数值分析试题

华南理工大学研究生课程考试《数值分析》试卷 A （2015年1月9日）注意事项： 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请按要求填写在本试卷上； 3. 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 6. 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。一．（12分）解答下列问题1．欲计算下式：()13(1)2(1)(2)7(1)(2)(3)6(1)(2)(3)(4),P x x x x x x x x x x x 试给出乘法次数尽可能少的计算形式。2．设有递推公式01361,1,2,n n y y y n 如果取*003 1.732y y 作实际计算，问计算到10y 时误差为初始误差*00y y 的多少倍？这个计算过程数值稳定吗？二. （14分）解答下列问题_____________________姓名学

号学

院专

业任

课教师(密封线内不答题)……

…

…

…

…………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………………………

1. 若2()

63f x x +，则[1,2,3]f 和[1,2,34]f ，的值分别是多少？2. 已知100101211114412===，，，试利用二次插值方法求115的近似值，并估计误差。

三. (10分) 设f 在互易节点

i x 上的值0,1,....i i f f x i n 。试证明：f 在节点i x 上

的n 次最小二乘拟合多项式n p x 与f 在节点i x 上的n 次Lagrange 插值多项式n L x 一致，即=n n p x L x 。

四. (12分) 按代数精度的定义，构造下列形式的求积公式（即确定参数,A B ，）:

1

1f x dx Af Bf

要求公式具有尽可能高的代数精度，并说明所得公式是不是

Gauss 型求积公式。五. (14分) 已知线性代数方程组

Ax=b 为：b b x x v d v d 212122

110

00

(1) 用顺序高斯消去法求解方程组Ax=b ；

(2) 先由(1)的消元过程直接写出

A 的LU 分解，再利用该LU 分解求解方程组Ax=b 。六. (12分) 对方程组32

3

,,121Ax b A b ，拟用迭代法

(1)()()(),0,1,

k k k x x Ax b k 求解，试确定实数的取值范围，使得该迭代公式收敛。.

0)/(,0,1

1

,,,n i i i i n i i i i i d v u d d b v u d 已知其中

x x x的根，试七. (14分) 欲求方程ln 2 (1)

（1）证明[3, 4] 为方程的一个有根区间；

（2）在区间[3, 4] 上构造一个收敛的不动点迭代公式；（3）求所构造迭代公式的收敛阶。

八. (12分) 对初值问题

00

y

f xy y x y （1）试利用Taylor 展开公式推导下列数值求解公式：

212n n n n n n n n n n

h y y hf x y f x y y x f x y （2）指出上述公式是几阶公式。