2014统计概率高考文科题汇编

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2014高考数学概率汇编

2014高考概率与统计汇编1. （辽宁）正方形的四个顶点(1,1),(1,1),(1,1),(1,1)A B C D ----分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 2比3 .2.（新课标二 5.）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45 【答案】 A.,8.0,75.06.0,A p p p 故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=3.（湖北）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ D ） A.81 B.41 C. 43 D.87 4.（福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为__22e ____. 5.（广东11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 . 367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为6.（湖北）根据如下样本数据x 3 4 56 7 8y4.02.55.0-0.50.2- 0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.（湖北）由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）8.（陕西）.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则（A ）A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10. （江苏）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ .11. （辽宁）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .解：（Ⅰ）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯= . 2()0.003500.15P A =⨯=.()0.60.60.1520.108P B =⨯⨯⨯=.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为033(0)(10.6)0.064P X C ==⋅-=,123(1)0.6(10.6)0.288P X C ==⋅-=,223(2)0.6(10.6)0.432P X C ==⋅-=,333(3)0.60.216P X C ==⋅=,分布列为因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.7212.（福建）（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解：本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想。

高中数学：概率统计专题

高三文科数学：概率与统计专题一、选择题：1．为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量单位：kg分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1,x2,…,x n的平均数B．x1,x2,…,x n的标准差C．x1,x2,…,x n的最大值D．x1,x2,…,x n的中位数2．有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A．13B．12C．23D．343、在一组样本数据x1,y1,x2,y2,…,x n,y n n≥2,x1,x2,…,x n不全相等的散点图中,若所有样本点x i,y i i=1,2,…,n都在直线y=错误!x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为A－1 B0 C错误! D14.如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为A103 B15C110D1205．如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,学科&网则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π46.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是二、填空题：7、从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是_______;8、将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____.9．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,制作了对照表：由表中数据得回归直线方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2,预测当气温为－4 ℃时,用电量约为________度．三、解答题10.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售;如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理;Ⅰ若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y 单位：元关于当天需求量n 单位：枝,n ∈N 的函数解析式;Ⅱ花店记录了100天玫瑰花的日需求量单位：枝,整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数102016161513101假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润单位：元的平均数；气温℃ 18 13 10 －1 用电量度243438642若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率;11. 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表：质量指标值75,85 85,95 95,105 105,115 115,125 分组频数 6 26 38 22 8 I在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：II估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；III根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定12. 某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y单位：千元的数据如下表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y1求y关于t的线性回归方程；2利用1中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：错误!＝错误!,错误!＝错误!－错误!错误!.13．某省会城市地铁将于2017年6月开始运营,为此召开了一个价格听证会,拟定价格后又进行了一次调查,随机抽查了50人,他们的收入与态度如下：1若以区间的中点值为该区间内的人均月收入,求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少结果保留2位小数；2由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．附：K2＝错误!14．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸单位：cm ．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212s==≈,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅．1求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．2一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查．ⅰ从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查ⅱ在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．精确到附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈．。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题13：概率与统计1(文科选择填空)1带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题13：概率与统计（文科选择填空）（一）（一）概率选择题1．（2014•湖北文）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则( ) A ．123p p p <<B ．213p p p <<C ．132p p p <<D ．312p p p <<【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先列表，然后根据表格点数之和不超过5，点数之和大于5，点数之和为偶数情况，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表得：∴一共有36种等可能的结果，∴两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，∴向上的点数之和不超过5的概率记为11053618p ==，点数之和大于5的概率记为226133618p ==，点数之和为偶数的概率记为3181362p ==， 132p p p ∴<<故选：C ．【点评】本题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2．（2014•湖南文）在区间[2-，3]上随机选取一个数X ，则1X …的概率为( )A ．45 B ．35C ．25 D ．15【考点】几何概型【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的区间长度，即可得到结论．【解答】解：在区间[2-，3]上随机选取一个数X ，则23X -剟，则1X …的概率1(2)33(2)5P --==--，故选：B ．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础． 3．（2014•辽宁文）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 【考点】几何概型【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．【解答】解：2AB =，1BC =，∴长方体的ABCD 的面积122S =⨯=，圆的半径1r =，半圆的面积2S π=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是224ππ=，故选：B ．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础． 4．（2014•江西文）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A ．118B ．19C ．16D ．112【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N 与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”包含的基本事件数n ，再由公式nN求出概率得到答案【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6636⨯=事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共四种故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是41 369=，故选：B．【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式nN是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．5．（2014•陕西文理）从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A．15B．25C．35D．45【考点】几何概型【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为2【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4，∴所求概率为42 105=．故选：B．【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．6．（2015•新课标Ⅰ文）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A．310B．15C．110D．120【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)共10种，其中只有(3，4，5)为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为110．故选：C ．【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题． 7．（2015•福建文）如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩…的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16B ．14 C ．38D ．12【考点】几何概型【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得．【解答】解：由题意可得(1,0)B ，把1x =代入1y x =+可得2y =，即(1,2)C ，把0x =代入1y x =+可得1y =，即图中阴影三角形的第3个定点为(0,1)，令1122x -+=可解得2x =-，即(2,2)D -，∴矩形的面积326S =⨯=，阴影三角形的面积133122S '=⨯⨯=， ∴所求概率14S P S '== 故选：B ．【点评】本题考查几何概型，涉及面积公式和分段函数，属基础题．8．（2015•广东文）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为2510=ð；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A ，则A 包含的基本事件个数为11326=痧；P ∴（A ）630.6105===．故选：B ．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．9．（2015•湖北文）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记1p 为事件“12x y +…”的概率，2P 为事件“12xy …”的概率，则( ) A ．1212p p <<B ．1212p p << C ．2112p p << D ．2112p p << 【考点】几何概型【分析】分别求出事件“12x y +…”和事件“12xy …”对应的区域，然后求出面积，利用几何概型公式求出概率，比较大小．【解答】解：由题意，事件“12x y +…”表示的区域如图阴影三角形，1111122218p ⨯⨯==；满足事件“12xy …”的区域如图阴影部分所以1112212111111122|(12)12222dxxp lnx ln ⨯+==+=+>⎰；所以1212p p <<；故选：B ．【点评】本题考查了几何概型的公式运用；关键是分别求出阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 10．（2015•山东文）在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“1211log ()12x -+剟”发生的概率为( ) A ．34B ．23 C ．13D ．14【考点】几何概型【专题】概率与统计【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 1211log ()12x -+剟∴11222x +剟解得302x剟， 02x 剟302x∴剟 ∴所求的概率为：33224P ==故选：A ．【点评】本题主要考查了几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．11．（2015•陕西文理）设复数(1)(z x yi x =-+，)y R ∈，若||1z …，则y x …的概率为( ) A ．3142π+B ．112π+ C ．1142π-D ．112π- 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；几何概型【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数(1)(z x yi x =-+，)y R ∈，若||1z …，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y x …的图形是图形中阴影部分，如图：复数(1)(z x yi x =-+，)y R ∈，若||1z …，则y x …的概率：1111114242πππ-⨯⨯=-．故选：C ．【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．12．（2016•新课标Ⅰ文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．56【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有246C =种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为4263=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有(12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，则4263P ==．故选：C ．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础． 13．（2016•新课标Ⅰ理）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13B ．12C ．23D ．34【考点】几何概型【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y ，当y 在7:50至8:00，或8:20至8:30时，小明等车时间不超过10分钟，故201402P ==，故选：B ．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．14．（2016•新课标Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( ) A ．710B ．58C ．38D ．310【考点】几何概型【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．【解答】解：红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为255408=．故选：B ．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．15．（2016•新课标Ⅱ理）从区间[0，1]随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y 构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A ．4nmB ．2n mC ．4mnD ．2mn【考点】几何概型【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为2114π，从区间[0，1】随机抽取2n 个数1x ，2x ，⋯，n x ，1y ，2y ，⋯，n y ，构成n 个数对1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，对应的区域的面积为21． ∴221141mn π= 4mnπ∴=．故选：C ．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到． 16．（2016•新课标Ⅲ文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是() A ．815B ．18C ．115D ．130【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】列举出从M ，I ，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案．【解答】解：从M ，I ，N 中任取一个字母，再从1，2，3，4，5中任取一个数字，取法总数为： (,1)M ，(,2)M ，(,3)M ，(,4)M ，(,5)M ，(,1)I ，(,2)I ，(,3)I ，(,4)I ，(,5)I ，(,1)N ，(,2)N ，(,3)N ，(,4)N ，(,5)N 共15种．其中只有一个是小敏的密码前两位．由随机事件发生的概率可得，小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115．故选：C ．【点评】本题考查随机事件发生的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，是基础题． 17．（2016•天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A．56B．25C．16D．13【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【解答】解：甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率115326P=+=．故选：A．【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．18．（2016•北京文）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A．15B．25C．825D．925【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数2510n C==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C==，∴甲被选中的概率42105mpn===．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．19．（2017•新课标Ⅰ文理）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．14B．8πC．12D．4π【考点】几何概型【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积2S π=，则对应概率248P ππ==，故选：B ．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 20．（2017•新课标Ⅱ文）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A ．110B ．15C ．310D ．25【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数5525n =⨯=，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数5525n =⨯=，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： (2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共有10m =个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255p ==．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．21．（2017•天津文）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( ) A ．45B ．35C ．25 D ．15【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数2510n C ==，再求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数11144m C C ==，由此能求出取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率．【解答】解：有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，基本事件总数2510n C ==，取出的2支彩笔中含有红色彩笔包含的基本事件个数11144m C C ==， ∴取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为42105m p n ===．故选：C ．【点评】本小题主要考查概率、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是基础题．22．（2018•新课标Ⅱ文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种，其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有2510C =种，其中全是女生的有233C =种，故选中的2人都是女同学的概率30.310P ==，（适合文科生），设2名男生为a ，b ，3名女生为A ，B ，C ，则任选2人的种数为ab ，aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，Bc ，AB ，AC ，BC 共10种，其中全是女生为AB ，AC ，BC 共3种，故选中的2人都是女同学的概率30.310P ==，故选：D ．【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．23．（2018•新课标Ⅰ理10）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC ∆的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则( )A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+【考点】几何概型【分析】如图：设12BC r =，22AB r =，32AC r =，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．【解答】解：如图：设12BC r =，22AB r =，32AC r =，222123r r r ∴=+，23231422S r r r r ∴=⨯=Ⅰ，2123122S r r r π=⨯-Ⅲ，22222323212323111112222222S r r S r r r r r r r πππππ=⨯+⨯-=⨯+⨯-⨯+=ⅡⅢ，S S ∴=ⅠⅡ， 12P P ∴=，故选：A ．【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．24．（2019•新课标Ⅲ文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( ) A ．16B ．14 C ．13D ．12【考点】古典概型及其概率计算公式；排列组合【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列找出分子，再全部排列找到分母，可得到答案．【解答】解：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有323212A A =种排法，再所有的4个人全排列有：4424A =种排法，利用古典概型求概率原理得：121242p ==，故选：D ．25．（2019•新课标Ⅰ理6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A．516B．1132C．2132D．1116【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】基本事件总数6264n==，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数336320m C C==，由此能求出该重卦恰有3个阳爻的概率．【解答】解：在所有重卦中随机取一重卦，基本事件总数6264n==，该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数336320m C C==，则该重卦恰有3个阳爻的概率2056416mpn===．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．26．（2019新课标Ⅱ文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A．23B．35C．25D．15【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】本题根据组合的概念可知从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为35C，恰有2只测量过该指标是从3只侧过的里面选2，从未测的选1，组合数为2132C C．即可得出概率．【解答】解：由题意，可知：根据组合的概念，可知：从这5只兔子中随机取出3只的所有情况数为35C，恰有2只测量过该指标的所有情况数为2132C C．21 32 3 53 5C CpC∴==．故选：B．【点评】本题主要考查组合的相关概念及应用以及简单的概率知识，本题属基础题．填空题1．（2014•新课标Ⅰ文）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为23．【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先求出所有的基本事件的个数，再从中找到2本数学书相邻的个数，最后根据概率公式计算即可．【解答】解：2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有共有336A=种结果，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2)，（语文，数学2，数学1)共4个，故本数学书相邻的概率4263P==．故答案为：23．【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，关键是不重不漏的列出满足条件的基本事件．2．（2014•新课标Ⅱ文）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为13．【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【分析】所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有339⨯=种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为31 93 =，故答案为：13．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．3．（2014•福建文）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【考点】几何概型【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积1S=，设阴影部分的面积为S，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得1800.18 11000S==，即0.18S=，故答案为：0.18．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4．（2014•广东文）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为25．【考点】等可能事件和等可能事件的概率【分析】求得从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母、取到字母a的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，共有2510C=种情况，取到字母a，共有144C=种情况，∴所求概率为42 105=．故答案为：25．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．5．（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是13．【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6)，(2,3)共2个，故所求概率2163P==．故答案为：13．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．6．（2014•重庆文）某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为932（用数字作答）．【考点】几何概型【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．(,)x y可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为{(xΩ=，|3050y x剟，3050}y剟是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件{(,)|5}A x y y x=-…作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．(,)x y可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为{(xΩ=，|3050y x剟，3050}y剟是一个矩形区域，对应的面积2020400S=⨯=，则小张比小王至少早5分钟到校事件{|5}A x y x=-…作出符合题意的图象，则符合题意的区域为ABC∆，联立550y xy-=⎧⎨=⎩得(45,50)C，联立530y xx-=⎧⎨=⎩得(30,35)B，则115152ABCS∆=⨯⨯，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为1151592202032⨯⨯=⨯，故答案为：932．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．7．（2014•浙江文）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是13．【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】总共有9种可能，求出所获奖项有几种可能，根据概率公式进行计算即可．【解答】解：设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA共2个，故所求的概率2163P ==．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的公式的应用，关键是不重不漏的列出所有的基本事件． 8．（2015•重庆文）区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为23．【考点】几何概型【分析】由一元二次方程根的分布可得p 的不等式组，解不等式组，由长度之比可得所求概率．【解答】解：方程22320x px p ++-=有两个负根等价于2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧=--⎪+=-<⎨⎪=->⎩…，解关于p 的不等式组可得213p <…或2p …， ∴所求概率215223503P -+-==-故答案为：23【点评】本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题．9．（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为56．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．【解答】解：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为1C 、2C ，则一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种，其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种；所以所求的概率是56P =，故答案为：56．【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 10．（2016•四川文）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则l o g a b 为整数的概率是16．【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出log a b 为整数满足的基本事件个数，由此能。

2014-2017全国卷真题汇编---概率与统计-T

第九章附-统计与概率高考真题（2014全国1）18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布2(,)Nμδ，其中μ近似为样本平均数x，2δ近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z<<；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s分别为=…………6分150（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z～(200,150)N，从而P Z-<<+=………………9分<<=(20012.220012.2)0.6826P Z(187.8212.2)（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知(100,0.6826)EX=⨯=………12分:，所以1000.682668.26X B（2014全国2）19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．（2015全国1）（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,...,8)i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

2014年高考文科试题分类：概率(含详细答案)

2014年高考文科数学试题分类汇编：概率一、选择填空题1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B .19 C.16 D.1122．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B .35C.25 D.153．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B .25 C.35 D.454．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B .π4C.π6 D.π85．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 1＜p 3C ．p 1＜p 3＜p 2D ．p 3＜p 1＜p 26．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．7．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．8．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．9．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．10．[2014·广东卷12] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．11．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．12．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)二、解答题：1．[2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．2014年高考文科数学试题分类汇编：概率一、选择填空题1．[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A.118B.19 C.16 D.112【答案】B2．[2014·湖南卷5] 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.45B.35C.25 D.15【答案】B3．[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15B.25 C.35 D.45【答案】B4．[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.π2B.π4C.π6 D.π8【答案】B5．[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() 【答案】CA．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p26．[2014·江苏卷4] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．【答案】1 37．[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．【答案】1 38．[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．【答案】239．[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．【答案】1310．[2014·广东卷12] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．【答案】2511．[2014·福建卷13] 如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．【答案】0.1812．[2014·重庆卷15] 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答) 【答案】932二、解答题：1． [2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6)． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝25.2．[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P(A)＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为1 9.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为8 9.3．[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.4．[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.15a＋3000×0.10a＋10 000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．所以所求概率为P(M)＝3 10.5．[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．解：记A 1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2. B 表示事件：甲需使用设备． C 表示事件：丁需使用设备．D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．E 表示事件：同一工作日4人需使用设备．F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)因为P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C )＝0.31.(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1， P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06. 若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1，所以k 的最小值为3.6．[2014·江西卷21] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率． (1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )， S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎨⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ；当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝⎩⎨⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，同理有f (n )＝⎩⎨⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．当n ＝9时，p (9)＝0. 当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k 单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169. 又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119.7．[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2，3，4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望 E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.。

2014文科概率大题(几何概率、古典概型、统计)专题

古典概型、几何概型统计 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( )A.12 B.13 C.23D ．12．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.233．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )A.13B.23C.12D.144、袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15 B.25 C.35 D.455．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.346．从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.347．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( )A.29 B.13 C.89D ．18．从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．9．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 10．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mnx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．1.已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A.110 B.19 C.111 D.182．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2 之间的概率为 ( )A.116 B.18 C.14 D.123．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．4. ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1O 的距离大于1的概率为 ( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π85．设－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b 2＝0有实根的概率是 ( )A.12 B.14 C.18 D.1166．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ( )A.13 B.23 C.19 D.297．在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2 B.π8 C.π6 D.π48．在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R.(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有0 5两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．10.相碰的概率是__________．11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．12．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率．11．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投的点落在E 中的概率是__________．1．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 A ．6BC ．66D ．6.52．对于一组数据(1,2,3,,)i x i n = ，如果将它们改变为(1,2,3,,)i x c i n += ，其中0c ≠，则下面结论中正确的是：A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化6.甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6），设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足复数i x y +的实部大于虚部的概率是（）A ．16B ．512C ．712 D ．133．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a 、b 的值分别为 A ．0.27,78 B ．0.27,83C ．2.7,78D ．27,834.对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（）A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x与y 负相关，u 与v 正相关 D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关5. 期末考试后，班长算出了全班40名同学的数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ：N 为（） A ．40：41 B ．1：1 C ．41：40 D ．2：16.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A.90 B.75 C. 60 D.457.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 8.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示, 12,x x 平均数,12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有（） A ．12x x ＞,12s s ＜B ．12x x =,12s s ＜C ．12x x =,12s s ＞D ．12x x ＜,12s s ＞9.给出下列四个命题：①命题2",0"x x∀∈≥R 的否定是2",0"x x ∃∈≤R ； ②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若,[0,1],a b ∈则不等式2214ab +<成立的概率是4π； ④函数11x x a --+≤||||||恒成立，则实数a 的取值范围是[2,)+∞。

2014届高三3年高考三年模拟(文科概率汇编)

1． PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米:75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某城市环保局从该市市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取6天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(Ⅰ) 若从这6天的数据中随机抽出2天,求至多有一天空气质量超标的概率;(Ⅱ)根据这6天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?2．一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:学生1A2A3A4A5A数学8991939597物理 87 89 89 92 93(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定;(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.3．在一次抽奖活动中,有a 、b 、c 、d 、e 、f 共6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖,再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖,最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖.(Ⅰ)求a 能获一等奖的概率;(Ⅱ)若a 、b 已获一等奖,求c 能获奖的概率.4．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试.成绩低于6米为不合格,成绩在6至8米( 5.米不含8米)的为及格,成绩在8米至12米(含8米和12米,假定该市初二学生掷实心球均不超过12米)为优秀.把获得的所有数据,分成[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]五组,画出的频率分布直方图如图所示.已知有4名学生的成绩在10米到12米之间.(Ⅰ)求实数a 值及参加“掷实心球”项目测试的人数;(Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀概率;(Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的2名学生来自不同组的概率.PM2.5日均值(微克/立方米)3 34 8 1 7 9 3 975．某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了n 人,回答问题统计结果如图表所示.(Ⅰ)分别求出y x b a ,,,的值;(Ⅱ)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组应各抽取多少人?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求:所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.6.在某大学自主招生考试中,所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数; (II)若等级A,B,C,D,E 分别对应5分,4分,3分,2分,1分,求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分;(Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为A 的概率.0.375等级0.250频率0.2000.075科目：数学与逻辑0.025频率等级0.1500.375科目：阅读与表达7．某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时的部分按1小时计算).组距频率米0.0250.075 246810 0.1500.200 12 a现有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过4小时.(Ⅰ)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为31,停车付费多于14元的概率为125,求甲停车付费恰为6元的概率;(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率.8．用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表:(单位:人)(Ⅰ)求x ,y ;(Ⅱ)若从高二、高三年级抽取的人中选2人,求这二人都来自高二年级的概率9．为了解高三学生综合素质测评情况,对2000名高三学生的测评结果进行了统计,其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表:优秀良好合格男生人数 x380 373 女生人数y370377(Ⅰ)若按优秀、良好、合格三个等级分层,在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析,应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份? (Ⅱ)若245x ≥,245y ≥,求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率.10.PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级:在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.古城地区2013年2月6日至I5日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ)计算这10天PM2.5数据的平均值并判断其是否超标: (Ⅱ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率: (III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率.11.．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5,一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.将这个正方体和正四面体同时抛掷一次,正方体正面向上的数字为a ,正四面体的三个侧面上的数字之和为b .(Ⅰ)求事件3b a =的概率;[来源:学。

2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 概率与统计

概率与统计(推荐时间：70分钟）1．某次会议有6名代表参加，A、B两名代表来自甲单位,C、D两名代表来自乙单位，E、F两名代表来自丙单位．现随机选2名代表发言，求:(1）代表A被选中的概率是多少？（2)选出的2名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的概率是多少？解(1)从这6名代表中随机选出2名,共有15种不同的选法，分别为(A，B）,（A，C），(A，D），（A，E），（A，F),(B,C），（B，D），(B，E）,（B，F),（C,D）,(C,E)，(C,F)，（D，E)，(D,F)，（E，F)．其中,代表A被选中的选法有（A,B)，（A,C），（A，D),（A,E)，(A,F），共5种．故代表A被选中的概率为错误!＝错误!。

(2）随机选出的2名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的结果有9种，分别是（A，C)，（A，D），（B，C），（B,D)，（C,E），(C,F)，(D，E)，（D，F），(E，F)．故“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为错误!＝错误!.2．某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如图．（1）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（2)从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．解（1）错误!甲＝错误!(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28）＝15，＝错误!（7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，错误!乙s错误!＝错误!［(－8）2＋（－6)2＋(－4）2＋(－2）2＋（－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s2，乙＝错误![（－8)2＋（－7）2＋（－5）2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32。

25。

甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差比乙的方差大．（2)依题意,在20分以下的6场比赛中乙的得分为：7，8,10，15,17，19.从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下:（7，8）,（7，10)，(7，15)，（7,17）,(7,19),（8，10）,(8,15)，（8,17),(8,19），（10,15），（10，17），(10,19），（15，17），（15，19)，（17，19),共15种可能，其中恰好有1场得分在10分以下的情形是:(7,10)，(7,15），（7，17），（7，19)，(8，10）,（8,15),（8，17),(8,19),共8种可能．所以，所求概率为P＝错误!。

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题13：概率与统计3(文科解答题)2带详细答案

2014-2019年高考数学真题分类汇编专题13：概率统计（文科解答题）（二）（二）统计1．（2014•新课标Ⅰ文）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？【考点】频率分布直方图；极差、方差与标准差【分析】（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．【解答】解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，质量指标的样本的方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104S =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．【点评】本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．2．（2014•新课标Ⅱ理）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如表：（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】线性回归方程【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，1(1234567)47t =⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y =⨯++++++=，∴(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ˆ0.5941014928b-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯===++++++，ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=． y ∴关于t 的线性回归方程为0.5 2.3y t ∧=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0.50b =>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号9t =代入0.5 2.3y t ∧=+，得： 0.59 2.3 6.8y ∧=⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题． 3．（2014•广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】（1）根据众数和极差的定义，即可得出；（2）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可．【解答】解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921-=；（2）茎叶图如下：（3）年龄的平均数为：19283293305314323403020+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=．这20名工人年龄的方差为2222221[(1930)3(2830)0)(420S =-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=．【点评】本题考查了众数，极差，茎叶图，方差的基本定义，属于基础题．4．（2015•广东文）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取多少户？【考点】频率分布直方图【分析】（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240)内，设中位数为a ，解方程(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a+++⨯+⨯-=可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x++++++⨯=，解方程可得0.0075x=，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[220，240)内，设中位数为a，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a++⨯+⨯-=可得224a=，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240)的用户有0.01252010025⨯⨯=，月平均用电量为[240，260)的用户有0.00752010015⨯⨯=，月平均用电量为[260，280)的用户有0.0052010010⨯⨯=，月平均用电量为[280，300)的用户有0.0025201005⨯⨯=，∴抽取比例为111 25151055=+++，∴月平均用电量在[220，240)的用户中应抽取12555⨯=户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．5．（2015•广东理）某工厂36名工人年龄数据如图：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x和方差2s；（3）36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%)？【考点】系统抽样方法；极差、方差与标准差【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：42n -，(1n =，2，⋯，9)，其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得1(444036433637444337)409x =++++++++=．由方差公式得22221100[(4440)(4040)(3740)]99s =-+-+⋯+-=．（3）21009s =．10(3,4)3s ∴=∈， 36∴名工人中年龄在x s -和x s +之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，⋯，39，共23人．36∴名工人中年龄在x s -和x s +之间所占百分比为2363.89%36≈．【点评】本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．6．（2016•新课标Ⅰ文）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型；频率分布直方图【分析】（Ⅰ）若19n =，结合题意，可得y 与x 的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，可得n 的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当19n =时，19200,193800,1919200(19)500,195005700,19x x y x x x x ⨯⎧⎧==⎨⎨⨯+-⨯>->⎩⎩剟（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又更换易损零件不大于n 的频率为不小于0.5．则19n …n ∴的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：1(7019200430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=（元) 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为1(904000104500)4050100⨯+⨯=（元) 40004050<∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．7．（2016•新课标Ⅲ文理）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码17-分别对应年份20082014-．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈．参考公式：相关系数()()nii tt y y r --=∑，回归方程ˆˆˆya bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆay bt =-．【考点】线性回归方程【分析】（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t 值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y 与t 之间存在较强的正相关关系，理由如下：777()()7 2.890.9932.9106ii i itt y y t ytyr ---==≈≈≈∑∑∑，0.9930.75>，故y 与t 之间存在较强的正相关关系；（2）711722211()()7 2.89ˆ0.10328()7nii i ii i niii i tt y y t ytybtt tt ====---==≈≈--∑∑∑∑， ˆˆ 1.3310.10340.92ay bt =-≈-⨯≈， y ∴关于t 的回归方程ˆ0.100.92yt =+， 2016年对应的t 值为9，故ˆ0.1090.92 1.82y=⨯+=，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．8．（2016•四川文）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，⋯，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a 的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数【分析】()I 先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a 的值；()II 根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：()1(0.080.160.400.520.120.080.04)0.5I a a =++++++++⨯，整理可得：2 1.42a =+，∴解得：0.3a =．()II估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.120.080.04)0.50.12++⨯=，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.12 3.6⨯=万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.080.50.160.50.300.50.420.50.480.5⨯+⨯+⨯+⨯=<，0.480.50.50.740.5+⨯=>，∴中位数应在[2，2.5)组内，设出未知数x，令0.080.50.160.50.300.50.420.50.50.5x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.04x=；∴中位数是20.04 2.04+=．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距⨯频率组距，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．9．（2016•北京文）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w=时，估计该市居民该月的人均水费．【考点】简单随机抽样；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1)的频率为0.1，用水量在[1，1.5)的频率为0.15，用水量在[1.5，2)的频率为0.2，用水量在[2，2.5)的频率为0.25，用水量在[2.5，3)的频率为0.15，用水量在[3，3.5)的频率为0.05，用水量在[3.5，4)的频率为0.05，用水量在[4，4.5)的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米．（2）当3w=时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1)的频率为0.1，用水量在[1，1.5)的频率为0.15，用水量在[1.5，2)的频率为0.2，用水量在[2，2.5)的频率为0.25，用水量在[2.5，3)的频率为0.15，用水量在[3，3.5)的频率为0.05，用水量在[3.5，4)的频率为0.05，用水量在[4，4.5)的频率为0.05，用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w∴至少定为3立方米．（2）当3w=时，该市居民的人均水费为：，(0.110.15 1.50.220.25 2.50.153)40.05340.050.5100.05340.051100.05340.05 1.51010.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=w=时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．∴当3【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查当3w=时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．10．（2018•新课标Ⅱ文理18）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，17)建立模型①：ˆ30.413.5=-+；根据2010y t年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，⋯，7)建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】线性回归方程【分析】（1）根据模型①计算19t=时ˆy的值即可；t=时ˆy的值，根据模型②计算9（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①：ˆ30.413.5=-+，y t计算19y=-+⨯=；t=时，ˆ30.413.519226.1利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：ˆ9917.5=+，y t计算9y=+⨯=；．t=时，ˆ9917.59256.5利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．11．（2018•新课标Ⅲ文理18）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min绘制了如下茎叶图：)（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()n ad bc K -=，【考点】独立性检验【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为7981802m +==；由此填写列联表如下；（3）根据（2）中的列联表，计算222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．12．（2019•新课标Ⅲ文理17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A 、B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．【考点】频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a ，b ．（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．【解答】解：（1）C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70．则由频率分布直方图得： 0.200.150.70.050.1510.7a b ++=⎧⎨++=-⎩，解得乙离子残留百分比直方图中0.35a =，0.10b =．（2）估计甲离子残留百分比的平均值为：20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲．乙离子残留百分比的平均值为：30.0540.150.1560.3570.280.156x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．【点评】本题考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．13．（2019•新课标Ⅰ文17）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()n ad bc K -=．【考点】独立性检验【分析】（1）由题中数据，结合等可能事件的概率求解；（2）代入计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，然后把所求数据与3.841进行比较即可判断．【解答】解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率404505P ==，女顾客对该商场服务满意的概率303505P ==；（2）由题意可知，22100(40203010)1004.762 3.8417030505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础试题． 14．（2019新课标Ⅱ文19）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01)8.602≈．【考点】极差、方差与标准差【分析】（1）根据频数分布表计算即可；（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为： 1470.2121%100+==，产值负增长的企业频率为：20.022%100==，用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；（2）企业产值增长率的平均数10.120.1240.3530.5140.770.330%100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，产值增长率的方程52211()100i i i s n y y ==-∑ 222221[(0.4)2(0.2)240530.2140.47]100=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯ 0.0296=，∴产值增长率的标准差0.020.1717%s ==≈=，∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．【点评】本题考查了样本数据的平均值和方程的求法，考查运算求解能力，属基础题．。

2014年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)

2014年高考概率与统计试题汇总一、选择题1.（2014四川文2）在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（） . A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本2.（2014重庆文3）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（）.A.100B.150C.200D.2503.（2014广东文6）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）.A.50B.40C.25D.204.（2014湖南文5）在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（）.A.45B. 35C.25D.155.（2014江西文3）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A.118B.19C.16D.1126.（2014陕西文6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（）. A.15 B.25 C. 35 D. 457.（2014辽宁文6）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（）A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π8.（2014北京文8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足的函数关系2p at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（） A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟9.（2014大纲文7）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种10.（2014湖北文5）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则（）.A ．123p p p <<B ．213p p p <<C ．132p p p <<D ．312p p p <<11.（2014湖南文3）对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（）. A.123p p p =< B. 231p p p =< C.132p p p =< D.123p p p == 12.（2014湖北文6）根据如表所示样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则（）. A ．0a >，0b < B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >14.（2014山东文8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[)[)[)[)[]12,13,13,14,14,15,15,16,16,17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）.A.6B.8C.12D.1815.（2014江西文7）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4所示，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）表1表2表3 表4A.成绩B.视力C.智商D.阅读量二、填空题16.（2014新课标Ⅱ文13）甲、已两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为.17.（2014浙江文14）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是______________.18.（2014重庆文15）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_________（用数字作答）. 19.（2014湖北文11）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.20.（2014新课标Ⅰ文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.21.（2014天津文9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.22.（2014广东文12）从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________. 23.（2014江苏4）从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．24.（2014大纲文13）6(2)x -的展开式中3x 的系数为.（用数字作答）25.（2014福建文13）如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为.26.（2014江苏6）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[]80130，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm ．三、解答题28.（2014重庆文17）（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：100 90 80 110 底部周长/cm7632（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率. 29.（2014陕西文19）（本小题满分12分）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示：（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 30.（2014山东文16）（本小题满分12分）海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（1）求这6件样品中来自,,A B C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率. 31．（2014安徽文17）（本小题满分12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）. （1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.).0.070.01.0.033.（2014大纲文20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.34.（2014新课标Ⅱ文19）（本小题满分12分）洞穿高考例3.3某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民.根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.35.（2014福建文20）（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如表所示：（1）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.36.（2014广东文17）（本小题满分13分）洞穿高考例3.3某车间20名工人年龄数据如表所示：（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差.39.（2014天津文15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如表所示：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.40.（2014四川文16）(本小题满分12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c . （1）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率. 41.（2014江苏22）（本小题满分10 分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球, 这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球, 求取出的2个球颜色相同的概率P ；。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）1．（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．72．（5分）已知角α 的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5 分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}4．（5分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．（5 分）有6 名男医生、5 名女医生，从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60 种B．70 种C．75 种D．150 种8．（5 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4，则C 的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=110．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．11．（5 分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．412．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)13．（5 分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是．15．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=x+4y 的最大值为．16．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），则l1 与l2 的夹角的正切值等于．三、解答题17．（10 分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（I）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（II）求{a n}的通项公式．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（I）证明：AC1⊥A1B；（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（I）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；（II）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（I）求C 的方程；（II）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．2014 年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分）1．（5 分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．7【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据M 与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，∴M∩N={1，2，6}，即M∩N 中元素的个数为3．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5 分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．3．（5 分）不等式组的解集为（）A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，故选：C．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．4．（5分）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】5G：空间角．【分析】由E 为AB 的中点，可取AD 中点F，连接EF，则∠CEF 为异面直线CE 与BD 所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值．【解答】解：如图，取AD 中点F，连接EF，CF，∵E 为AB 的中点，∴EF∥DB，则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角，∵ABCD 为正四面体，E，F 分别为AB，AD 的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF 中，由余弦定理得：=．故选：B．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（）A．y=（1﹣e x）3（x＞﹣1）B．y=（e x﹣1）3（x＞﹣1）C．y=（1﹣e x）3（x∈R）D．y=（e x﹣1）3（x∈R）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y 的位置即可得到反函数．【解答】解：∵y=ln（+1），∴+1=e y，即=e y﹣1，∴x=（e y﹣1）3，∴所求反函数为y=（e x﹣1）3，、故选：D ．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．6．（5 分）已知，为单位向量，其夹角为 60°，则（2﹣）•=（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A ：平面向量及应用．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得， =1×1×cos60°=， =1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．7．（5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（） A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】5O ：排列组合．【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C 62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C 51=5 种选法，则不同的选法共有 15×5=75 种；故选：C ．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．8．（5 分）设等比数列{a n}的前n 项和为S n．若S2=3，S4=15，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【考点】89：等比数列的前n 项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，代入数据计算可得．【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列，即3，12，S6﹣15 成等比数列，可得122=3（S6﹣15），解得S6=63故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键，属基础题．9．（5 分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2 的直线l 交C 于A、B 两点，若△AF1B 的周长为4 ，则C 的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用△AF1B 的周长为4 ，求出a= ，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B 的周长为4，∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C 的方程为+=1．故选：A．【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO1 上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面积为4π•（）2=．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．11．（5 分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C 的焦距等于（）A．2 B．2C．4 D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y= ，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0 的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C．【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．12．（5 分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），即f（﹣x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分)13．（5 分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是﹣160 ．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，由二项式定理可得（x﹣2）6的展开式的通项，令x 的系数为3，可得r=3，将r=3 代入通项，计算可得T4=﹣160x3，即可得答案．66 r+1 6【解答】解：根据题意，（x﹣2）6的展开式的通项为T =C r x6﹣r（﹣2）r=（﹣1）r•2r•C r x6﹣r，令6﹣r=3 可得r=3，此时T4=（﹣1）3•23•C3x3=﹣160x3，即x3的系数是﹣160；故答案为﹣160．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键要得到（x﹣2）6的展开式的通项．14．（5 分）函数y=cos2x+2sinx 的最大值是．【考点】HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题．【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1 ﹣2sin2x+2sinx= ，结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解：∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时，函数有最大值故答案为：【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简，二次函数在闭区间上的最值的求解，解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件．15．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=x+4y 的最大值为 5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（1，1）．化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式，得．由图可知，当直线过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时z max=1+4×1=5．故答案为：5．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5 分）直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线，若l1 与l2 的交点为（1，3），则l1 与l2 的夹角的正切值等于．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【专题】5B：直线与圆．【分析】设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．【解答】解：设l1 与l2 的夹角为2θ，由于l1 与l2 的交点A（1，3）在圆的外部，且点A 与圆心O 之间的距离为OA==，圆的半径为r=，∴sinθ== ，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ== =，故答案为：．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10 分）数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=2a n+1﹣a n+2．（I）设b n=a n+1﹣a n，证明{b n}是等差数列；（II）求{a n}的通项公式．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）将a n=2a n+1﹣a n+2 变形为：a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，再由条件得+2b n+1=b n+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{b n}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b n，代入b n=a n+1﹣a n 并令n 从1 开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{a n}的通项公式a n．=2a n+1﹣a n+2 得，【解答】解：（Ⅰ）由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2，由b n=a n+1﹣a n 得，b n+1=b n+2，即b n﹣b n=2，+1又b1=a2﹣a1=1，所以{b n}是首项为1，公差为2 的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由b n=a n+1﹣a n 得，a n+1﹣a n=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，a n﹣a n﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，a n﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{a n}的通项公式a n=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．18．（12 分）△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．19．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（I）证明：AC1⊥A1B；（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C 的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，解三角形由反三角函数可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E 为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直线AA1∥平面BCC1B1，∴A1E 为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，∵A1C 为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F 为垂足，连结A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角，由AD==1 可知D 为AC 中点，∴DF==，∴tan∠A1FD== ，∴二面角A1﹣AB﹣C 的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．20．（12 分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．（I）求同一工作日至少3 人需使用设备的概率；（II）实验室计划购买k 台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k 的最小值．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率相加，即得所求．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，不满足条件．若k=3，求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06＜0.1，满足条件，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得若k=2，则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31＞0.1，不满足条件．若k=3，则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06＜0.1，满足条件．故k 的最小值为3．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（12 分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．（I）讨论f（x）的单调性；（II）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a 的范围讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0 且f′（2）≥0，即可求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax3+3x2+3x，∴f′（x）=3ax2+6x+3，令f′（x）=0，即3ax2+6x+3=0，则△=36（1﹣a），①若a≥1 时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R 上是增函数；②因为a≠0，∴a≤1 且a≠0 时，△＞0，f′（x）=0 方程有两个根，x1=，x2=，当0＜a＜1 时，则当x∈（﹣∞，x2）或（x1，+∞）时，f′（x）＞0，故函数在（﹣∞，x2）或（x1，+∞）是增函数；在（x2，x1）是减函数；当a＜0 时，则当x∈（﹣∞，x1）或（x2，+∞），f′（x）＜0，故函数在（﹣∞，x1）或（x2，+∞）是减函数；在（x1，x2）是增函数；（Ⅱ）当a＞0，x＞0 时，f′（x）=3ax2+6x+3＞0 故a＞0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0 时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当且仅当：f′（1）≥0 且f′（2）≥0，解得﹣，a 的取值范围[ ）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．22．（12 分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4 与y 轴的交点为P，与C 的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（I）求C 的方程；（II）过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，且A、M、B、N 四点在同一圆上，求l 的方程．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得p 的值，可得C 的方程．（Ⅱ）设l 的方程为x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m 的值，可得直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q 的坐标为（x0，4），把点Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px （p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C 的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点F（1，0），设l 的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB 的中点坐标为 D （2m2+1 ，2m ），弦长|AB|= |y1 ﹣y2|= =4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3 ﹣y4|=，∵MN 垂直平分线段AB，故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2= MN2，∴4（m2+1）2+ + =×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l 的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．。

2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i 3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．55．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．79．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．110．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．711．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）=．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}，则A∩B=（）A．∅B．{2}C．{0}D．{﹣2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】先解出集合B，再求两集合的交集即可得出正确选项．【解答】解：∵A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数1+i化简即可．【解答】解：化简可得====﹣1+2i故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的化简，分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键，属基础题．3．（5分）函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n 项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．【考点】83：等差数列的性质．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A﹣B1DC1的体积为（）A．3B．C．1D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC 中点，∴底面B1DC1的面积：=，A到底面的距离就是底面正三角形的高：．三棱锥A﹣B1DC1的体积为：=1．故选：C．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z=3+2×2=7，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C 于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6C．12D．7【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，弦长公式的应用，运用弦长公式是解题的难点和关键．11．（5分）若函数f（x）=kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．【解答】解：f′（x）=k﹣，∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥，而y=在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．12．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，由此求得他们选择相同颜色运动服的概率．【解答】解：所有的选法共有3×3=9种，而他们选择相同颜色运动服的选法共有3种，故他们选择相同颜色运动服的概率为=，故答案为：．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差三角函数化简，然后求解函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）﹣2sinφcosx=sinxcosφ+sinφcosx﹣2sinφcosx=sinxc osφ﹣sinφcosx=sin（x﹣φ）≤1．所以函数的最大值为1．故答案为：1．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数最值的求解，考查计算能力．15．（5分）偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，f（3）=3，则f（﹣1）= 3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f（x+4）=f（x），即可得到结论．【解答】解：法1：因为偶函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），则f（﹣1）=f（﹣1+4）=f（3）=3，法2：因为函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，所以f（1）=f（3）=3，因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f（x+4）=f（x）是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）数列{a n}满足a n+1=，a8=2，则a1=．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】根据a8=2，令n=7代入递推公式a n+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值．=，a8=2，【解答】解：由题意得，a n+1令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=﹣1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；…根据以上结果发现，求得结果按2，，﹣1循环，∵8÷3=2…2，故a1=故答案为：．【点评】本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；（2）求四边形ABCD的面积．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC 的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，由①②得：cosC=，则C=60°，BD=；（2）∵cosC=，cosA=﹣，∴sinC=sinA=，则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB 角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．【点评】本题考查直线与平面垂直，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高）绘制的茎叶图如图：（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图的知识，中位数是指中间的一个或两个的平均数，首先要排序，然后再找，（Ⅱ）利用样本来估计总体，只要求出样本的概率就可以了．（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结果和茎叶图，合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67．（Ⅱ）由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，（Ⅲ）由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义建立方程即可求a；（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）﹣kx+2，利用函数导数和极值之间的关系即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∵g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数交点个数的判断，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．五、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年概率统计高考题汇总

2014年全国各地高考题————概率统计专题（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A ．90B ．100C ．180D ．300 类别人数老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300【答案】C 【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600169009=；设样本中老年教师的人数为x ，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320169x =，解得180x =.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（） A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升【答案】B 【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B.考点：平均耗油量.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙、数学【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙. ②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学. 考点：散点图.5.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85√ × × × 98×√××（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大. 【解析】试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数200，计算出概率；第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、商品顾客人数丁中同时购买3中商品的人数100+200，再计算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为200，顾客同时购买甲和丙的人数为100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为100，分别计算出概率，再通过比较大小得出结论.试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=. （Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点：统计表、概率.（15年广东理科）某工厂36名工人的年龄数据如下表。