九年级练习题

九年级练习题已知两点A （－1，0）,B(4，0）在x 轴上，以AB 为直径的半圆P 交y 轴于点C（1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）设AC 的垂直平分线交OC 于D ，连结AD 并延长AD 交半圆P 于点E ，AC CE 与相等吗？（3）设点M 为x 轴负半轴上一点，OM=12 AE ，是否存在过点M 的直线，使该直线与（1）中所得的抛物线的两个交点到y 轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的表达式；若不存在，请说明 理由.【考题７】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与二次函数的图像交于A 、B两点，其中A 点的坐标为（3,4），B 点在y 轴上。

（1）求m 的值及二次函数的解析式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A,B 不重合），过点P 做x 轴的垂线与二次函数图像交于点E ，设线段PE 的长度为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请说明理由。

【考题6】（2009、郸县）如图1－2－24，△OAB 是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴的正方向上，将△OA B 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF ． （1）当A ′E ∥x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E ∥x 轴，且抛物线c bx x y ++-=261经过点A ′和E 时，求该抛物线与x 轴的交点的坐标；（3）当点A ′在OB 上运动但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形．若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由．【考题5】已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2－1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.10．（2012绍兴）如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n ﹣1D n ﹣2的中点为D n ﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n ﹣1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为（ ）A ．512532⨯B ．69352⨯C ．614532⨯D ．711352⨯13．（2012绍兴）箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是 。

25．（2012绍兴）如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =--经过A ，B 两点。

（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。

①当PQ ⊥AC 时，求t 的值； ②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围。

考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）由抛物线242y x x =--知：当x=0时，y=﹣2，∴A （0，﹣2）。

由于四边形OABC 是矩形，所以AB ∥x 轴，即A 、B 的纵坐标相同；当2y =-时，2242x x -=--，解得1204x x ==，，∴B （4，﹣2），∴AB=4。

（2）①由题意知：A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7(1)77t t -=-。

当Q 点在OA 上时，即0772t ≤-<，917t ≤≤时， 如图1，若PQ ⊥AC ，则有Rt △QAP ∽Rt △ABC 。

∴QA AP =AB BC ，即7742t t -=，∴75t =。

∵7957>，∴此时t 值不合题意。

当Q 点在OC 上时，即2776t ≤-<，97137t ≤<时，如图2，过Q 点作QD ⊥AB 。

∴AD=OQ=7（t ﹣1）﹣2=7t ﹣9。

∴DP=t ﹣（7t ﹣9）=9﹣6t 。

若PQ ⊥AC ，则有Rt △QDP ∽Rt △ABC ，∴QA DP =AB BC ，即29644t-=，∴43t =。

∵9413737<<，∴43t =符合题意。

当Q 点在BC 上时，即6778t ≤-≤，317715t ≤≤时， 如图3，若PQ ⊥AC ，过Q 点作QG ∥AC ，则QG ⊥PG ，即∠GQP=90°。

∴∠QPB ＞90°，这与△QPB 的内角和为180°矛盾，此时PQ 不与AC 垂直。

综上所述，当43t =时，有PQ ⊥AC 。

②当PQ ∥AC 时，如图4，△BPQ ∽△BAC ，∴BP BQ =BA BC ，∴487(1)42t t ---=， 解得t=2，即当t=2时，PQ ∥AC 。

此时AP=2，BQ=CQ=1，∴P （2，﹣2），Q （4，﹣1）。

抛物线对称轴的解析式为x=2，当H 1为对称轴与OP 的交点时，有∠H 1OQ=∠POQ ，A CO∴当y H ＜﹣2时，∠HOQ ＞∠POQ 。

作P 点关于OQ 的对称点P ′，连接PP ′交OQ 于点M ，过P ′作P ′N 垂直于对称轴，垂足为N ，连接OP ′，在Rt △OCQ 中，∵OC=4，CQ=1。

∴，∵S △OPQ =S 四边形ABCD ﹣S △AOP ﹣S △COQ ﹣S △QBP =3=12OQ ×PM ，∴， ∴PP ′，∵NPP ′=∠COQ 。

∴Rt △COQ ∽△Rt △NPP ′∴''CQ P N=OQ PP ，∴'12P N 17= ，48PN 17=，∴P ′（46141717，），∴直线OP ′的解析式为723y x =， ∴OP ′与NP 的交点H 2（2，1423）。

∴当H 1423y >时，∠HOP ＞∠POQ 。

综上所述，当H 2y <-或H 1423y >时，∠HOQ ＞∠POQ 。

21．如图，动点O 从边长为6的等边△ABC 的顶点A 出发，沿着A →C →B →A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒．以O 为圆心、3为半径 的圆在运动过程中与△ABC 的边第二次．．．相切时是点O 出发后第 秒． 5．(8分)飞飞和欣欣两位同学到某文具专卖店购买文具，恰好赶上“店庆购物送礼”活动．该文具店设置了A 、B 、C 、D 四种型号的钢笔作为赠品，购物者可随机抽取一支抽到每种型号钢笔的可能性相同．(1)飞飞购物后，获赠A 型号钢笔的概率是多少？(2)飞飞和欣欣购物后，两人获赠的钢笔型号相同的概率是多少？27．(9分)如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为(0，8)，点C 的坐标为(6，0)．抛物线y ＝－4 9x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． (1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ，①求S 关于m 的函数表达式；DEA M NC B②当S最大时，在抛物线y＝－49x2＋bx＋c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接．．写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．28．(9分)如图，点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD 交于点P，连接CP．(1)求证：△ACE≌△DCB；(2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由；(3)求证：∠APC＝∠BPC．15、如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是A、y的最大值小于0B、当x=0时，y的值大于1C、当x=-1时，y的值大于1D、当x=-3时，y的值小于013、如图，∠MON=900，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。

运动过程中，点D到点O的最大距离为A1BCD、52备用图(1,1)yx第15题图NMDCBA第13题图O26、（本小题满分9分）如图1，在菱形ABCD 中，AC=2，BD=32，AC ，BD 相交于点O.（1）求边AB 的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板600角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板600角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G .①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE>CE ），求CG 的长.第26题图1OD C BA27、（本小题满分9分）如图，已知双曲线xky经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限分支上的动点，过C 作C A ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC. （1）求k 的值；（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由. 28、（本小题满分9分）如图1，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴相交于点A （－3，0），B （－1，0），与y 轴相交于点C .⊙O 1为△ABC 的外接圆，交抛物线与另一点D. （1）求抛物线的解析式；（2）求co s ∠CAB 的值和⊙O 1的半径；（3）如图2，抛物线的顶点为P ，连接BP ，CP ，BD ，M 为弦BD 的中点.若点N 在坐标平面内，满足△BM N ∽△BPC ，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标.yyxxMP28题图228题图124．（6分）（2012•内江）已知a i ≠0（i=1，2，…，2012）满足，使直线y=a i x+i （i=1，2， (2012)的图象经过一、二、四象限的a i 概率是 _________ ． 25．（6分）（2012•内江）已知A （1，5），B （3，﹣1）两点，在x 轴上取一点M ，使AM ﹣BM 取得最大值时，则M 的坐标为 _________ ． 28．（12分）（2012•内江）如图，已知点A （﹣1，0），B （4，0），点C 在y 轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C 三点，其顶点为M ．（1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式；（2）试判断直线CM 与以AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明；（3）在抛物线上是否存在点N ，使得S △BCN =4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．21. 已知点(3,5)在直线y ax b =+（,a b 为常数，且0a ≠）上，则5ab -的值为_____. 22. 若正整数n 使得在计算(1)(2)n n n ++++的过程中，各数位均不产生进位现象，则称n 为“本位数”.例如2和30是“本位数”，而5和91不是“本位数”.现从所有大于0且小于100的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_______.23. 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩，恰有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a =-的图像与反比例函数32a y x +=的图像的公共点的个数为_________.24. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =（k 为常数）与抛物线2123y x =-交于A ，B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点的坐标为(0,4)-，连接,PA PB .有以下说法：○12PO PA PB =⋅；○2当0k >时，()()PA AO PB BO +-的值随k 的增大而增大；○3当k =时，2BP BO BA =⋅；○4PAB ∆面积的最小值为. 其中正确的是_______.（写出所有正确说法的序号）25. 如图，A B C ，，，为⊙O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E 在弧BC 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿EF 折叠，使点A 与'A 重合，连接'EB ，EC ，'EA .设'EB b =，EC c =，'EA p =.先探究,,b c p 三者的数量关系：发现当3n =时， p b c =+.请继续探究,,b c p 三者的数量关系：当4n =时，p =_______；当12n =时，p =_______.（参考数据：sin15cos75==o ocos15sin 75==o o。