《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习(基础)

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《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习锐角三角函数是高中数学中的重要知识点，理解和掌握这一内容对于后续的数学学习和应用至关重要。

为了巩固和加深对锐角三角函数的理解，下面是一些提高级别的巩固练习。

1.填空题1. 计算sin 60°的值：解：根据定值指函数的定义，sin 60°=√3/22. 计算cos 30°的值：解：根据定值指函数的定义，cos 30°=√3/23. 计算tan 45°的值：解：tan 45°=14. 计算csc 45°的值：解：根据定值指函数的定义，csc 45°=2/√2=√25. 计算sec 60°的值：解：根据定值指函数的定义，sec 60°=2/√36. 计算cot 30°的值：解：根据定值指函数的定义，cot 30°=1/√32.选择题1. 若角A的终边在第2象限，且sinA=-1/2，则角A为：B.150°C.210°D.240°解：根据sinA=-1/2可知，角A的终边在第3象限，角度为210°。

答案：C2. 若角B的终边在第4象限，且cosB=-√3/2，则角B为：A.30°B.60°C.150°D.210°解：根据cosB=-√3/2可知，角B的终边在第4象限，角度为210°。

答案：D3. 若角C的终边在第2象限，且tanC=√3，则角C为：A.30°B.45°C.60°D.90°解：根据tanC=√3可知，角C的终边在第1象限，角度为60°。

4. 若角D的终边在第3象限，且cotD=1/√3，则角D为：A.30°B.45°C.60°答案：D3.计算题1. 计算tan 50°的值：解：利用tan函数的性质，tan 50°=sin 50°/cos 50°=sin50°/√(1-sin²50°)。

中考总复习锐角三角函数综合复习--巩固练习

中考总复习锐角三角函数综合复习--巩固练习巩固练习（提高）1. 已知角A是一个锐角，sinA=0.6，求cosA的值。

解：根据三角函数的定义，sinA=对边/斜边=0.6设对边为a，斜边为c，则对边和斜边的比值为3:5，即a:5a，勾股定理可得：a^2+5a^2=c^26a^2=c^2c=√(6a^2)根据cosA=邻边/斜边，设邻边为b，则邻边和斜边的比值为b:(√(6a^2))根据勾股定理可得：b^2+6a^2=(√(6a^2))^2b^2=0b=0所以cosA=02. 已知tanθ = 0.8，θ是一个锐角，求θ的值。

解：根据tanθ=对边/邻边=0.8设对边为a，邻边为b，则对边和邻边的比值为4:5，即4a:5a，勾股定理可得：4a^2+5a^2=c^29a^2=c^2c=√(9a^2)根据tanθ=sinθ/cosθ，可得sinθ=4a/√(9a^2)=4/√(9)=4/3根据sinθ的定义可知，sinθ是正数，即θ是第一象限或第二象限的角。

又因为题目给出θ是一个锐角，所以θ必定是第一象限的角。

所以sinθ=4/3，根据sinθ=对边/斜边，可得：4/3=a/√(9a^2)4/3=a/3a4/3=1/3所以a=1，那么c=√9=3所以tanθ=4/5=0.8，那么θ=tan^(-1)(0.8)≈38.7°所以θ的值约为38.7°。

3.在直角三角形ABC中，∠B=90°，AC=20，BC=15，求三角形ABC的角A的正弦值和余弦值。

解：根据正弦定理可得sinA=AC/斜边=20/25=4/5根据余弦定理可得cosA=BC/斜边=15/25=3/5所以三角形ABC的角A的正弦值为4/5，余弦值为3/54. 已知在锐角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sinB的值。

解：根据正弦定理可得sinB=AC/斜边根据余弦定理可得cosB=BC/斜边所以AC=5sinB，BC=5cosB根据勾股定理可得：(5sinB)^2 + (5cosB)^2 = AC^2 + BC^225sin^2B + 25cos^2B = 5^2sin^2B + 5^2cos^2B25sin^2B + 25cos^2B = 25sin^2B + 25cos^2B所以25sin^2B = 0sinB = 0所以sinB的值为0。

锐角三角函数(复习巩固)

奇偶性
正弦函数是奇函数（sin(-A) = sinA），余弦函数是偶函数（cos(-A) = cosA）。
图像特征
正弦和余弦函数的图像是连续的波浪形曲线，正切函数的图像是间断的折线。在直角坐标系中，可以通过五点作图法绘制出这些
函数的图像。
02
三角函数关系式及诱导公式
同角三角函数关系式
平方关系
锐角三角函数(复习巩固)
目录
• 锐角三角函数基本概念 • 三角函数关系式及诱导公式 • 三角恒等变换与证明 • 解三角形相关知识点回顾
目录
• 锐角三角函数在几何中应用 • 复习策略与备考建议
01
锐角三角函数基本概念
正弦、余弦、正切定义
正弦（sine）
正切（tangent）
在直角三角形中，锐角的正弦等于对边长度除以斜边长度，即sinA = a/c。
重点难点突破
在知识体系梳理的基础上，要针对重点难点进行突破。例如，对于正弦、余弦、正切等基本概念的理解和应用，可以通过多做练习题来加深理解；对于与三角形相关的定理和公式，可以通过分析典型例题来掌握解题方法。
常见题型分类及解题技巧总结
常见题型分类
锐角三角函数的常见题型包括求值题、证明题、应用题等。在复习时，要对各种题型进行分类，并总结相应的解题技巧。
05
锐角三角函数在几何中应用
相似三角形判定定理
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
如果两个三角形的两组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边之间的比值称为相似比。
勾股定理及其逆定理
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

锐角三角函数(全章复习与巩固)(巩固篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练(人教版)

专题28.16 锐角三角函数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知6cos 33α=α是锐角，则α=（） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．302．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝（）A ．2B ．12C ．3D 33．在∠ABC 中，90C ∠=︒，若1tan 2A =，则sinB =（） A 5B 3C 25D 234．如图，直线y ＝34x ﹣3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则sin ∠OAB 的值为（）A ．35 B ．35C ．45D ．﹣455．如图是一段索道的示意图．若100AB =米，BAC α∠=，则缆车从A 点到B 点上升的高度BC 的长为（）A ．1000sin α米B ．1000sin α米 C ．1000cos α米 D ．1000cos α米 6．矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8，E 为AD 边上一点，沿CE 将∠CDE 对折，使点D正好落在AB 边上，tan∠AFE 等于（）A ．43B ．34C ．52D ．257．ABC 中，231sin A cos B 022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ABC 是（） A ．等腰但不等边三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．如图，在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2CB ＝4.以点B 为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC ，BA 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心、大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点F ，作射线BF ；分别以点A ，C 为圆心、大于12AC 的长为半径作弧，两弧交于G ，H 两点，作直线GH 交BF 于点J ，交AB 于点K ，则∠JKB 的面积是（）A ．2B ．1C ．23D 39．如图，在ABCD 中，4,10,60AB AD B ==∠=︒．作AE AB ⊥交BC 边于点E ，连接DE ，则sin EDC ∠的值为（）A 21B ．12C 7D 21 10．已知△ABC 中，∠C =90°，tan A =12 ，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ，则 cos∠CDB的值为（）A ．12B 5C 25D ．2二、填空题11．计算：012(1)2tan 60-︒--=________．1221是方程2(3tan )20x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值为________．13．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若AB ＝2BD ，tan∠BCD ＝12，则AC BC 的值为 _____．14．如图，B 为地面上一点，测得B 到树底部C 的距离为10m ，在B 处放置1m 高的测角仪BD ，测得树顶A 的仰角为60︒，则树高AC 为___________m （结果保留根号）．15．如图，矩形ABCD 的边长1,3AB AD ==ABCD 以B 为中心，按顺时针方向旋转到A BC D '''的位置（点A '落在对角线BD 上），则△BDD '的形状为________．16．如图，将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O (0，0)，点B (32)．D 是边BC 上一点(不与点B 重合)，过点D 作DE ∠OB 交OC 于点E ．将该纸片沿DE 折叠，得点C 的对应点C′．当点C′落在OB 上时，点C′的坐标为________．17．在Rt∠ABC 中∠C =90°，AC =4，BC =3．如图∠，四边形DEFG 为Rt∠ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为________；如图∠，若Rt∠ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt ∠ABC ，则正方形的边长为________．18．如图，11122233,,,AB A A B A A B A ⋅⋅⋅△△△是等边三角形，直线32y =+经过它们的顶点123,,,,A A A A ⋅⋅⋅，点123,,,B B B ⋅⋅⋅在x 轴上，则点2022A 的横坐标是____________.三、解答题 19．计算：（1）()1245201412-︒-；（2）()310.125π4tan 602-︒⎛⎫⨯-+-+ ⎪⎝⎭；（3）()()()12014cos 60128tan 30121-︒÷-+︒-+；20．已知：如图，在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ．()1 作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ；交AC 于点E (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；()2 连接BE ，若1BC =，求BCE 的周长．21．已知：如图在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．求：（1）线段DC 的长；（2）tan EDC ∠的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图像与函数ky x=（x ＞0）的图像相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，∠OAC 与∠OAB 的面积比为2：3(1) 求k 和b 的值；(2) 若将∠OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到∠OA ′C ′，判断点A ′是否在函数ky x=（x ＞0）的图像上，并说明理由．23．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1) 求C ，D 两点的高度差；(2) 求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 3 1.7≈）24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为45︒，测得楼AB 楼顶A 处的俯角为60︒．已知楼AB 和楼CD 之间的距离BC 为100米，楼AB 的高度为10米，从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为30（点A 、B 、C 、D 、P 在同一平面内）．(1) 填空：APD ∠=___________度，ADC ∠=___________度； (2) 求楼CD 的高度（结果保留根号）； (3) 求此时无人机距离地面BC 的高度．参考答案1．D【分析】由6cos 33α=3cos α=然后再根据特殊角的三角函数值求角度即可．解：∠6cos 33α=∠3cos α=∠α=30．故选D ．【点拨】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值求角度、一元一次方程等知识点，将cos α整体当做未知数成为解答本题的关键．2．A【分析】过点A 作AB ∠x 轴，垂足为B ，根据点A 的坐标，得到OB =1，AB =2，根据正切的定义计算选择即可．解：过点A 作AB ∠x 轴，垂足为B ，根据点A 的坐标(1，2)， ∠OB =1，AB =2， ∠ tan ∠1＝221AB OB ==，故选A ．【点拨】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．3．C【分析】根据三角函数的定义，知tan 12BC A AC ==，设BC =x ，AC =2x ，根据勾股定理可求得AB ，再根据三角函数的定义就可以求出sin B 的值．解：在∠ABC 中，90C ∠=︒， ∠tan 12BC A AC ==， ∠设BC =x ，AC =2x ，()222225AB BC AC x x x ∴=++=，25sin 5AC B AB x=∴=，故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．4．B【分析】分别令x =0，y =0，由直线解析式可求解A 、B 的坐标，即可得OB 、OA 的长，再利用勾股定理可求解AB 的长，再根据正弦的定义可求解．解：直线y ＝34x ﹣3，令x ＝0，则y ＝0﹣3＝﹣3，令y ＝0，34x ﹣3＝0，解得x ＝4，∴A （4，0），B （0，﹣3）， ∴OB ＝3，0A ＝4，∴AB 2222435++OA OB ， ∴sin ∠OAB ＝35OB AB =，故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的定义，求解A 、B 两点坐标是解题的关键．5．A【分析】在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，斜边AB 是已知边，BAC ∠是已知角，而要求的是BAC ∠的对边BC 的长，所以选择BAC ∠的正弦，即可求出结果．解：如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=， ∠sin BCABα=， ∠sin BC AB α=⋅， ∠1000AB =米， ∠1000sin BC α=米．故选：A ．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．6．B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE ＝∠BCF ；在Rt∠BFC 中，有BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理易得BF 的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF 的值，依据∠AFE ＝∠BCF ，可得tan∠AFE 的值．解：∠四边形ABCD 是矩形， ∠CD ＝AB ＝10，∠B ＝∠D ＝90°， ∠∠BCF +∠BFC ＝90°，根据折叠的性质得：∠EFC ＝∠D ＝90°，CF ＝CD ＝10， ∠∠AFE +∠BFC ＝90°， ∠∠AFE ＝∠BCF ，在Rt∠BFC 中，BC ＝8，CF ＝CD ＝10，由勾股定理得：BF 22CF CB -22108-6，则tan∠BCF ＝BF BC ＝6384=， ∠tan∠AFE ＝tan∠BCF ＝34，故B 正确．故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出6BF =，是解题的关键．7．B【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得：31sin 0,cos 022A B，再根据特殊角的锐角函数值可知60A B ∠=∠=︒ ，即可求解．解：3sin A 02-≥，21cos B 02⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，231sin A cos B 022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，23sin 021cos 02A B ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩，则可得：3sin 1cos 2A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：6060A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩ ，在ABC 中，18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，ABC ∴ 为等边三角形．故选：B ．【点拨】本题考查了非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性，由三角函数值求锐角的度数，三角形内角和以及等边三角形的判定；掌握非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性是解题的关键．8．D【分析】如图，过点K 作KH ∠BJ 于H ，设KJ 交AC 于W ．解直角三角形求出BJ ，KH ，可得结论．解：如图，过点K 作KH ∠BJ 于H ，设KJ 交AC 于W ，∠∠C =90°，AB =2BC ，∠2BC A AB==sin ， ∠∠A =30°，∠ABC =60°，由作图可知，BJ 平分∠ABC ，KJ 垂直平分线段AC ，∠∠KBJ =∠CBJ =12∠ABC =30°，AW =WC ，∠WK ∠BC ，∠AK =KB =2，∠KJB =∠CBJ =30°，∠HK =12KB =1，BH 33∠∠KBJ =∠KJB =30°，∠KB =KJ ，∠KH ∠BJ ，∠HB =HJ 3∠S △KBJ =1233 故选：D ．【点拨】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9．A【分析】过点E 作EF AD ⊥于点F ，过点C 作CG ED ⊥于点G ，根据三角函数以及勾股定理求出,,,,,,BE AE AF EF FD ED EC 的长度，然后根据三角形面积公式得出CG 的长度，结果可得．解：过点E 作EF AD ⊥于点F ，过点C 作CG ED ⊥于点G ，AE AB ⊥，90BAE ∴∠=︒，4,60AB B =∠=︒，tan 6043AE AB ∴=︒=8cos60BE ==︒， 1082EC BC BE ∴=-=-=，四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∴∠=︒，1209030EAF BAD BAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，EF AD ⊥，90AFE ∴∠=︒，1232EF AE ∴== ∴cos306AF AE =︒=，1064FD AD AF ∴=-=-=，2222(23)427ED EF FD ∴++1122ECD S EC EF ED CG ∴==，即112232722CG ⨯⨯⨯，221CG ∴ 221217sin 4CG EDC CD ∴∠==，故选：A ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．10．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得2222(2)BD CD BC a a ++解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==，设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=，在Rt ΔCBD 中，2222(2)5BD CD BC a a a =+=+，5cos 5CD CDB BD a∴∠=．故选：B 【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．11．12- 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、正切值的平方，再按照运算顺序计算就可以了．解：()012212tan 60113231212---︒=-⨯=-=-故答案为： 12-．【点拨】本题考查了0指数幂()()010a a =≠、负整数指数幂()10q qa a a -=≠、特殊角的正切值、二次根式的性质(()20a a a =≥和实数的混合运算等知识．正确的计算是解决本题的关键．122【分析】21代入方程2(3tan )20x x θ-+=，得出tan θ的值，从而得出θ的度数，进而的解．解：21是方程2(3tan )20x x θ-=的一个根， ∠2(21)3tan (21)20θ-+=，解得：tan 1θ=，∠45θ=︒，∠2cos cos 45θ==° 2．【点拨】考查三角函数值与一元二次方程根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的意义以及特殊角三角函数值是解本题的关键．13．32【分析】过点D 作DM ∠CM ，交CB 的延长线于点M ，可得∠DMC ＝90°，在Rt∠DMC 中，利用锐角三角函数的定义可设DM ＝a ，则CM ＝2a ，然后证明8字模型相似三角形∠ACB ∠∠DMB ，从而利用相似三角形的性质可得AB BD ＝AC DM ＝CB BM ＝2，进而可得AC ＝2a ，CB ＝43a ，最后进行计算即可解答．解：过点D 作DM ∠CM ，交CB 的延长线于点M ，∠∠DMC ＝90°，在Rt∠DMC 中，tan∠BCD ＝12， ∠tan∠DCM ＝DM CM ＝12，设DM ＝a ，则CM ＝2a ，∠∠ACB ＝∠DMC ＝90°，∠ABC ＝∠DBM ，∠∠ACB ∠∠DMB ， ∠AB BD＝AC DM ＝CB BM ＝2， ∠AC ＝2DM ＝2a ，∠2433CB CM a ==， ∠AC BC ＝243a a ＝32，故答案为：32．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．31##1103+【分析】在Rt ADE △中，利用tan 310∠==AE AE ADE DE 103AE =1m 即为AC 的长．解：过点D 作DE AC ⊥交于点E ，如图：则四边形BCED 是矩形，∠BC =DE ，BD =CE ，由题意可知：60ADE ∠=︒，10m ==DE BC ，在Rt ADE △中，tan 310∠===AE AE ADE DE ∠103AE =∠()1031m +=AE EC ，故答案为：1031【点拨】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．15．等边三角形【分析】根据特殊角三角函数值求出∠CDB 的度数，然后根据旋转的性质和等边三角形的判定即可解决问题．解：∠四边形ABCD 为矩形，∠DC ＝AB ＝1，BC ＝AD 3∠DCB ＝90°， ∠tan∠CDB 33=∠CDB ＝60°；由旋转的性质可知：BD ＝BD '，∠∠BDD '为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查了矩形的性质，特殊角三角函数值，旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是抓住旋转过程中的不变量，灵活运用有关性质来解题． 16．31()2【分析】根据B 点坐标可求出AB 、OB ，得到12AB OB =，所以30AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒，再利用折叠与平行的性质，证明∠OEC ′是等边三角形，OE =CD =12AB ，然后可利用三角函数求出点C ′的坐标．解：∠点B 坐标为(32)，∠AB =2，OA =3 ∠()222234OB + ∠12AB OB = ∠30AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒∠C ′是C 关于DE 的对称点∠CED C ED '∠=∠， EC =EC ′∠DE ∠OB∠CED EOC '∠=∠=60°∠∠OE C ′=180°-2×60°=60°∠∠OE C ′是等边三角形∠OE = EC =EC ′=12AB =1112⨯= ∠C ′横坐标=31sin 60⨯︒==11sin302⨯︒= ∠C ′坐标为312⎫⎪⎪⎝⎭【点拨】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．17． 6037602512n + 【分析】在图∠中先解直角三角形ABC 得到3tan 4A =，4tan 3B =，=5AB ，再分别解直角三角形ADG 和直角三角形BEF 得到43AD DG =，34BE EF =，再由5AB AD DE BE =++=进行求解即可；对于图∠同图∠求解即可．解：如图∠所示，∠在Rt∠ABC 中∠C =90°，AC =4，BC =3，∠3tan 4BC A AC ==，4tan 3AC B BC ==，225AB AC BC +=， ∠四边形DEFG 是Rt∠ABC 的内接正方形，∠DG =DE =EF ，∠GDE =∠DEF =90°，∠∠ADG =∠BEF =90°，在Rt∠ADG 中，4tan 3DG AD DG A ==，在Rt∠BEF 中，3tan 4EF BE EF B ==， ∠43534AB AD DE BE DG DG DG =++=++=， ∠6037DG =；如图∠所示，同理可得43AD DG =，34BE EF =，DE nDG =， ∠43534AB AD DE BE DG nDG DG =++=++=， ∠602512DG n=+，故答案为：6037；602512n+．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，正确求出43AD DG =，34BE EF =是解题的关键． 18．(2023223-【分析】如图，设直线32y x =+与x 轴交于点C ，求出点A 、C 的坐标，可得OA ＝2，OC ＝23∠ACO ＝30°，可得1190CB A ∠=︒，130CB A =∠︒，然后求出12124323CB B O ===13228323CB CB ===324216323CB CB ===…，进而可得2023202223CB =2022OB 即可．解：如图，设直线32y x =+与x 轴交于点C ，在32y =+中，当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0320+=，解得：23x =- ∠A （0，2），C （23-0），∠OA ＝2，OC ＝23∠tan∠ACO ＝323OA OC == ∠∠ACO ＝30°，∠11AB A △是等边三角形，∠111160AA B AB A ∠=∠=︒，∠1190CB A ∠=︒，∠130CB A =∠︒，∠AC ＝1AB ，∠AO ∠1CB ，∠123O O C B == ∠12124323CB B O === 同理可得：13228323CB CB ==324216323CB CB ===…，∠2023202223CB = ∠(2023202320222323223OB =-∠点2022A 的横坐标是(2023223- 故答案为：(2023223-【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．19．（1）12；（23；（3）2．【分析】(1) 先进行绝对值、三角函数、零指数幂计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先进行负整数指数幂、零指数幂、三角函数计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（3）先进行三角函数、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；解：（1）原式=12212+=1112+-=12；（2）原式=0.125×（-8）33（3）原式=111222221-⎛⎫÷+-⎪+⎝⎭2222222+-=2.【点拨】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．20．()1见分析；()213【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=AE，然后求出△BCE 的周长=AC+BC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出AC的长，即可得解．解：()1AB的垂直平分线DE如图所示；()2DE 垂直平分AB ，BE AE ∴=，BCE ∴△的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =+-++=+＋．在Rt ABC 中，330BC AC tan =︒BCE ∴△的周长为13【点拨】本题考查了复杂作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．21．（1）5；（2）125【分析】（1）利用直角三角形中4sin 5B =求解,AB 再利用勾股定理求解,BD 从而可得答案；（2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明,EDEA EC 可得,EDC ECD ∠=∠ 再求解12tan tan ,5ADEDC ECD CD 从而可得答案. 解：（1） AD 是边BC 上的高，12AD =，4sin 5B =， ∴ 90ADB ADC ∠=∠=︒，412sin ,5B AB== 2215,15129,AB BD14,BC 149 5.CD BC BD（2） E 为边AC 的中点，90ADC ∠=︒,ED EA EC,EDC ECD ∴∠=∠ 12tan tan .5ADEDC ECD CD 【点拨】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.22．(1)b =5，k =6(2)不在，理由见详解【分析】（1）把点B 的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；（2）由（1）及题意易得点C 的坐标，然后根据旋转的性质可知点C ′的坐标，则根据等积法可得点A ′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A ′的横坐标，最后问题可求解．（1）解：由题意得：166b k +=⎧⎨=⎩， ∠b =5，k =6；（2）解：点A ′不在反比例函数图像上，理由如下：过点A ′作A ′E ∠x 轴于点E ，过点C 作CF ∠x 轴于点F ，如图，由（1）可知：一次函数解析式为5y x =+，反比例函数解析式为6y x =， ∠点()5,0A -，∠∠OAC 与∠OAB 的面积比为2：3，且它们都以OA 为底，∠∠OAC 与∠OAB 的面积比即为点C 纵坐标与点B 纵坐标之比，∠点C 的纵坐标为2643⨯=，∠点C 的横坐标为451x =-=-，∠点C 坐标为()1,4-，∠CF =4，OF =1， ∠221417OC +tan 4CF COF OF∠==，由旋转的性质可得：17,OC OC A OC AOC '''==∠=∠，根据等积法可得：2017OA CF A E OC ⋅'=='∠517tan A E OE A OE '=='∠， ∠5172017A '⎝⎭， 5172017100617=≠， ∠点A ′不在反比例函数图像上．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．23．(1)9m(2)24m【分析】（1）过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，可得()4cos 1512m 5CE CD α=⋅=⨯=，再利用勾股定理可求出DE ，即可得出答案．（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，设m AF x =，在Rt ADF 中，330AF x tan DF DF ︒===，解得3DF x =，在Rt ABC 中，()9m AB x =+，()312m BC x =-，tan603312AB BC x ︒===-x 的值，即可得出答案．（1）解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，4cos 5α=，15m CD =， ()4cos 1512m 5CE CD α∴=⋅=⨯=． ()222215129m DE CD CE ∴=--=．答：C ，D 两点的高度差为9m ．（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，由题意可得BF DE =，DF BE =，设m AF x =，在Rt ADF 中，3tan tan30AF x ADF DF DF ∠=︒=== 解得3DF x =，在Rt ABC △中，()9m AB AF FB AF DE x =+=+=+，)312m BC BE CE DF CE x =-=-=-， tan603312AB BC x ︒===- 解得9632x =， ()963924m 2AB ∴=+≈．答：居民楼的高度AB 约为24m ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．24．(1)75；60(2)1003103⎫⎪⎭米(3)110米【分析】（1）根据平角的定义求APD ∠，过点A 作AE DC ⊥于点E ，再利用三角形内角和求ADC ∠；（2）在Rt AED △中，30DAE ∠=︒求出DE 的长度再根据CD DE EC =+计算即可；（3）作PG BC ⊥于点G ，交AE 于点F ，证明APF DAE △≌△即可．解：（1）过点A 作AE DC ⊥于点E ，由题意得：60,45,30,MPA NPD DAE ∠=︒∠=︒∠=︒∠18075APD MPA NPD ∠=︒-∠-∠=︒9060ADC DAE ∠=︒-∠=︒（2）由题意得：100AE BC ==米，10EC AB ==．在Rt AED △中，30DAE ∠=︒， ∠)3100tan 3010033DE AE =⋅︒==米， ∠()1003103CD DE EC =+米 ∠楼CD 的高度为1003103⎫⎪⎭米．（3）作PG BC ⊥于点G ，交AE 于点F ，则()90,10PFA AED FG AB ∠=∠=︒==米∠MN AE ∥，∠60PAF MPA ∠=∠=︒．∠60ADE ∠=︒，∠PAF ADE ∠=∠．∠30DAE ∠=︒，∠30PAD ∠=︒．∠75APD ∠=︒，∠75ADP ∠=︒．∠ADP APD ∠=∠．∠AP AD =．∠APF DAE △≌△（AAS ）．∠100PF AE ==．∠()10010110PG PF FG =+=+=米∠无人机距离地面BC 的高度为110米．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．。

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(基础)

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．【答案】D．【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cosα=．故选D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．举一反三：【变式】已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．BC【答案】过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===类型二、特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°．【答案与解析】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++．而14sin 452cos604212x =-=-⨯=°°． ∴=．【点评】先进行分式化简，再由1sin 45,cos6022==°°得x 的值，最后代值求出结果．举一反三：【变式】计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°【答案】原式=2221-⨯=131 +342-=7 12类型三、解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，3sin5A=，则下列结论正确的个（）．①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝cm．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C；【解析】由菱形的周长为20 cm知菱形边长是5 cm．在Rt△ADE中，∵ AD＝5 cm，sin A＝35，∴ DE＝AD·sinA＝3535⨯=(cm)．∴4AE==(cm)．∴ BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．在Rt△DEB中，BD==．综上所述①②③正确．故选C．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用.类型四、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45°．(1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．【思路点拨】(1)连接OD，可证OD⊥CD，所以CD与⊙O相切；(2)连接BE，则∠ADE＝∠ABE，所以sin∠ADE＝sin∠ABE＝AE AB．【答案与解析】(1)CD与⊙O相切．理由：如图所示，连接OD，则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴ OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．(2)如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠ABE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．在Rt△ABE中，5 sin6AEABEAB∠==．∴sin∠ADE＝sin∠ABE56 AEAB==．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过作辅助线BE，将问题巧妙转化为Rt△ABE的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形．举一反三：【变式】如图，C、D是半圆O上两点，511CDAB=，求cos CEB∠和tan CEB∠．【答案】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴CE CD5==EB AB11，cos∠CEB=5.11CE=EBtan∠CEB=5BC=CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C ．【答案与解析】过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，在Rt △APC 中，cos PCAPC PA∠=． ∴PC ＝PA ·cos ∠APC＝，在Rt △PCB 中，cos PCBPC PB∠=，∴cos PC PB BPC ===∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图，一海伦位于灯塔P 的西南方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东60°方向上的B 处，求航程AB 的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P 作PC ⊥AB 于点C ，在Rt △ACP 中，PA=40海里，∠APC=45°，sin ∠APC=，cos ∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．。

锐角三角函数综合复习(基础巩固)-中考数学基础知识复习和专题巩固提升训练含答案

ABCa bc考向10锐角三角函数综合复习—基础巩固【知识梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．方法指导：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°方法指导：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．方法指导：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.方法指导：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，方法指导：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.方法指导：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【基础巩固训练】一、选择题1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A3B．tan A＝1 2C ．cosB ＝32D ．tan B ＝32．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A ．53B ．255C ．52D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（）A.2B.2C.3D.55．一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（）米．A ．B ．3C ．D ．以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（） A.sinA=cosA B.sinA ＞cosA C.sinA ＞tanA D.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 . 8．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.9．计算2sin30°﹣sin 245°+t an30°的结果是 . 10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=32.计算1184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ，HC 与NM 的延长线交于点P ，则tan ∠NPH 的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5m ，现要在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么EB 的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】sinA＝BCAB＝12，tan A＝BCAC3，cosB＝BCAB＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB=2AC BC +2=2(5)2+2=3． ∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴ sin∠ACD=sin∠B=AC AB =53，故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC= 22AD -CD =-=222（25）4， ∴tan ∠CAD===2．故选A ． 5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小，当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题7．【答案】21；【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cos α=cos60°=21． 8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt △ACD 中，AC=22CD AD =25,∴sinA=CD 5=AC 5.9．【答案】21+33；【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33． 10．【答案】3；【解析】∵sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°， ∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13；【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2，∵DC ∥EH ，∴12 PC MCPH NH==，∵HC=3，∴PC=3，∴PH=6，∴tan∠NPH=2163 NHPH==，故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。

《锐角三角函数》全章复习与巩固-- 巩固练习(提高)

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题

c ，则有： s in A = a = cos B ， cos A = = sin B ， tan A = ，这就是锐角三角函数所以 cos B = sin(90 - B) = sin A = ．在 Rt△BCD 中， cos B = ，所以 = ．， cos A = ， =（sin 2A 、cos 2A 分别表示 sin A 、cos A 2 2锐角三角函数我们知道，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、b ac c b的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到 sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于 D ，已知 sin A =＝2，求 BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，12BD 2 1BC BC 2所以 BC ＝4．二、平方关系a b 由定义知 sin A = c c1 2 ，BD所以 sin 2 A + cos 2 A = a 2 b 2 a 2 + b 2+ c c c 2的平方）．又由勾股定理，知 a 2+b 2=c 2，所以 sin 2A +cos 2A = c 2 c 2=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例 2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．=⎪⎪ + 1 = 由定义中 sin A = a， cos A = ，得 = c = ⨯ = = tan A ．所以原式 = = =- ．5 12 5 12所以 sin B = = ．应选(B)．5解：由余角关系知 sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）⎛ 2 ⎫2 ⎝ 2 ⎭3 2 ．三、相除关系b c casin A a c a cos A b c b bc利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例 3 已知 α 为锐角，tan α =2，求 3sin α + cos α 4cos α - 5sin α的值．解：因为 tan α = sin α cos α= 2 ，所以 sin α =2cos α ，6cos α + cos α 6 + 1 74cos α - 10cos α 4 - 10 6求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例 4 如图 △1，在 ABC 中，∠C =90°，如果 t a n A =(A)(B) (C) (D)13 13 12 55 12 ，那么 sin B 等于（）分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为 tan A = a 5 =b 12，所以可设 a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得 c =13k ，图 1b 12c 13五、等线段代换法例 5如图 2，小明将一张矩形的纸片 ABC D 沿 C E 折叠，B 点恰好落在 A D 边上，设此点为 F ，若 BA ：BC =4：，则 c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知 E △B C ≌ EF C ，所以 C F=CB ，又 C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以 C D ：C F=4：5，图 2=．113911，即=，所以C E=，在Rt△A E C中，tan∠CA E==3=．所以tanα=．C3445所以DB==，所以tanα=，选(A)．在Rt D△C F中，c os∠D C F=DC4 CF5六、等角代换法例6如图3，C D是平面镜，光线从A点出发经C D上点E反射后照射到B点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥C D，B D⊥C D，垂足分别为C、D，且AC＝3，B D＝6，C D＝11，则tanα的值为（）B（A）（B）（C）（D）311119A分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E，所以只需求出tan∠CA E．α根据条件可知△A C E∽B DE，所以AC CE3CE=BD ED611-CEC E图3D11311CE11AC39119七、等比代换法例7如图4，在Rt△ABC中，ACB=90，D⊥AB于点D，BC=3，AC=4，设BC D=α，tanα的值为（）(A)(B)(C)(D)435分析：由三角形函数的定义知tanα=DB DC，由Rt△C D△B∽Rt ACB，BC33DC AC44图4（：锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°． 2．比较大小：cot30°_________cot22°． 3．比较大小：sin25°___________cos25°． 4．比较大小：tan52°___________cot52°． 5．比较大小：tan48°____________cot41°． 6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sin α 表示角α 与符号 sin 的乘积；② 在△ABC 中，若∠C=90°，则 c=α sinA 成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于 0 和 1 之间实数.其正确的为（）A 、②③B.①②③C.②D. ③8、若 △R t ABC 的各边都扩大 4 倍得到 △R t A ′B ′C ′,那么锐角 A 和锐角 A ′正切值的关系为()A.tanA ′=4tanA B.4tanA ′=tanAC.tanA ′=tanAD.不确定.9（新疆中考题） 1）如图（1）、 2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较 18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

九年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)专题锐角三角函数(巩固篇))

专题1.3 锐角三角函数（巩固篇）一、单选题知识点一、三角函数概念的辨析1．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列结论正确的是（） A ．b ＝a •sin AB ．b ＝a •tan AC ．c ＝a •sin AD ．a ＝c •cos B2．已知Rt ABC 中，90,C b ∠=︒为B ∠的对边，a 为A ∠的对边，若b 与A ∠已知，则下列各式正确的是（） A ．a bsin A =∠B ．a bcos A =∠C ．a btan A =∠D ．a b tan A =÷∠3．如图，EF 与AB ，BC ，CD 分别交于点E ，G ，F ，且1230∠=∠=︒，EF AB ⊥，则下列结论错误的是（）A ．//AB CDB ．360∠=︒C ．12FG FC =D ．GF CD ⊥4．如图，在菱形ABCD 中，DE ∠AB ，3cos 5A =，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值是（）A ．12B ．2CD 知识点二、求三角函数值5．如图，ABC 的三个顶点都在边长为1的格点图上，则sin A 的值为（）A ．12B C D ．136．如图，正方形ABCD 的边长为6，AC 为对角线，取AB 中点E ，DE 与AC 交于点F ．则sin ∠DFC ＝（）A B C D 7．如图，点A 、B 、C 均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则cos BAC ∠的值为（）A ．12B C ．1 D 8．如图，已知E 是正方形ABCD 中AB 边延长线上一点，且AB BE =，连接CE 、DE ，DE 与BC 交于点N ，F 是CE 的中点，连接AF 交BC 于点M ，连接BF ．有如下结论：∠=DN EN ；∠ABF ECD ∽；∠1tan 3CED ∠=；∠=2CMFBEFM S S四边形，其中正确的是（）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠知识点三、由三角函数值求边长9．如图，ABC 中，CD AB ⊥，BE AC ⊥，sin A 的值为35，则DEBC =（）A B C ．35D ．4510．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =E 是BC 的中点，将ABE ∆沿直线AE 翻折，点落B 在点F 处，连结CF ，则CF 的长为（）A ．83B ．43C ．85D ．10311．如图：等腰Rt ABC 中，90,6,C AC D ∠=︒=是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD =（）．A B ．2C ．1D ．12．如图∠，在菱形ABCD 中，120D ∠=︒，点E 是AB 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，设PC x =，PE PB y +=，图∠是y 关于x 的函数图像，且图像上最低点Q 的坐标为⎝，则菱形ABCD 的边长为（）A ．2B C ．D ．4知识点四、三角函数值的增减性13．角α，β满足045αβ<<<︒︒，下列是关于角α，β的命题，其中错误．．的是（）A ．0sin α<<B ．0tan 1β<<C ．cos sin βα<D ．sin cos βα<14．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定15．下列命题：∠同位角相等；∠如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα；∠若关于x 的方程322x mx -=+的解是负数，则m 的取值范围为m ＜﹣4；∠相等的圆周角所对的弧相等．其中假命题有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．下列结论中，不正确的是（） A ．sin4837cos4120'<'B ．Rt ABC ∆中，C 90∠=，则22sin A cos A 1+= C ．Rt ABC ∆中，C 90∠=，则cotBsinB cosB =D ．Rt ABC ∆中，C 90∠=，则BCAB sinB=知识点五、由函数值确实锐角的取值范围17．在菱形ABCD 中，过点A 作AE 与边BC 垂直于点E ，将∠ABE 沿直线AE 折叠，若点B 恰好落在线段EC 上（不与E ，C 重合），则∠B 的度数可以是（）A ．36°B ．60°C ．75°D ．100°18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，DE 是△ABC 的中位线，连结CD ．下列各组线段的比值一定与cosA 相等的是（）A ．DE ADB ．DE AEC ．CE BDD ．CE BC19．红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（） A ．小于30° B ．大于30°且小于45° C ．等于30°D ．大于45°且小于60°20．已知∠A 为锐角，且sin A ＜12，那么∠A 的取值范围是( )A ．0°＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜60°C ．60°＜∠A ＜90°D ．30°＜∠A ＜90° 二、填空题知识点一、三角函数概念的辨析21．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC 的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC=_____．22．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 沿BD 折叠，点C 恰巧落在边AB 上的C '处，折痕为BD ，再将其沿DE 折叠，使点A 落在DC '的延长线上的A '处．若BED 与ABC 相似，则相似比BDAC=________．23．如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ⊥于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60︒到BB '的位置，且点B '的坐标为()1,1．若反比例函数ky x=()0x >的图象经过A 点，则k =______．24．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线15y x b =+和x 轴上．11OA B ，122B A B ，233B A B ，……都是等腰直角三角形，如果点()11,1A ，那么b 的值是________；2021A 的纵坐标是________．知识点二、求三角函数值25．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，D 是斜边AB 的中点，DE AC ⊥，垂足为E ，若2DE =，CD =cos CBE ∠的值为________．26．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B =__．27．如图，在ABC 中，30,A E ∠=︒为AC 上一点，且:=3:1,AE EC EF AB ⊥于F ，连结FC ，则tan CFB ∠=_____．28．如图，ABC 中，,45,AB AC A AC =∠=︒的垂直平分线分别交,AB AC 于,D E 两点，连接CD ，如果2AD =，那么tan BCD ∠=______．知识点三、由三角函数值求边长29．如图，在∠ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝10，sin∠B ＝35，D 是BC 边上的一个动点（异于B 、C 两点），过点D 分别作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为E 、F ，则EF 的最小值是______．30．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，E 为CD 上一点，连接AE ，将∠ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 上，记为D ′，再将∠D ′CE 沿D ′E 折叠，若点C 的对应点C ′落在AE 上，则AB 的长为___．31．如图，Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=，将ABC 绕A 点顺时针方向旋转角9(0)0αα︒<<︒得到AB C ''△，连接BB '，CC '，则CAC '△与BAB '的面积之比等于_______．32．如图，折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 处，若折痕3tan 4AE EFC =∠=，则BC =_________．知识点四、三角函数值的增减性33．比较大小：81sin ____47tan ︒(填“<”“=”或“＞”)34．对于锐角,tan αα__________sin α．（填"",""""><=或）.35．从下面两题中只选做一题，如果做了两题的，只按第（1）题评分：（1）用“=＞”与“＜=”表示一种运算法则：（a=＞b ）=﹣b ，（a ＜=b ）=﹣a ，如（2=＞3）=﹣3，则（2010=＞2011）＜=（2009=＞2008）=________ （括号运算优先）（2）用“＞”或“＜”号填空：sin40°cos50°﹣12________ 0．（可用计算器计算） 36．已知∠B 是△ABC 中最小的内角，则tanB 的取值范围是_______．知识点五、由函数值确实锐角的取值范围 37．若α为锐角，且13cos 2mα-=，则m 的取值范围是______________． 38．如图，在Rt ABC 中，30B ∠=︒，6BC =，点D 是BC 的中点，DEF 是等腰直角三角形，3DE DF ==，线段EF 与线段AB 相交于点Q ，将DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合的过程中，线段DQ 的长度的取值范围______．39cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 40．函数()()2cos 4sin 6y x x θθ=-+对任意实数x 都有0y >，且θ是三角形的内角，则θ的取值范围是________三、解答题 41．如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E 、F ．（1）求证：OE OF =．（2）若5BE =，2OF =，求tan OBE ∠的值．42．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC∠EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．43．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝2，AC 求：（1）BC的长；（2）sin ∠ADC的值．参考答案：1．D【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tan A ．分别进行分析即可．【详解】解：在直角△ABC 中，∠C ＝90°，则sin A ＝a c，则sin a c A =，故A 选项错误、C 选项错误； tan A ＝a b ，则b ＝tan a A，故B 选项错误； cos B ＝a c，则a ＝c cos B ，故D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．2．C【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可．【详解】解：如图所示：tanA=a b，则a=btan∠A ．故选：C ．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．C【分析】根据平行线的判定定理，可判断A ，根据平行线的性质，可判断B ，D ，根据锐角三角函数的定义，可判断C ，进而即可得到答案．【详解】解：∠1230∠=∠=︒，∠//AB CD ，故A 正确，不符合题意；∠EF AB ⊥，∠3180309060∠=︒-︒-︒=︒，故B 正确，不符合题意；∠//AB CD ，EF AB ⊥，∠EF CD ⊥，即：∠GFC =90°，故D 正确，不符合题意；又∠230∠=︒，∠tan30FGCF︒==，即：FG=，故C错误，符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键．4．B【分析】在直角三角形ADE中，3AE AB BEcos5AD ADA-===，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【详解】设菱形ABCD边长为t．∠BE＝2，∠AE＝t−2．∠3AE AB BE cos5AD ADA-===，∠3t25t-=，∠t＝5．∠AE＝5−2＝3．∠DE4．∠tan∠DBE＝DE4=BE2＝2．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．5．B【分析】根据网格的特点，找到B点所在网格的顶点D，连接BD，通过勾股定理的逆定理判断ABD△是直角三角形，进而根据正弦的定义求得sin A的值．【详解】如图，连接BD，根据网格的特点可知：AD AB BD ===22210,10AD BD AB ∴+==，∴ABD △是直角三角形，90ADB ∴∠=︒，sin BD A AB ∴== 故选B【点睛】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是ABD △是直角三角形解题的关键．6．A【分析】连接BD 与AC 交于点O ，利用勾股定理求得DE ，OD ，根据正方形的性质证明∠AFE ∠∠CFD ，然后根据相似三角形的性质求得DF ，进而可求．【详解】解：连接BD 与AC 交于点O ，∠四边形ABCD 为正方形，∠∠EAD ＝90°，AC ∠BD ，OD ＝12BD ，AB ∠CD ，AD ＝AB ＝CD ＝6， ∠∠DOF＝90°，∠EAF ＝∠DCF ，OD ＝∠E 为AB 中点，∠AE ＝12AB ＝12CD ＝3，由勾股定理得，DE∠∠EAF ＝∠DCF ，∠AFE ＝∠DFC ，∠∠AFE ∠∠CFD ， ∠12EF AE FD CD ==，∠DF ＝23DE ＝∠sin ∠DFC ＝OD DF ==，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．7．B【分析】连接BC ，AB BC AC ，得到△ABC 是直角三角形，从而求解．【详解】如图，连接BC ，∠每个小正方形的边长均为1，∠由勾股定理得，AB BC ==AC =∠222+=，∠∠ABC 是直角三角形，∠cos AB BAC AC ∠==．故选：B ．【点睛】本题考查直角三角形，勾股定理；熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．8．D【分析】（1）证明△NCD ∽△NBE ，根据相似三角形的性质列出比例式，得到DN ＝EN ，判断①；根据两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似判断②；FG ⊥AE 于G ，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义求出tan ∠F AG ，根据相似三角形的性质判断③；根据三角形的面积公式计算，判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝BE ，∴AB ＝CD ＝BE ，AB ∥CD ，∴△NCD ∽△NBE ， ∴ND CD NE BE==1， ∴DN ＝EN ，故①结论正确；∵∠CBE ＝90°，BC ＝BE ，F 是CE 的中点，∴∠BCE ＝45°，BF 12=CE =，FB ＝FE ，BF ⊥EC ， ∴∠DCE ＝90°+45°＝135°，∠FBE ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∴∠ABF ＝∠ECD ，∵DC CE =BF AB = ∴DC BF CE AB =， ∴△ABF ∽△ECD ，故②结论正确；作FG ⊥AE 于G ，则FG ＝BG ＝GE ， ∴13FG AG =， ∴tan ∠F AG 13FG AG ==， ∵△ABF ∽△ECD ，∴∠CED ＝∠F AG ，∴tan ∠CED 13=，故③结论正确； ∵tan ∠F AG 13=， ∴13BM AB =， ∴12BM MC =， ∴S △FBM 12=S △FCM ， ∵F 是CE 的中点，∴S △FBC ＝S △FBE ，∴S 四边形BEFM ＝2S △CMF ，故④结论正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、三角形的面积公式是解题的关键．9．D【分析】根据CD AB ⊥，BE AC ⊥，可得ADC AEB ∽,进而可得ADE ACB ∽，进而可得DE AD BC AC=，根据已知条件设3CD a =，则5AC a =，求得AD ，即可求得答案．【详解】CD AB ⊥，BE AC ⊥，∴90ADC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，∴ADC AEB ∽，AD AC AE AB∴=， A A ∠=∠，∴ADE ACB ∽，DE AD BC AC∴=， 3sin 5CD A AC==，设3CD a =，则5AC a =，4AD a ∴，44=55DE AD a BC AC a ∴==．故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．10．D【分析】过点E 作EH ∠CF 于H ，根据折叠的性质得到∠AEB =∠AEF ，再根据点E 是BC 中点可得EF =EC ，可得∠EFC =∠ECF ，从而推出∠ECF =∠AEB ，求出cos ECF ∠，则2CF EC cos ECF =∠.【详解】解：如图所示，过点E 作EH ∠CF 于H由折叠可得：AB =AF =2，BE =EF ，∠AEB =∠AEF ，∠点E 是BC 中点，BC =∠BE =CE =EF∠∠EFC 为等腰三角形∠CF =2FH =2CH∠∠EFC =∠ECF ，AE =3==， ∠∠BEF =∠AEB +∠AEF =∠EFC +∠ECF ，∠∠ECF =∠AEB ，∠cos ECF ∠=cos AEB ∠=BE AE = ∠53CH CE cos ECF =∠= ∠CF =2CH =103故选D.【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF =∠AEB .11．B【分析】过D 作DH ∠AB 于H ，由tan∠DBA =15，设DH =m ，则BH =5m ，AB =6m ，根据三角形ABC 是等腰直角三角形，∠C =90°，AC =6，可得AB ，从而可得6m ，解得m ，即可得到答案．【详解】解：过D 作DH ∠AB 于H ，如图：Rt∠BDH中，tan∠DBA=15，∠DHBH=15，设DH=m，则BH=5m，∠三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，∠∠A=45°，AB∠∠AHD是等腰直角三角形，∠AH=m，AD m，∠AB=AH+BH=6m，∠6m，解得m∠AD=2．故选B．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是设DH=m，用含m的代数式表示AB，从而列方程求解．12．D【分析】连接DP根据轴对称性质PB PD=，由两点间线段最短可知D、P、E共线时PE+PB 最小，然后根据Q点的坐标，得到PC和DE的长，再利用∠D=120°，可得△ABD为等边三角形，利用锐角三角函数求出EB，得到AB的长即可．【详解】解：B、D关于直线AC对称，∴连接DP，PB PD=，PB PE PD PE DE ∴=+=＋，（点E ，D ，P 三点共线）∴PE PB +的值最小， 833,Q ⎛ ⎝，PC ∴=DE = ∠四边形ABCD 为菱形，DB 为对角线，∠D =120°，∠∠ADB =∠CDB =1602ADC ∠=︒，AD =AB ， ∠△ABD 为等边三角形，∠点E 为AB 中点，∠ED ∠AB ，∠∠EDB =30°，∠tan∠EDB =EB DE =∠2EB = ∠AB =2BE =4．故选D ．【点睛】本题查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，以及最短路径和函数图象问题，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及最短路径和函数图象问题，是解题的关键．13．C【分析】由角α，β满足045αβ<<<︒︒，确定锐角三角函数的增减性，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案．【详解】解：角α，β满足045αβ<<<︒︒，sin α随α的增大而增大，cos β随β的增大而减小，tan β随β的增大而增大，A.∠sin 45︒sin α选项A 正确，不合题意； B ．∠tan 45=1︒,∠0tan 1β<<,选项B 正确，不合题意；C ．sin 45︒cos 45︒，cos 22βα><，cos sin βα>，选项C 不正确，符合题意；D ．sin 45=2︒，cos 45=2︒，cos 22αβ><，sin cos βα<，选项D 正确，不符合题意．故选择：C ．【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键．14．A【分析】根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．【详解】解：∠动力×动力臂=阻力×阻力臂，∠当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∠动力随着动力臂的增大而减小，∠杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，又∠动力臂1cos L L α=⋅，∠此时动力臂也越来越大，∠此时的动力越来越小，故选：A ．【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．15．C【分析】分析是否为假命题，需要分别分析各题设是否能推出正确结论，不能推出正确结论的，即假命题．【详解】∠两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题；∠如果45°＜α＜90°，那么sinα＞cosα，所以∠是真命题；∠关于x 的方程322x m x -=+的解是x=4+m ，因为x ＜0，∠4+m ＜0，解得m ＜-4，且m≠-6，即∠是假命题；∠在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以∠是假命题．所以假命题是∠∠∠，3个．故选C ．【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．16．D【分析】根据锐角三角函数的定义与增减性逐一进行判断即可.【详解】A.正确，sin4837cos4123cos4120'''=<，锐角的角度越大，其余弦值越小，故选项错误；B.正确，同角的正弦值与余弦值的平方和等于1，故选项错误；C.正确，cotBsinB cosB BC AC BC AC AB AB ===，故选项错误； D.错误，AB=sin AC B，故选项正确. 故选D.【点睛】本题考点：锐角三角函数的定义与增减性.17．C【分析】在Rt∠ABE 中，得BE ＝AB •cos B ，则2BE ＝2AB •cos B ，根据点B 恰好落在线段EC 上，则有cos B ＜12，可得60°＜∠B ＜90°．【详解】解：如图：当∠B 为锐角时，在Rt∠ABE 中，BE ＝AB •cos B ，∠2BE ＝2AB •cos B ，∠点B 恰好落在线段EC 上，∠2BE ＜BC ，即2AB •cos B ＜BC ，∠cos B ＜12， ∠∠B ＞60°，∠60°＜∠B ＜90°，当∠B 为钝角时，折叠后B '不可能落在线段EC 上，故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、翻折的性质、以及三角函数的知识，证明出cosB ＜12是解题的关键．18．C【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案．【详解】∠ED 是ABC 的中位线∠点D 、E 分别是AB 、AC 的中点∠90ACB ∠=︒∠CD BD AD ==∠A DCE ∠=∠ ∠CE CE A DCE C cos c Dos D B =∠== 故选：C【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．19．B【分析】过A 作AD BC ⊥于D ，根据等腰三角形的性质得到1502BD CD BC ===，根据三角函数的定义得到505cos 606B ==，再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论．【详解】如图，过A 作AD BC ⊥于D∠60AB AC == ∠1502BD CD BC === ∠505cos 606B ==56cos B ∠3045B ︒∠︒＜＜故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．20．A【分析】根据特殊角的三角函数值求出sin30°=12，根据当∠A 是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，【详解】∠∠A 为锐角，且sin30°=12，又∠当∠A 是锐角时，其正弦随角度的增大而增大，∠0°＜A ＜30°，故选A ．【点睛】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意：当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦和余切随角度的增大而减小．21 【分析】过A 作AD 垂直于BC ，利用勾股定理求出AC 的长，在直角三角形ACD 中，利用锐角三角函数定义求出sinC 的值即可.【详解】解：过A 作AD 垂直于BC 于D ，则AD=2，∠sinC=AD AC =【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键. 22．23【分析】根据BED 与ABC 相似，得到DBA A ∠=∠，又DBA DBC ∠=∠，得到30A DBC ∠=∠=︒，设BC 为x ，再根据三角函数的定义求得AC 、BD ，即可求解．【详解】解：BED 与ABC 相似，∠DBA A ∠=∠，又DBA DBC ∠=∠，∠A DBA DBC ∠=∠=∠，∠90A DBA DBC ∠+∠+∠=︒，∠30A DBC ∠=∠=︒，设BC 为x ，则tan30x AC ==︒，cos30x BD ==︒， ∠23BD AC = 故答案为23【点睛】此题考查了相似三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．23．2+【分析】过点B′作B′D ∠x 轴于点D ，根据BA ∠OB 于点B 及图形旋转的性质求出∠B′BD 的度数，再由直角三角形的性质得出BD 及BB′的长，故可得出点A 的坐标，进而可得出结论．【详解】解：如图，过点B′作B′D ∠x 轴于点D ，∠BA ∠OB 于点B ，∠∠ABD ＝90°．∠线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB′的位置，∠∠ABB′＝60°，∠∠B′BD ＝90°−60°＝30°．∠点B′的坐标为（1，1），∠OD ＝ B′D ＝1，∠BB′＝2B′D ＝2，BD ＝1tan30︒∠1OB =+AB ＝BB′＝2，∠(12)A ，∠2(12k =⨯=+故答案为：2+【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A 点坐标是解答此题的关键．24． 45 （32）2020 【分析】利用待定系数法可得b 的值，确定一次函数的解析式，设直线1455y x =+与x 轴的交点为G ，过点A 1，A 2，A 3分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，由条件可求得312A F A D A E GD GE GF==，再根据等腰三角形可分别求得A 1D 、A 2E 、A 3F ，可得到A 2，A 3的纵坐标坐标，找出规律得An 的纵坐标，进而即可求解．【详解】解：∠()11,1A 在直线15y x b =+上， ∠1115b =⨯+，解得：b =45， ∠直线的解析式为：1455y x =+，设直线1455y x =+与x 轴的交点为G ，令y ＝0可解得x ＝−4，∠G 点坐标为（−4，0），∠OG ＝4，过点A 1，A 2，A 3分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，∠∠A 1B 1O 为等腰直角三角形，∠A 1D ＝OD ，∠OB 1=2A 1D =2，∠GB 1=2+4=6，又∠点A 1在直线1455y x =+上， ∠tan∠A 1GO =1A D GD =215A E GE =，即22115A E A E GB =+，解得： A 2E ＝32＝（32）1，则OE ＝OB 1＋B 1E ＝72， ∠A 2（72，32），OB 2＝5，同理可求得：A 3F ＝94＝（32）2，则OF ＝5＋94＝294， ∠A 3（294，94），∠当A n 时其纵坐标为（32）n −1，即：2021A 的纵坐标是：（32）2020，故答案是：45，（32）2020．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和直线上点的坐标特点，根据题意找到点的纵坐标的变化规律是解题的关键，注意观察数据的变化．25．45##0.8【分析】先求解CD BD AD AB ====再证明,CE AE = 利用勾股定理求解,,,CE BC BE 再利用余弦的定义可得答案．【详解】解：90ACB ∠=，D 是斜边AB 的中点，CD =CD BD AD AB ∴====DE AC ⊥，2DE =3CE ∴，∠∠CAD 是等腰三角形，DE AC ⊥，3,6,AE CE AC ∴===在Rt ABC 中，4,BC =在Rt BCE △中，5,BE =4cos .5BC CBE BE ∴∠== 故答案为：45．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，求角的余弦，熟练的运用勾股定理求值是解题的关键．26．125【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tan B 的值．【详解】解：如图，等腰ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，过A 作AD BC ⊥于D ，则5BD =，在Rt ABD ∆中，13AB =，5BD =，则，12AD ==，故12tan 5AD B BD ==．故答案为125．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．27【分析】作CD AB ⊥，将tan CFB ∠的值转化为CD 与FD 的比，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正切值与三角形边的关系，代入三角函数进行求出CD 与FD 的长．【详解】解：如图，作出CD AB ⊥，垂足为D ，则//EF CD ，∴设EC x =，则3AE x =，sin sin30:1:2A EF AE =︒==，32EF x ∴=，cos cos30:A AF AE =︒==AF ∴． //EF CD ， ∴3AE AF EC FD ==，34AE EF AC CD ==，3AF FD ∴==，423CD EF x ==，tan CD CFB FD ∴∠=．【点睛】本题考查了比例线段性质和锐角三角函数的概念，熟悉相关性质是解题的关键． 281【分析】先证明∠BCD 为直角三角形，再运用三角函数定义求解．【详解】解：∠DE 是AC 的垂直平分线，∠AD=DC =2，∠AED =90°，∠∠A =45°,∠∠ACD =45°，∠∠BDC =∠A +∠ACD =90°，∠∠ADC=90°，∠AC ==∠AB =2BD =，∠tan ∠BCD =1BD CD ==，1．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握垂直平分线的性质、三角形的外角性质和正切函数的定义是解题关键．29．245【分析】连接AD ，先由锐角三角函数定义求出AC ＝6，则AB ＝8，再证四边形AEDF 是矩形，则EF ＝AD ，当AD ∠BC 时，AD 的值最小，然后由面积法即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，在∠ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝10，sin∠B ＝35＝AC BC， ∠AC ＝35BC ＝6，∠AB 8，∠DE ∠AB ，DF ∠AC ，∠∠DEA ＝∠DF A ＝∠A ＝90°，∠四边形AEDF 是矩形，∠EF ＝AD ，当AD ∠BC 时，AD 的值最小，此时EF 最小值＝AD ＝AB C AC B ⨯＝8610⨯＝245，故答案为：245．【点睛】本题考查的是三角形的动点问题，熟练掌握相似三角形和勾股定理是解题的关键． 30【分析】由折叠的性质得到ADE AD E D CE D C E ∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌，能得到345∠=∠=∠，再用平角的性质得到34560∠=∠=∠=︒，再由1490∠+∠=︒，得到1230∠=∠=︒，可以求出6∠，最后可以求出cos AB AD BAD ''=⨯∠．【详解】如图：由折叠的性质得：ADE AD E D CE D C E∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌∠123435AD AD ∠=∠∠=∠=⎧⎨∠=∠'⎩；； ∠345∠=∠=∠∠345180∠+∠+∠=︒∠34560∠=∠=∠=︒∠1490∠+∠=︒∠1230∠=∠=︒∠6901230∠=︒-∠-∠=︒∠'Rt ABD 中，'30BAD ∠=︒∠cos cos AB AD BAD AD BAD '''=⨯∠=⨯∠2==【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的性质，三角函数，掌握它们的性质是解题的关键．31．9:4 【分析】先根据正切三角函数的定义可得32AC AB =，再根据旋转的性质可得,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，从而可得1AC AB AC AB ==''，然后根据相似三角形的判定可得CAC BAB ''~，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：在Rt ABC 中，390,tan 2BAC ABC ∠=︒∠=， 32AC AB ∴=，由旋转的性质得：,,AB AB AC AC BAB CAC α''''==∠=∠=，1AC AB AC AB ∴==''，在CAC '△和BAB '中，AC AB AC AB CAC BAB ''''⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，CAC BAB ''~∴，294CAC BAB AC S AB S ''⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，即CAC '△与BAB '的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．10【分析】根据tan ∠EFC =34，设CE =3k ，在RT ∠EFC 中可得CF =4k ，EF =DE =5k ，根据∠BAF =∠EFC ，利用三角函数的知识求出AF ，然后在RT ∠AEF 中利用勾股定理求出k ，继而代入可得出答案．【详解】解：∠tan ∠EFC =34，设CE =3k ，则CF =4k ，由勾股定理得EF =DE =5k ，∠DC =AB =8k ，∠∠AFB +∠BAF =90°，∠AFB +∠EFC =90°，∠∠BAF =∠EFC ，∠tan ∠BAF =tan ∠EFC =34， ∠BF =6k ，AF =BC =AD =10k ，在Rt ∠AFE 中，由勾股定理得AE =解得：k =1，∠BC =10×1=10；故答案为：10．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．33．<【分析】根据三角函数的性质得sin811tan 47tan 451︒<︒>︒=，，即可比较它们的大小关系．【详解】∠sin811tan 47tan 451︒<︒>︒=， ∠8147sin tan <︒故答案为：<．【点睛】本题考查了三角函数值大小比较的问题，掌握三角函数的性质是解题的关键．34．>【分析】根据锐角三角函数正弦、余弦、正切之间的关系，列示解决即可. 【详解】sin tan cos a aaa 角是锐角， 0cos 1a ∴<<sin sin cos a a a∴> tan sin a a ∴>故答案是＞.【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三个锐角函数之间的关系是解决本题的关键.35． 2011 ＜【分析】（1）首先认真分析找出规律，然后再代入数值计算．（2）根据cosα=sin （90°-α）和三角函数的增减性计算．【详解】解：（1）（2010=＞2011）与（2009=＞2008）都符合公式：（a=＞b ）=-b ， ∠（2010=＞2011）=-2011，（2009=＞2008）=-2008，∠（2010=＞2011）＜=（2009=＞2008）=（-2011）＜=（-2008），（-2011）＜=（-2008）符合公式（a ＜=b ）=-a ，∠（-2011）＜=（-2008）=2011．（2）∠90°＞40°＞0°，∠cos50°=sin （90°-50°）=sin40°，∠原式=（sin40°）2﹣12，又∠（sin40°）2＜（sin45°）2=2⎝⎭， ∠（sin40°）2＜12，即（sin40°）2﹣12＜0．【点睛】（1）解决此类问题时，主要运用等量代换思想，即要看准用哪一个数字代替哪一个字母．（2）考查了锐角三角函数的关系和增减性．36．0＜【分析】在三角形中，最小的内角应不大于60度，找到相应的正切值即可，再根据tan60°=【详解】解：根据三角形的内角和定理，易知三角形的最小内角不大于60°．根据题意，知：0°＜∠B≤60°．又∠0＜故答案为: 0＜【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理、特殊角的锐角三角函数值和锐角三角函数值的变化规律，得出0°＜∠B≤60°是解题关键．37．11 33m-<<【分析】根据“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”列出不等式，解不等式即可求得m的取值范围.【详解】α是锐角，且且13 cos2mα-=，则有0＜132m-＜1，解得，13-＜m＜13.故答案为13-＜m＜13.【点睛】本题考查了利用锐角三角函数的值求参数的取值范围，熟知“0＜锐角三角函数的余弦值＜1”是解决本题的关键.383DQ≤≤【分析】由旋转的性质可得DE=CD=3，由点Q在EF上运动，可得当点Q与点E重合时，DQ有最大值为3，当DQ∠EF时，DQ有最小值，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∠BC=6，点D是BC的中点，∠CD=BD=3，∠将∠DEF绕点D逆时针转动，点E从线段AB上转到与点C重合，∠DE =CD =3，∠线段EF 与线段AB 相交于点Q ，∠点Q 在EF 上运动，∠当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，如图，连接DQ ，当DQ ∠EF 时，DQ 有最小值，∠∠DEF 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，∠∠E =45°，sin DQ E DE ∴==DQ DE ∴==∠DQ 的最小值为23,DQ ≤≤3,DQ ≤≤ 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．39．20°＜∠A ＜30°．【详解】cosA ＜sin70°，sin70°=cos20°， ∠cos30°＜cosA ＜cos20°，∠20°＜∠A ＜30°．40．060θ<<【分析】因为cosθ＞0，所以只要∠＜0，函数值恒为正．由∠＜0，得到三角函数不等式，再把正弦转化为余弦，解不等式，最后利用三角函数的增减性求出θ的取值范围．【详解】解：由题意得：0162240cos sin cos θθθ⎧⎨-⎩＞＝＜即：()021230cos cos cos θθθ⎧⎨--⎩＞＜，（2cosθ-1）（cosθ+2）＞0，解得cosθ＞12，又因为0°＜θ＜180°，所以θ的取值范围为0°＜θ＜60°．故答案是：0°＜θ＜60°．【点睛】考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当∠＞0，方程有两个不相等的实数根；当∠=0，方程有两个相等的实数根；当∠＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质，锐角的余弦随着角度的增大而减小；同角的正余弦的平方和为1．记住特殊角的三角函数值．41．（1）见解析1；（2）25【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得OD OB =，由ASA 证得DFO BEO ∆∆≌，即可得出结论；（2）根据题意由（1）得OE=OF ，则OE=2，在Rt∠OEB 中，由三角函数定义即可得出结果．【详解】解：（1）证明：在ABCD 中，OD OB =∠BE AC ⊥，DF AC ⊥∠DF BE ∥∠FDO EBO ∠=∠又∠DOF BOE ∠=∠∠()DFO BEO ASA ∆∆≌∠OE OF =（2）∠OE OF =，2OF =∠2OE =∠BE AC ⊥∠90OEB ∠=︒在Rt OBE ∆中，5BE =，2tan 5OE OBE BE ∠==. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．42．（1）证明见解析；（2）AO=1．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD ，AC 平分∠BAD ，再根据等腰三角形的三线合一即可；（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG 为平行四边形，得出∠G=∠ABD ，再根据tanG=12即可求出AO 的长．【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 为菱形 ∠AB=AD ，AC 平分∠BAD∠BE=DF ， ∠AB BE AD DF -=- ， ∠AE=AF∠∠AEF 是等腰三角形， ∠AC 平分∠BAD ， ∠AC∠EF（2）解：如图2所示：∠四边形ABCD 为菱形，∠CG∠AB ，BO=12BD=2，∠EF∠BD ∠四边形EBDG 为平行四边形，∠∠G=∠ABD ，∠tan∠ABD=tan∠G=12∠tan∠ABD=122AO AO BO ==，∠AO=1 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．43．（1）BC ＝4；（2）sin ∠ADC ＝2. 【详解】（1）如图，作AE∠BC ，。

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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA ，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．【答案】D ．【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cos α=．故选D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA 的长度是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式】已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．BC【答案】过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===类型二、特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°．【答案与解析】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++．而14sin 452cos 604212x =-=-⨯=°°．∴4=．【点评】先进行分式化简，再由1sin 45,cos 6022==°°得x 的值，最后代值求出结果．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】【变式】计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45°【答案】原式=222((1322-⨯ =131+342- =712类型三、解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ；【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3535⨯=(cm)．∴ 4AE ==(cm)．∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．在Rt △DEB 中，BD ==．综上所述①②③正确．故选C ．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45°．(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．【思路点拨】(1)连接OD ，可证OD ⊥CD ，所以CD 与⊙O 相切； (2)连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ，所以sin ∠ADE ＝sin ∠ABE ＝AEAB．【答案与解析】(1)CD 与⊙O 相切．理由：如图所示，连接OD ，则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．在Rt △ABE 中，5sin 6AE ABE AB ∠==． ∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 56AE AB ==．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过作辅助线BE ，将问题巧妙转化为Rt △ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例6-例8】【变式】如图，C 、D 是半圆O 上两点，511CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=BC CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C ．【答案与解析】过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，在Rt △APC 中，cos PCAPC PA∠=． ∴PC ＝PA ·cos ∠APC＝在Rt △PCB 中，cos PCBPC PB∠=，∴cos PC PB BPC ===∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•南通）如图，一海伦位于灯塔P 的西南方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东60°方向上的B 处，求航程AB 的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（2015•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），精品初中数学讲义（带详细答案）∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．。

中考总复习：锐角三角函数综合复习--巩固练习(基础)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A ．sin AB ．tan A ＝12C ．cosBD ．tan B第1题第2题2．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A B D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，则tan ∠CAD 的值是（）A.2第4题第6题5．如果△ABC 中，，则下列最确切的结论是（） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（） A.sinA=cosA B.sinA ＞cosA C.sinA ＞tanA D.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 .8．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.第8题第12题9．计算2sin30°﹣sin245°+tan30°的结果是 .10．已知α是锐角，且sin(α.114cos( 3.14)tan3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 .（填序号）12．如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在CD，HE上，CM=12DM，HN=2NE，HC与NM的延长线交于点P，则tan∠NPH的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现要在C 点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么EB的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图所示，“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30°，测得条幅端点B 的俯角为45°；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45°，测得条幅端点B 的俯角为30°．若设楼层高度CD 为3 m ，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位， 1.732)16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝2.5m ，坝高4 m ，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；【解析】sinA ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cosB ＝BC AB ＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：．∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD．∴ sin∠ACD=sin∠B=ACAB =，故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD 中，， ∴tan ∠CAD===2．故选A ．5.【答案】C ；【解析】∵，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ． 6.【答案】B ；【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小，当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题 7．【答案】21；【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cosα=cos60°=21． 8．【答案】；【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1，在Rt△ACD 中，AC=22CD AD =25,∴sinA=. CD AC9．【答案】21+33；【解析】2sin30°﹣sin 245°+ tan30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33．10．【答案】3；，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式﹣1+1+3=3． 11．【答案】①②④；【解析】①sin 59°＞sin 28°成立，②0＜cos α＜1(α是锐角)成立，③tan 30°＋tan 60°≠tan 90°，④tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1成立． 12．【答案】13；。

锐角三角函数综合复习(能力提升)-中考数学基础知识复习和专题巩固提升训练含答案

ABCa bc考向10锐角三角函数综合复习—能力提升【知识梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．方法指导：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°方法指导：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．方法指导：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.方法指导：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，方法指导：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA ，OB ，OC ，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.方法指导：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【能力提升训练】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35B ．45C ．34D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（）A．tanA•cotA=1 B．sinA=tanA•cosA C．cosA=cotA•sinA D．tan2A+cot2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A．34B．43C．35D．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是( )A．247B．73C．724D．135．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－33x＋33，则cosα等于 ( )A．12B．22C．32D．336．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C 在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF 与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==．故选D. 2.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，得A 、tanA•cotA=a b b a ⋅=1，关系式成立；B 、sinA=c a ，tanA•cosA=c a c b b a =⋅，关系式成立；C 、cosA=，cotA•sinA=c b a b c a =⋅，关系式成立； D 、tan 2A+cot 2A=（ba ）2+（ab ）2≠1，关系式不成立．故选D ．3.【答案】B ；【解析】连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD 是直角三角形．∴tanC= 43故选B ．4.【答案】C ；【解析】设CE ＝x ，则AE ＝8-x ．由折叠性质知AE ＝BE ＝8-x ．在Rt △CBE 中，由勾股定理得BE 2＝CE 2+BC 2，即(8-x)2＝x 2+62，解得74x =，∴ tan ∠CBE 774624CE BC ===． 5.【答案】A ；【解析】∵y 3x 3，∴当x ＝0时，y 3，当y ＝0时，x ＝1，∴A(1，0)，B30,3⎛⎫⎪⎪⎝⎭，∴OB＝33，OA＝1，∴AB＝22OB OA+＝233，∴cos∠OBA＝12OBAB=.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝12．故选A.6.【答案】C；【解析】如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．故选C．二、填空题7．【答案】30°；【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝5)2，∴sinθ＝12，∴θ＝30°．8．【答案】34；【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF=DFDC=34．9．【答案】23；【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，∴sin∠E=23 ACAE=；又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），∴sinB=23．10．【答案】1；【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．∴221sin cos|cos| cos cos cosαααααα-==.∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．∴原式＝coscosαα＝1．11．【答案】；【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．12．【答案】7或17；【解析】∵cos∠B=，∴∠B=45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB=12，∠B=45°，∴AD=BD=12，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC=BD+CD=12+5=17.三、解答题13.【答案与解析】解：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴=，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH==m，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．14.【答案与解析】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，∴tanBD BADAB ∠=，BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，∴CD＝tan 18°×9-0.5．在Rt △DCE 中，∠DEC ＝90°，∠CDE ＝72°， ∴sin CE CDE CD∠=，sin CE CDE CD =∠＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．即该图中CE 的长约为2.3m ．15.【答案与解析】解：如图所示，由已知可得∠ACB ＝60°，∠ADB ＝45°．∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB ．又在Rt △ABC 中，∵tan 60AB BC=°， ∴3AB BC=3BC AB =． ∵BD ＝BC+CD ，∴33AB AB CD =+． ∴CD ＝AB-33AB ＝180-180×33＝（3米．答：小岛C 、D 间的距离为(180-3米．16.【答案与解析】解：(1)BF ＝CG ．证明：在△ABF 和△ACG 中，∵∠F ＝∠G ＝90°，∠FAB ＝∠GAC ，AB ＝AC ，∴△ABF ≌△ACG(AAS)，∴BF ＝CG ．(2)DE+DF＝CG．证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，∴四边形EDHG为矩形，∴DE＝HG．DH∥BG．∴∠GBC＝∠HDC∴AB＝AC．∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．∴GH+CH＝DE+DF＝CG，即DE+DF＝CG．(3)仍然成立．(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)。

人教版初三数学：锐角三角函数—巩固练习

锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25° B．55° C．65° D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为 ( )A．12B．34C．32D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A 57B3C21D216．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC 3BC的长为( )A ．303cmB ．203cmC ．103cmD ．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A ．53 B ．253 C ．52 D ． 23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A （3，t ）在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α=，则t 的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20° (2)tan18°________tan21°11．在△ABC 中，若223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数为 . 12．如图所示，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA ＝________．13．已知：正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点，若DP ＝1，则tan ∠BPC 的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 的最小角为A ，那么tanA 的值为________．15．如图所示，△ABC 的内心在y 轴上，点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标是(0，2)，直线AC 的解析式为112y x =-，则tanA 的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin602=°，3cos302=°，3tan30)3=°．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确故选：C ．2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=， ∴△ABC 为直角三角形， ∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°，又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯= 8. 【答案】A ；【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3，又∵tan α===，∴t=．故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 02A B ⎫+-=⎪⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B -= 即2sin A =3cos B = 又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A 在直角△ACH 中，利用勾股定理得224225AC =+=，∴ 25sin 525CH A AC ===． 13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P 既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，223122-=∴ 最小角A 的正切值为2tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】；【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ．∵ AD ＝BD ，∴ CE ＝EB ，∴ AC ＝2DE ．又∵ DC ⊥ AC ，DE ∥AC ，∴ DC ⊥DE ，即∠CDE ＝90°．又∵ ∠BCD ＝30°，∴ EC ＝2DE ，DC ＝3DE ．设DE ＝k ，则CD ＝3k ，AC ＝2k ．在Rt △ACD 中，227AD AC CD k =+=．∴ 227sin 77AC k CDA AD k ∠===，321cos 77CD k CDA AD k ∠===． 223tan 33AC k CDA CD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3． (2) 原式=×+1﹣2× =1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣=2314-． 19.【答案与解析】(1)证明：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥BC ，AD ＝BC ∴ ∠DAF ＝∠AEB 又∵ AE ＝BC ， ∴ AE ＝AD又∵ ∠B=∠DFA ＝90°， ∴ △EAB ≌△ADF ． ∴ AB ＝DF ． (2)解：在Rt △ABE 中，22221068BE AE AB =-=-=∵ △EAB ≌△ADF ，∴ DF ＝AB ＝6，AF ＝EB ＝8， ∴ EF ＝AE-AF ＝10-8＝2．∴ 21tan 63EF EDF DF ∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD ． ∵ BD 是直径，∴ BD ＝4，∠DCB ＝90°．在Rt △DBC 中，233sin 42BC BDC BD ∠===， ∴ ∠BDC ＝60°，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝60°．(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 应落在优弧BC 的中点处．过O 作OE ⊥BC 于点E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优孤BC 的中点．连结AB ，AC ，则AB ＝AC ，∠BAE 12=∠BAC ＝30°．在Rt △ABE 中，∵ BE 3=BAE ＝30°，∴33tan3033BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯⨯=△．答：△ABC面积的最大值是33．附录资料：《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如图，l1∥l2∥l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．2. （2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( )4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B． C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D．4个6. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是( )A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90° C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37. 如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠K B．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9. （2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13. （2015•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

初中数学专题练习-《锐角三角函数》全章复习与巩固

《锐角三角函数》专题第三讲：《锐角三角函数》全章复习与巩固1、计算（1）12sin 60452︒（2）tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° （3）tan 60tan 45tan 60tan 45︒-︒︒︒＋2sin 60°2、直线型问题中应用三角函数例1．已知,如图,D 是ABC ∆中BC 边的中点,90BAD ∠=︒,2tan 3B =,求sin DAC ∠．BC例2．已知,如图,在菱形ABCD 中,AE BC ⊥于点E ,EC =1,5sin 13B =,求四边形ABCD 的周长． CD例3．已知,如图,ABC ∆中,CE AB ⊥,BD AC ⊥,25DE BC =, 求cos A 及tan A ．AB D例4．已知,如图,ABC ∆中,AE BC ⊥于E ,点D 分AC 的比:1:2AD DC =,8BD =,3sin 4CBD ∠=,求AE 的长． ABC DE例5．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是BC 边的中点,DE ⊥AB 于E ,tan B =12,AE =7,求DE ． ABC E例6．如图,设P 是矩形ABCD 的AD 边上一动点,PE AC ⊥于点E ,PF BD ⊥于F ,3AB =,4AD =．求PE PF +的值．BC DEFP3、三角函数在圆中的应用例7．如图,C 、D 是半圆O 上两点,511CD AB =,求cos CEB ∠和tan CEB ∠．CDE例8．如图,若AC 、BD 的延长线交于点E ,511CD AB =,求cos CEB ∠ 和tan CEB ∠．ABCD。

第03讲《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习(提高)

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B．3 C．2 D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos2B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米 B．253米 C．10033米 D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15° B．20° C．30° D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E ，511CDAB=，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=________．12．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.第15题图16.（2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是．三、解答题17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是»AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝12，BC＝23．(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ；【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝23322323222+⨯-⨯=+-=． 2.【答案】A ；【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，因为2cos 2B =，所以∠B ＝45°，所以AD ＝BD ，因为3sin 5AD C AC ==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以22534DC =-=，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD ==⨯⨯=g △.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】B ；【解析】依题意知BC ＝AC ＝50米，小岛B 到公路l 的距离，就是过B 作l 的垂线，即是BE 的长，在Rt △BCE 中，sin 60BEBC=°，BE ＝BC ·sin 60°＝50×3253=(米)，因此选B ．5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C；【解析】3tan3BCACα===，∴30α=°．7．【答案】D；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为223tan30=°(m)，则地毯的总长至少为(223)+m．8.【答案】C．【解析】∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选C．二、填空题9．【答案】cos∠CEB=511；tan∠CEB=65【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴CE CD5=EB AB11=，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=46.5BC =CE第9题答案图第10题答案图 10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5.又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20， ∴BF=BC=×20=10，CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11．【答案】55；【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，5DE k =．∴ 5sin sin 55AE ADE ED kα=∠===． 12．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3为斜边时，则另一直角边为223122-=．∴ 12tan 422A ==． 13．【答案】137 ；【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m ，设AD=xm ，在Rt△ACD 中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD 中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD 为137米．14．【答案】433+或433-；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH ＝228443-=，在Rt △AHC 中，HC ＝2222543AC AH -=-=．∴ BC ＝433+．当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝433-．15．【答案】32；【解析】连接CA 并延长到圆上一点D ，∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，∵直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0）， ∴CD=10，CO=5，∴DO=53，∵∠B=∠CDO ，∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，∴cos ∠OBC=cos ∠CDO=533=102．16.【答案】．【解析】sin15°=sin （60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣cos60°•sin45°=•﹣•=．故答案为．三、解答题17.【答案与解析】(1)∵∠BOE ＝60°，∴∠A ＝12∠BOE ＝30°． (2)在△ABC 中，∵cos C ＝12，∴∠C ＝60°，又∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝90°，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ，∴ BC 是⊙O 的切线．(3)∵点M 是»AE 的中点，∴OM ⊥AE ，在Rt △ABC 中， ∵BC ＝23，∴AB ＝BC tan 60°＝2336⨯=，∴OA ＝32AB=， ∴OD ＝12OA ＝32，∴MD ＝32．18．【解析】解：由已知得Rt △AFD ，Rt △CED ，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC ，BF=CE ，在Rt△CED 中，设CE=x ，由坡面CD 的坡比为，得：DE=x ，则根据勾股定理得： x 2+=，得x=，（﹣不合题意舍去），所以，CE=米，则，ED=米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD 中，由三角函数得：=tan∠ADF， ∴AF=FD•tan60°=×=米， ∴AB=AF ﹣BF=AF ﹣CE=﹣=4米，答：小树AB 的高是4米．19.【答案与解析】(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵ PC ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°．而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PDC ．∴AC BCCP CD=． ∴AC ·CD ＝PC ·BC ．(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ．∵P 是»AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE ＝2222BC =．又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43． ∴3232tan 422BE PE BC CPB ⎛⎫=== ⎪ ⎪∠⎝⎭．从而PC ＝PE+EC ＝722．由(1)得CD ＝414233PC =． (3)当点P 在»AB 上运动时，12PCD S PC CD =g △．由(1)可知，CD ＝43PC ． ∴223PCD S PC =△．故PC 最大时，PCD S △取得最大值；而PC 为直径时最大，∴PCD S △的最大； ∴PCD S △的最大值2250533S =⨯=．20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯=g ． (2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ， ∴RQ QC AB BC =，∴10610y x-=，即y关于x的函数关系式为：365y x=-+．(3)存在，分三种情况：①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，如图所示，则QM＝RM．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．∴84cos1cos105C∠===，∴45QMQP=，∴1425QRDH=，∴1364251255x⎛⎫-+⎪⎝⎭=，∴185x=．②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有312655x-+=，∴x＝6．③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．于是点R为EC的中点，∴11224CR CE AC===．∵tanQR BACCR CA==，∴366528x-+=，∴152x=．综上所述，当x为185或6或152时，△PQR为等腰三角形．。

《锐角三角函数》全章复习与巩固---巩固练习(提高)

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 45°+2sin 30°－2cos60°的结果是( )．A．2 B．3 C．2 D．02．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos2B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米 B．253米 C．10033米 D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15° B．20° C．30° D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42．(223)m+8．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（）A ．S 1=S 2B ． S 1=S 2C ． S 1=S 2D ． S 1=S 2二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，511CD AB =，则cos CEB ∠= ；tan CEB ∠= ． 10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为；CD 的长为 .A BCDEO第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 .三、解答题17．如图所示，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，∠BOE＝60°，cos C＝12，BC＝23．(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】D ；． 2.【答案】A ；【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，因为2cos 2B =，所以∠B ＝45°，所以AD ＝BD ，因为3sin 5AD C AC ==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以22534DC =-=，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD ==⨯⨯=△.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】B ；【解析】依题意知BC ＝AC ＝50米，小岛B 到公路l 的距离，就是过B 作l 的垂线，即是BE 的长，在Rt △BCE 中，sin 60BEBC=°，BE ＝BC ·sin 60°＝50×32532=(米)，因此选B ．5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C ；【解析】3tan 33BC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为223tan30=°(m)，则地毯的总长至少为(223)+m．8．【答案】C；【解析】过A点作AG⊥BC于G，过D点作DH⊥EF于H．在Rt△ABG中，AG=AB•sin40°=5sin40°，∠DEH=180°﹣140°=40°，在Rt△DHE中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S1=8×5sin40°÷2=20sin40°，S2=5×8sin40°÷2=20sin40°．则S1=S2．故选：C．二、填空题9．【答案】cos∠CEB=511；tan∠CEB=46.5【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴CE CD5=EB AB11=，cos∠CEB=5.11CE=EBtan∠CEB=46.5BC=CE第9题答案图第10题答案图10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.∵在Rt△AEB中，∠A=30°，AB=10，∴AE=AB·cos30°=10×=5，BE=AB·sin30°=10×=5.又∵在Rt△BFC中，∠C=30°，BC=20，∴BF=BC=×20=10，CF=BC·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11．【答案】55；【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，5DE k =．∴ 5sin sin 55AE k ADE ED kα=∠===． 12．【答案】13或24；【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13； ②当3为斜边时，则另一直角边为223122-=．∴ 12tan 422A ==． 13．【答案】137 ；【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m ，设AD=xm ，在Rt△ACD 中，∵tan∠ACD=，∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=x+100，在Rt△ABD 中，∵tan∠ABD=， ∴x=（x+100），∴x=50（+1）≈137，即山高AD 为137米．14．【答案】433+或433-；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH ＝228443-=，在Rt △AHC 中，HC 2222543AC AH -=-=．∴ BC ＝33．当△ABC是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝433．15．【答案】3 2；【解析】连接CA并延长到圆上一点D，∵CD为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），∴CD=10，CO=5，∴DO=53，∵∠B=∠CDO，∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，∴cos∠OBC=cos∠CDO=533=102．16．【答案】（1）BE=5；（2）tan∠CDE=【解析】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.又∵在△BDE中，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC.∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.(2)由(1)得DE=BE=5，在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，∴tan∠CDE==.三、解答题17.【答案与解析】(1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝12∠BOE＝30°．(2)在△ABC 中，∵cos C ＝12，∴∠C ＝60°，又∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝90°，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ，∴ BC 是⊙O 的切线．(3)∵点M 是AE 的中点，∴OM ⊥AE ，在Rt △ABC 中，∵BC ＝23，∴AB ＝BC tan 60°＝2336⨯=，∴OA ＝32AB=， ∴OD ＝12OA ＝32，∴MD ＝32．18．【解析】解：由已知得Rt △AFD ，Rt △CED ，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC ，BF=CE ，在Rt△CED 中，设CE=x ，由坡面CD 的坡比为，得：DE=x ，则根据勾股定理得： x 2+=，得x=，（﹣不合题意舍去），所以，CE=米，则，ED=米，那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+=米，在Rt△AFD 中，由三角函数得： =tan∠ADF， ∴AF=FD•tan60°=×=米， ∴AB=AF﹣BF=AF ﹣CE=﹣=4米，答：小树AB 的高是4米．19.【答案与解析】(1)∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°．又∵ PC ⊥CD ，∴ ∠PCD ＝90°．而∠CAB ＝∠CPD ，∴△ABC ∽△PDC ．∴AC BCCP CD=． ∴AC ·CD ＝PC ·BC ．(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ． ∵P 是AB 中点，∴∠PCB ＝45°，CE ＝BE ＝2222BC =．又∠CAB ＝∠CPB ，∴tan ∠CPB ＝tan ∠CAB ＝43．∴3232tan 422BE PE BC CPB ⎛⎫=== ⎪ ⎪∠⎝⎭．从而PC ＝PE+EC ＝722．由(1)得CD ＝414233PC =． (3)当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =△．由(1)可知，CD ＝43PC ． ∴223PCD S PC =△．故PC 最大时，PCD S △取得最大值；而PC 为直径时最大，∴PCD S △的最大； ∴PCD S △的最大值2250533S =⨯=．20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯=．(2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ， ∴RQ QC AB BC =，∴10610y x-=，即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos 1cos 105C ∠===，∴45QM QP =，∴1425QR DH =，∴1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，∴185x =．②当PQ＝RQ时，如图28—46所示，则有312655x-+=，∴x＝6．③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，如图所示．于是点R为EC的中点，∴11224CR CE AC===．∵tanQR BACCR CA==，∴366528x-+=，∴152x=．综上所述，当x为185或6或152时，△PQR为等腰三角形．。

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习(基础)