山东省青岛市四方区2015～2016学年度八年级上学期期初数学试卷【解析版】

山东省青岛市四方区2015～2016学年度八年级上学期期初数学试卷一、选择题1．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，c=5C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=152．下列各式中错误的是（）A．B．C．D．3．下列说法正确的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．A．4个B．3个C．2个D．1个4．点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，点M坐标为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5，﹣3）C．（5，3）或（﹣5，3）D．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）5．下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数 D．是分数6．若点M（x，﹣1）与N（2，y）关于x轴对称，则xy=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣17．已知坐标平面内点M（a，b）在第三象限，那么点N（b，﹣a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对二、填空题9．下列各数：①3.141、②0.33333…、③﹣、④π、⑤±、⑥﹣、⑦0.3030003000003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中．其中是有理数的有；是无理数的有．（填序号）10．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．11．估计=（误差小于1）；=（误差小于0.1）．12．9的算术平方根是；3的算术平方根是；﹣1的立方根是；的相反数是，倒数是；﹣的绝对值是．13．比较大小：；； 2.35．（填“＞”或“＜”）14．=；=；=．15．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为．点P（m+2，m﹣1）在y轴上，则点P的坐标是．16．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是．17．如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为．三、计算题（每小题50分）18．计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣）2﹣|﹣3|（2）﹣+5（3）（4）（3+）（3﹣）（5）+﹣（6）+（1﹣）0（7）（1+）（1﹣）（8）×﹣5（9）（﹣）×2（10）﹣5+．四、解答题19．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．20．甲同学用如图方法作出C点，表示数，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC（1）请说明甲同学这样做的理由；（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣的点A．21．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC 的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），②∴c2=a2+b2，③∴△ABC为直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号；（2）该步正确的写法应是；（3）本题正确的结论应是．22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）写出点B′的坐标．山东省青岛市四方区2015～2016学年度八年级上学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，c=5C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、92+402=412，故是直角三角形，故正确；B、52+52=（）2，故是直角三角形，故正确；C、32+42=52，故是直角三角形，故正确；D、112+122≠152，故不能组成直角三角形．故选D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．下列各式中错误的是（）A．B．C．D．【考点】算术平方根．【分析】A、根据平方根的定义即可判定；B、根据算术平方根的定义即可判定；C、根据算术平方根的定义即可判定；D、根据算术平方根的定义即可判定．【解答】解：A、=±0.6，故选项A正确；B、，故B选项正确；C、，故选项C正确，D、，故选项D错误．故选D．【点评】本题主要考查算术平方根的知识点，不是很难．3．下列说法正确的有（）①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】根据勾股定理及勾股定理的逆定理对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．符合勾股定理，故本小题正确；②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC是直角三角形．故本小题错误；③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．符合勾股定理的逆定理，故本小题正确；④当C是斜边时（a+b）（a﹣b）=c2不成立，故本小题错误．故选C．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．4．点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，点M坐标为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5，﹣3）C．（5，3）或（﹣5，3）D．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）【考点】点的坐标．【分析】根据到y轴的距离求出点M的横坐标，根据到x轴的距离求出点M的纵坐标，然后解答即可．【解答】解：∵点M在y轴的左侧，到y轴的距离是5，∴点M的横坐标是﹣5，∵点M到x轴的距离是3，∴点M的纵坐标是3或﹣3，∴点M的坐标是（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）．故选D．【点评】本题考查了点的坐标，根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点M的横坐标与纵坐标是解题的关键．5．下列说法正确的是（）A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数 D．是分数【考点】实数．【分析】根据无理数的定义即可判断．【解答】解：A、有理数是有限小数与无限循环小数的统称，故选项错误；B、无理数是无限不循环小数，故选项正确；C、无理数是无限不循环小数，无限循环小数是有理数，故选项错误；D、是无理数，故选项错误．故选B．【点评】本题主要考查了实数的分类，注意分数是能写成两个整数的商的形式的数，而不是分数．6．若点M（x，﹣1）与N（2，y）关于x轴对称，则xy=（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】直接利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．【解答】解：∵点M（x，﹣1）与N（2，y）关于x轴对称，∴x=2，y=1，∴xy=2．故选：B．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．7．已知坐标平面内点M（a，b）在第三象限，那么点N（b，﹣a）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据第三象限点的横坐标与纵坐标都是负数表示出a、b，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵点M（a，b）在第三象限，∴a＜0，b＜0，∴﹣a＞0，∴点N（b，﹣a）在第二象限．故选B．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．8．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．二、填空题9．下列各数：①3.141、②0.33333…、③﹣、④π、⑤±、⑥﹣、⑦0.3030003000003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中．其中是有理数的有①②⑤⑥⑧；是无理数的有③④⑦．（填序号）【考点】实数．【分析】根据实数的分类进行填空即可．【解答】解：有理数的有3.141、0.33333…、±、﹣、0；是无理数的有﹣、π、0.3030003000003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）．故答案为①②⑤⑥⑧；③④⑦．【点评】本题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数．10．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 4.8 cm．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．11．估计=14或15（误差小于1）；= 5.5或5.4（误差小于0.1）．【考点】估算无理数的大小．【专题】计算题．【分析】由于196＜200＜225，则14＜＜15，当要求误差小于1时，可等于14或15；由于29.16＜30＜30.25，则5.4＜＜5.5，当要求误差小于0.1时，可等于5.4或5.5．【解答】解：∵196＜200＜225，∴14＜＜15，∴估计为14或15（误差小于1）；∵29.16＜30＜30.25，∴5.4＜＜5.5，∴估算为5.4或5.5（误差小于0.1）．故答案为14或15；5.4或5.5．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．12．9的算术平方根是3；3的算术平方根是；﹣1的立方根是﹣1；的相反数是﹣，倒数是；﹣的绝对值是．【考点】立方根；算术平方根；实数的性质．【分析】根据立方根、算术平方根的概念求解．【解答】解：9的算术平方根是3；3的算术平方根是；﹣1的立方根是﹣1；的相反数是﹣，倒数是；﹣的绝对值．故答案为：3；；﹣1；﹣，；．【点评】本题考查了立方根、算术平方根以及实数的性质，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．13．比较大小：＞；＜；＞ 2.35．（填“＞”或“＜”）【考点】实数大小比较．【分析】先把给出的数进行估算，再进行比较即可．【解答】解：＞；；≈2.15，≈2.23，∴＜；∵≈2.449，∴＞2.35．故答案为：＞，＜，＞．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小；如果无法进行比较的，先把无理数进行估算，再比较．14．=4；=﹣6；=196．【考点】算术平方根；立方根．【分析】直接利用立方根的性质，平方运算法则，平方根的性质进行求解即可．【解答】解：=4；=﹣6；=196．【点评】本题主要考查了立方根，平方，平方根的概念．15．若点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，则它到y轴的距离为1或5．点P（m+2，m﹣1）在y轴上，则点P的坐标是（0，﹣3）．【考点】点的坐标．【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度列方程求出a，再求出点P的坐标，然后根据点到y 轴的距离等于横坐标的长度解答即可，再利用y轴上点的横坐标为0，求出m的值，进而得出答案．【解答】解：∵点P（a﹣1，a+1）到x轴的距离是3，∴|a+1|=3，∴a+1=3或a+1=﹣3，解得a=2或a=﹣4，当a=2时，点P的坐标为（1，3），当a=﹣4时，点P的坐标为（﹣5，﹣3），∴点P到y轴的距离为1或5．∵点P（m+2，m﹣1）在y轴上，∴m+2=0，解得：m=﹣2，∴m﹣1=﹣3，则点P的坐标是：（0，﹣3）．故答案为：1或5；（0，﹣3）．【点评】本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离等于纵坐标的长度和点到y轴的距离等于横坐标的长度得出坐标之间关系是解题关键．16．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是4或．【考点】勾股定理的逆定理；三角形三边关系．【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【解答】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==4，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，5，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为4或．【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．17．如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为30cm．【考点】平面展开-最短路径问题．【专题】计算题．【分析】先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，A′点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为A′B的长度，然后根据勾股定理计算A′B的长即可．【解答】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，A′点为点A展开后的对应点，作BH⊥MN于H，BH=×48=24，MH=1，A′N=1，∴A′H=20﹣1﹣1=18，在Rt△A′BH中，A′B==30（cm）．故答案为30cm．【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．三、计算题（每小题50分）18．计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣）2﹣|﹣3|（2）﹣+5（3）（4）（3+）（3﹣）（5）+﹣（6）+（1﹣）0（7）（1+）（1﹣）（8）×﹣5（9）（﹣）×2（10）﹣5+．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）利用乘方的意义和零指数幂的意义计算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的除法法则运算；（4）利用平方差公式计算；（5）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（6）根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算；（7）利用多项式乘法展开即可；（8）根据二次根式的乘法法则运算；（9）根据二次根式的乘法法则运算；（10）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣）2﹣|﹣3|=﹣1﹣1+9﹣3=4；（2）﹣+5=3﹣+=3；（3）==；（4）（3+）（3﹣）=27﹣5=22；（5）+﹣=2+4﹣=5；（6）+（1﹣）0=+1=5+1=6；（7）（1+）（1﹣）=1﹣+﹣；（8）×﹣5=﹣5=6﹣5=1；（9）（﹣）×2=2﹣=6﹣=﹣；（10）﹣5+=2﹣+=．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．四、解答题19．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB 的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．20．甲同学用如图方法作出C点，表示数，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC（1）请说明甲同学这样做的理由；（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣的点A．【考点】实数与数轴；勾股定理．【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得到点C表示的数；（2）由29=25+4，依据勾股定理即可做出表示﹣的点．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OB===，∵OB=OC，∴OC=．∴点C表示的数为．（2）如图所示：取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2．由勾股定理可知：OC===．∵OA=OC=．∴点A表示的数为﹣．【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．21．阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC 的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），②∴c2=a2+b2，③∴△ABC为直角三角形．问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号③；（2）该步正确的写法应是当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2；（3）本题正确的结论应是△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【考点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理．【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2﹣b2，没有考虑a2﹣b2是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；（3）根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【解答】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）=0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]=0，则当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：（1）③；（2）当a2﹣b2=0时，a=b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2=c2；（3）△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，以及等腰三角形的判定，找出阅读材料中解题过程中的错误是解本题的关键．22．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）写出点B′的坐标．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）根据顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）建立坐标系即可；（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）根据点B′在坐标系中的位置写出其坐标即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）由图可知，B′（2，1）．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．。