f x ()12,λλ()()1122f x f x λ<-()()12f x f x b ==()()1112f x f x λ<-()()()12x g x f x f λ=--()10,x λ∈()()()()212222422x ax x x f x x a x x xλλ-+--'=-+==()()()()()112211122222x x xx x g x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()1221112222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()222211*********x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()12221111222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()g x '()10,λ()()()()111102g x g f f λλλλ<=--=()()1112f x f x λ<-112230x x x λλ<<<<<2322x λλ-<()()()22x h x f x f λ=--()2,x λ∈+∞()()()()()122221222222x x xx x h x x λλλλλλλ------'=+-()()()()()2112222222x x x x x x x λλλλλλ+--+-=-⋅-()()221122212222222x x x x x x xx x λλλλλλλλ-+++--+=-⋅-()()()()()22112222222420x x x x x x x λλλλλλλ--=-⋅=>--()h x '()2,λ+∞()()()()222202h x h ff λλλλ>=--=即当时，，由，故，又，故，由，，函数在上单调递减，故，即，又由①知，故，又，故.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于先证，从而借助①中所得，得到.()2,x λ∈+∞()()22x f x f λ>-32x λ>()()3232f x f x λ>-()()32f x f x =()()3222f x f x λ>-2322x λλ-<122x λλ<<()f x ()12,λλ2322x x λ<-2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---2122λλ-==≤=31x x -<2232x x λ+<1212x x λ+>()()2312123122x x x x x x λλ=++<---。

高三试卷数学-安徽省六安第一中学2023届高三上学期第四次月考数学试卷及参考答案

高三试卷数学-安徽省六安第一中学2023届高三上学期第四次月考数学试卷及参考答案

六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足iz i-=+131（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知空间中的两个不同的平面βα,，直线⊥m 平面β，则“βα⊥”是“α//m ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A B ．C ．8D ．4．如图，已知1111D C B A ABCD -是正方体，以下结论错误．．的是（）A ．向量AC 与向量D C 1的夹角为60°B ．011=⋅B A AC C ．2112111113)(B A B A D A A A =++D ．若C A P A 1131=，则点P 是11D AB ∆的中心5．若不等式()0162>≤-k kx x 的解集为区间],[b a ，且2=-a b ，则=k （）AB ．2C ．D ．26．过点()4,3-P 作圆25:22=+y x C 的切线l ，直线04:=-y ax m 与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A ．5B ．2C ．4D ．57．如图，已知平面βα⊥，l =βα ，B A 、是直线l 上的两点，D C 、是平面β内的两点，且6,6,3,,===⊥⊥CB AB AD l CB l DA ．P 是平面α上的一动点，且直线PC PD 、与平面α所成角相等，则四棱锥ABCD P -体积的最大值为（）A ．18B ．36C ．24D ．488．在正四棱台1111D C B A ABCD -中，3,2111==AA B A AB ，当该正四棱台的体积最大时，则其外接球的表面积为（）A ．233πB ．π33C ．257πD ．π57二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题表述正确的是（）A ．若直线l 的斜率为3-，则直线l 的倾斜角为3π-B ．三棱锥ABC P -中，F E 、分别为PC PB 、的中点，P A PG 32=，则平面EFG 将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即5:1:=--ABC EFG EFG P V V C ．若直线l 过点)1,2(-P 且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l 的方程为03=--y x D ．在四面体ABC O -中，若AC OB BC OA ⊥⊥,，则ABOC ⊥10．在三棱锥ABC P -中，已知⊥P A 底面ABC ，F E BC AB 、,⊥分别是线段PC PB 、上的动点．则下列说法正确的是（）A ．当PB AE ⊥时，PCAE ⊥B ．当PC AF ⊥时，AEF ∆一定为直角三角形C ．当BC EF //时，平面⊥AEF 平面P ABD ．当⊥PC 平面AEF 时，平面AEF 与平面P AB 不可能垂直11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为线段1AA 的中点，AP AB AD λμ=+ ，其中λ，[]0,1μ∈，则下列选项正确的是（）A ．当21=λ时，三棱锥11PCD A -的体积为定值B ．当43=μ时，1B P PD +的最小值为13C ．当1λμ+=时，直线1A P 与平面11BDE D ．当31,21==μλ时，点1B 到平面11D PC 的距离为1313612．若实数y x ,满足y x y x -=-2，则下列说法正确的是（）A ．x 的最小值是0B ．x 的最大值是5C ．若关于y 的方程有一解，则x 的取值范围为}5{)4,1[D ．若关于y 的方程有两解，则x 的取值范围为)5,4(三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线021=-+-k y kx 与圆922=+y x 分别交于M 、N 两点.则弦MN 长的最小值为.14．在四面体ABCD 中，2==BD AC ，且异面直线AC 与BD 所成的角为60︒，N M 、分别是棱CD AB ,的中点，则线段MN 的长为．15．已知ABC ∆的一条内角平分线所在的直线方程为x y =，两个顶点坐标分别为()()2,31,1C B 、-，则边AC 所在的直线方程为．（结果用一般式表示）16．已知数列}{n a 满足：()())(131121*++∈+=-+-N n n a a n n n n ，若121==a a ，则数列}{n a 的前20项和=20S ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）如图，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2=OA ，侧面积为π38，0120=∠AOP .（1）求证：BD AG ⊥；（2）求直线PD 与平面ABD 所成角的正弦值．18、（本小题满分12分）如图，P 为ABC ∆内的一点，BAP ∠记为α，ABP ∠记为β，且α、β在ABP ∆中的对边分别记为()=+,,cos 3sin 2,,αββn n m n m )3,0(,πβα∈.（1）求APB ∠；（2）若PC AP AP AC BP AB ⊥===，2,1,3，求线段AP 和BC 的长．19、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆04:22=-+x y x C 及点)2,1()0,1(B A 、-．（1）若直线l 过点B ，与圆C 相交于N M 、两点，且32=MN ，求直线l 的方程；（2）圆C 上是否存在点P ，使得12||||22=+PB P A 成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22()*=∈-n n n S n N a ．（1）求证：数列}2{nn a 是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式；（2）设3(2)n n n b n a +=+，求证：1231n b b b b ++++< ．21、（本小题满分12分）在①2=AE ，②BD AC ⊥，③EBA EAB ∠=∠，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．如图，在五面体ABCDE 中，已知，AC ED BC AC //,⊥，且3,22=====DB DC ED BC AC ．（1）设平面BDE 与平面ABC 的交线为l ，证明：//l 平面ACDE ；（2）求证：平面⊥ABE 平面ABC ；（3）线段BC 上是否存在一点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43435，若存在，求BCBF 的值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()),(,sin )(R b a x b x g x a e x f x ∈=-=．（1）求函数()x f y =在()()00f ，处的切线方程；（2）若()x f y =与()x g y =的图象有公共点．（i ）当0=a 时，求b 的取值范围；（ii ）求证：e b a >+22．六安一中2023届高三年级第四次月考数学参考答案一．选择题123456789101112C BD A C A B D BD ACD ABD AB二．填空题13、414、1或315、0523=--y x 16、115-17、证明：（1）由题意可知AD ⨯⨯=2238ππ，解得32=AD ............................1分在AOP ∆中，32120cos 2222222=︒⨯⨯-+=AP 所以AP AD =，又因为G 是DP 的中点，所以DPAG ⊥因为AB 是圆O 的直径，所以BP AP ⊥，由已知得，⊥DA 平面ABP所以BP DA ⊥，所以⊥BP 平面DAP ，............................3分BP AG ⊥从而⊥AG 平面DPB ，证得BD AG ⊥.............................5分（2）过P 作AB PE ⊥，则⊥PE 面ABD .............................6分连接DE ，则PDE ∠就是直线PD 与平面ABD 所成的角............................7分62,3===PD PE ，............................9分42623sin ===∠∴PD PE PDE ..........................10分18、解：（1）由题知ββββαββcos sin 3sin sin sin 2cos 3sin )2(2=+⇒=+n n m )3sin(sin sin 21cos 23sin βπαββα-=⇒-=∴，...........................4分⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0,πβαβπα-=3 ，323ππβα=∠⇒=+APB .............................6分（2）在APB ∆中，由余弦定理得知：1cos 2222=⇒∠⋅⋅-+=AP APB BP AP BP AP AB ..........................8分又PC AP ⊥ ，且32=⇒=PC AP AC ..........................9分又︒=∠150BPC ，..........................10分 在BPC ∆中，7cos 2222=⇒∠⋅⋅-+=BC BPC PC PB PC PB BC ...........................12分19、解：（1）若l 的斜率不存在时，1=x l ：，此时32||=MN 符合要求.........................2分当l 的斜率存在时，设l 的斜率为k ，则令)1(2:-=-x k y l4311|2|2-=⇒=++∴k k k ，............................4分01143=-+∴y x ............................5分所以直线l 的方程为1=x 或01143=-+y x .............................6分（2）假设圆C 上存在点P ，设),(y x P ，则4)2(22=+-y x ，12)2()1()0()1(||||222222=-+-+-++=+y x y x PB P A ，............................8分即03222=--+y y x ，即4)1(22=-+y x ，............................9分22)10()02(|22|22+<-+-<- ，............................10分4)2(22=+-∴y x 与4)1(22=-+y x 相交，则点P 有两个．............................12分20、（1）证明：令1=n ，得21=a ..............................1分所以2≥n 时，nn n a S 22-=①11122----=n n n a S ②①-②得112222--+--=n n n n n a a a ，即2,2211≥+=--n a a n n n .......................3分所以212211=---n n n n a a ，2≥n ，因为21=a ，所以数列}2{n n a 是以1为首项21为公差的等差数列．.......................5分所以2121)1(12+=⋅-+=n n a n n ，所以12)1(-⋅+=n n n a .........................6分（2）由1212)2(12)1(12)1)(2(3---⋅+-⋅+=⋅+++=n n n n n n n n n b .....................8分所以...)251241(241231(2311( (2)1100321+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-=++++n b b b b1122)2(112)2(12)1(1[---⋅+-=⋅+-⋅++n n n n n n ........................10分因为02)2(11>⋅+-n n ，所以1...321<++++n b b b b ，得证.........................12分21、证明:（1）AC DE // ，//DE ∴平面ABC ........................1分又⊂DE 平面BDE 且平面 BDE 平面l ABC =，l DE //∴.........................2分又⊂DE 平面ACDE ，⊄l 平面ACDE ，//l ⇒平面ACDE .........................3分（2）若选①，取AC 中点G ，BC 中点AB O ,中点H ，连接OH DO EG ,,，//ED AC ，12CG AC ED ==，∴四边形EDCG 为平行四边形，//EG CD ∴，EG ∴=112AG AC ==，2AE =，222AG EG AE ∴+=，AG EG ∴⊥，又//CD EG ，AC CD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC CD C ⋂=，,BC CD ⊂平面BCD ，AC ∴⊥平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；........................5分若选②，BD AC ⊥ ，AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，⊥∴AC 平面BCD ，AC ⊂ 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCD ，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,DO OH ，BD CD = ，DO BC ∴⊥，又DO ⊂平面BCD ，平面BCD 平面ABC BC =，DO ∴⊥平面ABC ，又//OH AC ，AC BC ⊥，OH BC ∴⊥；........................5分若选③，取BC 中点O ，AB 中点H ，连接,,OD OH EH ，DC BD = DO BC ∴⊥，又2BC =，DO ∴,O H 分别为,BC AB 中点，1//2OH AC ∴，又1//2ED AC ，//OH ED ∴，∴四边形DEHO 为平行四边形，EH DO ∴=BC AC ⊥，2AC BC ==，AB ∴=12EH AB ∴=，AE BE ∴⊥，EAB EBA ∠=∠ ，2∴==BE AE ，222BD DE BE ∴+=，BD DE ∴⊥，又//DE AC ，AC BD ∴⊥，又AC BC ⊥，BC BD B = ，,BC BD ⊂平面BCD ，AC∴⊥平面BCD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，又DO BC⊥，DO⊂平面BCD，平面BCD 平面ABC BC=，DO∴⊥平面ABC，又//OH AC，AC BC⊥，OH BC∴⊥；........................5分综上所述：,,DO OH BC两两互相垂直.则以O为坐标原点，,,OD OH OB为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A-，()0,1,0B，(E，()2,2,0AB∴=-，(1,BE=-，DO⊥平面ABC，∴平面ABC的一个法向量()0,0,1m=；........................6分设平面ABE的法向量()1111,,xn y z=，则1111111220AB n x yBE n x y⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x=，解得：11y=，1z=，()1=1,1,0∴n，........................7分1m n∴⋅=，即1m n⊥，∴平面ABE⊥与平面ABC.........................8分（3）设在线段BC上存在点()()0,,011F t t-≤≤，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于43，由（2）得：(1,,EF t=-，(AE=-，设平面AEF的法向量()2222,,n x y z=，则22222222AE n x yEF n x ty⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令42=y，则()()12,1222-=+=tztx，))1(2,4),1(2(2-+=∴ttn........................9分∵面ABF的法向量为)1,0,0(1=n121212cos,n nn nn n⋅∴<>=⋅，化简得0291742=++tt，02916172<⨯-=∆∴方程无解........................11分线段以上不存在点F ，使得平面AEF 与平面ABF 夹角的余弦值等于43435..............12分22、解：（1）()e cos x f x a x '=-，故(0)1f a '=-，........................1分而1)0(=f ，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为()()101y a x =--+，.......................2分即()11y a x =-+........................3分（2）（i ）当0a =时，因为曲线()y f x =和()y g x =有公共点，故e x =设t =故2x t =，故2e t bt =在[)0,+∞上有解，设()2e ,0t s t bt t =-≥，故()s t 在[)0,+∞上有零点，.......................4分而()22e ,0t s t t b t '=->，若0b =，则()2e 0t s t =>恒成立，此时()s t 在[)0,+∞上无零点，.......................5分若0b <，则()0s t '>在()0,+∞上恒成立，故()s t 在[)0,+∞上为增函数，.......................6分而()010s =>，()()01s t s ≥=，故()s t 在[)0,+∞上无零点，故0b >，设()22e ,0t u t t b t =->，则()()2224e 0t u t t '=+>，故()u t 在()0,+∞上为增函数，而()00u b =-<，()()22e 10b u b b =->，故()u t 在()0,+∞上存在唯一零点0t ，且00t t <<时，()0u t <；0t t >时，()0u t >；故00t t <<时，()0s t '<；0t t >时，()0s t '>；所以()s t 在()00,t 上为减函数，在()0,t +∞上为增函数，故()()0min s t s t =，......................7分因为()s t 在[)0,+∞上有零点，故()00s t ≤，故200e 0t bt -≤，而2002e 0t t b -=，故220020e 2e 0t t t -≤即0t ≥()22e ,0t v t t t =>，则()()2224e 0t v t t '=+>，故()v t 在()0,+∞上为增函数，而2002e t b t =，故122e b ≥=.........................8分另解：)0(22>⋅=⇒=b x b e x b e x x令x b e x g x 22)(-=，所以222)(b e x g x -='，2ln 210)(2b x x g =⇒='.当2ln 21,0(2b x ∈时，()0<'x g ，即()x g 在2ln 21,0(2b 上是单调递减的；当),2ln 21(2+∞∈b x 时，()0>'x g ，即()x g 在),2ln 21(2+∞b 上是单调递增的；因为0)0(>g ，所以有e b b g 20)2ln 21(22≥⇒≤，解得e b 2≥.（ii）因为曲线()y f x=和()y g x=有公共点，所以e sinx a x-=有解0x，其中00x≥，若00x=，则100a b-⨯=⨯，该式不成立，故00x>.故0sin e0xa x+=，考虑直线sin e0xa x+=表示原点与直线0sin e0xa x+=上的动点(),a b之间的距离，x222200esinxa bx x+≥+，........................9分下证：对任意0x>，总有sin x x<，证明：当2xπ≥时，有sin12x xπ≤<≤，故sin x x<成立.当02xπ<<时，即证sin x x<，设()sinp x x x=-，则()cos10p x x'=-≤（不恒为零），故()sinp x x x=-在[)0,+∞上为减函数，故()()00p x p<=即sin x<成立.综上，sin x x<成立.........................10分下证：当0x>时，e1x x>+恒成立，()e1,0xq x x x=-->，则()e10xq x'=->，故()q x在()0,+∞上为增函数，故()()00q x q>=即e1x x>+恒成立.........................11分下证：22e>esinxx x+在()0,+∞上恒成立，即证：212e sinx x x->+，即证：2211sinx x x-+≥+，即证：2sinx x≥，而2sin sinx x x>≥，故2sinx x≥成立.ex>，即22ea b+>成立.........................12分第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为0x，则0sin0xbxae x+=由柯西不等式：))(sin()sin(222220xxbaxbxae x++≤+=.即证：exxe x>+022sin，因为exxxexxxeexxexxe xxxx=++≥+⨯=+>+)1()1(sin222220，原命题得证.方法二：基本不等式：令交点横坐标为0x，则0sin0xbxae x+=，则由基本不等式)sin(2)sin(222220xbxaxbxae x+≤+=，6因此有：e x e b x x a b a x ≥≥+⋅>+0220022222sin 0，原命题得证.答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！。

甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学(文)试题 含答案

甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学(文)试题 含答案

2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（文科）一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．复数z 1在复平面内对应的点为（1，3），z 2＝﹣2+i （i 为虚数单位），则复数的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x ＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则（∁U A ）∩B ＝（）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ＜2}D ．{x |0≤x ＜2}3．下列判断正确的是（）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题B ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，2≤0”C ．“”是“α＝”的充分不必要条件D ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”4．设a ＝1-3log 2，b ＝2log 4，c ＝2，则（）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜b ＜aD ．b ＜a ＜c5．设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x ＝﹣3处取得极大值，则函数y ＝xf ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C．D．6．数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n﹣1，则a10＝（）A．511B．513C．1025D．10247．已知二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为{x|x＜或x＞}，则关于x的不等式cx2﹣bx﹣2＞0的解集为（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|﹣3＜x＜﹣2}8．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A，sin B，sin C成等比数列，则角B 的取值范围（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，为了得到y＝sin x图象，则需将y＝f（x）的图象（）A．横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位B．B．横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位10．已知向量＝（4sinα，1﹣cosα），＝（1，﹣2），若＝﹣2，则＝（）A．1B．﹣1C．D．11．已知是两个不共线的向量，若，+，，则（）A．A，B，C三点共线B．A，C，D三点共线C．A，B，D三点共线D．B，C，D三点共线12．已知在x＝1处取得极值，则的最小值是（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13．已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．14．已知α∈（0，），β∈（0，），sin（α﹣β）＝，α+β＝，则cos2α的值为．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝n2+3n﹣1，则a n的通项为．16．不等式mx2﹣mx﹣2＜0对任意x∈R恒成立的充要条件是m∈．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，sin A＝2sin B，求△ABC的周长．18（本小题满分12分）已知向量，满足：||＝4，||＝3，（﹣）•（+2）＝0．（1）求|2+|的值；（2）若向量⊥（+λ），求实数λ的值．19（本小题满分12分）设S n为首项不为零等差数列{a n}的前n项和，已知a4a5＝3a9，S5＝20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求的最大值．20（本小题满分12分）已知f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝ln（3x+2）．（1）证明y＝f（x）在[0，+∞）单调递增；（2）求f（x）的解析式；（3）求不等式f（x+2）≤f（2x）的解集．21（本小题满分12分）已知曲线f（x）＝ax+bx2lnx在点（1，f（1））处的切线是y＝2x﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）≥kx恒成立，求实数k的最大值．选考题：共10分。

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

四川省绵阳市2024届高三数学上学期第四次月考理试题含解析

高中2021级高三第四学月测试理科数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.在复平面内，复数342i i++对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】通过复数的运算求出复数的代数形式，然后再进行判断即可．【详解】由题意得()()()5234522222i ii i i i i -+===-+++-，所以复数342i i++在复平面内对应的点为()2,1-，在第四象限．故选D ．【点睛】解题的关键是将复数化为代数形式，然后再根据复数的几何意义进行判断，属于基础题．3.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若53a a ＝59，则95S S 等于（）A.1 B.－1C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式计算即可.【详解】95S S ＝19159()25()2a a a a ++＝5395a a ＝1.故选：A.4.已知向量a，b不共线，向量3c a b =+，2d a kb =+，且c d ∥，则k =（）A.－3 B.3C.－6D.6【答案】D 【解析】【分析】设d c λ=，从而得到23a kb a b λλ+=+ ，得到方程，求出k 的值.【详解】设d c λ=，则()233a kb a b a b λλλ+=+=+ ，故2,36k λλ===．故选：D5.南山中学某学习小组有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则选出的3名同学中男女生均有的概率是（）A.45B.56C.67D.78【答案】B 【解析】【分析】首先计算出基本事件总数，依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学；②2名男同学，1名女同学，计算出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：从有5名男同学，4名女同学，现从该学习小组选出3名同学参加数学知识比赛，则有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯；依题意选出的3名同学中男女生均有，分为两种情况：①1名男同学，2名女同学，有1254C C 30=（种）；②2名男同学，1名女同学，215440C C =（种）；故概率为30405846P +==故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，古典概型的概率问题，属于基础题.6.已知1sin cos 3αβ-=，1cos sin 2αβ+=，则()sin αβ-=（）A.572B.572- C.5972D.5972-【答案】C 【解析】【分析】将已知等式平方后相加，结合同角的三角函数关系以及两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】由题意得()2221sin cos sin cos 2sin cos 9αβαβαβ-=+-=，()2221cos sin cos sin 2cos sin 4αβαβαβ+=++=，两式相加得()1322sin cos cos sin 36αβαβ--=，得()59sin 72αβ-=，故选：C7.在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,80,90,90,100,90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A.该省考生数学成绩的中位数为75分B.若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C.从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人D.若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5.【答案】A 【解析】【分析】根据频率分布直方图计算中位数、平均分，由不合格率为4%求得合格线，利用优秀率估算抽取的1000人中的优秀从数，从而判断各选项．【详解】由频率分布直方图知中位数在[70,80]上，设其为x ，则700.5(0.10.150.2)80700.3x --++=-，解得71.67x ≈，A 错；要全省的合格考通过率达到96%，设合格分数线为y ，则4010.96100.1y --=，44y =，B 正确；由频率分布直方图优秀的频率为0.1，因此人数为10000.1100⨯=，C 正确；由频率分布直方图得平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，考试数学成绩的平均分约为70.5,D 正确．故选：A.8.在[2,3]-上随机取一个数k ，则事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为（）A.715B.815C.25D.35【答案】A 【解析】【分析】根据直线与圆有公共点，求出k 的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.【详解】若直线3y kx =+，即30kx y -+=与圆22(2)9x y ++=有公共点，则圆心到直线距离3d =≤，故5≥解得43k ≥或43k ≤-，由几何概型的概率公式，得事件“直线3y kx =+与圆22(2)9x y ++=有公共点”发生的概率为()()44323373215P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--.故选：A.9.已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且3x π=时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[]0,a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.6πB.56π C.23π D.3π【答案】D 【解析】【分析】由周期求得ω，再由最小值求得ϕ函数解析式，然后由单调性可得a 的范围，从而得最大值．【详解】由题意22πωπ==，cos(2)13πϕ⨯+=-，22,Z 3k k πϕππ+=+∈，又2πϕ<，∴3πϕ=，()cos(2)3f x x π=+，[0,]x a ∈时，2[,2]333x a πππ+∈+，又()f x 在[0,]a 上单调递减，所以23a ππ+≤，3a π≤，即03a π<≤，a 的最大值是3π．故选：D ．10.点P 是以12,F F 为焦点的的椭圆上一点，过焦点作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A 【解析】【分析】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F 延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且M 是2PF 的中点，由此可求得OM 的长度是定值，即可求点M 的轨迹的几何特征．【详解】解：由题意，P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为M ，延长2F M 交1F P 延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OM ，知OM 是三角形12F F Q 的中位线OM a ∴=，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆故选：A ．【点睛】本题在椭圆中求动点Q 的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．11.已知直线(2)(0)y k x k =+＞与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k=A.13B.3C.23D.223【答案】D 【解析】【详解】将y=k(x+2)代入y 2=8x,得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0.设交点的横坐标分别为x A ,x B ,则x A +x B =28k-4,①x A ·x B =4.又|FA|=x A +2,|FB|=x B +2,|FA|=2|FB|,∴2x B +4=x A +2.∴x A =2x B +2.②∴将②代入①得x B =283k -2,x A =283k -4+2=283k -2.故x A ·x B =228162233k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=4.解之得k 2=89.而k>0,∴k=3,满足Δ>0.故选D.12.已知函数()22e1xf x ax bx =-+-，其中a 、b ∈R ，e 为自然对数的底数，若()10f =，()f x '是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（）A.()22e3,e 1-+ B.()2e3,-+∞C.()2,2e2-∞+ D.()222e6,2e 2-+【答案】A 【解析】【分析】由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，作出函数函数22e x y =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()22e1xf x ax bx =-+-，则()21e 10f a b =-+-=，可得21e b a =+-，所以，()()222e 1e1xf x ax a x =-++--，则()222e21e xf x ax a '=-++-，由()0f x '=可得222e 21e x ax a =--+，因为函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，所以，函数22e xy =与221e y ax a =--+的图象在()0,1上有两个交点，作出22e xy =与()2221e 211e y ax a a x =--+=--+的函数图象，如图所示：若直线221e y ax a =--+经过点()21,2e，则2e1a =+，若直线221e y ax a =--+经过点()0,2，则2e 3a =-，结合图形可知，实数a 的取值范围是()22e 3,e 1-+.故选：A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若一组数据123,,,,n x x x x ⋯的方差为10，则另一组数据1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为______．【答案】40【解析】【分析】由题意先设出两组数据的平均数，然后根据已知方差、方差公式运算即可得解.【详解】由题意设123,,,,n x x x x ⋯的平均数为x ，则1221,21,,21n x x x --⋯-的平均数为21x -，由题意123,,,,n x x x x ⋯的方差为()()()222212110n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ ，从而1221,21,,21n x x x --⋯-的方差为()()()222221121222222441040n s x x x x x x s n ⎡⎤=-+-++-==⨯=⎢⎥⎣⎦ .故答案为：40.14.若二项式2nx的展开式中第5项是常数项，则展开式中各项系数的和为__________.【答案】1【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x 的指数为0，求出n 的值，令1x =，可得展开式中各项系数的和．【详解】解：2nx ⎫⎪⎭展开式的第5项为44452()n n T C x -=-二项式2nx ⎫-⎪⎭的展开式中第5项是常数项，∴4402n --=，12n ∴=∴二项式为122x ⎫-⎪⎭令1x =，可得展开式中各项系数的和()12121n T =-=故答案为：1．【点睛】本题考查展开式的特殊项，正确运用二项展开式是关键，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为___．【答案】45π【解析】【详解】由题意，圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，所以面积最小时，圆心在原点到直线的垂线中点上，则d =r =，45S π=．点睛：本题考查直线和圆的位置关系．本题中，由,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆，则半径就是圆心C 到原点的距离，所以圆心C 到原点的距离与到直线的距离相等，得到解答情况．16.过双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆222x y a +=的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线24y cx =于点P ，O 为坐标原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为_________．【答案】152【解析】【详解】试题分析：因为,,OF c OE a OE EF ==⊥，所以EF b =，因为1()2OE OF OP =+，所以E为PF 的中点，2PF b =，又因为O 为FF '的中点，所以//PF EO '，所以2PF a '=，因为抛物线的方程为24y cx =，所以抛物线的焦点坐标为(,0)c ，即抛物线和双曲线的右焦点相同，过F 点作x 的垂线l ，过P 点作PD l ⊥，则l 为抛物线的准线，所以2PD PF a '==，所以点P 的横坐标为2a c -，设(,)P x y ,在Rt PDF ∆中，222PD DF PF +=，即22222244,44(2)4()a y b a c a c c b +=+-=-，解得12e =.考点：双曲线的简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程、以及谁去下的简单的几何性质的应用，同时考查了双曲线的定义及性质，着重考查了学生推理与运算能力、数形结合思想、转化与化归思想的应用，属于中档试题，本题的解答中，根据题意得到抛物线和双曲线的右焦点相同，得出点P 的横坐标为2a c -，再根据在Rt PDF ∆中，得出22244(2)4()a c a c c b +-=-是解答的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214n n n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18.某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x （元）789111213销量y （kg ）120118112110108104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求y 关于x 的线性回归方程；（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b =()121((ni i i n i i x x y y x x ==---∑∑，a y bx =-$$．【答案】（1） 2.5137y x =-+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知表格中数据求得ˆa与ˆb ，则可求得线性回归方程；（2）求出ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．【详解】解：（1）()1789111213106x =+++++=，()11201181121101081046y =+++++=112．ˆb =()121()()ni i i ni i x x y y x x ==---∑∑═70 2.528-=-，()112 2.510137ˆˆa y bx =-=--⨯=．∴y 关于x 的线性回归方程为 2.5137ˆyx =-+；（2）6种单价中销售量在[110，118]内的单价种数有3种．∴销量恰在区间[110，118]内的单价种数ξ的取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=0336120C C =，P （ξ=1）=123336920C C C ⋅=，P （ξ=2）=213336920C C C ⋅=，P （ξ=3）=3336120C C =．∴ξ的分布列为：ξ0123P120920920120期望为E （ξ）=199130123202020202⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望，考查计算能力，求离散型随机变量ξ的分布列与均值的方法：（1）理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；（2）求ξ取每个值的概率；（3）写出ξ的分布列；（4）根据均值的定义求E（）ξ19.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<，所以2cos 12A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在2cos 2A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，所以22213131322cos 2132222222A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-<+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20.椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),A B -过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q．（1）当2CD =时，求直线l 的方程；（2）当P 点异于,A B 两点时，证明：OP OQ ⋅为定值．【答案】（1）1y =+；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l 不与两坐标轴垂直，设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k 的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC ，BD 的方程，联立方程组可得1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-而12222kx x k =--+代入化简可得Q x k =-，而1P x k =-，则可得P Q OP OQ x x ⋅= 的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212y x +=易得直线l 不与两坐标轴垂直，故可设l 的方程为()10,1y kx k k =+≠≠±，设()()1122,,,C x y D x y ，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222210k x kx ++-=，判别式()2Δ810.k =+>由韦达定理得12122221,22k x x x x k k +=-=-++，①故12322CD x x =-=，解得k =即直线l 的方程为1y =+．（2）证明：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，故其方程为()1111y y x x =++，直线BD 的斜率为221BD y k x =-，故其方程为()2211y y x x =--，由()()11221,11,1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩两式相除得()()()()()()2121121211111111y x kx x x x y x kx x ++++===--+-1221121211kx x kx x kx x kx x +++-+-即1221121211.11Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=--+-由（1）知12222kx x k =--+，故()()()()()()222222222222122111222212111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k x k x x k x k k k ---+--++-++++===-+-⎛⎫----+-++ ⎪+++⎝⎭11k k -+解得Q x k =-．易得1,0P k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==-⋅-= ，所以OP OQ ⋅为定值121.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）对函数求导得到()()()3e xf x x ax '=--，再根据导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）对函数求导得()()()3e xf x x ax '=--，令()e xg x ax =-，将问题转化为()e xg x ax =-在()0,3内有两个交点，再应用导数研究的单调性并确定其区间最值及边界值，进而可得a 的范围.【小问1详解】因为2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，所以()()()()()()()24e e 33e 33e x x x xf x x a x x x ax x x ax '=-+--=---=--，又因为0a ≤，0x >，则e 0x ax ->，所以，当()0,3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()3,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,)+∞上的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞．【小问2详解】由（1）知，当0a ≤，函数()f x 在()0,3上单调递减，此时()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意，所以0a >，设()e xg x ax =-，[0,)x ∈+∞，所以()e xg x a '=-，当01a <≤时，当()0,3x ∈时，()e 0xg x a '=->，所以()g x 在()0,3上单调递增，所以当()0,3x ∈时，()()010g x g >=>，所以当()0,3x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()0,3上单调递减，故()f x 在()0,3上不存在极值点，不符合题意；当1a >时，令()0g x '<，解得0ln x a <<，令()0g x '>，解得ln x a >，所以函数()g x 在()0,ln a 上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以函数()g x 的最小值为()()ln 1ln g a a a =-，若函数()f x 在()0,3上存在两个极值点，则()()()00,ln 0,30,0ln 3,g g a g a ⎧>⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，即()310,1ln 0,e 30,0ln 3,a a a a >⎧⎪-<⎪⎨->⎪⎪<<⎩解得3e e 3a <<．综上，a 的取值范围为3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为11:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），222cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．若射线()π06θρ=>与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于极点），点()2,0P ，求PAB 的面积．【答案】（1）224x y -=；22(2)4x y -+=（2【解析】【分析】（1）利用消参法与完全平方公式求得1C 的普通方程，利用22cos sin 1θθ+=得到2C 的普通方程；（2）分别求得12,C C 的极坐标方程，联立射线，从而得到A ρ，B ρ，进而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】因为曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则22212x t t=++，22212y t t =+-，两式相减，得1C 的普通方程为：224x y -=；曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），所以2C 的普通方程为：()2224x y -+=.【小问2详解】因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 4ρθρθ-=ππ()42k θ≠+，即24cos 2ρθ=，联立2π64cos 2θρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得A ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线1C 交于A π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2C 的普通方程()2224x y -+=，可化为224x y x +=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos ρρθ=，即4cos ρθ=，联立π64cos θρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得B ρ=，所以射线π(0)6θρ=>与曲线2C 交于B π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，又点()2,0P ，所以2OP =，则1π||()sin 26POA B PAB POB A S S OP S ρρ=-=⨯⨯-= ．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()(),h x x m g x x n =-=+，其中00m n >>，.（1）若函数()h x 的图像关于直线1x =对称，且()()23f x h x x =+-，求不等式()2f x >的解集.（2）若函数()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，求11m n+的最小值及相应的m 和n 的值.【答案】（1）()2,2,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭；（2）11m n+的最小值为2，相应的m n 1==【解析】【分析】()1先根据对称性求出1m =，对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；()2根据绝对值三角不等式即可求出2m n +=，可得()11111m n m n 2m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式即可求出.【详解】()1函数()h x 的图象关于直线x 1=对称，1m ∴=，()()f x h x 2x 3x 12x 3∴=+-=-+-，①当x 1≤时，()321432x x x x =-+-=->，解得2x 3<，②当31x 2<<时，()f x 32x x 12x 2=-+-=->，此时不等式无解，②当3x 2≥时，()f x 2x 3x 13x 42=-+-=->，解得x 2>，综上所述不等式()f x 2>的解集为()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ．()()()()()2x h x g x x m x n x m x n m n m n ϕ=+=-++≥--+=+=+ ，又()()()x h x g x ϕ=+的最小值为2，2m n ∴+=，()111111n m 1m n 222m n 2m n 2m n 2⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1m n ==时取等号，故11m n+的最小值为2，其相应的1m n ==．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1. 已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2）B．[0，2]C．（0，2）D．[1，2]2. 是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3. 已知命题p：函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6B．8C．8D．126. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（）A．A x+By=0 B．A x﹣By=0 C．B x+Ay=0 D．B x﹣Ay=0A．B．C．D．8. 设二次函数f（x）=ax﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3B．C．5D．72若数列的前n项和为T n，则T2014的值为（）A．20112012B．20122013C．20132014D．20142015化的可能图象是（）A．B．C．D．11. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是．13. 若实数x，y满足的最小值是．14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．15. ①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n 取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题（6小题，共75分）16. 已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（I）求ω的值；（II）在△ABC中，若A＜B，且，求．17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（I）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（II）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．19. 已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（I）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（II）求证：平面AFC⊥平面CBF．（III）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．\21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．高三数学文科月考试卷一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1. 已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）＜N={y|y=﹣=z+3. 已知命题p：函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面Ct5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）××=6. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（）=7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）C），=，）∴=1+8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）C则×=39. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为T n，则T2014的值为（）===110. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）11. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为﹣．t=﹣tant=（﹣故答案为：﹣是．．故填：13. 若实数x，y满足的最小值是1．y=14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，22，15. ①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．），∵=a=x）处的切线方程为：=216. 已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．=∴，解之，得）得∴，得∴解之，得或∴，又由正弦定理，得如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．=++44=24+12．B=2=2n12514n2b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．）∵+=a∴=a++∴=a．•圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．，则所以MN MN AO（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．））∴∴所以有：，∴∴∴。

2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考(四)数学试卷含详解

2022-2023学年重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考(四)数学试卷含详解
【详解】当 ， ，
所以 ，
解得： ，当n=1适合
因 ，
所以
，
又因为 是单调递增数列，
所以有 ，对任意的正整数 ，都有 ，
所以 ，
故选：C
8.已知函数 的定义域为 ，对任意大于 的实数 ，都满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性判断出 的大小关系.
A. B. C. D.
6.在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”， ，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（）
又 ，则2023年的天干是癸
又 ，则2023年的地支是卯
所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯
故选：D7.已知数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，都有 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意累加法求得 ，再根据裂项相消求和解决即可.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作椭圆 的切线 ，与直线 、直线 分别交于 ， 两点，求 面积的最小值.

2024届邵阳市邵东一中高三数学上学期第四次月考卷附答案解析

2024届邵阳市邵东一中高三数学上学期第四次月考卷附答案解析

2024届邵阳市邵东一中高三数学上学期第四次月考卷2023-12（考试时间：120分钟卷面满分：150分）一、选择题1．若复数z 满足()1i 1i z +=-，则z =（）A ．i -B ．iC ．22-+D ．22i 22-2．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正项等比数列{}n a 中，4128a a a =422141log log 2a a +=（）A ．12B ．13C ．14D ．164．已知tan α，tan β是方程240x ++=的两根，且ππ22α-<<，ππ22β-<<，则αβ+的值为（）A ．π3B ．2π3-C ．π3或2π3-D ．π3-或2π35．在同一坐标系内，函数ay x=()0a ≠和1y ax a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．在梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，若点M 在线段BD 上，则AM CM⋅的最小值为（）A ．35B ．920-C ．35-D ．9207．已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +是偶函数，()1f x -是奇函数，则下列命题正确的个数是（）①()()16f x f x =-；②()110f =；③()()20220f f =-；④()()20213f f =-.A ．1B ．2C ．3D ．48．若0.40.6e a =，2ln 4b =-，e 2c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>二、多项选择题9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2ϕπ<）的最小正周期为2π．把函数()f x 的图象向左平移23π个单位长度得到的图象对应的函数为偶函数，则（）A ．6πϕ=B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的图象的对称中心C ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10．（多选）已知椭圆()2221024x y b b +=<<的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则（）A．椭圆的短轴长为B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C．离心率为3D ．AB的最小值为311．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面1PB D ⊥平面1ACD B ．1//A P 平面1ACD C ．异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．三棱锥1D APC-的体积不变12．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则“对于任意的(0,1]x ∈，不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是（）A ．10a e-≤<B ．4312a ee ≤<C ．3211a e e ≤<D ．1a e e ≤<三、填空题13．圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为；14．已知22()22f x x x a a =++-，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为.15．将函数()cos f x x =的图象先向右平移34π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的()10ωω>倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是．16．已知m R ∈，函数231,1()log (1),1x x f x x x ⎧+<=⎨->⎩，2()221g x x x m =-+-，若函数[()]y f g x m =-有4个零点，则实数m 的取值范围是.四、解答题17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若24a ，32a ，4a 成等差数列，且4282S a =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()122nn n n a b a a +=++，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：11124n T ≤<.18．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，π2sin 6b c B a +⎛⎫+=⎪⎝⎭．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，4c =，求ABC 面积的取值范围．19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1114,2,90,AC AA BC ACB A B AC ︒===∠=⊥.(1)求证:平面11A ACC ⊥平面ABC .(2)若160A AC ︒∠=，在线段AC 上是否存在一点P 使平面1BA P 和平面11A ACC所成角的余弦值为若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由.20．天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311.优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．参考公式与临界值表：．0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82821．如图，已知圆22:(1)4E x y +-=经过椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1F ，E ，A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点，当AMN ∆的面积取取最大值时，求直线l 的方程.22．已知函数2()(ln 1)2a f x x x x b =---，,a b R ∈.（1）当1b =-时，讨论函数()f x 的零点个数；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，且2a bc e+≤，求c 的最大值.1．D【分析】由复数的模及复数的除法运算可求.【详解】由1i -=()1i z +，则i)1i (1i)(1i)222z -====-++-.故选：D.2．B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．A【分析】由等比数列的性质求解【详解】由题得838241a a a α==8a =221482a a a ==，所以4144224241l 1log l g og og lo 2a a a a +=+()421441log log 22a a ===，故选：A4．B【分析】由韦达定理得tan tan tan tan 4αβαβ+=-= ，即tan 0,tan 0αβ<<，得π0αβ-<+<，再根据两角和的正切公式解决即可.【详解】由题知，tan α，tan β是方程240x ++=的两根，所以tan tan tan tan 4αβαβ+=-= ，即tan 0,tan 0αβ<<，因为ππ22α-<<，ππ22β-<<，所以π02α-<<，π02β-<<，所以π0αβ-<+<，因为tan tan tan()01tan tan 3αβαβαβ+-+==-- ，所以2π3αβ+=-，故选：B 5．C【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.【详解】由题意，若0a >时，函数ay x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a =-递增，若a<0时，函数ay x =在(0,)+∞递减，1y ax a =-递减，所以当0x >时，ay x=()0a ≠和1y ax a =-单调性相同，故排除选项A ，B ，选项D 中：由ay x =图象可知a<0，此时1y ax a =-与y 轴交点为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以交于y 轴正半轴，可排除D ，故选：C.6．B【分析】根据//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，建立空间直角坐标系，设,01BM BD λλ=≤≤ ，得到(22,)M λλ-，再求得,AM CM的坐标，利用数量积的坐标运算求解.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为//AB CD ，90DAB ∠=︒，2AB =，1CD AD ==，所以(2,0)(0,1)(1,1)B D C ，，，设,01BM BD λλ=≤≤所以(22,)M λλ-，所以(22,)AM λλ=- ，(12,1)CM λλ=-- ，所以()()()2279·2212157251020AM CM λλλλλλλ⎛⎫=--+-=-+=--⎪⎝⎭ ，当7=10λ时，·AM CM 的最小值为920-，故选：B.7．D【分析】由()21f x +是偶函数，可得()()2121f x f x +=-+，令21t x =+，从而可得()()2f x f x =-，则有函数()f x 关于直线1x =对称，再根据()1f x -是奇函数，可得()10f -=，且()f x 关于()1,0-对称，从而可得()()8f x f x =+，即可得出函数的周期性，再根据函数的周期性和对称性逐一分析，即可得出答案.【详解】解：因为()21f x +是偶函数，所以()()2121f x f x +=-+，令21t x =+，则21x t =-，故212x t -+=-，所以()()2f t f t =-，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为()1f x -是奇函数，所以()10f -=，且函数()1f x -关于()0,0对称，又因函数()1f x -是由函数()f x 向右平移1个单位得到，所以()f x 关于()1,0-对称，所以()()11f x f x --=--，所以()()2f x f x =---，所以()()22f x f x -=---，则()()()48f x f x f x =--=-，即()()8f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为8，故有()()()()2816f x f x f x =+-⨯=-，故①正确；由函数()f x 关于直线1x =对称，()10f -=，所以()()310f f =-=，所以()()1130f f ==，故②正确；因为()()()2022825322f f f =⨯-=-，因为()f x 关于()1,0-对称，所以()()20f f -=-，所以()()20220f f =-，故③正确；又()()()2021825333f f f =⨯-=-，故④正确，所以正确的个数为4个.故选：D.8．B【分析】通过构造函数，分别比较a 和b ，b 和c 与a 和c 的大小，即可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.40.6e a =，2ln 4b =-，e 2c =-对于a 和b ，∵()0.40.40.40.6e e 1ln e a ==-，()2ln 421ln 2b =-=-，∴可以构造函数()()1ln f x x x =-，则()0.4e a f =，(2)b f =.对()f x 求导，得()ln f x x '=-，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 在()1,+∞上单调递减.∵00.40.51e e e 2=<<<，∴()0.4e (2)f f >，即a b >；对于b 和c ，∵4ln 4e 42ln 2e b c -=--=--.∴可以构造函数()2ln e g x x x x =--，则()1ln g x x '=-，当()0,e x ∈时，()0g x '>；当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，∴()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，∴()()max e 0g x g ==，∴()20g <，∴0b c -<，即c b >；对于a 和c ，∵()0.410.4e e 2a c -=--+，∴可以构造函数()()1e e 2x h x x =--+，则()e xh x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '<，∴()h x 在()0,1上单调递减.又∵()0.50.50.5e e 2h =-+，且0.5e1.6>，∴()0.50h >，∴()()0.40.50h h >>，∴0a c ->，即a c >.∴a c b >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键是变形、作差构造新函数，利用函数的单调性来比较大小.9．BCD【分析】由周期求得1ω=，利用平移后图象对应函数是偶函数求出ϕ，可判断选项A ；然后结合正弦函数的性质判断各选项．令6x π=，代入函数可判断选项B ；求出,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦可判断选项C ；整体代入法可判断选项D.【详解】∵函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππω=，∴1ω=，()()sin f x x ϕ=+.把函数()f x 的图象向左平移23π个单位长度，得到函数2sin 3y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于得到的函数为偶函数，则2k 32ππϕπ+=+，Z k ∈，∴6πϕ=-，()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 错误；令6x π=，求得()0f x =，可得,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的图象的对称中心，故B 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 单调递增，故C 正确；当[]0,x π∈，5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质．在求解三角函数的性质时，一般可以利用二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x h ωϕ=++形式，然后结合正弦函数的性质求解，把()sin()f x A x h ωϕ=++中的x ωϕ+视作sin y x =中的x 进行求解．10．ABD【分析】椭圆定义有224BF AF AB a++=，结合已知确定AB的最小值并确定此时AB 的位置，即可判断D 、B 的正误，此时设3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,2B c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结合椭圆方程求短轴长，即可判断A 、C 的正误.【详解】由题意知2a =，所以2248BF AF AB a ++==．因为22AF BF +的最大值为5，所以AB的最小值为3，故D 正确．当且仅当AB x ⊥轴时，AB取得最小值，此时22AF BF =，故B 正确．由B 的分析，不妨令3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得221449c b +=．又22224c a b b =-=-，所以2249144b b -+=，得b =，所以椭圆的短轴长为A 正确．易得1c =，所以12c e a ==，故C 错误．故选：ABD.11．ABD【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理证得1DB ⊥平面1ACD ，从而利用面面垂直的判定定理即可判断；对于B ，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面11//BA C 平面1ACD ，从而得以判断；对于C ，利用线线平行将异面直线1A P 与1AD 所成角转化为1A P 与1BC 所成的角，从而在等边11BA C △中即可求得该角的范围，由此判断即可；对于D ，先利用线线平行得到点P 到面平面1AD C 的距离不变，再利用等体积法即可判断.【详解】对于A ，连接DB ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC⊥，因为在正方形ABCD 中DB AC ⊥，又DB 与1BB 为平面11DBB D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面11DBB D ，因为1DB ⊂平面11DBB D ，所以1DB AC⊥，同理可得11DB AD ⊥，因为1AD 与AC 为平面1ACD 内两条相交直线，可得1DB ⊥平面1ACD ，又1DB ⊂平面1PB D，从而平面1PB D ⊥平面1ACD ，故A 正确；.对于B ，连接1A B，11A C ，如图，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以四边形11AA C C是平行四边形，所以11//A C AC ，又11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理1//BC 平面1ACD ，又11A C 、1BC 为平面11BA C 内两条相交直线，所以平面11//BA C 平面1ACD ，因为1A P ⊂平面11BA C ，所以1//A P 平面1ACD ，故B 正确；对于C ，因为11//AD BC ，所以1A P 与1AD 所成角即为1A P 与1BC 所成的角，因为1111A B BC A C ==，所以11BA C △为等边三角形，当P 与线段1BC的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最小值π3；当P 与线段1BC的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取得最大值π2；所以1A P 与1AD 所成角的范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；对于D ，由选项B 得1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，即点P 到面平面1AD C 的距离不变，不妨设为h ，则11113D APC P A C AD C D S hV V --==⋅ ，所以三棱锥1D APC-的体积不变，故D 正确．故选：ABD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理.12．CD【分析】根据奇函数性质判断()f x 在R 上的单增，将函数不等式恒成立转化为自变量大小恒成立，分离参数，构造新函数，研究新函数的最大值，从而求得参数取值范围，再根据充分不必要条件的定义判断选项即可.【详解】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，则在(0,)+∞上也单调递增，即()f x 是R 上的单增函数；222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-，则22ln x ae x x x x +≥-，(0,1]x ∈，即22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立；令22ln ()x x x x xg x e --=，则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x xx x x e x x x x e x x x xg x e e -------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=，(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--，1()10h x x '=-≤恒成立，即()h x 单减，又3311()0h e e =>，(1)20h =-<，则必有0(0,1]x ∈，使000()ln 30h x x x =--=，故0(0,)x x ∈，()0h x >，0(,1]x x ∈，()0h x <，因此0(0,)x x ∈，()0g x '>，()g x 单增，0(,1]x x ∈，()0g x '<，()g x 单减，因此0020*******02ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e ----≤==，由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e ---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e --≤===，故若使22ln x x x x x a e --≥在(0,1]x ∈上恒成立，则31()a g x e ≥=，根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确，A 、B 错误；故选：CD.【点睛】方法点睛：根据单调性把函数不等式转化为自变量大小比较，分离参数，借助导数研究函数最大值，从而求得参数取值范围.13．34π【分析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可.【详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，∴该圆柱的体积为23(124V ππ=⨯=.故答案为：34π14．(1,3)-【分析】题目转为为2222x x a a +>-，根据函数2()2g x x x =+的单调性计算最值得到223a a -<，解得答案.【详解】设2()2g x x x =+，()0f x >，即2222x x a a +>-.()0f x >在[1,)+∞上恒成立，只需2()2g x x x =+在[1,)+∞上的最小值大于22a a -即可.2()2g x x x =+在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)3g x g ==，故223a a -<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-.故答案为：(1,3)-.15．1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎝⎦⎣⎦【分析】根据三角函数的图象变换关系求出函数的解析式，结合函数的零点存在条件建立不等式进行求解即可．【详解】解：将函数()cos f x x =的图象先向右平移34π个单位长度，得到34cos y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍，纵坐标不变得到函数()g x 的图象．即3()c 4os g x x ωπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()0g x =，得234x k πωππ-=+，得45x k πωπ=+，得15()4x k ππω=+，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则3222T πππ>-=，即2T π>，即22ππω>，则01ω<<，若函数()g x 在3(,)22ππ上有零点，则153(242k ππππω<+<，Z k ∈即1153()242k ω<+<，当1k =-时，1113242ω<< ，得2423ω<<，即1162ω<<当0k =时，1153242ω<< ，得24235ω<<，即5562ω<<，综上若()g x 在3(,)22ππ上有零点，则1162ω<<或5562ω<<，则若没有零点，则106ω< 或1256ω，即1150,,626ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及函数零点的性质是解决本题的关键．16．{}5,107⎛⎫⎪⎝⎭【分析】画出函数()f x 的图像，对m 分成5550,0,0,,1,1777m m m m m m <=<<=<<=，14,4,4m m m <<=>等9种情况，研究[()]y f g x m =-零点个数，由此求得m 的取值范围.【详解】令()()22221122t g x x x m x m ==-+-=-+-，画出函数()f x 的图像如下图所示，由图可知，（1）当0m <或4m >时，存在唯一1t ，使()10f t m -=，而()1t g x =至多有两个根，不符合题意.（2）当0m =时，由()0f t =解得121,13t t =-=，由()1t g x =化简得22203x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由()2t g x =化简得2220x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故0m =时，符合题意.（3）当4m =时，由()4f t =解得125,173t t =-=，由()1t g x =化简得226203x x -+=，其判别式为负数，没有实数根；由()2t g x =化简得22100x x --=，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当4m =时，不符合题意.（4）当04m <<时，由()f t m =，根据图像可知有三个解，不妨设12311,11,23t t t -<<--<<>.即()()()()()()()()21122223232313165313165log 1log 123f t t x m mf t t x m m f t t x m m ⎧⎡⎤=-+=--+-=⎣⎦⎪⎪=+=-+-=⎨⎪⎡⎤=-=-+-=⎪⎣⎦⎩即()()()22223175031550log 123x m x m x m m ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪⎡⎤-+-=⎪⎣⎦⎩①②③.i ）当507m <<时，750550230m m m -<⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，故①②③三个方程都分别有2个解，共有6个解，不符合题意.ii)当57m =时，750550230m m m -=⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，①有1个解，②③分别有2个解，共有5个解，不符合题意.iii ）当517m <<时，750550230m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，①无解，②③分别有2个解，共有4个解，符合题意.iv ）当1m =时，750550230m m m ->⎧⎪-=⎨⎪-<⎩，①无解，②有1个解，③有两个解，共有3个解，不符合题意.v ）当14m <<时，()750550231,5m m m ⎧->⎪->⎨⎪-∈-⎩，①无解，②无解，③至多有2个解，不符合题意.综上所述，m 的取值范围是{}5,107⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查复合函数零点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，难度较大，属于难题.17．(1)2,N n n a n *=∈(2)证明见解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；（2）求出nb ，然后运用裂项相消法求出n T 可得结论.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由24a ，32a ，4a 成等差数列可得24344a a a +=，故244q q +=，解得2q =，由4282S a =-可得()4111216212a a -=--，解得12a =，故2n n a =，即数列{}n a 的通项公式为2,N n n a n *=∈.（2）由（1）可得()()()()1112112222222222n n n n n n n n n a b a a +++===-++++++，故1111111111114661010182222422n n n n T ++=-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++.当1n =时，1122n ++取得最大值16，当n →+∞时，11022n +→+1110226n +∴<≤+，故11124n T ≤<.18．(1)3π(2)(【分析】（11cos A A =+，进而求得解；（2）由题意ABC S = ，由正弦定理结合23A C π+=得2tan b C =+，根据ABC 为锐角三角形求得62C ππ<<，即可求得28b <<，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得πsin sin 2sin 6sin B C B A +⎛⎫+=⎪⎝⎭即sin cos )sin sin A B B B C +=+又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B=+=+所以sin cos )sin sin cos cos sin A B B B A B A B +=++sin =sin +cos sin A B B A B又0B π<<，sin 0B ∴>，1cos A A=+cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭又0A π<<，66A ππ∴-=，即3A π=（2）由题意得：1sin 2ABCS bc A == ，由正弦定理得：24sin sin 2sin 32sin sin sin tan C c B C C b C C C C π⎛⎫- ⎪+⎝⎭===+=，又ABC 为锐角三角形，∴2032C ππ<-<，02C π<<故62C ππ<<，∴tan 3C >，∴28b <<，∴<<从而ABC S <<△所以ABC 面积的取值范围是(19．(1)证明见解析；(2)在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点.【分析】(1)连接1A C，根据给定条件证明1AC ⊥平面1A BC得1BC AC ⊥即可推理作答.(2)在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，再以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ACC 是平行四边形，而1AC AA =，则11A ACC 是菱形，连接1A C，如图，则有11A C AC ⊥，因11A B AC ⊥，111A B A C A ⋂=，11,A B A C ⊂平面1A BC，于是得1AC ⊥平面1A BC，而BC ⊂平面1A BC，则1AC BC⊥，由90ACB ︒∠=得AC BC ⊥，1AC AC A ⋂=，1,AC AC ⊂平面11A ACC ，从而得BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面11A ACC ⊥平面ABC .（2）在平面11A ACC 内过C 作Cz AC ⊥，由(1)知平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因160A AC ︒∠=，14,2AC AA BC ===，则1(0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,0,C A B A ，假设在线段AC 上存在符合要求的点P ，设其坐标为(,0,0),(04)P λλ≤≤，则有1(2,2,(,2,0)BA BP λ=-=- ，设平面1BA P 的一个法向量(,,)n x y z =，则有122020n BA x y n BP x y λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令2x =得(2,n λ= ，而平面11A ACC 的一个法向量(0,1,0)m = ，依题意，|||cos ,|||||n m n m n m ⋅〈〉===，化简整理得：2340λλ+-=而04λ≤≤，解得1λ=，所以在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点，使平面1BA P和平面11A ACC 所成角的余弦值为4.20．（1）优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）736．【详解】试题分析：思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论．（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值．解：（1）4分优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到K2≈7.487＜10.828．因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x ，y ）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A 包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算．点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论．古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏．21．(1)22196x y +=;(2)3y =±.【详解】试题分析：（1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出c ，再由条件得1F A为圆E 的直径，且14AF =，根据勾股定理求出22AF =，根据椭圆的定义和222a b c =+依次求出a,b 的值，代入椭圆方程即可；（2）由（1）求出A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线OA 的斜率，设直线l 的方程和,M N 的坐标，联立直线方程和椭圆方程消去y ，利用韦达定理和弦长公式求出MN，由点到直线的距离公式求出点A到直线l 的距离，代入三角形的面积公式求出AMNS ∆，化简后求最值即可.试题解析：(1)∵1F ，E ，A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =，∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=，得x =，∴c =，∵222211216124AF AF F F =-=-=，∴22AF =，∴1226a AF AF =+=，3a =.∵222a b c =+，∴26b =，∴椭圆C 的方程为22196x y +=.(2)由（1）知，点A 的坐标为)2，∴直线OA的斜率为，故设直线l 的方程为y m +，将l 方程代入22196x y +=消去y 得：2263180x m ++-=，设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12x x +=，212132x x m =-，2248724320m m ∆=-+>，∴m -<<又：21MN x =-=，∵点A 到直线l 的距离d =，∴12AMN S MN d m ∆=⋅==≤=，当且仅当22891429m=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，即3m=±时等号成立，此时直线l的方程为3y=±.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．22．（1）当20ae<<时，函数()f x有两个零点；当12ae=或2a≤时，即2ae=或0a≤时，函数()f x有一个零点；当12ae>即2ae>时，函数()f x无零点；（2）c的最大值为2.【分析】（1）整理得()2af x x x lnx⎛⎫=-⎪⎝⎭，故函数零点的个数取决于2ay x lnx=-的零点个数，等价转化为2ay=与lnxyx=的值域之间的关系，利用导数求解即可求得结果；（2）根据题意，()0f x'≥恒成立，据此求得,a b范围；再构造函数求得2a b+的最小值，即可求得c的最大值.【详解】（1）当1b=-时，()2af x x x lnx⎛⎫=-⎪⎝⎭，故()f x的零点个数，取决于2ay x lnx=-的零点个数.分离参数可得2a lnxx=，令()lnxh xx=，则()21lnxh xx-'=，令()0h x'>，解得()0,x e∈；令()0h x'<，解得(),x e∈+∞；故()h x在()0,e单调递增，在(),e+∞单调递减.故()()1maxh x h ee==，又()10h=，当1x>时，()0h x>恒成立.故当12ae=或2a≤，即0a≤或2ae=时，()f x有一个零点；当10,2ae⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即20ae<<时，()f x有两个零点；当12ae>，即2ae>时，()f x没有零点.（2）根据题意，()()0f xg x ax lnx b-'==+≥在0x>时恒成立.当0a =时，()g x lnx b =-+，显然不存在b 使得()0g x ≥恒成立；当0a <时，()g x 是单调减函数，且x 趋近于正无穷时，()g x 趋近于负无穷，不满足题意；当0a >时，()1ax g x x ='-，令()0g x '>，解得1x a >；令()0g x '<，解得10x a <<；故()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，要满足题意，只需110g lna b a ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭成立即可.综上所述，若()0g x ≥在0x >恒成立，则0a >且10lna b ++≥，即1b lna ≥--，则221,(0)a b a lna a +≥-->，令()21,(0)m a a lna a =-->，则()21a m a a ='-，令()0m a '>，解得12a >；令()0m a '<，解得102a <<，故()m a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.故()122m a m ln ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即22a b ln +≥，则222a b ln e e +≥=.又2a b c e +≤，故()22a b min c e +≤=，故c 的最大值为2.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，涉及利用导数研究恒成立问题，以及双变量问题，属综合困难题.。

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高三数学上学期第四次月考试题数学试卷(理)时量:120分钟 满分: 150分一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1、已知直角ABC ∆中，090=∠C ，1sin sin 2=B A ，则A tan 的值为A33 B 1 C 22 D 32、已知函数1log 2+=x y 的定义域为A ，函数xy -=2值域为B ，则A B A ⊆ B A B ⊆ C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,21B A D R B A =3、设γβα,,为平面，l n m ,,为直线，则β⊥m 的一个充分条件为!A l m l ⊥=⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,4、圆422=+y x 被直线0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小为A3π B 6π C 4π D 2π 5、过抛物线x y 42=的焦点F 作直线m 交抛物线于点A 、B ，则AOB ∆是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 6、函数|2sin 32cos |x x y -=的一条对称轴方程为 A 12π=x B 6π=x C 4π=x D 12π-=x7、已知三棱锥BCD A -中，060,,1,90=∠⊥===∠ADB BCD AB CD BC BCD 面，点E 、F 分别在AC 、AD上，使面CD EF ACD BEF //,且面⊥，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为A66 B 77 C 42 D 31 `8、对于函数x x x f -+=11lg)(，有三个数满足1,1,1<<<c b a ，且1)1(=++ab b a f ，2)1(=--bc c b f ，那么)1(acca f ++的值是A 1-B 2lg C10 D 39、若不等式)1()8)(8(2+<-+x x x x λ对于一切实数()2,0∈x 都成立，则实数λ的取值范围是 A ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ()+∞,4 D [)+∞,410、数列{}n a 满足：51,4121==a a ，且1113221...++=+++n n n a na a a a a a a 对于任何的正整数n 成立，则97211....11a a a +++的值为 A 5032 B 5044 C 5048 D 5050二、填空题:本大题共5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11、已知等差数列{}n a 中，16,1842=+=a a a ，则=10a12、已知0>≥b a ，而αsin 是一元二次方程02=-+b bx ax 的根，则αsin 的最大值 为 …13、已知21,F F 分别为双曲线的左、右焦点，P 是为双曲线12222=-by a x 左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是14、如图，O 、A 、B 是平面上三点， 向量b OB a OA ==,，在平面AOB 上，P 是线段AB 的垂直平分线上任意 一点， 向量p OP =23==， 则)(b a p -•=15、已知二次函数c x ax x f ++=2)(2的值域为[)+∞,0，则1122+++c c a a 的最 值为1，1122+++c aa c 的最 值为1。

（填入“大”或“小”）三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.~16、（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （4，0），B （0，4），C （ααsin 3,cos 3）。

（Ⅰ）若)0,(πα-∈=，求角α的大小；（Ⅱ）若⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值。

{17、（本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和S n ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-. 其中m 为常数，且.0,3≠-≠m m（Ⅰ）求证{a n }是等比数列，并写出它的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }的公比)(m f q =，数列{b n }满足)2,)((23,111≥∈==-n N n b f b a b n n ，求n b . 18、（本小题满分12分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，PA=AB=1，BC=2 （Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； ：（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 上是否存在一点G ，使得D 到平面PAG 的距离为1若存在，求出BG ；若不存在，请说明理由。

#/19、（本小题满分13分）已知某企业的原有产品每年投入x 万元，获得的年利润可表示为函数：P(x)8)30(10012+--x （万元）。

现开发一个回报率高、技术含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x 万元，获得年利润)100(5257)100(10099)(2x x x Q -+--=（万元），新产品的开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备资金中，拿出80万元投入新产品的开发，从第三年开始这100万元就可随意分配且全部用于新旧产品的生产投入。

为解决资金缺口，第一年年初向银行贷款1000万元，年利率%5.5（不计复利，即先一年的利息不计入下一年的本金）。

（Ⅰ）第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元（Ⅱ）从新产品开发的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧产品各应投入多少万元，才能使年利润最大最大为多少（Ⅲ）从新旧产品的五年最高利润的总和中拿出70%来，能否还清对银行的贷款/PBCDAE'20、（本小题满分13分）设定义在()+∞,0上的函数)(x f 满足：（1）对于任意的a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中：p 为正实数； （2）1)2(-=p f ； （3）当1>x 时，总有p x f <)( （Ⅰ）求)1(f 及)21(f 的值；（用含p 的式子表示）； （Ⅱ）求证：)(x f 在()+∞,0上为减函数；（Ⅲ）设))(2(*N n f a n n ∈=，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，当且仅当n=5时，n S 取得最大值，求p 的取值范围。

,21、（本小题满分13分）如图，以A 1、A 2为焦 点的双曲线E 与半径为c 的圆O 相交于C 、D 、C 1、D 1，连接CC 1与OB 交于点H ，且有B A A HB OH ,,,)323(21其中+=是圆O 与坐标轴的交点，c 为双曲线的半焦距. （Ⅰ）当c=1时，求双曲线E 的方程； 【（Ⅱ）试证：对任意正实数c ，双曲线E 的离心率为常数；（Ⅲ）连接A 1C ，与双曲线E 交于点F ，是否存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由.~第四次月考试题答案一、选择题： BCDAC ， ABADB 二、填空题 11、15 12、215- 13、(]3,1 14、2515、大、小 三、解答题16、解、（Ⅰ）由已知得：2222)4sin 3(cos 9sin 9)4cos 3(-+=+-αααα-则ααcos sin = ……….4分 因为 )0,(πα-∈ 43πα-=∴ ……….6分 （Ⅱ）由0)4sin 3(sin 3cos 3)4cos 3(=-⋅+⋅-αααα 得 43cos sin =+αα 平方得 1672sin -=α ………..9分 而1672sin cos sin 2cos sin cos sin 2cos sin 2tan 12sin sin 2222-===++=++αααααααααααα ………..12分17、解：（Ⅰ）由32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma S m m ma S m n n n n 得，两式相减得n n ma a m 2)3(1=++ …………3分32301+=∴-≠≠+m ma a m m n n ，且， ∴{a n }是等比数列 …………6分 又11)32(,1-+=∴=n n m m a a …………6分 ?（Ⅱ）b 1=a 1=1，时且，232)(≥∈∴+==n N n m mm f q ，3111,33,3223)(23111111=-=++⋅==------n n n n n n n n n n b b b b b b b b b f b ……9分 ∴}1{n b 是1为首项31为公差的等差数列 ∴23,323111+=∴+=-+=n b n n b n n …………12分 18、解、以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建系， 则 )1,0,0(),21,1,0(),0,2,0(),0,2,1(),0,0,1(),0,0,0(P E D C B A)1,2,1(),21,1,0(),1,0,0(),0,2,0(),0,0,1(-====-=∴（Ⅰ）易证得CD ⊥AD ，CD ⊥AP 则CD ⊥面PAD ⇒平面PDC ⊥平面PAD …..4分（Ⅱ）,cos =>=<PC AE y所以 所求角的余弦值为1030……………………………………..8分~（Ⅲ）假设存在，设BG=x ，则)0,,1(x G ，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DG=1，ABCD ADG S S =∆2 ，=3212=⇒=+=∴x x AG,故存在点G ，当3=BG 时，D 到平面PAG 的距离为1。

……….12分19、解、（Ⅰ）五年利息为2755055.01000=⨯⨯万元 本息总计1275元 …….3分 （Ⅱ）设从新产品开发的第三年年初开始每年旧产品投入x 万元， 则新产品投入100—x 万元，于是每年的利润是：[][])100(1005257)100(100100998)30(1001)100()(22x x x x Q x P W --+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-+=675)26(15222+--=-+-=x x x ……….8分所以新旧产品各应投入74，26万元时年利润最大，最大为675。

……….9分（Ⅲ） 前两年利润14)20(21==P W 万元，后三年最高利润202567532=⨯=W ，203921=+W W …….11分"而12753.1427%702039>=⨯所以：从新旧产品的五年最高利润中拿出70%能还清对银行的贷款 …..13分 20、解、（Ⅰ）令a=b=1，则p f p f f =⇒-=)1()1(2)1( ……..1分 又1)21()21()2()212()1(+=⇒-+=⨯=p f p f f f f …….3分 （Ⅱ）设210x x <<，则p x xf x x <⇒>)(11212 所以)()()()()()()(1112111212x f p x f x xf x f x x x f x f x f --+=-⋅=- 0)(12<-=p x x f 即)(x f 在()+∞,0上为减函数 ……….7分（Ⅲ）由11)2()2()2(11-=--+=-+==++n n nn n a p p a p f f f a所以数列{}n a 为等差数列，11-=p a ……….10分p n a n +-=∴~由题意⎩⎨⎧<+-=>+-=060565p a p a 65<<∴p ………..13分21、解（Ⅰ）由c=1知B （0，1），)323(+=23324323,0=++==∴H H y x 即)23,0(H ，点C 在单位圆上，)23,21(=∴C 设双曲线E 的方程为 ).0,0(12222>>=-b a by a x由点C 在双曲线E 上，半焦距c=1有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23231143411222222b a b a b a 解得所以双曲线E 的方程为：12323122=--y x …………3分（Ⅱ）证明：HB OH c B c A )323(),,0(),0,(1+=-由 得：);23,21(),23,0(c c C c H 设双曲线E 的方程为).0,0(12222>>=-b a by a x⎪⎩⎪⎨⎧=-++∴14342222222b cac c b a ①代入②，化简整理得0634224=-+b b a a 03)(6)(24=--∴a b a b 解得323)(2+=ab又.324)(12222+=+==a b ac e13324+=+=∴e ，即双曲线E 的离心率是与c 无关的常数. ……8分（Ⅲ）假设存在实数λ，使FC F A λ=1恒成立，)23,2(),0,(1c cC c A - 有λλλλ+⋅=+⋅+-=123,12FF y c c x 点))1(23,)1(2)2((λλλλ++-=c c F ，故有 ①②③ ④ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-1)1(43)1(4)2(1434222222222222λλλλb c a c b c ac 由③得3443222222-=⇒==e bc b c e ⑤⑤代入④得1)1(4)4()1(4)2(222222=+⋅--+-λλλλe e 化简整理得1222+=+-λλe e 即利用,2122+-=e e λ（2）小题的结论得：431326323+=++=λ 故存在实数431+=λ，使FC F A λ=1恒成立. ………13分。

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