安徽省六安市舒城中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题

舒城中学2017——2018学年度第二学期期末考试高二理数一. 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内)1. 设错误！未找到引用源。

是虚数单位，复数错误！未找到引用源。

为纯虚数，则实数的值为（ ）A.1- B . 1C. 2-D. 22. 下列说法中正确的是（ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好. A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③3．某校为了解高三学生学习的心理状态,采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试,为此将他们随机编号为1,2,…,800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中,编号落在区间[1,200]的人做试卷A ,编号落在[201,560]的人做试卷B ,其余的人做试卷C ,则做试卷C 的人数为（ ） A.10B.12C.18D.284 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A. 0B. -1C. -2D. -85．在正方体1111ABCD A BC D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ）A. 四边形1AEC F 一定为菱形B. 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形C. 四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC AD. 四边形1AEC F 不可能为梯形6．已知随机变量i ξ满足(0)i i P p ξ==，(1)1i i P p ξ==-，且102i p <<，12i =，． 若12()()E E ξξ<，则（ ）A ．12p p <，且12()()D D ξξ<B ．12p p >，且12()()D D ξξ>C ．12p p <，且12()()D D ξξ>D ．12p p >，且12()()D D ξξ<7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A． B． C． D．8．有一个偶数组成的数阵排列如下：2 4 8 14 22 32 … 6 10 16 24 34 … … 12 18 26 36 … … … 20 28 38 … … … … 30 40 … … … … … 42 … … … … … … … … … … … … … 则第20行第4列的数为（ ）舒中高二期末理数 第1页 (共6页)A. 546B. 540C. 592D. 5989. 已知一袋中有标有号码3,2,1的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ ）A. 错误！未找到引用源。

855B. 错误！未找到引用源。

8114C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

10. 已知单位圆有一条长为2错误！未找到引用源。

的弦AB ，动点错误！未找到引用源。

在圆内，则使得的概率为（ ）A. ππ42- B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

11．已知21F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且421π=∠PF F ，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．1D ．212．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为)(x f ',x e x f x f 22)()2(-=-(e 为自然对数的底数),且当1≠x 时, []0)()()1(>-'-x f x f x ,则( ) A .f (1)<f (0)B .f (2)>e f (0)C .f (3)>e 3f (0)D .f (4)<e 4f (0) 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）14．已知离散型随机变量ξ服从正态分布()~21N ，，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<=__________．15．已知n x )21(+展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n x x )21)(1(2++-展开式中常数项为_______．16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++-≤<=333,30,ln )(ex e x ex x x f ,存在)()()(,321321x f x f x f x x x ==<<,则错误！未找到引用源。

23)(x x f 的最大值为 . 错误！未找到引用源。

三. 解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分10分）2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下22⨯列联表.（1）将错误！未找到引用源。

列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）在不喜爱足球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.18．（本小题满分12分）参与舒城中学数学选修课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.304040参考数据:(1)根据散点图判断y 与x,z 与x 哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及数据,建立y 关于x 的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字．．．．．．．．．．．．．．．)．. (3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，90BAC ∠=，1BC AC ⊥．（1）证明：点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上；（2）若二面角1C AC B --的大小为60，1CC =，求1BC 与平面11AA B B 所成角的正舒中高二期末理数 第4页 (共6页)弦值．20．（本小题满分12分）某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率； （2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X 的分布列与数学期望E （X ）．21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 和直线l ：x ＝－1.(1)若曲线C 上存在一点Q ，它到l 的距离与到坐标原点O 的距离相等，求Q 点的坐标； (2)过直线l 上任一点P 作抛物线的两条切线，切点记为A ，B ，求证：直线AB 过定点.B 1C22. （本小题满分12分）已知()()()3231ln ,2x f x x e e x g x x x a =--=-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．舒中高二期末理数 第6页 (共6页)2017-2018学年舒城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案1-5ADBBD 6-10BBABA 11-12BC 13．16 14．0.936 15. 61 16．e1 17.解：（1）补充列联表如下：由列联表知故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.（2）由分层抽样知，从不喜爱足球运动的观众中抽取6人，其中男性有人，女性有人. 由古典概型，知18.【解析】(1)由散点图知,z 与x 具有较强的线性相关性.(2)∵≈-0.10,∴≈15,∴x+=15-0.10x.又∵z=2ln y ,∴y 关于x 的回归方程为.(3)当定价为150元/千克时,估计年销量为=1千克.19.解：（Ⅰ）因为11BC AC AC AB AB BC B ⊥⊥= ，，，所以AC ⊥平面1ABC ． 所以平面ABC ⊥平面1ABC ．过点1C 作1C H AB '⊥，则由面面垂直的性质定理可知1C H ABC '⊥平面． 又1C H ABC ⊥平面，所以H H '与重合，所以点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上． （Ⅱ）1BAC ∠是二面角1C AC B --的平面角，160BAC ∠= 即． 法一：连接1A H ，11111111111A B AC A B C H C H AC C ⊥⊥= ，，． 11A B ∴⊥平面11AC H ∴，平面11A B BA ⊥平面11AC H ． 111111C C G A H C G A B BA ⊥⊥过作，则平面．1C BG ∴∠是直线1BC 与平面11AA B B 所成角．……12分111112AC C H A H C G ==∴=∴ ，． 又12BC =，111sin C G GBC C B ∴∠==． 法二：在平面ABC 内过点H 作Hx AB ⊥，以1Hx HB HC ，，为x y z ，，轴建系．则1(00)(00)(00)(20)A a B a C C a a --，，，，，，，，，，所以1(0).BC a =-，由1(020)(2)AB a CC a a ==-，，， 可以求得平面1ABB的法向量04)n =．所以11||sin 7||||BC n BC n α⋅==．20.解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A ，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B ，则P （A ）=，P （AB ）=．…∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P （B|A ）=．…（2）X 的可能取值为：0，10，20，30，B CxB C则P （X=0）==，P （X=10）=+=，P （X=20）==，P （X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X 的分布列为∴X 的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=．…21.(1)解 设Q (x ，y )，则(x ＋1)2＝x 2＋y 2，即y 2＝2x ＋1，由⎩⎨⎧y 2＝2x ＋1，y 2＝4x ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.(2)证明 设过点(－1，t )的直线方程为y －t ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4t ＋4k ＝0，由Δ＝0，得k 2＋kt －1＝0，特别地，当t ＝0时，k ＝±1，切点为A (1，2)，B (1，－2)，显然AB 过定点F (1，0).一般地方程k 2＋kt －1＝0有两个根， ∴k 1＋k 2＝－t ，k 1k 2＝－1，∴两切点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21，2k 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22，2k 2，∴F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21－1，2k 1，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1，2k 2，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21－12k 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－12k 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1－1k 2＝0， ∴FA →与FB →共线，又FA →与FB →有共同的起点F ，∴A ，B ，F 三点共线，∴AB 过点F (1，0)， 综上，直线AB 过定点F (1，0).22.试题解析：（1）由题意知函数的定义域为()0,+∞．因为()()1ln x f x x e e x =--， 所以()x e f x xe x '=-，令x e y xe x =-，则20x x ey e xe x+'=+>，所以当0x >时， ()x e f x xe x'=-是增函数，又()10f e e '=-=， 故当()0,1x ∈时， ()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x ∈+∞时， ()()0,f x f x '>单调递增．所以()()0,1f x 在上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值，又()10f =， 所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个．因为()3232g x x x a =-++，所以()()23331g x x x x x =-+'=--， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10{ 20g g ≥<，即10{ 220a a +≥-+<， 解得122a -≤<．所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．。