高等数学(上)重要知识点归纳

@高等数学（上）重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1) )()()(lim 0x A x f A x f x x α+=⇔=→，其中)(x α为某一个无穷小。

>(2)(保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ，则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ (2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin （2）∆∆~tan >（3）∆∆~arcsin （4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e（7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义* \)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f Ay A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理~第二章 导数与微分一、导数的概念 1、}2、导数的定义*ax a f x f x a f x a f x y dx dy a f y ax x x a x a x --=∆-∆+=∆∆=='='→→∆→∆==)()(lim)()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义*k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、·5、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。

可导→ 二、导数的运算1、四则运算 v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')( 2)(vv u v u v u '-'='2、复合函数求导 设)]([x f y ϕ=，一定条件下xu u y dxdudu dy dx dy ''== 3、反函数求导 设)()(1y f x x f y -==和互为反函数，一定条件下：yx x y '='1 4、求导基本公式*（要熟记） 5、；6、隐函数求导* 方法：在0),(=y x F 两端同时对x 求导，其中要注意到：y 是中间变量，然后再解出y '7、参数方程确定函数的求导* ⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 设，一定条件下3)()(,t t t t t t ttt x x t t x x x y x y x x y dx y d y x y dx dy y ''''-'''=''''='=''''=='（可以不记） 8、常用的高阶导数公式 （1）...)2,1,0(),2sin(sin )(=+=n n x x n π（2）...)2,1,0(),2cos(cos )(=+=n nx x n π（3）...)12(,)1()!1()1()1(ln 1)(=+--=+-n x n x nn n （4）...)2,1,0(,)1(!)1()11(1=+-=++n x n x n n n （5）（莱布尼茨公式）∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(三、$四、微分的概念与运算1、微分定义 *若)(x o x A y ∆+∆=∆，则)(x f y =可微，记Adx x A dy =∆= 2、公式：dx x f x x f dy )()('=∆'= 3、可微与可导的关系* 两者等价4、近似计算 当较小时，||x ∆dy y ≈∆，x x f x x f x f ∆'+∆+≈)()()(第三章 ~第四章导数的应用一、微分中值定理* 1、柯西中值定理*)()()()()()(),,,0)(3),()()()2(],[)()()1(a g b g a f b f g f b a x g b a x g x f b a x g x f --=''∈∃≠ξξξ使得：（则：）（内可导在、上连续在、当取x x g =)(时，定理演变成： 2、拉格朗日中值定理*))(()()()()()(),,a b f a f b f ab a f b f f b a -'=-⇔--='∈∃ξξξ使得：（当加上条件)()(b f a f =则演变成： >3、罗尔定理* 0)(),,='∈∃ξξf b a 使得：（4、泰勒中值定理 在一定条件下：)()(!)(...))(()()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+=其中ξξ),)(()()!1()()(010)1(n n n n x x o x x n f x R -=-+=++介于x x 、0之间. 当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理. 当00=x 时，公式变成:5、麦克劳林公式 )(!)0(...)0()0()()(x R x n f x f f x f n nn +++'+=《6、常用麦克劳林展开式（1）)(!1...!212n n xx o x n x x e +++++=（2）)()!12()1(...!5!3sin 212153n n n x o x n x x x x +--++-=-- （3）)()!2()1(...!4!21cos 12242++-++-=n nn x o x n x x x （4）)()1(...32)1ln(132n nn x o x nx x x x +-++-=+-二、罗比达法则*—记住：法则仅能对∞∞,00型直接用，对于,,0,1,,000∞∞-∞∞⋅∞转化后用. 幂指函数恒等式*f g g e f ln =三、单调性判别*1、,0↑⇒>'y y ↓⇒<'y y 02、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、；5、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法*找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小. 六、凹凸性与拐点* 1、,0⋃⇒>''y y ⋂⇒<''y y 0 2、拐点：曲线上凹凸分界点),(00y x .横坐标0x 不外乎不存在或)(,0)(00x f x f ''=''，找到后再加以判别0x 附近的二阶导数是否变号. 七、曲率与曲率半径 1、、2、曲率公式232)1(||y y K '+''=3、曲率半径KR 1=?第五章 不定积分一、;二、不定积分的概念*若在区间I 上，dx x f x dF x f x F )()(),()(=='亦， 则称.)()(的原函数为x f x F称全体原函数F(x)+c 为f(x)的不定积分，记为⎰dx x f )(. 二、微分与积分的互逆关系1、⎰⎰=⇔='dx x f dx x f d x f dx x f )()()(])([2、⎰⎰+=⇔+='c x f x df c x f dx x f )()()()( 三、积分法* 1、、2、凑微分法*3、第二类换元法4、分部积分法* ⎰⎰-=du v uv udv5、常用的基本积分公式(要熟记).第六章 定积分一、定积分的定义 ∑⎰=→∆∆=ni i i x ba x f dx x f 1)(lim )(ξ 二、…三、可积的必要条件 有界.四、可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单调.五、几何意义 定积分等于面积的代数和.六、主要性质* 1、可加性 ⎰⎰⎰+=b a bc c a2、估值 在[a,b]上，⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()( 3、积分中值定理* )当f(x)在[a,b]上连续时：⎰∈-=ba b a a b f dx x f ],[),)(()(ξξ4、函数平均值：ab dx x f b a-⎰)(六、变上限积分函数*1、)(])([)()(],[)(x f dt t f dt t f x F b a x f xa x a ='=⎰⎰可导，且连续，则在若2、)()]([])([)(],[)(x x f dt t f x b a x f x a ϕϕϕϕ'='⎰）（可导，则：连续，在若七、牛-莱公式*)()(|])([)(],[)(a F b F dx x f dx x f b a x f b ba a-==⎰⎰连续，则在若八、定积分的积分法* 1、》2、换元法 牢记：换元同时要换限3、分部积分法 ⎰⎰-=ba baba vdu uv udv | 4、特殊积分 （1）⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-a aax f dx x f x f dx x f 0)(,)(2)(,0)(为偶函数时当为奇函数时当（2）当f(x)为周期为T 的周期函数时： ⎰⎰++∈=TnTa aZ n dx x f n dx x f 0,)()(（3）一定条件下:⎰⎰=πππ00)(sin 2)(sin dx x f dx x xf（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==⎰⎰是正偶数时，！是正奇数时，n n n n n n xdx xdx n n 2!!)!1(!!)!1(cos sin 2020πππ（5）]（6）⎰⎰=20sin 2sin ππxdx xdx n n九、反常积分* 1、无穷区间上)()(|)()(lim )(a F F x F dt t f dx x f a axax -+∞===∞++∞+∞→⎰⎰ 其他类似2、p 积分：⎰∞+⎩⎨⎧≤>>a p p p a dx x 时发散时收敛11:)0(1 3、瑕积分：若a 为瑕点：则)()(|)()(lim )(+→-===++⎰⎰a F b F x F dt t f dx x f b a b a bx a x 其他类似处理 第六章 定积分应用一、…二、几何应用1、面积（1）dy x x A dx y y A b a b a）（）（左右下上--⎰⎰==（2）),(,)()(:βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x C 则⎰'=βαdt t x t y A |)()(| （3）⎰=≤≤===βαθθρβθαβθαθθρρd C ）（围成图形面积，（，与221A )),(: 2、体积*（1）旋转体体积*⎰=b a x dx y V 2π ⎰=d c y dy x V 2π 或⎰=ba y dx xy V π2 （2）截面面积为)(x A A =的立体体积为⎰=ba dx x A V )(3、弧长（1）)(12b x a dx y s b a ≤≤'+=⎰（2）)(,)()(22βαβα≤≤'+'=⎰t dt t y t x s（3）)(,22βθαθρρβα≤≤'+=⎰d s二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素：],[,)(b a x dx x F dw ∈=，再积分⎰=ba dx x F w )( 克服重力作功的功元素dw=体积⨯⨯⨯g ρ位移2、水压力dP=水深⨯面积⨯g ⨯ρ第七章 微分方程一、可分离变量的微分方程 形式：)()(y g x f dxdy = 二、一阶线性微分方程*1、线性齐次：0)(=+'y x p y通解公式*：⎰-=dx x p Ce y )(2、线性非齐次 )()(x q y x p y =+' 通解公式*：))([)()(C dx x q e ey dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-。