高优指导高考数学二轮复习专题二函数与导数第二讲导数素能提升练理【含答案】

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【高优指导】2016高考数学二轮复习专题二函数与导数第二讲导数素能提升练理

【⾼优指导】2016⾼考数学⼆轮复习专题⼆函数与导数第⼆讲导数素能提升练理第⼆讲导数素能演练提升三SUNENG YANLIAN TISHENGSAN掌握核⼼,赢在课堂1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在区间(a,b)内的图象如图所⽰,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极⼩值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:f'(x)>0,f(x)单调递增,f'(x)<0,f(x)单调递减.极⼩值点附近函数应有先减后增的特点,即f'(x)<0→f'(x)=0→f'(x)>0,由f'(x)的图象可知只有1个极⼩值点.答案:A2.直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点(2,3),则b的值为( )A.-3B.9C.-15D.-7解析:将点(2,3)分别代⼊曲线y=x3+ax+1和直线y=kx+b,得a=-3,2k+b=3.⼜k=y'|x=2=(3x2-3)|x=2=9,故b=3-2k=3-18=-15.答案:C3.函数f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在极值点,则实数a的取值范围是( )A.[1,3]B.[1,3)C.(1,3]D.(1,3)解析:∵a2-1>0,∴a>1或a<-1.⼜∵函数f(x)不存在极值点,令f'(x)=3ax2-4ax+a+1=0,则Δ=16a2-4×3a(a+1)=4a(a-3)≤0.∴0≤a≤3.⼜∵a>1或a<-1,∴1答案:C4.若函数f(x)=2x+ln x,且f'(a)=0,则2a ln2a=( )A.1B.-1C.-ln2D.ln2解析:f'(x)=2x ln2+,由f'(a)=2a ln2+=0,得2a ln2=-,则a2a ln2=-1,即2a ln2a=-1.答案:B5.(2014⿊龙江⼤庆第⼆次质检,6)下列四个图象中,有⼀个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-4)x+1(a∈R,a≠0)的导函数y=f'(x)的图象,则f(1)=( )A. B. C.- D.1解析:因为f(x)=x3+ax2+(a2-4)x+1(a∈R,a≠0),所以f'(x)=x2+2ax+(a2-4),由a≠0,结合导函数y=f'(x)的图象,知导函数图象为③.从⽽可知a2-4=0,解得a=-2或a=2,再结合-a>0知a=-2,代⼊可得函数f(x)=x3+(-2)x2+1,可得f(1)=-.故选C.答案:C6.(2014⼭西忻州⼀模,12)定义在上的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)A. B.f(1)<2f sin1C.>fD.解析:∵f(x)0,∴'=>0,∴函数上单调递增,从⽽,即答案:D7.已知f(x)=x(1+|x|),则f'(1)·f'(-1)=.解析:当x≥0时,f(x)=x2+x,f'(x)=2x+1,则f'(1)=3.当x<0时,f(x)=x-x2,f'(x)=1-2x,则f'(-1)=3.故f'(1)·f'(-1)=9.答案:98.函数f(x)=|x3-3x2-t|,x∈[0,4]的最⼤值记为g(t),当t在实数范围内变化时,g(t)的最⼩值为.解析:令g(x)=x3-3x2-t,则g'(x)=3x2-6x,令g'(x)≥0,则x≤0或x≥2,在[0,2]上g(x)为减函数,在[2,4]上g(x)为增函数,故f(x)的最⼤值g(t)=max{|g(0)|,|g(2)|,|g(4)|},⼜|g(0)|=|t|,|g(2)|=|4+t|,|g(4)|=|16-t|,在同⼀坐标系中分别作出它们的图象,由图象可知,在y=16-t(t≤16)与y=4+t(t≥-4)的交点处,g(t)取得最⼩值,由16-t=4+t,得2t=12,t=6,∴g(t)min=10.答案:109.(2013⼴东⾼考,理21)设函数f(x)=(x-1)e x-kx2(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k∈时,求函数f(x)在[0,k]上的最⼤值M.解:(1)当k=1时,f(x)=(x-1)e x-x2,f'(x)=e x+(x-1)e x-2x=x e x-2x=x(e x-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln2,当x变化时,f'(x),由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0),(ln2,+∞).(2)f'(x)=e x+(x-1)e x-2kx=x e x-2kx=x(e x-2k),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln(2k),令g(k)=ln(2k)-k,k∈,则g'(k)=-1=≥0,所以g(k)在上单调递增.所以g(k)≤ln2-1=ln2-lne<0.从⽽ln(2k)所以当x∈(0,ln(2k))时,f'(x)<0;当x∈(ln(2k),+∞)时,f'(x)>0.所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)e k-k3}.令h(k)=(k-1)e k-k3+1,则h'(k)=k(e k-3k),令φ(k)=e k-3k,则φ'(k)=e k-3≤e-3<0.所以φ(k)在上单调递减,⽽φ·φ(1)=(e-3)<0,所以存在x0∈使得φ(x0)=0,且当k∈时,φ(k)>0,当k∈(x0,1)时,φ(k)<0,所以φ(k)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为h=->0,h(1)=0,所以h(k)≥0在上恒成⽴,当且仅当k=1时取得“=”.综上,函数f(x)在[0,k]上的最⼤值M=(k-1)e k-k3.10.(2014课标全国Ⅰ⾼考,理21)设函数f(x)=a e x ln x+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线⽅程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x ln x+e x-e x-1+e x-1.由题意可得f(1)=2,f'(1)=e.故a=1,b=2.(2)证明:由(1)知,f(x)=e x ln x+e x-1,从⽽f(x)>1等价于x ln x>x e-x-.设函数g(x)=x ln x,则g'(x)=1+ln x.所以当x∈时,g'(x)<0;当x∈时,g'(x)>0.故g(x)在单调递减,在单调递增,从⽽g(x)在(0,+∞)的最⼩值为g=-.设函数h(x)=x e-x-,则h'(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,从⽽h(x)在(0,+∞)的最⼤值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.11.(2014浙江⾼考,理22)已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).(1)若f(x)在[-1,1]上的最⼤值和最⼩值分别记为M(a),m(a),求M(a)-m(a);(2)设b∈R.若[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成⽴,求3a+b的取值范围.解:(1)因为f(x)=所以f'(x)=由于-1≤x≤1,①当a≤-1时,有x≥a,故f(x)=x3+3x-3a,此时f(x)在(-1,1)上是增函数,因此,M(a)=f(1)=4-3a,m(a)=f(-1)=-4-3a,故M(a)-m(a)=(4-3a)-(-4-3a)=8.②当-1若x∈(-1,a),f(x)=x3-3x+3a在(-1,a)上是减函数.所以M(a)=max{f(1),f(-1)},m(a)=f(a)=a3.由于f(1)-f(-1)=-6a+2,因此当-1当③当a≥1时,有x≤a,故f(x)=x3-3x+3a,此时f(x)在(-1,1)上是减函数,因此,M(a)=f(-1)=2+3a,m(a)=f(1)=-2+3a.故M(a)-m(a)=(2+3a)-(-2+3a)=4.综上,M(a)-m(a)=(2)令h(x)=f(x)+b,则h(x)=h'(x)=因为[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成⽴,即-2≤h(x)≤2对x∈[-1,1]恒成⽴.所以由(1)知,①当a≤-1时,h(x)在(-1,1)上是增函数,h(x)在[-1,1]上的最⼤值是h(1)=4-3a+b,最⼩值是h(-1)=-4-3a+b,则-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2,⽭盾;②当-1所以a3+b≥-2,且4-3a+b≤2,从⽽-2-a3+3a≤3a+b≤6a-2,且0≤a≤.令t(a)=-2-a3+3a,则t'(a)=3-3a2>0,t(a)在上是增函数,故t(a)>t(0)=-2,因此-2≤3a+b≤0;③当所以a3+b≥-2,且3a+b+2≤2,解得-<3a+b≤0;④当a≥1时,h(x)在[-1,1]上的最⼤值是h(-1)=2+3a+b,最⼩值是h(1)=-2+3a+b,所以3a+b+2≤2,且3a+b-2≥-2,解得3a+b=0.综上,得3a+b的取值范围是-2≤3a+b≤0.。

高优指导2016高考数学二轮复习专题二函数与导数第二讲

第二讲导数
最新考纲解读
高频考点
考点
(1)导数的问题在高考中常考查以下几点:导数的几何意义、函数的单调性及单调区间、极值、最值、与不等式的综合. (2)导数的实际应用一般是写出函数解析式(一般是三次的多项式函数),然后求极值或最值. (3)会使用数形结合思想与导数解答函数的综合问题.
故 f'(1)=3a-3.
又 f(1)=1,
所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4. (2)由于 f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2, 故①当 a≤0 时,有 f'(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减,
故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a. ②当 a≥1 时,有 f'(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增,
考点1 考点2 考点3 考点4
利用导数求函数的极值与最值
例 3(2014 河南洛阳高三统一测试,21)已知函数 f(x)=1��-��+ln
x+1.
(1)若函数 f(x)在[1,2]上单调递减,求实数 a 的取值范围;
(2)若
a=1,k∈R,且
k<1e,设
F(x)=f(x)+(k-1)ln
=
��
��-1�� 2
.
(ⅰ)若
k<0,在
1 e
,e
��
上,恒有
��-1�� 2
<0,
∴F(x)在
1 e
,e
上单调递减,

高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf

训练　函数、导数、不等式的综合问题一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D　[f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D　[|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A　[因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B　[函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B　[令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析　由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值．答案　9 7．解析　f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)．答案　(－3,1) 8．解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案　(－4,0) 9．解　由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)，即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解　(1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1；当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2，所以函数f(x)的值域为[1,2]．据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解　f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．则当0＜t＜t＋2＜时，t无解；当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－；当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增．所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解　2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明　问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)．由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－，当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。

高考数学(理)二轮大提分【专题2】函数与导数 2-2导数及其应用

)
3.复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝
g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘
积．
一级排查
二级排查
(三级排查 )
4.在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，则函数y＝
f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)＜0.那么
一级排查
二级排查
三级排查
【例】已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处有极值为 10，求 f(x)． [ 正解 ] f′(x) ＝ 3x2 ＋ 2ax ＋ b ，由题意得 3＋2a＋b＝0， 1＋a＋b＋a2＝10，解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝－ 3. 3，当 a＝－3，b＝3 时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋9，f′(x)＝3x2－ 6x＋3＝3(x－1)2≥0.
()
一级排查
二级排查
三级排查
自我校对 1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.× 6.√ 7.× 第 1 题记错 y＝cos x，y＝logax 的求导公式．第 5 题没有理解
函数的极大(小)值的概念．第 7 题错误理解函数单调性与导数的关系．订正 1 几个重要的求导公式：(xn)′＝nxn－1(n∈N*)， (sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x，(ax)′＝axln a， (loga x)′＝xln1 a(a＞0，a≠1)．
第2讲导数及其应用
一级排查
二级排查
三级排查
三年考向
排查考前必记的数学概念、公式、性质、定理
在下面 7 个小题中，有 3 个表述不正确，请在题

高优指导2016届高三数学(文)二轮复习专题能力训练23 解答题专项训练(函数与导数) 含解析

专题能力训练23解答题专项训练（函数与导数）（x≠0，a∈R)。

1.已知函数f（x）=x2+ax（1)讨论函数f(x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数f(x)在［2，+∞）上为增函数,求a的取值范围.ax2-ln x，a∈R。

2。

已知函数f（x)=12(1）求函数f(x)的单调区间；（2)若函数f（x)在区间［1,e］上的最小值为1，求a的值。

3。

已知函数f（x)=x2+（x—1）|x—a|。

(1)若a=—1，解方程f(x）=1;(2）若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围;(3）是否存在实数a，使不等式f(x）≥2x—3对一切实数x∈R恒成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由。

4.已知函数f(x）=sin x（x≥0),g（x）=ax（x≥0）。

(1)若f（x)≤g(x）恒成立,求实数a的取值范围；x3.(2）当a取(1)中最小值时,求证：g（x)-f(x）≤16x2—5。

（2014课标全国Ⅰ高考,文21）设函数f(x）=a ln x+1-a2bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线斜率为0。

（1)求b;，求a的取值范围.(2)若存在x0≥1，使得f(x0）〈aa-1在x=1处取得极值2,设函数y=f(x)图象上任6。

已知函数f(x）=axx2+b意一点（x0,f（x0））处的切线斜率为k。

(1)求k的取值范围；,求证:x1<|x0｜(2)若对于任意0〈x1〈x2〈1，存在k，使得k=f(x2)-f(x1)x2-x1〈x2.答案与解析专题能力训练23 解答题专项训练（函数与导数)1.解:（1）当a=0时,f(x)=x2，对任意x∈（—∞，0）∪（0,+∞)，f（-x)=(—x)2=x2=f（x），∴f（x)为偶函数。

（a≠0,x≠0)，当a≠0时,f(x）=x2+ax令x=-1,得f(-1）=1—a，令x=1，得f（1）=1+a，∴f（-1）+f（1)=2≠0，f(—1）—f（1)=-2a≠0，∴f（-1)≠-f（1）,f(-1）≠f（1)。

2021新高考数学二轮总复习专题二函数与导数学案含解析打包6套

专题二函数与导数考情分析函数与导数是高中数学的主干知识,是高考考查的重点内容,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,对函数与导数的考查多数为“三小一大”或“四小一大”,题型遍布选择、填空与解答,难度上分层考查;基础题考查考生对必备知识和基本方法的掌握;中档题考查的是“数学抽象”“逻辑推理”和“数学运算”三大核心素养;导数与函数解答题综合考查多个核心素养以及综合应用能力,近两年的难度有所降低,题目所在试卷的位置有所提前,不再固定在最后压轴位置上,预计这一趋势会保持下去.2.1函数概念、性质、图象专项练必备知识精要梳理1.函数的概念(1)求函数的定义域的方法是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解.(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法(分式函数)、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、有界函数法(含有指、对数函数或正、余弦函数的式子).2.函数的性质(1)函数奇偶性:①定义:若函数的定义域关于原点对称,则有:f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).②判断方法:定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).(2)函数单调性判断方法:定义法、图象法、导数法.(3)函数周期性的常用结论:若f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=±(a≠0),则T=2a;若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b;若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则T=2|b-a|;若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0),则T=2|b-a|(类比正、余弦函数).3.函数的图象(1)函数图象的判断方法:①找特殊点;②看性质:根据函数性质判断图象的位置,对称性,变化趋势等;③看变换:看函数是由基本初等函数经过怎样的变换得到.(2)若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x);若y=f(x)对∀x∈R,都有f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线x=对称;若y=f(x)对∀x∈R都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b,则f(x)的图象关于点对称.(3)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,函数y=f(a-x)和y=f(b+x)的图象关于直线x=对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(4)利用图象可解决函数的最值、方程与不等式的解以及求参数范围问题.考向训练限时通关考向一函数及其相关概念1.(2020安徽合肥一中模拟,理1)设集合A={x|y=lg(x-3)},B={y|y=2x,x∈R},则A∩B等于()A.⌀B.RC.{x|x>3}D.{x|x>0}2.(多选)符号[x]表示不超过x的最大整数,如[3.14]=3,[-1.6]=-2,定义函数:f(x)=x-[x],则下列命题正确的是()A.f(-0.8)=0.2B.当1≤x<2时,f(x)=x-1C.函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1)D.函数f(x)是增函数、奇函数3.(2020北京,11)函数f(x)=+ln x的定义域是.4.设函数f(x)=则f=,f(f(x))=1的解集为.考向二函数的性质5.(2020天津,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b6.(2020全国Ⅱ,理9)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)()A.是偶函数,且在单调递增B.是奇函数,且在单调递减C.是偶函数,且在单调递增D.是奇函数,且在单调递减7.(2020全国Ⅲ,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b8.(2020江西名校大联考,理13)已知函数f(x)=则f(5+log26)的值为.考向三函数的图象9.(2020天津,3)函数y=的图象大致为()10.(2020山西太原二模,理6)函数f(x)=的图象大致为()11.(2020山东济宁6月模拟,5)函数f(x)=cos x·sin的图象大致为()考向四函数的概念、性质、图象的综合12.(多选)(2020山东淄博4月模拟,12)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,则下列说法错误的是()A.f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的B.f(x2)在[1,]上具有性质PC.若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]D.对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]13.(2020北京海淀一模,15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6.动点P从点A出发,沿着此三角形三边逆时针运动回到A点,记点P运动的路程为x,点P到此三角形中心O距离的平方为f(x),给出下列三个结论:①函数f(x)的最大值为12;②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9;③关于x的方程f(x)=kx+3最多有5个实数根.其中,所有正确结论的序号是.专题二函数与导数2.1函数概念、性质、图象专项练考向训练·限时通关1.C解析A={x|y=lg(x-3)}={x|x-3>0}={x|x>3},B={y|y=2x,x∈R}={y|y>0}.∴A∩B={x|x>3},故选C.2.ABC解析f(x)=x-[x]表示数x的小数部分,则f(-0.8)=f(-1+0.2)=0.2,故A正确;当1≤x<2时,f(x)=x-[x]=x-1,故B正确;函数f(x)的定义域为R,值域为[0,1),故C正确;当0≤x<1时,f(x)=x-[x]=x.当1≤x<2时,f(x)=x-1.当x=0.5时,f(0.5)=0.5,当x=1.5时,f(1.5)=0.5,则f(0.5)=f(1.5),即f(x)不为增函数,由f(-1.5)=0.5,f(1.5)=0.5,可得f(-1.5)=f(1.5),即f(x)不为奇函数,故D不正确.故选ABC.3.(0,+∞)解析由题意得∴x>0,故答案为(0,+∞).4{1,e e}解析∵f=ln<0,∴f=fx<0时,0<e x<1,x=0时,e x=1,方程f(f(x))=1,可得f(x)=0,ln x=0,解得x=1,f(x)>0时,方程f(f(x))=1,可得ln[f(x)]=1,f(x)=e,即ln x=e,解得x=e e.5.D解析∵b==30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,∴c<a<b.故选D.6.D解析由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称.∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)为奇函数.当x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),∴f'(x)=>0,∴f(x)在区间内单调递增.同理,f(x)在区间内单调递减.故选D.7.A解析a=log53=lo34=log12581<1,∴a<b=log85=lo54=log512625>1,∴b>,∵55<84,b=log85=lo55<1,∴b<,∵134<85,c=log138=lo85>1,∴c>综上,a<b<c.8.12解析由题意当x>4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+∞)时,周期为1,因为2<log26<3,所以5+log26∈(7,10),1+log26∈(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)==2×6=12.9.A解析∵函数y=为奇函数,∴排除C,D.再把x=1代入得y==2>0,排除B.故选A.10.A解析f(1)=>0,排除选项C,D;由f(x)==0,则方程无解,即函数没有零点,排除B,故选A.11.C解析显然函数f(x)的定义域是R,由f(x)=cos x·sin,得f(-x)=cos(-x)sin=cos x·sin=-f(x),即f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项A,B;又f(1)=cos1·sin>0,可排除选项D,故选C.12.ABD解析对于A,函数f(x)=在[1,3]上具有性质P,但f(x)在[1,3]上的图象不连续,故选项A错;对于B,f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,但f(x2)=-x2在[1,]上不满足性质P,故选项B 错;对于C,因f(x)在x=2处取得最大值1,所以f(x)≤1,设x∈[1,2],则4-x∈[2,3].由性质P可得1=f(2)[f(x)+f(4-x)],所以f(x)+f(4-x)≥2,因为f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)+f(4-x)≤2,所以f(x)+f(4-x)=2,又f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)=1,x∈[1,3],故选项C正确;对于D,有f=ff+f[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故选项D错.故选ABD.13.①②解析由题可得函数f(x)=作出图象如图.则当点P与△ABC顶点重合时,即x的值分别是0,6,12,18时,f(x)取得最大值12,故①正确;又f(x)=f(18-x),所以函数f(x)的对称轴为x=9,故②正确;由图象可得,函数f(x)图象与y=kx+3的交点个数为6个,故方程有6个实根,故③错误.2.4.3利用导数证明问题及讨论零点个数必备知识精要梳理1.与e x、ln x有关的常用不等式的结论(1)由f(x)=e x图象上任一点(m,f(m))的切线方程为y-e m=e m(x-m),得e x≥e m(x+1)-m e m,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有e x≥x+1;当m=1时,有e x>e x.(2)由过函数f(x)=ln x图象上任一点(n,f(n))的切线方程为y-ln n=(x-n),得ln x≤x-1+ln n,当且仅当x=n时,等号成立.当n=1时,有ln x≤x-1;当n=e时,有ln x≤x.2.证明含参数的函数不等式,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到“一平一曲”,然后运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.3.求解导数应用题宏观上的解题思想(1)借助导函数(正负)研究原函数(单调性);重点是把导函数先“弄熟悉”;(2)为了把导函数先“弄熟悉”采取的措施:①通分;②二次求导或三次求导;③能画出导函数草图是最好的!关键能力学案突破热点一利用导数证明不等式(多维探究)类型一单未知数函数不等式的证明【例1】已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(1)略;(2)当m≤2时,证明f(x)>0.解题心得1.对于含有参数的一个未知数的函数不等式,其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致.可以直接证明,也可以放缩后再证明,也可以分离参数后,利用导数求最值来证明.2.证法1与证法2中出现的x0的具体数值是无法求解的,只能求出其范围,我们把这种零点称为“隐性零点”.证法2比证法1简单,这是因为利用了函数单调性将命题e x-ln(x+m)>0加强为e x-ln(x+2)>0,转化为研究一个特例函数的问题,从而大大降低了题目的难度.证法2中,因为φ(x0)的表达式涉及、ln(x0+2),都是超越式,所以φ(x0)的值不好计算,由此,需要对“隐性零点”满足的式子=0进行变形,得到两个式子和ln(x0+2)=-x0,然后进行反代,从而将超越式转化为初等式.“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略.【对点训练1】已知函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)求证:当a≥1时,f(x)+e≥0.【例2】已知函数f(x)=x+.(1)略;(2)设函数g(x)=ln x+1,证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).解题心得欲证函数不等式f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),设h(x)=f(x)-g(x)(x∈I),即证h(x)>0,为此研究h(x)的单调性,先求h'(x)的零点,根据零点确定h(x)在给定区间I的正负,若h(x)在区间I内递增或递减或先递减后递增,只须h(x)min>0(x∈I)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)的下确界),若h(x)在区间I内先递增后递减,只须区间I的端点的函数值大于或等于0;若h'(x)的零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点的范围,进而确定h(x)的单调区间,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正负.【对点训练2】(2020全国Ⅱ,理21)已知函数f(x)=sin2x sin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;(2)证明:|f(x)|≤;(3)设n∈N*,证明:sin2x sin22x sin24x…sin22n x≤.类型二双未知数函数不等式的证明【例3】已知函数f(x)=-x+a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.解题心得对于两个未知数的函数不等式问题,其关键在于将两个未知数化归为一个未知数,常见的证明方法有以下4种:方法1:利用换元法,化归为一个未知数;方法2:利用未知数之间的关系消元,化归为一个未知数;方法3:分离未知数后构造函数,利用函数的单调性证明;方法4:利用主元法,构造函数证明.【对点训练3】(2020山东德州二模,21)已知函数f(x)=x2-ax+a ln 2x(a≠0).(1)若a<0时f(x)在[1,e]上的最小值是-ln 2,求a;(2)若a≥e,且x1,x2是f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2)<)-2e(其中e为自然对数的底数).热点二判断、证明或讨论函数零点个数【例4】设函数f(x)=(x-1)e x-x2(其中k∈R).(1)略;(2)当k>0时,讨论函数f(x)的零点个数.解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图象,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的范围.【对点训练4】(2020湖南湘潭三模,理21)设函数f(x)=ln x,g(x)=.(1)当m=-1时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点个数;(2)若∃x0∈[1,+∞),使得f(x0)<g(x0),求实数m的取值范围.热点三与函数零点有关的证明问题【例5】(2019全国Ⅰ,理20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:(1)f'(x)在区间存在唯一极大值点;(2)f(x)有且仅有2个零点.解题心得1.如果函数中没有参数,一阶导数求出函数的极值点,判断极值点大于0小于0的情况,进而判断函数零点的个数.2.如果函数中含有参数,往往一阶导数的正负不好判断,这时先对参数进行分类,再判断导数的符号,如果分类也不好判断,那么需要对一阶导函数进行求导,在判断二阶导数的正负时,也可能需要分类.【对点训练5】(2020安徽合肥二模,文21)已知函数f(x)=e x sin x.(e是自然对数的底数) (1)求f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)-2x,证明g(x)在(0,π)上只有两个零点.(参考数据:≈4.8)热点四利用导数解决存在性问题【例6】(2019全国Ⅲ,理20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.解题心得依据已知条件,判别某种数学对象是否存在的问题,由解答者去探索和确定,它的解法是:假设存在,直接推断,通过推理或计算,若推出合理的结果,则先前假设成立,对象存在;若推出矛盾,则否定先前假设,对象不存在.【对点训练6】(2020湖北名师联盟一模,文21)已知函数f(x)=ln x-ax2-x.(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴,是否存在整数k,使不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.2.4.3利用导数证明问题及讨论零点个数关键能力·学案突破【例1】解(1)略.(2)证法1:f(x)定义域为(-m,+∞),f'(x)=e x-,f″(x)=e x+>0,其中f″(x)是f'(x)的导函数,则f'(x)在(-m,+∞)上单调递增.又因为当x→-m+时,f'(x)→-∞,当x→+∞时,f'(x)→+∞,所以f'(x)=0在(-m,+∞)上有唯一的实根x0,当-m<x<x0时,f'(x)<0,当x>x0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-m,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值.由f'(x0)=0可得=0,即ln(x0+m)=-x0,于是f(x0)=-ln(x0+m)=+x0=+x0+m-m≥2-m.当x<2时,f(x0)>0;当m=2时,等号成立的条件是x0=-1,但显然f(-1)=e-1-ln(-1+2)=-0≠0.所以等号不成立,即f(x0)>0.综上所述,当m≤2时,f(x)≥f(x0)>0.证法2:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),于是f(x)≥e x-ln(x+2),所以只要证明φ(x)=e x-ln(x+2)>0,x∈(-2,+∞).φ'(x)=e x-,φ″(x)=e x+>0,其中φ″(x)是φ'(x)的导函数.于是φ'(x)在(-2,+∞)上单调递增.又因为φ'(-1)=-1<0,φ'(0)=1->0,所以φ'(x)=0在(-2,+∞)上有唯一的实根x0,且x0∈(-1,0).当-2<x<x0时,φ'(x)<0,当x>x0时,φ'(x)>0,所以φ(x)在(-2,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x=x0时,φ(x)取得最小值.由φ'(x0)=0可得=0,即ln(x0+2)=-x0,于是φ(x0)=-ln(x0+2)=+x0=>0,于是φ(x)≥φ(x0)>0.综上所述,当m≤2时,f(x)>0.证法3:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),于是f(x)≥e x-ln(x+2),所以只要证明e x-ln(x+2)>0(x>-2),就能证明当m≤2时,f(x)>0.由ln x≤x-1(x>0)可得ln(x+2)≤x+1(x>-2).又因为e x≥x+1(x∈R),且两个不等号不能同时成立,所以e x>ln(x+2),即e x-ln(x+2)>0(x>-2),所以当m≤2时,f(x)>0.对点训练1解(1)f'(x)=,因为(0,-1)在曲线y=f(x)上,且f'(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)f(x)+e≥0+e≥0⇔ax2+x-1+e x+1≥0.当a≥1时,ax2+x-1+e x+1≥x2+x-1+e x+1,因为e x≥1+x(x∈R),所以e x+1≥2+x,所以x2+x-1+e x+1≥x2+x-1+(2+x)=(x+1)2≥0.所以当a≥1时,f(x)+e≥0.【例2】解(1)略.(2)令h(x)=f(x)-g(x)=x+-ln x-1(x>0),h'(x)=1-,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图象的对称轴为x=∵p(1)=1-1-a=-a<0,设p(x)=0的正根为x0,∴x0>1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,h(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,h(x)min=h(x0)=x0+-ln x0-1=x0+-ln x0-1=2x0-ln x0-2,令F(x)=2x-ln x-2(x>1),F'(x)=2->0恒成立,所以F(x)在(1,+∞)上为增函数.又∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,故当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).对点训练2(1)解f'(x)=cos x(sin x sin2x)+sin x(sin x sin2x)'=2sin x cos x sin2x+2sin2x cos2x=2sin x sin3x.当x时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.所以f(x)在区间单调递增,在区间单调递减.(2)证明因为f(0)=f(π)=0,由(1)知,f(x)在区间[0,π]的最大值为f,最小值为f=-而f(x)是周期为π的周期函数,故|f(x)|(3)证明由于(sin2x sin22x…sin22n x=|sin3x sin32x…sin32n x|=|sin x||sin2x sin32x…sin32n-1x sin2n x||sin22n x|=|sin x||f(x)f(2x)…f(2n-1x)||sin22n x|≤|f(x)f(2x)…f(2n-1x)|,所以sin2x sin22x…sin22n x【例3】解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=--1+=-①若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若Δ=a2-4≤0,即0<a≤2时,f'(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.③若Δ=a2-4>0,即a>2时,由f'(x)>0,可得<x<,由f'(x)<0,可得0<x<或x>,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>2时,f(x)在0,,,+∞上单调递减,在上单调递增.(2)证法1:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1+x2=a,x1x2=1,不妨设0<x1<1<x2.==--1+=-2+, 于是<a-2⇔-2+<a-2<1<1⇔2ln x2+-x2 <0.构造函数g(x)=2ln x+-x,x>1,由(1)知,g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)<g(1)=0,所以原不等式获证.证法2:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2.因为x1,x2是f(x)的两个极值点,所以x1,x2满足x2-ax+1=0,不妨设0<x1<1<x2,则x2-x1=,x1x2=1.==--1+=-2-,于是<a-2⇔-2-<a-2⇔ln lnln设t=,则a=,构造函数φ(t)=t-ln(+t),t>0,则φ'(t)=1-=1->0,所以φ(t)在(0,+∞)上单调递增,于是φ(t)>φ(0)=0,原不等式获证.证法3:仿照证法1,可得<a-2<1,设0<x1<1<x2,因为x1x2=1, 所以<1ln x1-ln x2>ln,令t=(0,1),构造函数h(t)=2ln t+-t,由(1)知,h(t)在(0,1)上单调递减,所以h(t)>h(1)=0,原不等式获证.对点训练3解(1)f(x)定义域是(0,+∞),f'(x)=-a+令g(x)=x2-2ax+2a,对称轴x0=a<0,因为1>a,g(1)=1>0,所以当x∈[1,e]时,g(x)>0,即f'(x)=>0.所以f(x)在[1,e]上单调递增.f(x)min=f(1)=-a+a ln2=-ln2,解得a=-1.(2)由f(x)有两个极值点x1,x2,则f'(x)=0在(0,+∞)有2个不相等的实根,即x2-2ax+2a=0在(0,+∞)有2个不相等的实根, 则解得a>2.x1+x2=2a,x1x2=2a,=(x1+x2)2-2x1x2=4a2-4a.当a≥e时,f(x1)+f(x2)-)+2e=a ln(4x1x2)-a(x1+x2)-)+2e=a ln8a-2a2-(4a2-4a)+2e=a ln8a-3a2+a+2e(a≥e).令g(a)=a ln8a-3a2+a+2e(a≥e),g'(a)=ln8a-6a+2(a≥e),令h(a)=g'(a)=ln8a-6a+2,h'(a)=-6=,当a≥e时,h'(a)<0,所以h(a)在[e,+∞)单调递减.所以h(a)≤h(e).即g'(a)≤g'(e)=ln8e-6e+2=(1+3ln2)-6e+2=3ln2-6e+3<3-6e+3=6-6e<0,所以g(a)在[e,+∞)单调递减,g(a)≤g(e)=eln8e-3e2+3e=e(1+3ln2)-3e2+3e=e(3ln2-3e+4)<e(3-3e+4)=e(7-3e)<0,所以g(a)<0,所以原不等式成立.【例4】解(1)略.(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=e x+(x-1)e x-kx=x e x-kx=x(e x-k),当0<k≤1时,令f'(x)>0,解得x<ln k或x>0.∴f(x)在(-∞,ln k)和(0,+∞)上单调递增,在[ln k,0]上单调递减.由f(0)=-1,当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(x)max=f(ln k)=(ln k-1)k-ln2k=-[(ln k-1)2+1]<0,此时f(x)无零点,当x∈[0,+∞)时,f(2)=e2-2k≥e2-2>0.又f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)在[0,+∞)上有唯一的零点,∴函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.②当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>ln k,∴f(x)在(-∞,0)和(ln k,+∞)上单调递增,在[0,ln k]上单调递减.当x∈(-∞,ln k)时,f(x)≤f(x)max=f(0)=-1<0,此时f(x)无零点.当x∈[ln k,+∞)时,f(ln k)<f(0)=-1<0,f(k+1)=k e k+1-=k e k+1-.令g(t)=e t-t2,t=k+1>2,则g'(t)=e t-t,g″(t)=e t-1,∵t>2,g″(t)>0,g'(t)在(2,+∞)上单调递增,g'(t)>g'(2)=e2-2>0,∴g(t)在(2,+∞)上单调递增,得g(t)>g(2)=e2-2>0,即f(k+1)>0.∴f(x)在[ln k,+∞]上有唯一的零点,故函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有唯一的零点.综合①②可知,当k>0时,函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上有且只有一个零点.对点训练4解(1)F(x)=ln x-,即F(x)=ln x+(x>0),则F'(x)=,令F'(x)=0,解得x=当x,F'(x)<0,F(x)在上单调递减;当x∈,+∞,F'(x)>0,F(x)在上单调递增.所以当x=时,F(x)min=F-ln2.因为-ln2=ln-ln2<0,所以F(x)min<0.又F=-2+>0,F(e)=1+>0,所以F F<0,F(e)·F<0,所以F(x)分别在区间上各存在一个零点,函数F(x)存在两个零点.(2)假设f(x)≥g(x)对任意x∈[1,+∞)恒成立,即ln x-0对任意x∈[1,+∞)恒成立.令h(x)=ln x-(x≥1),则h'(x)=①当m≤2,即2x-m≥0时,则h'(x)≥0且h'(x)不恒为0,所以函数h(x)=ln x-在区间[1,+∞)上单调递增.又h(1)=ln1-=0,所以h(x)≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立.故m≤2不符合题意;②当m>2时,令h'(x)=<0,得1≤x<;令h'(x)=>0,得x>所以函数h(x)=ln x-在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以h<h(1)=0,即当m>2时,存在x0≥1,使h(x0)<0,即f(x0)<g(x0).故m>2符合题意.综上可知,实数m的取值范围是(2,+∞).【例5】解(1)设g(x)=f'(x),则g(x)=cos x-,g'(x)=-sin x+当x时,g'(x)单调递减,而g'(0)>0,g'<0,可得g'(x)在区间内有唯一零点,设为α.则当x∈(-1,α)时,g'(x)>0;当x时,g'(x)<0.所以g(x)在区间(-1,α)内单调递增,在区间内单调递减,故g(x)在区间内存在唯一极大值点,即f'(x)在区间内存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(ⅰ)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在区间(-1,0)内单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在区间(-1,0]上的唯一零点.(ⅱ)当x时,由(1)知,f'(x)在区间(0,α)内单调递增,在区间内单调递减,而f'(0)=0,f'<0,所以存在,使得f'(β)=0,且当x∈(0,β)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在区间(0,β)内单调递增,在区间内单调递减.又f(0)=0,f=1-ln1+>0,所以当x时,f(x)>0.从而,f(x)在区间上没有零点.(ⅲ)当x时,f'(x)<0,所以f(x)在区间内单调递减.而f>0,f(π)<0,所以f(x)在区间上有唯一零点.(ⅳ)当x∈(π,+∞)时,ln(x+1)>1,所以f(x)<0,从而f(x)在区间(π,+∞)内没有零点.综上,f(x)有且仅有2个零点.对点训练5解(1)f(x)=e x sin x,定义域为R.f'(x)=e x(sin x+cos x)=e x sin x+.由f'(x)<0得sin<0,解得2kπ+<x<2kπ+(k∈Z).∴f(x)的单调递减区间为2kπ+,2kπ+(k∈Z).(2)∵g'(x)=e x(sin x+cos x)-2,∴g″(x)=2e x cos x,g″(x)是g'(x)的导函数.∵x∈(0,π),∴当x时,g″(x)>0;当x ∈,π时,g″(x)<0.∴g'(x)在上单调递增,在上单调递减,又∵g'(0)=1-2<0,g'-2>0,g'(π)=-eπ-2<0,∴g'(x)在(0,π)上图象大致如图.∴∃x1,x2,使得g'(x1)=0,g'(x2)=0,且当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时,g'(x)<0;当x∈(x1,x2)时,g'(x)>0.∴g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.∵g(0)=0,∴g(x1)<0.∵g-π>0,∴g(x2)>0.又∵g(π)=-2π<0,由零点存在性定理得,g(x)在(x1,x2)和(x2,π)内各有一个零点,∴函数g(x)在(0,π)上有两个零点.【例6】解(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=若a>0,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x(0,+∞)时,f'(x)>0;当x时,f'(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.(2)满足题设条件的a,b存在.(ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(ⅲ)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为f=-+b,最大值为b或2-a+b.若-+b=-1,b=1,则a=3,与0<a<3矛盾.若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0<a<3矛盾.综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.对点训练6解(1)∵函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f'(x)=-ax-1≥0在[1,+∞)上恒成立.∴a,∴当x=2时,有最小值-,∴a≤-(2)∵f'(x)=-ax-1,∴f'(1)=1-a-1=-a.∵函数f(x)在x=1处的切线平行于x轴,∴a=0,∴f(x)=ln x-x.∵不等式x[f(x)+x-1]>k(x-2)在x>1时恒成立,∴x ln x-x>k(x-2)在x>1时恒成立,即x ln x-(k+1)x+2k>0在x>1时恒成立,令g(x)=x ln x-(k+1)x+2k,x>1,∴g'(x)=ln x-k,当k≤0时,g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立, 即g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)>g(1)=k-1>0,则k>1,矛盾,当k>0时,令g'(x)>0,解得x>e k,令g'(x)<0,解得1<x<e k, ∴g(x)在(1,e k)单调递减,在(e k,+∞)单调递增.∴g(x)min=g(e k)=k e k-(k+1)e k+2k=2k-e k>0,令h(k)=2k-e k,k>0,则h'(k)=2-e k,∵当k<ln2时,h'(k)>0,函数h(k)单调递增,当k>ln2时,h'(k)<0,函数h(k)单调递减,∴h(k)max=h(ln2)=2ln2-2=2(ln2-1)<0,∴不存在整数k使得2k-e k>0恒成立.综上所述不存在满足条件的整数k.。

高优指导高考数学二轮复习专题十一选择题、填空题解题技巧素能提升练理【含答案】

专题十一选择题、填空题解题技巧素能演练提升二十SUNENG YANLIANTISHENG ERSHI掌握核心,赢在课堂1.函数y=的图象是( )解析:由函数y=是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),可排除选项A,D.当x>1,0<a<1时,y=x a 在直线y=x下方,排除选项C,故选B.答案:B2.已知椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),A,B是椭圆上的两点且OA,OB互相垂直,则的值为( )A. B.C. D.不能确定解析:取点A,B分别为长轴与短轴的两个端点,则|OA|=a,|OB|=b,所以.答案:A3.(2014山东潍坊模拟,6)若△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,=m(),则实数m 的值为( )A. B.1C.2D.解析:特殊化,当△ABC为等腰直角三角形时,O为AC的中点,AB,BC边上高的交点H与B重合(如图),,所以m=1.答案:B4.已知函数f(x)=若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3]D.(2,+∞)解析:∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,即y=log a x单调递增.∴a>1.又f(x)在(-∞,1]上单调递增,∴a-2>0,即a>2.从两段解析式看,要使f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则(a-2)×1-1≤log a1,∴a≤3.总之,2<a≤3,即a∈(2,3].答案:C5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象是( )解析:令g(x)=f(x)e x,则g'(x)=f'(x)e x+f(x)e x,∵x=-1为函数g(x)的一个极值点,∴g'(-1)=f'(-1)e-1+f(-1)e-1=0.∴f'(-1)=-f(-1).在D选项中,f(-1)>0,∴f'(-1)=-f(-1)<0,这与图象不符.答案:D6.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数解析:数形结合法,f(x)是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下图知选B.答案:B7.若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析:由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=5∶11∶13.取特例:不妨令三角形三边长a=5,b=11,c=13,∵c2=169>a2+b2=136,∴∠C为钝角.∴△ABC为钝角三角形.答案:C8.设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.解析:∵方程有实数根,∴Δ=16-4n≥0.∴n≤4.∵原方程的根x==2±为整数,∴为整数.又∵n∈N*,∴n=3或n=4.反过来,当n=3时,方程x2-4x+3=0的两根分别为1,3,是整数;当n=4时,方程x2-4x+4=0的两根相等且为2,是整数.答案:3或49.下列5个函数中:①y=2x;②y=log2x;③y=x2;④y=x-1;⑤y=cos x.当0<x1<x2<1时,使f恒成立的函数是.(将正确的序号都填上)解析:由不等式f的几何意义,在函数f(x)图象上任取两点,这两点连线的弦在曲线的下方,当0<x1<x2<1时,②⑤均符合题意,故应填②⑤.答案:②⑤10.(2014陕西榆林模拟,13)如果不等式>(a-1)x的解集为A,且A⊆{x|0<x<2},那么实数a的取值范围是.解析:根据不等式解集的几何意义,作函数y=和函数y=(a-1)x的图象(如图),从图上容易得出实数a的取值范围是[2,+∞).答案:[2,+∞)11.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是.解析:曲线方程可化为(x-6)2+(y-6)2=18,其圆心到直线x+y-2=0的距离为d==5.故所求的最小圆的圆心在直线y=x上,其到直线的距离为,圆心坐标为(2,2).因此所求的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2。

高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案

高考数学二轮复习提高题专题复习导数及其应用多选题练习题含答案一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．已知函数()f x对于任意x∈R，均满足()()2f x f x=-.当1x≤时()ln,01,0xx xf xe x<≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x=--，下列结论正确的为（）A．若0m<，则()g x恰有两个零点B．若32m e<<，则()g x有三个零点C．若3 02m<≤，则()g x恰有四个零点D．不存在m使得()g x恰有四个零点【答案】ABC【分析】设()2h x m x=-，作出函数()g x的图象，求出直线2y mx=-与曲线()ln01y x x=<<相切以及直线2y mx=-过点()2,1A时对应的实数m的值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由()()2f x f x=-可知函数()f x的图象关于直线1x=对称.令()0g x=，即()2m x f x-=，作出函数()f x的图象如下图所示：令()2h x m x=-，则函数()g x的零点个数为函数()f x、()h x的图象的交点个数，()h x的定义域为R，且()()22h x m x m x h x-=--=-=，则函数()h x为偶函数，且函数()h x的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x的图象过点()2,1A时，有()2221h m=-=，解得32m=.过点()0,2-作函数()ln01y x x=<<的图象的切线，设切点为()00,lnx x，对函数lny x=求导得1yx'=，所以，函数lny x=的图象在点()00,lnx x处的切线方程为()001lny x x xx-=-，切线过点()0,2-，所以，2ln1x--=-，解得1xe=，则切线斜率为e，即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确；若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．对于函数()2ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（）A ．该函数定有2个极值B ．该函数的极小值一定不大于2C ．该函数一定存在零点D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点【答案】BD 【分析】求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数．【详解】函数定义域是(0,)+∞，由已知2121()2x ax f x x a x x+-'=+-=，280a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12102x x =-<，12,x x 一正一负．由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错；不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．222210x ax +-=，22212x a x -=，22222()ln 1f x x ax x a =+--+＝222222222222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，设21()2ln 2g x x x x x =-+--+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确；由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；()f x 的极小值也是最小值为2222221()2ln 2f x x x x x =-+--+，例如当23x =时，173a =-，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =--++=-+>（217()3e >，所以()f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确．故选：BD ．【点睛】思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（） A ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B ．若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C ．若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D ．若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为()y f x =与y k =有两个不同的交点，即可判断A 选项；易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，将条件等价于y k =和ln xy x=只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出m 的范围，即可判断C 选项；2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，()f x 的定义域(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，令()0f x '>，有ln 1x >-，即1x e>，可知()f x 在1(0,)e 单调递减，在1+e∞（，）单调递增，所以极小值等于最小值， min 11()()f x f e e∴==-，且当0x →时()0f x →，又(1)0f =，从而要使得方程()f x k =有两个不同的实根，即()y f x =与y k =有两个不同的交点，所以1(,0)k e∈-，故A 正确；对于B ，易知1x =不是该方程的根，当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =有且只有一个实数根，等价于y k =和ln xy x=只有一个交点， 2ln 1(ln )-'=x y x ，又0x >且1x ≠，令0y '>，即ln 1x >，有x e >，知ln xy x=在0,1（）和1e （，）单减，在+e ∞（，）上单增， 1x =是一条渐近线，极小值为e ,由ln xy x=大致图像可知0k <或=k e ，故B 错误；对于C ，当120x x >>时，[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-恒成立，等价于1122()()()()mg x f x mg x f x ->-恒成立，即函数()()y mg x f x =-在(0,)+∞上为增函数，即()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥恒成立，即ln 1+≥x m x在(0,)+∞上恒成立，令ln 1()x r x x +=，则2ln ()xr x x -'=，令()0r x '>得ln 0x <，有01x <<，从而()r x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，则max ()(1)1r x r ==，于是m 1≥，故C 正确；对于D ，2()ln (0)F x x x ax x =->有两个不同极值点，等价于()ln 120F x x ax +-'==有两个不同的正根，即方程ln 12x a x+=有两个不同的正根，由C 可知，021a <<，即102a <<，则D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．6．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点【答案】ACD【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则212401a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >，当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误；因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭，易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数，则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--，所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确；当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34，则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>，所以()f x 只有一个零点，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程； ②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.7．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得，当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增；所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=，当13x <<时，()f x 单调递减；当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2xf x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

高考数学二轮复习导数及其应用多选题知识归纳总结附解析

高考数学二轮复习导数及其应用多选题知识归纳总结附解析一、导数及其应用多选题1．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的有（）A ．()f x在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C．(2)f f f <<D ．若21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，则2e k <【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ．【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⨯-⨯-'==>，令()0f x '=，即2ln 1x =，解得x =当0x <<()0f x '>，故()f x在上为单调递增函数．当x >()0f x '<，故()f x在)+∞上为单调递减函数．所以()f x在x =12f e=，故A 正确；当0x <<()0f x '>，()f x在上为单调递增函数，因为()10f =，所以函数()f x在上有唯一零点，当x ≥2ln ()0xf x x=>恒成立，即函数()f x在)+∞上没有零点，综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．由于当x >()0f x '<，()f x在)+∞上为单调递减函数，因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；由于21()f x k x>-在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解，所以2ln 1()max x k x +<，设2ln 1()x g x x+=，则32ln 1()x g x x --'=，令()0g x '=，解得x =当x>()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数．当0x<<时，()0f x '>，故()f x 在上为单调递增函数．所以()22max e eg x g e ==-=．故2ek <，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.2．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.3．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.4．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1x f x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）5．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确；对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-，若0a =，由题意知，结论成立，若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥，即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立，故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．6．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.7．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．8．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（）. A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】ABC【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ，于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.k .因为k为整数，所以0故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。

高考数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理规范解答示例6函数与导数课件新人教版

11分 12分
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构建答题模板第一步求导数：对复杂函数性质的讨论，可通过二次求导．第二步看性质：通过导函数的符号确定函数的单调性，结合草图分析函数的零点、极值等性质．
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第三步找联系：寻找要求结论和函数性质的联系，通过所得函数性质解决所求问题. 第四步规范答：审视思路，规划并书写规范步骤.
(2)对 x 进行讨论→分四个区间(－1,0]，0，π2，π2，π，(π，＋∞)，根据用导数判断函数单调性来确ห้องสมุดไป่ตู้零点个数.
4
规范解答·分步得分
证明：(1)设 g(x)＝f′(x)，则 g(x)＝cos x－1＋1 x，
g′(x)＝－sin x＋1＋1 x2.
2分
当 x∈－1，π2时，g′(x)单调递减，
19
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
7分
7
②当 x∈0，π2时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在α，π2上单调递减，
而 f′(0)＝0，f′π2<0，
所以存在 β∈α，π2，使得 f′(β)＝0，且当 x∈(0，β)时，f′(x)>0；
当 x∈β，π2时，f′(x)<0．
故 f(x)在(0，β)上单调递增，在β，π2上单调递减.
5分
6
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞).
6分
①当 x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而 f′(0)
＝0，
所以当 x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故 f(x)在(－1,0)上单调递减．

高考二轮复习培优

高考二轮复习培优
专题一函数与导数
第1讲函数的图象与性质
第2讲基本初等函数、函数与方程
第3讲函数性质间的相互联系
第4讲不等式
第5讲基本不等式的综合问题
第6讲导数的简单应用
第7讲导数与不等式的证明
第8讲恒成立问题与有解问题
第9讲零点问题
第10讲导数中函数的构造问题
第11讲洛必达法则
第12讲隐零点问题
第13讲极值点偏移问题
专题二平面向量与三角函数
第1讲平面向量
第2讲向量共线定理的应用
第3讲平面向量数量积的最值问题
第4讲平面向量“奔驰定理”
第5讲向量极化恒等式
第6讲三角函数的图象与性质
第7讲三角恒等变换与解三角形
第8讲三角函数中的范围、最值问题
专题三数列
第1讲等差数列与等比数列
第2讲用“不动点法”求数列的通项公式第3讲数列求和及其综合应用
第4讲数列中的奇、偶项问题
专题四立体几何与空间向量
第1讲空间几何体
第2讲空间点、线、面的位置关系
第3讲立体几何与空间向量
第4讲截面问题
第5讲空间几何体的外接球
专题五概率与统计
第1讲统计与统计案例
第2讲概率、随机变量及其分布第3讲非线性回归问题
第4讲概率与统计的创新题型
专题六解析几何
第1讲直线与圆
第2讲隐圆问题
第3讲椭圆、双曲线、抛物线
第4讲离心率范围的求法
第5讲圆锥曲线的范围、最值问题第6讲圆锥曲线的定点问题
第7讲圆锥曲线的定值问题
第8讲圆锥曲线的探索性问题
第9讲抛物线的焦点弦问题
专题七12类二级结论应用。

金湖二中高三数学提优练习二(函数与导数)

金湖二中09届高三数学提优练习二函数与导数一、基础知识1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2．熟记基本导数公式：x m (m 为有理数)、sinx 、cosx 、e x 、a x 、lnx 、log a x 的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1．函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2．函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;3．利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;4．通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.5．导数与其他方面的知识的综合二、基础训练1．如果质点A 按规律s =2t 3运动，则在t =3 s 时的瞬时速度为2．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 3．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数的单调递减区间是（-3，1），则a 的值是 . (2)若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是 .4．已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是5．若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；6．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________三、例题讲解1．设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+．（Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．2．如图,曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象,BA x ⊥轴于点A,曲线段OMB 上一点M 2(,)t t 处的切线PQ 交x 轴于点P,交线段AB 于点Q(1)若t 已知,求切线PQ 的方程 (2)求QAP ∆的面积的最大值四、巩固练习1．已知函数x e y =.则（1）这个函数在点e x =处的切线的方程为；（2）过原点作曲线y ＝e x 的切线方程为。

高考数学二轮增分策略：第4篇第2讲《函数与导数(含答案)

2．函数与导数1．求函数的定义域，重点是依照含自变量 x 的代数式存心义来列出相应的不等式 (组 )求解，如开偶次方根、被开方数必定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出全部的不等式，不该遗漏．对抽象函数，只需对应关系同样，括号里整体的取值范围就完整同样．1 ＋ lg(1 ＋ x)的定义域是 __________________ ．[问题 1] 函数 f(x)＝1－ x2．用换元法求分析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [问题 2] 已知 f(cos x)＝ sin 2x ，则 f(x) ＝________.3．分段函数是在其定义域的不一样子集上，分别用不一样的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．[问题 3] 已知函数 f(x)＝3x ，x ≤0，那么 f(5)的值为 ________．f x －， x>0，64．判断函数的奇偶性，要注意定义域一定对于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．－ x 2[问题 4]f(x)＝ |x － 2|－ 2 是________函数 (填 “奇 ”“偶 ”或 “非奇非偶 ”)．5．求函数单一区间时，多个单一区间之间不可以用符号 “∪ ”和 “或”连结，可用 “及 ”连结，或用“， ”分开．单一区间一定是 “区间 ”，而不可以用会合或不等式取代．[问题 5]函数 f(x)＝1x 的减区间为 ________________________________________ ．6．弄清函数奇偶性的性质(1)奇函数在对于原点对称的区间上如有单一性，则其单一性完整同样；偶函数在对于原点对称的区间上如有单一性，则其单一性恰好相反．(2) 若 f( x)为偶函数，则 f(－ x)＝ f(x)＝f(|x|)． (3) 若奇函数 f(x)的定义域中含有0，则必有 f(0)＝ 0.“f(0) ＝0”是 “f(x)为奇函数 ”的既不充足也不用要条件．2[问题 6] 设 f(x)＝ lg 1－ x ＋ a是奇函数，且在 x ＝ 0 处存心义，则该函数为 ()A ． (－ ∞，＋ ∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C．(－1,1)上的减函数D． (－ 1,1)上的增函数7．求函数最值(值域 )常用的方法(1)单一性法：合适于已知或能判断单一性的函数．(2)图象法：合适于已知或易作出图象的函数．(3)基本不等式法：特别合适于分式结构或两元的函数．(4)导数法：合适于可导函数．(5)换元法 (特别注意新元的范围)．(6)分别常数法：合适于一次分式．2x[问题 7]函数y＝2x＋1(x≥ 0)的值域为________．8．函数图象的几种常有变换(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言 )；上下平移——“上加下减”．(2)翻折变换： f(x) →|f(x)|； f(x) →f(|x|)．(3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上随意点对于对称中心(轴 )的对称点仍在图象上；②函数 y＝ f(x)与 y＝－ f(－x)的图象对于原点成中心对称；③函数 y＝ f(x)与 y＝f(－ x)的图象对于直线x＝ 0 (y 轴 )对称；函数 y＝f(x)与函数 y＝－ f(x)的图象对于直线y＝ 0(x 轴)对称．[问题 8]2x＋1的图象的对称中心是 ________．函数 f(x)＝x＋19．相关函数周期的几种状况一定熟记：(1) f(x)＝f(x＋ a)(a>0) ，则 f(x)的周期 T＝ a；(2) f(x＋ a)＝1(f(x) ≠ 0)或 f(x＋a) ＝－ f(x)，则 f(x)的周期 T＝ 2a.f x1，若当 2<x<3时， f(x)＝ x，[问题 9]对于函数 f(x)定义域内随意的x，都有 f(x＋ 2)＝－f x则 f(2 016.5) ＝ ________.10．二次函数问题(1)办理二次函数的问题勿忘数形联合．二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看张口方向，二看对称轴与所给区间的相对地点关系．(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情况．[问题 10]若对于x的方程ax2－x＋1＝0起码有一个正根，则a的取值范围为________．11． (1) 对数运算性质已知 a>0 且 a≠1， b>0 且 b≠1， M>0 ， N>0.则 log a(MN)＝ log a M＋ log a N，Mlog a N＝ log a M－ log a N，log a M n＝ nlog a M，对数换底公式：log a N＝log b N. log b a推论：log a m N nn1＝m log a N； log a b＝log b a.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单一性、函数值的变化状况考虑，特别注意底数的取值对相关性质的影x响，此外，指数函数y＝ a 的图象恒过定点(0,1) ，对数函数y＝ log a x 的图象恒过定点(1,0)．α12．幂函数y＝ x (α∈R )(1)①若α＝ 1，则 y＝ x，图象是直线．②当α＝ 0 时， y＝ x0＝ 1(x≠0)图象是除点 (0,1) 外的直线．③当 0<α<1 时，图象过 (0,0)与 (1,1)两点，在第一象限内是上凸的．④当α>1 时，在第一象限内，图象是下凸的．(2)增减性：①当α>0 时，在区间 (0，＋∞)上，函数 y＝ xα是增函数；②当α<0 时，在区间 (0，＋∞)上，函数 y＝ xα是减函数．1 1x[问题 12] 函数 f(x)＝ x 2－的零点个数为 ________．213．函数与方程(1)对于函数 y＝ f(x)，使 f(x)＝ 0的实数 x 叫做函数 y＝ f( x)的零点．事实上，函数y＝ f(x)的零点就是方程f(x) ＝0 的实数根．(2)假如函数 y＝ f( x)在区间 [a，b]上的图象是一条连续曲线，且有 f(a)f(b)<0 ，那么函数 y＝f(x)在区间[a，b]内有零点，即存在 c∈ (a，b)，使得 f(c)＝ 0，此时这个 c 就是方程 f(x)＝ 0 的根．反之不建立．[问题 13] 已知定义在一条连续曲线，则方程R 上的函数f(x)＝ (x2－3x＋ 2) ·g(x)＋3x－ 4，此中函数f(x)＝ 0 在下边哪个区间内必有实数根()y＝ g(x)的图象是A ． (0,1)B ．(1,2)C． (2,3) D ． (3,4)14．求导数的方法(1)基本导数公式：c′＝ 0 (c 为常数 )； (x m) ＝′ mx m－1 (m∈Q)；(sin x) ＝′ cos x； (cos x) ′＝－ sin x；x x； (a xx1； (log1(e) ＝′ e) ＝′ a ln a；(ln x) ＝′x a x)＝′xln a(a>0且a≠1)．(2)导数的四则运算：(u±v) ′＝ u′±v；u u′v－ uv′(uv) ′＝u′v＋uv′；v′＝v2(v≠0)．(3)复合函数的导数：y x′＝ y u′·u x′.如求 f(ax＋ b)的导数，令u＝ ax＋ b，则(f(ax＋b)) ＝′f′(u)·a.－ 2x[问题 14] f(x)＝ e，则f′(x)＝________.15．利用导数判断函数的单一性：设函数y＝ f(x)在某个区间内可导，假如 f ′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；假如 f′(x)<0 ，那么 f(x)在该区间内为减函数；假如在某个区间内恒有f′(x)＝ 0，那么 f(x)在该区间内为常函数．注意：假如已知 f(x)为减函数求字母取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒建立，但要考证 f′(x)是否恒等于0.增函数亦这样．[问题 15]函数 f(x)＝ ax3－ 2x2＋x－ 1在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是 ________．16．导数为零的点其实不必定是极值点，3，有 f′(0)＝ 0，但 x＝ 0 不是极值点．比如：函数 f(x)＝ x[问题 16]1413的极值点是 ________．函数 f(x)＝x－ x4317．定积分运用微积分基本定理求定积分掌握以下几个公式：n ＋1b n x b，?a x dx＝n＋1|ab b?，a sin xdx＝－cos x|ab b?a cos xdx＝ sin x|a，b1b(b>a>0) ，?a dx＝ ln x|axb x a x b?a a dx＝ln a|a.bf(x)的原函数，应娴熟?a f(x)dx 值的重点是用求导公式逆向求出[问题 17]12＋sin x)dx＝ ________.计算定积分 ?1(x－易错点1忽略函数定义域例1函数y＝ log 1(x2－5x＋6)的单一递加区间为_____________ ．2错因剖析忽略对函数定义域的要求，遗漏条件x2－ 5x＋6>0.分析由 x2－ 5x＋ 6＞ 0知 { x|x＞ 3或x＜ 2} ．令u＝ x2－ 5x＋ 6，则u＝x2－5x＋ 6在(－∞，2)上是减函数，∴y＝ log 1 (x2－ 5x＋ 6)的单一增区间为(－∞， 2)．2答案 (－∞， 2)易错点2 分段函数意义理解不正确例 2定义在 R 上的函数log 2－ x ， x≤0，f(x)知足 f(x)＝则 f(2 016)的值为f x－－ f x－，x>0，()A．－ 1 B．0 C．1 D．2错因剖析不理解分段函数的意义，误以为应将 x＝2 016，代入 log 2(1－ x)，或许以为得不到f(2 016) 的值．分析f(2 016)＝ f(2 015)－ f(2 014) ＝ f(2 014) － f(2 013)－ f(2 014)＝－ f(2 013)＝ f(2 010)＝ f(0) ＝0.答案B例 3ax2＋ 1，x≥0，函数 f(x) ＝在 ( －∞，＋∞)上单调，则 a 的取值范围是a2－ax， x>0________________ ．错因剖析只考虑分段函数各段上函数值变化状况，忽略对定义域的临界点处函数值的要求．a＜ 0，分析若函数在R 上单一递减，则有a2－1＞ 0，解之得a≤－2；若函数在R 上单a2－0≥1，a＞ 0，调递加，则有a2－ 1＞ 0，解得 1＜ a≤ 2，a2－0≤1，故 a 的取值范围是 (－∞，－ 2]∪ (1， 2]．答案 (－∞，－ 2]∪ (1， 2]易错点3函数零点求解议论不全面例4函数f(x)＝mx2－ 2x＋ 1 有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是() A．(－∞，1]B． (－∞， 0]∪ {1}C．(－∞， 0)∪ {1}D． (－∞，1)错因剖析解此题易出现的错误有分类议论不全面、函数零点定理使用不妥，如忽略对m＝0的议论，就会错选 C.分析当 m＝ 0 时， x＝12为函数的零点；当m≠0时，若＝0，即m＝ 1 时， x＝ 1 是函数独一的零点，若Δ≠0，明显x＝ 0 不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x) ＝ mx2－ 2x＋ 1＝ 0 有一个正根一个负根，即mf(0) ＜ 0，即m＜ 0.应选 B.答案B易错点4混杂“过点”和“切点”例 5 求过曲线 y＝ 3x－ x3上的点 (2，－ 2)的切线方程．错因剖析混杂过一点的切线和在一点处切线，错误以为(2，－ 2)必定是切点．解设切点为 P(x0，y0)，则点 P 处的切线方程是y－ y0＝ (3－ 3x20)(x－ x0)．∵点 A 在切线上，∴－ 2－ y0＝ (3－ 3x20)(2－ x0)．①又∵点 P 在曲线 C 上，∴y0＝ 3x0－ x30.②由①、②，解得x0＝ 2 或 x0＝－ 1.当 x0＝ 2 时， P 点的坐标为 (2，－ 2)，切线方程是 9x＋y－ 16＝ 0.当 x0＝－ 1 时， P 点的坐标为 (－ 1，－ 2)，切线方程是 y＋ 2＝ 0.综上，过点 A 的曲线 C 的切线方程是：9x＋ y－ 16＝ 0 或 y＋2＝ 0.易错点 5 极值点条件不清例 6已知 f(x)＝x3＋ ax2＋ bx＋ a2在 x＝ 1 处有极值为10，则 a＋b＝ ________.错因剖析把 f′(x作为 x0为极值点的充要条件，没有对a，b 值进行考证，致使增解．0)＝0分析 f ′(x)＝ 3x2＋ 2ax＋ b，由 x＝ 1 时，函数获得极值10，得f＝ 3＋2a＋ b＝0，①f＝1＋ a＋ b＋ a2＝ 10，②联立①②得a＝ 4，a＝－ 3，或b＝ 3.b＝－ 11，当 a＝4， b＝－ 11 时，f′(x)＝ 3x2＋ 8x－ 11＝ (3x＋11)(x－ 1)．在 x＝1 双侧的符号相反，切合题意．当 a＝－ 3， b＝3 时，f′(x)＝ 3(x－ 1)2在 x＝1 双侧的符号同样，所以 a＝－ 3， b＝ 3 不切合题意，舍去．综上可知 a＝ 4， b＝－ 11，∴ a＋ b＝－ 7.答案－ 7易错点 6 函数单一性与导数关系理解不正确例 7函数 f(x)＝ax3－x2＋ x－ 5 在R上是增函数，则 a 的取值范围是 ________．错因剖析误以为 f′(x)＞ 0 恒建立是 f(x)在R上是增函数的必需条件，遗漏f′(x)＝ 0 的状况．分析f(x)＝ ax3－ x2＋ x－ 5 的导数 f′(x)＝3ax2－ 2x＋ 1，a＞0，1由 f′(x)≥0，得解得 a≥ .＝ 4－12a≤0，3答案1a≥3易错点 7 计算定积分忽略细节例 841?2x dx 等于 ()A ．－ 2ln 2B． 2ln 2 C．－ ln 2 D ． ln 2错题剖析此题易出现的问题主要有两个方面：一是混杂求原函数和求导数的运算，误以为1原函数为y＝ (x)而′找不到答案；二是记错公式，把积分的上、下限颠倒致使计算失误，而错选 C.分析由于 (ln x) ′＝1，所以 y＝1的一个原函数是y＝ ln x，x x414＝ ln 2 ，应选 D.故 ?2 dx＝ ln x|2＝ ln 4 － ln 2x答案D1． (2014 ·京北 )以下函数中，在区间A ． y＝x＋ 1－xC．y＝ 21 2． (2014 山·东 )函数 f( x)＝2x 1A. 0，21C. 0，2∪ (2，＋∞)3．以下各式中错误的选项是()33A ． 0.8 >0.7C．0.75－ 0.10.1<0.75(0，＋∞)上为增函数的是()B． y＝( x－1)2D． y＝ log 0.5 (x＋1)2的定义域为 ()－1B． (2，＋∞)D.0，1∪[2，＋∞)2B． log0.50.4>log 0.50.6D． lg 1.6>lg 1.44． a 是 f(x)＝x－ log 1 x 的零点，若0＜ x0＜ a，则 f(x0)的值知足 () 22A ． f(x0)＝ 0B． f(x0) ＜ 0C．f(x0)＞ 0D． f(x0) 的符号不确立5． (2014 天·津 )函数 f( x)＝ log 1 (x2－4) 的单一递加区间是 ()2A．(0，＋∞ )B． (－∞， 0)C．(2，＋∞ )D． (－∞，－ 2)6．已知函数 f(x)的导函数f′(x)的图象如下图，那么函数f(x) 的图象最有可能的是 ()7． (2014 福·建 )已知函数 f(x)＝x2＋ 1， x>0，)则以下结论正确的选项是(cos x， x≤0，A ． f(x)是偶函数B． f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D． f(x)的值域为 [ －1，＋∞)8．若函数 f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝ 0，则使得 f(x)<0的 x 的取值范围是 ________．log2x，x>0，9．已知函数 f(x)＝x，且对于 x 的方程 f(x)＋ x－a＝ 0 有且只有一个实根，则实3x≤0数 a 的取值范围是 ________．10．(2014 江·苏 )已知函数 f(x)＝ x2＋ mx－ 1，若对于随意 x∈ [m，m＋1] ，都有 f(x)<0 建立，则实数 m 的取值范围是 ________．2a11．已知函数 f( x)＝x＋ ( x≠0， a∈R)．x(1)判断函数 f(x)的奇偶性；(2)若 f( x)在区间 [2，＋∞)上是增函数，务实数 a 的取值范围．x－ 112．已知函数f(x)＝ ln( ax)(a≠0，a∈R)， g(x)＝x.(1)当a＝ 1 时，记φ(x)＝f(x)－x＋1，求函数φ(x)的单一区间；x－ 1(2)若 f( x) ≥g(x)(x≥ 1)恒建立，务实数a的取值范围．高考数学二轮增分策略：第4篇第2讲《函数与导数(含答案)学生用书答案精析2．函数与导数重点回扣[问题 1](－ 1,1)∪ (1，＋ ∞)[问题 2]1－x 2 (x ∈[ － 1,1])1[问题 3]－2[问题 4]奇1－x 2 >0，分析由得定义域为 (－ 1,0)∪ (0,1)，|x － 2|－ 2≠0f(x) ＝－－x 2－ x 2 x －－ 2＝－ x.∴ f(－ x)＝－ f(x) ， f(x)为奇函数．[问题 5](－ ∞， 0)，(0，＋ ∞)[问题 6]D [由题意可知 f(0)＝ 0，即 lg(2 ＋ a)＝ 0，解得 a ＝－ 1，故 f(x)＝lg 1＋ x，函数 f(x)的定义域是 (－ 1,1)，1－ x在此定义域内 f(x)＝ lg 1＋ x＝ lg(1 ＋ x)－ lg(1 － x)，1－ x函数 y 1＝lg(1 ＋ x)是增函数，函数 y 2＝ lg(1 － x)是减函数，故 f(x)＝ y 1－ y 2 是增函数．选 D.] [问题 7]1， 12分析方法一 ∵ x ≥0，∴ 2x ≥1，∴ y ≥1，1－ y解得 1≤y<1. ∴其值域为 y ∈ 1， 1 .2 21 方法二y ＝ 1－ 2x ＋ 1，∵ x ≥0，∴ 0< 111.x≤ ，∴ y ∈， 1 2 ＋ 1 2 2[问题 8](－ 1,2)[问题 9] 2－5[问题 10]－∞，14[问题 11] [0,1) ， [2，＋ ∞)分析|log2x－x，∵ y＝－ x x，|log2作图可知正确答案为[0,1) ， [2，＋∞)．[问题 12]1[问题 13] B[f( x)＝ (x－ 2)(x－ 1)g(x)＋ 3x－ 4，∴f(1) ＝ 0＋ 3×1－4＝－ 1<0， f(2) ＝ 2×3－ 4＝ 2>0.又函数 y＝ g(x)的图象是一条连续曲线，∴函数 f(x)在区间 (1,2) 内有零点．所以方程f( x)＝ 0 在 (1,2)内必有实数根．]－2 x[问题 14]－2e4[问题 15]a≥3分析f(x)＝ ax3－ 2x2＋ x－1 的导数f′(x)＝ 3ax2－ 4x＋1.a>0，由 f′(x)≥0，得＝16－12a≤0，44时， f′(x)＝ (2x－ 1)2解得 a≥ .a＝≥0，331且只有 x＝时， f′(x)＝0，∴a＝4切合题意．3[问题 16]x＝1[问题17]2 312x312分析－－ cos x－1＝.? 1(x ＋ sin x)dx＝33查缺补漏1． A[A 项，函数 y＝x＋ 1在[ － 1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确； B 项，函数 y＝ (x－ 1)2在(－∞， 1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数－ x＝1 x在 R 上为减函数，故错误； D 项，函数 y＝ log0.5(x＋ 1)在 (－ 1，＋∞)上y＝ 2( )2为减函数，故错误．]x>0，2． C[由题意知2x2>1，解得x>21或 0<x<2.应选C.]3． C[结构相应函数，再利用函数的性质解决，对于A ，结构幂函数y ＝ x 3，为增函数，故A 对；对于B 、D ，结构对数函数y ＝ log 0.5x 为减函数，y ＝ lg x 为增函数，B 、 D都正确；对于 C ，结构指数函数y ＝ 0.75x ，为减函数，故C 错．]4．B [函数 f(x)＝ 2x － log 1 x ＝ 2x ＋log 2x 在(0，＋ ∞)上是单一递加的，这个函数有零点，这个2零点是独一的，依据函数的单一性，知在(0， a)上，这个函数的函数值小于零，即 f(x 0)＜ 0.]5．D[由于 y ＝ log 1 t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝ x 22－ 4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为 (－ ∞，－ 2)．]6． A [从导函数图象上能够看出函数f(x) 的单一递加区间是 (－ 2,0)，单一递减区间是 (－ ∞，－ 2)， (0，＋ ∞)，故函数图象最有可能是选项A 中的图象． ]27． D x ＋ 1， x>0，的图象如下图，由图象知只有D 正确．][函数 f(x)＝cos x ， x ≤08． (－ 2,2)分析由于 f(x) 是偶函数，所以 f(－ x)＝ f(x)＝f(|x|)．由于 f(x)<0， f(2) ＝0.所以 f(|x|)<f(2)．又由于 f(x)在 (－ ∞， 0]上是减函数，所以 f(x)在 (0，＋ ∞)上是增函数，所以 |x|<2，所以－ 2<x<2.9． (1，＋ ∞)分析方程 f( x)＋ x － a ＝ 0 的实根也就是函数 y ＝ f(x)与 y ＝ a － x 的图象交点的横坐标，如下图，作出两个函数图象，明显当 a ≤1时，两个函数图象有两个交点，当 a>1 时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a 的取值范围是 (1，＋ ∞)．210．(－ 2 ，0)分析作出二次函数f(x)的图象，对于随意 x ∈[ m ， m ＋ 1]，都有f m ，f(x)<0 ，则有f m ＋，m 2＋ m 2－1<0 ，2即m ＋2＋ m m ＋－ 1<0，解得－2 <m<0.11．解(1)当 a ＝ 0 时， f(x)＝ x 2 为偶函数；当 a ≠0时， f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)要使 f(x) 在区间 [2，＋ ∞)上是增函数，只需当 x ≥2时， f ′(x)≥0恒建立，a32x3即 2x － 2≥0，则 a ≤2x ，又由于 ≥ 16.x故当 a ≤16时， f(x)在区间 [2，＋ ∞)上是增函数． 12．解 x ＋ 1＝ ln x － x ＋ 1，则 φ′(x)＝1＋ (1)当 a ＝ 1 时， φ(x)＝ f(x)－x － 1x － 1x由于 x>0 且 x ≠1，所以 φ′(x)>0.故函数 φ(x)的单一递加区间为 (0,1) 和(1 ，＋ ∞)．2x 2＋ 1 2＝2.x －x x －x － 1(2)由于 ln(ax) ≥ x对 x ≥1恒建立，x － 1 所以 ln a ＋ln x ≥，x即 ln a ≥1－ 1－ ln x 对 x ≥1恒建立． x1 1 1 ，＋ ∞)上单一令 h(x)＝1－－ ln x ，则 h ′(x)＝ 2－，由于 x ≥1，故 h ′(x)≤0.所以 h(x)在区间 [1 xxx递减，由 ln a ≥h( x)max ＝h(1) ＝ 0，解得 a ≥1.故实数 a 的取值范围为 [1，＋ ∞)．。

2019届高考数学(理)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分二轮课时专题4 函数与导数 2 导数及其应用

第2讲导数及其应用【课前热身】第2讲导数及其应用(本讲对应学生用书第33~34页)1.(选修1-1 P82练习3改编)函数f (x )=1x 的图象在点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线方程为 .【答案】y=-14x+1【解析】因为f'(x )=-21x ，所以f'(2)=-14，所以切线方程为y-12=-14(x-2)，即y=-14x+1.2.(选修1-1 P87练习1改编)函数y=x-x 3的单调增区间为 .【答案】3333⎛ ⎝⎭，【解析】由y'=1-3x 2，令y'=1-3x 2>0，可得-33<x<33，所以函数的单调增区间为3333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，.3.(选修1-1 P89习题4改编)函数y=x-ln x ，x ∈(0，2)的极小值为 . 【答案】1【解析】因为y'=1-1x ，令y'=1-1x =0，得x=1，易知当x=1时，函数有极小值1.4.(选修1-1 P90例2改编)函数f (x )=12x+sin x 在区间[0，2π]上的最大值为 .【答案】π【解析】由题意知f'(x)=12+cos x，令f'(x)=0，解得x1=2π3，x2=4π3，又f2π3⎛⎫⎪⎝⎭=π3+32<f(2π)=π，故函数f(x)=12x+sin x的最大值为f(2π)=π.5.(选修1-1 P91练习5改编)已知函数y=e x-x，x∈(0，1]，则函数的值域为.【答案】(1，e-1]【解析】由题设得y'=e x-1，因为x∈(0，1]，所以y'>0，所以函数在x∈(0，1]上是增函数.又x=0时，y=1；x=1时，y=e-1，所以函数y=e x-x，x∈(0，1]的值域为(1，e-1].【课堂导学】导数的几何意义例1(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.【解答】(1)f(x)的定义域为(0，+∞).当a=4时，f(x)=(x+1)ln x-4(x-1)，f'(x)=ln x+1x-3，f'(1)=-2，f(1)=0，故曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1，+∞)时，f(x)>0等价于ln x-(-1)1a xx+>0.设g(x)=ln x-(-1)1a xx+，则g'(x)=1x-22(1)ax+=222(1-)1(1)x a xx x+++，g(1)=0.①当a≤2，x∈(1，+∞)时，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0，故g'(x)>0，g(x)在(1，+∞)上单调递增，因此g(x)>0.②当a>2时，令g'(x)=0，得x1=a-1-2(-1)-1a，x2=a-1+2(-1)-1a.由x2>1和x1x2=1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g'(x)<0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此g(x)<0.不合题意，舍去.综上，实数a的取值范围是(-∞，2].变式1(2019·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程是.【答案】y=-2x-1【解析】设x>0，则-x<0.因为x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，所以f(-x)=ln x-3x.又因为f(-x)=f(x)，所以当x>0时，f(x)=ln x-3x，所以f'(x)=1x-3，即f'(1)=-2，所以曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1)，整理得y=-2x-1.变式2设函数f(x)=ax2+x+b ln x，曲线y=f(x)过点P(1，0)，且在点P处的切线斜率为2，则a+b= .【答案】2【解析】f'(x)=1+2ax+bx，由已知条件得(1)0'(1)2ff=⎧⎨=⎩，，即10122aa b+=⎧⎨++=⎩，，解得-13.ab=⎧⎨=⎩，所以a+b=2.变式3(2019·常州一中)已知曲线y=2x-mx(x∈R，m≠-2)在x=1处的切线为直线l.若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则实数m的值为.【答案】-3或-4【解析】y'=2+2m x ， y'|x=1=2+m ，所以直线l 的方程为y-(2-m )=(2+m )(x-1)，即y=(2+m )x-2m.令x=0，得y=-2m ；令y=0，x=22m m +.由题意得22mm +-2m=12，解得m=-3或m=-4.利用导数研究函数的单调性例2 (2019·山东卷)设函数f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x ，a ∈R . (1)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x=1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 【解答】(1)由f'(x )=ln x-2ax+2a ，可得g (x )=ln x-2ax+2a ，x ∈(0，+∞)，则g'(x )=1x -2a=1-2ax x .当a ≤0时，由于x ∈(0，+∞)，所以g'(x )>0，则函数g (x )单调递增；当a>0时，若x ∈102a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则g'(x )>0，函数g (x )单调递增，若x ∈12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则g'(x )<0，函数g (x )单调递减.所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，+∞)；当a>0时，g (x )的单调增区间为102a ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调减区间为12a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，. (2)由(1)知，f'(1)=0.①当a ≤0时，f'(x )单调递增，所以当x ∈(0，1)时，f'(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.②当0<a<12时，12a>1，由(1)知f'(x)在12a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增，可得当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，1)内单调递减，在112a⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.③当a=12时，12a=1，f'(x)在(0，1)内单调递增，在(1，+∞)内单调递减，所以当x∈(0，+∞)时，f'(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意.④当a>12时，0<12a<1，当x∈112a⎛⎫⎪⎝⎭，时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为1 |2 a a⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.变式(2019·镇江期末)已知函数f(x)=[ax2-(2a+1)x+2a+1]e x，求函数f(x)的单调区间.【解答】f'(x)=(ax2-x)e x=x(ax-1)e x.若a=0，则f'(x)=-x e x，令f'(x)>0，得x<0；令f'(x)<0，得x>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增.若a<0，由f'(x)>0，得1a<x<0；由f'(x)<0，得x<1a或x>0，所以f(x)在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在1-a∞⎛⎫⎪⎝⎭，，(0，+∞)上单调递减.若a>0，由f'(x)<0，得0<x<1a；由f'(x)>0，得x>1a或x<0，所以f(x)在1a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，(-∞，0)上单调递增. 综上，当a=0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，单调减区间是(0，+∞)；当a<0时，函数f (x )的单调增区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间是(0，+∞)，1-a ∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当a>0时，函数f (x )的单调增区间是(-∞，0)，1a∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调减区间是10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.利用导数研究函数的极值(最值)问题例3 (2019·山东卷)已知函数f (x )=a (x-ln x )+22-1x x ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a=1时，求证：f (x )>f'(x )+32对于任意的x ∈[1，2]恒成立.【解答】(1)f (x )的定义域为(0，+∞)，f'(x )=a-a x -22x +32x =23(-2)(-1)ax x x .当a ≤0时，若x ∈(0，1)，则f'(x )>0，f (x )单调递增；若x ∈(1，+∞)，则f'(x )<0，f (x )单调递减.当a>0时，f'(x )=3(-1)22-a x x x x a a ⎛ ⎝. ①当0<a<22a 1.当x ∈(0，1)或x ∈2a ∞⎫+⎪⎪⎭，时，f'(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈21a ⎛ ⎝，时，f'(x )<0，f (x )单调递减.②当a=2时，1，在区间(0，+∞)内，f'(x )≥0，f (x )单调递增. ③当a>2时，01.当x∈0⎛ ⎝或x ∈(1，+∞)时，f'(x )>0，f (x )单调递增；当x∈⎫⎪⎪⎭时，f'(x )<0，f (x )单调递减. 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减；当0<a<2时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增；当a=2时，f (x )在(0，+∞)上单调递增；当a>2时，f (x )在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪⎪⎭上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. (2)由(1)知，当a=1时，f (x )-f'(x )=x-ln x+22-1x x -231221--x xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=x-ln x+3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]. 设g (x )=x-ln x ，h (x )=3x +21x -32x -1，x ∈[1，2]，则f (x )-f'(x )=g (x )+h (x ).由g'(x )=-1x x ≥0，可得g (x )≥g (1)=1，当且仅当x=1时取得等号.又h'(x )=24-3-26x x x +，设φ(x )=-3x 2-2x+6，则φ(x )在[1，2]上单调递减. 因为φ(1)=1，φ(2)=-10，所以存在x 0∈(1，2)，使得当x ∈(1，x 0)时，φ(x )>0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )<0，所以h (x )在(1，x 0)上单调递增，在(x 0，2)上单调递减.由h(1)=1，h(2)=12，可得h(x)≥h(2)=12，当且仅当x=2时取得等号.因为等号不能同时取得，所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32，即f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1，2]恒成立.【课堂评价】1.(2019·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(0)的值为.【答案】3【解析】f'(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x，所以f'(0)=3e0=3.2.(2019·南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则12xx的值为.【答案】43【解析】方法一：由题设可知曲线y=x2在A(x1，y1)处的切线方程为y=2x1x-21x，曲线y=x3在B(x2，y2)处的切线方程为y=322xx-232x，所以2122312232x xx x⎧=⎨=⎩，，解得x1=3227，x2=89，所以12xx=43.方法二：由题设得212322112123-2-x x x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，解得x 1=3227，x 2=89，所以12xx =43.3.(2019·天津卷)设函数f (x )=x 3-ax-b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=0. 【解答】(1)由f (x )=x 3-ax-b ，可得f'(x )=3x 2-a. 下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有f'(x )=3x 2-a ≥0恒成立，所以f (x )的单调增区间为(-∞，+∞).②当a>0时，令f'(x )=0，解得x=3或x=-3.当x 变化时，f'(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调减区间为-33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，单调增区间为-3∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. (2)因为f (x )存在极值点，所以由(1)知a>0，且x 0≠0.由题意，得f'(x 0)=320x-a=0，即20x=3a，进而f (x 0)=30x-ax 0-b=-23ax 0-b.又f (-2x 0)=-830x+2ax 0-b=-83a x 0+2ax 0-b=-23ax 0-b=f (x 0)，且-2x 0≠x 0，由题意及(1)知，存在唯一实数x 1满足f (x 1)=f (x 0)，且x 1≠x 0，因此x 1=-2x 0，所以x 1+2x 0=0.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第17~18页.【检测与评估】第2讲导数及其应用一、填空题1.函数y=12x2-ln x的减区间为.2.(2019·苏州暑假测试)已知函数f(x)=x-1+1e x，若直线l：y=kx-1与曲线y=f(x)相切，则实数k= .3.(2019·苏锡常镇宿一调)若曲线C1：y1=ax3-6x2+12x与曲线C2：y2=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为.4.(2019·四川卷)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则实数a= .5.(2019·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-13sin 2x+a sin x在(-∞，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是.6.(2019·南京学情调研)已知函数f(x)=13x3+x2-2ax+1，若函数f(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为.7.(2019·苏大考前卷)已知直线x+y=b是函数y=ax+2x的图象在点P(1，m)处的切线，则a+b-m= .8.(2019·无锡期末)已知在曲线y=x-1x(x>0)上一点P(x，y0)处的切线与x轴，y轴分别交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为13，则x= .二、解答题9.(2019·扬州期末)已知函数f(x)=e x，g(x)=ax2+bx+c.(1)若f(x)的图象与g(x)的图象的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求实数b和c的值；(2)若a=c=1，b=0，试比较f(x)与g(x)的大小，并说明理由.10.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)设函数f(x)=x e x-a sin x cos x(a∈R，e是自然对数的底数).(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.11.(2019·南通中学)已知函数f(x)=e x2lna x bx⎛⎫++⎪⎝⎭，其中a，b∈R，e是自然对数的底数.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=e(x-1)，求实数a，b的值.(2)①若a=-2时，函数y=f(x)既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；②若a=2，b≥-2，f(x)≥kx对一切正实数x恒成立，求实数k的最大值(用b表示).【检测与评估答案】第2讲导数及其应用一、填空题1. (0，1] 【解析】对于函数y=12x 2-ln x ，易得其定义域为{x|x>0}，y'=x-1x =2-1x x ，令2-1x x ≤0，结合x>0，得x 2-1≤0，解得0<x ≤1，即函数y=12x 2-ln x 的减区间为(0，1].2. 1-e 【解析】设切点为(x 0，y 0)，因为f'(x )=1-1e x，则f'(x 0)=k ，即1-01e x =k ，且kx 0-1=x 0-1+01e x ，所以x 0=-1，所以k=1--11e =1-e .3. -13e 【解析】因为y'1=3ax 2-12x+12，y'2=e x ，所以两条曲线在x=1处的切线的斜率分别为k 1=3a ，k 2=e ，所以k 1·k 2=-1，即3a e =-1，所以a=-13e .4. 2 【解析】由已知得f'(x )=3x 2-12=3(x 2-4)=3(x+2)(x-2).于是当x<-2或x>2时，f'(x )>0；当-2<x<2时，f'(x )<0.故函数f (x )在区间(-∞，-2)，(2，+∞)上单调递增；在区间(-2，2)上单调递减.于是当x=2时，f (x )取得极小值，故a=2.5. 11-33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】对函数f (x )求导得f'(x )=1-23cos 2x+a cos x=-43cos 2x+a cos x+53.因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f'(x )≥0，即-43cos 2x+a cos x+53≥0恒成立.设t=cos x ∈[-1，1]，则g (t )=4t 2-3at-5≤0在[-1，1]上恒成立，所以有22(-1)4(-1)-3(-1)-50(1)41-31-50g a g a ⎧=⨯⨯≤⎨=⨯⨯≤⎩，，解得-13≤a ≤13.6. 342⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】因为函数f (x )在(1，2)上有极值，所以函数f (x )在(1，2)上有极值点.方法一：令f'(x )=x 2+2x-2a=0，得x 1=-1x 2=-1因为x 1∉(1，2)，故需1<x 2<2，即1<-1+2，即4<1+2a<9，所以32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 方法二：f'(x )=x 2+2x-2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=-1，则f'(x )在(1，2)上是增函数，因此'(1)3-20'(2)8-20f a f a =<⎧⎨=>⎩，，解得32<a<4，故实数a 的取值范围为342⎛⎫ ⎪⎝⎭，.7. 2 【解析】因为点P 在函数y=ax+2x 与直线x+y=b 的图象上，所以m=a+2，m+1=b.又由函数y=ax+2x 的导函数y'=a-22x 可知，切线的斜率k=-1=a-2，有a=1，所以m=3，b=4，则a+b-m=2.8.【解析】因为y'=1+21x ，切点P 0001-x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，，x 0>0，所以切线斜率k=1+201x ，所以切线方程为y-01-x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2011x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(x-x 0).令y=0，得x=02021x x +，即A 020201x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，.令x=0，得y=-02x ，即B 020-x ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以S △OAB =12OA×OB=12×02021x x +×02x =2021x +=13，解得x 0二、解答题9. (1) 由题设知f (0)=1，f'(x )=e x ，f'(0)=1，g (0)=c ， g'(x )=2ax+b ，g'(0)=b.由题意得(0)(0)'(0)'(0)-1f gf g=⎧⎨=⎩，，所以1-1.cb=⎧⎨=⎩，(2) 当a=c=1，b=0时，g(x)=x2+1.①当x=0时，f(0)=1，g(0)=1，即f(x)=g(x).②当x<0时，f(x)<1，g(x)>1，即f(x)<g(x).③当x>0时，令h(x)=f(x)-g(x)=e x-x2-1，则h'(x)=e x-2x.设k(x)=h'(x)=e x-2x，则k'(x)=e x-2.当x<ln 2时，k'(x)<0，k(x)单调递减；当x>ln 2时，k'(x)>0，k(x)单调递增.所以当x=ln 2时，k(x)取得极小值，且极小值为k(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4>0，即k(x)=h'(x)=e x-2x>0恒成立，所以h(x)在R上单调递增.又因为h(0)=0，所以当x>0时，h(x)>h(0)>0，即f(x)>g(x).综上所述，当x<0时，f(x)<g(x)；当x=0时，f(x)=g(x)；当x>0时，f(x)>g(x).10. (1) 当a=0时，f(x)=x e x，f'(x)=e x(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极小值为f(-1)=-1e，无极大值.(2) ①当a≤0时，因为对于任意的x∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，有sin x cos x≥0，所以f(x)≥0恒成立，即当a≤0时，符合题意.②当0<a ≤1时，因为f'(x )=e x (x+1)-a cos 2x ≥e 0(0+1)-a cos 0=1-a ≥0，所以函数f (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数.所以f (x )≥f (0)=0，即当0<a ≤1时，符合题意.③当a>1时，f'(0)=1-a<0，f'π4⎛⎫ ⎪⎝⎭=π4e π+14⎛⎫⎪⎝⎭>0，所以存在α∈π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使得f'(α)=0，且在(0，α)内，f'(x )<0，所以f (x )在(0，α)上为减函数，此时f (x )<f (0)=0，即当a>1时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(-∞，1].11. (1) 由题意知曲线y=f (x )过点(1，0)，且f'(1)=e .因为f'(x )=e x222ln -a a x b x x +⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则有(1)e(2)0'(1)e()e f b f a b =+=⎧⎨=+=⎩，，解得a=3，b=-2.(2) ①当a=-2时，函数y=f (x )的导函数f'(x )=e x22-2ln -x b x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当f'(x )=0时，得b=2ln x+22x .设g (x )=2ln x+22x (x>0)，由g'(x )=2x -34x =232-4x x =0，得x=g(=1+ln 2.当0时，g'(x )<0，函数y=g (x )在区间(0，上为减函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞)；当x>g'(x )>0，函数y=g (x )在区间(+∞)上为增函数，g (x )∈(1+ln 2，+∞).所以当且仅当b>1+ln 2时，b=g (x )有两个不同的解，设为x 1，x 2(x 1<x 2).当x 变化时，f (x )，f'(x )的变化情况如下表：此时，函数y=f (x )既有极大值，又有极小值.②由题意知e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥kx 对一切正实数x 恒成立，取x=1，得k ≤(2+b )e .下证e x 22ln x b x ⎛⎫++⎪⎝⎭≥(2+b )e x 对一切正实数x 恒成立.首先，证明e x ≥e x.设函数u (x )=e x -e x ，则u'(x )=e x -e ，当x>1时，u'(x )>0；当x<1时，u'(x )<0，得e x -e x ≥u (1)=0，即e x ≥e x ，当且仅当x=1时取到等号.再证ln x+1x ≥1.设v (x )=ln x+1x -1，则v'(x )=2-1x x ，当x>1时，v'(x )>0；当x<1时，v'(x )<0，得v (x )≥v (1)=0，即ln x+1x ≥1，当且仅当x=1时取到等号.综上可得e x 22ln x b x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥(2+b )e x ，所以min ()f x x ⎛⎫⎪⎝⎭=(2+b )e ，即实数k 的最大值为(2+b )e .。